专题 2.7 二元一次方程（组）和它的解（专项练习）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.7 二元一次方程（组）和它的解（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程． 根据二元一次方程的定义逐一判断即可． 解：A、中，、、为常数，若或，则未知数个数不足两个，故不一定是二元一次方程； B、不是整式方程，且的次数不为1，故不是二元一次方程； C、可化为，含有两个未知数，且次数均为1，是整式方程； D、只含一个未知数，且次数为2，故不是二元一次方程； 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义， 根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的系数都不能为零，但本题中y的系数已为，故只需x的系数即可保证为二元一次方程． 解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，且y的系数， ∴x的系数， 解得. 故选：D． 3．（25-26七年级上·湖南永州·期末）已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数看成已知数来处理．将x看成已知数，先移项，再将y系数化为1即可． 解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：D． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如果是方程的一组解，则a的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将给定的解代入方程，解关于a的方程即可． 解：∵是方程的解， ∴代入得：， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值． 解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 6．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有（    ）种购买方案． A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键；设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据总花费列出方程，结合x、y为正整数且每种奖品至少1件的条件，找出符合条件的整数解即可确定购买方案的种数． 解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案. 故选：A 8．（24-25七年级下·吉林长春·期中）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（　　） A．12、5 B．13、5 C．5、12 D．5、13 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程组，先求出被遮盖的x值，再代入第一个方程求出被遮盖的常数项即可． 解：已知方程组的解为，代入第二个方程， 得：， 解得， 因此，被遮盖的值为5， 将和代入第一个方程， 得：， 因此，方程组中被遮盖的常数项为13， 综上，被遮盖的前后两个数分别为13和5， 故选：B． 9．（23-24八年级上·山西太原·月考）已知方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解的定义和换元法，运用整体的思想是解题的关键． 通过换元法，将新方程组转化为原方程组的形式，利用已知解求解新变量即可． 解：新方程组为：， 令，，则新方程组变为：， 因为方程组的解为， 所以，即：，解得， 故新方程组的解为， 故选：A． 10．（23-24七年级上·广东广州·期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义知识．注意根据定义求得方程是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∵对于任意实数都成立， ∴， ∴为． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）若是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将方程的解代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 解：∵是方程的解， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题关键是整理方程后，保证含项的系数不为． 要使方程是关于，的二元一次方程，需先整理方程，保证，的系数不为，且方程含两个未知数． 解：将原方程移项得，合并同类项得， ∵这是关于，的二元一次方程， ∴的系数，即. 故答案为：. 13．（2024七年级下·全国·专题练习）写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．据此求解即可． 解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（25-26七年级下·全国·期末）已知是方程组的解，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，求出和 的值，再计算． 解：是方程组的解， 化简得： 解得： ． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·四川成都·月考）二元一次方程的非负整数解有 个． 【答案】 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，准确的计算是解决本题的关键． 将方程化为，根据非负整数条件确定x的取值范围，再求解即可． 解：∵， ∴． ∵方程的解为非负整数， ∴，，即， 解得． ∵x为非负整数， ∴，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有4组非负整数解． 故答案为：4． 16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知是方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 解：∵是方程组的解， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·重庆永川·期中）班长小刚用170元为班里购买了若干副羽毛球拍和乒乓球拍（均购买），已知羽毛球拍每副30元，乒乓球拍每副20元，则购买方案有 种； 【答案】 3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． 设羽毛球拍x副，乒乓球拍y副，根据总价列出方程，化简得，求正整数解，需为整数且，得，3，5，对应，4，1，故有3种方案． 解：设购买羽毛球拍x副，乒乓球拍y副， 则， 两边除以10得， ∵x，y为正整数， ∴需为正整数且， 即为2的倍数且， ∴，3，5， 当时，；当时，；当时，． 因此购买方案有3种． 故答案为：3． 18．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键．先把新方程组变形为：，再根据关于x，y的方程组的解是，由此可得：，进而得出答案． 解：把新方程组变形为：， 关于x，y的方程组的解是， ， 解得： 故答案为： 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解 【答案】(1)或或 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）将方程变形为用表示的形式，结合为正整数的条件，确定的取值范围，再代入求出对应的． （2）根据给定的方程组的解，构造一个二元一次方程，使该解满足这个方程． （1）解：由方程，得． 当时，； 当时，； 当时，． 故方程所有的正整数解为或或 （2）解：∵把代入式子，得， ∴满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解及方程组的解，掌握用一个未知数表示另一个未知数，结合正整数条件确定取值、构造满足特定解的二元一次方程是解题的关键． 20．（本小题满分8分）（23-24七年级下·全国·课后作业）根据下列语句，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程（不求解）． (1)甲数的2倍比乙数的一半少3； (2)工厂加工一批机器零件，计划完成1088个，甲先做3天后乙再加入，两人共同再做6天刚好完成． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列二元一次方程．根据题意列出二元一次方程即可． （1）设甲数为a，乙数为b，根据甲数的2倍比乙数的一半少3列出二元一次方程即可． （2）设甲每天做x个，乙每天做y个，根据甲一共做了9天，乙做了6天，根据两人完成1088个列出二元一次方程即可． （1）解：设甲数为a，乙数为b， 根据题意得： （2）解：设甲每天做x个，乙每天做y个， 根据题意得： 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·课前预习）今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问：物几何？（选自《孙子算经》）你知道物品最少有多少个吗？ 【答案】物品最少有23个 【分析】此题考查二元一次方程的应用，根据三三数之余二，七七数之余二可设三三分为x组，七七分为y组，则可列方程，根据为非负整数，且最小，可得物品最少数量，且验证为五五数之余三即可． 解：设三三数时分为x组，七七数时分为y组，则 ， ∴， ∴， ∵为非负整数，且最小， ∴当时，， 此时，，与五五数之余三不符， ∴， ∴物品最少为个， 且， 所以，物品最少有23个． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 【答案】存在，这个二元一次方程为 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，理解方程解的意义是解题的关键．观察和，可得它们的结构是相同的，再结合方程解的定义即可完成解答． 解：和中字母系数相同，常数项也相同， 两个等式可以统一表示为， 这个二元一次方程为． 23. （本小题满分10分）（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． （1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 24. （本小题满分12分）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一组解，请求出这个方程的一组解？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． （1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.7 二元一次方程（组）和它的解（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南永州·期末）已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如果是方程的一组解，则a的值为（　　） A． B． C．1 D．2 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有（    ）种购买方案． A．3 B．6 C．7 D．8 8．（24-25七年级下·吉林长春·期中）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（　　） A．12、5 B．13、5 C．5、12 D．5、13 9．（23-24八年级上·山西太原·月考）已知方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·广东广州·期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为(　　) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）若是方程的解，则 ． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是 ． 13．（2024七年级下·全国·专题练习）写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 14．（25-26七年级下·全国·期末）已知是方程组的解，那么的值为 ． 15．（25-26八年级上·四川成都·月考）二元一次方程的非负整数解有 个． 16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知是方程组的解，则的值是 ． 17．（23-24七年级下·重庆永川·期中）班长小刚用170元为班里购买了若干副羽毛球拍和乒乓球拍（均购买），已知羽毛球拍每副30元，乒乓球拍每副20元，则购买方案有 种； 18．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解 20．（本小题满分8分）（23-24七年级下·全国·课后作业）根据下列语句，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程（不求解）． (1)甲数的2倍比乙数的一半少3； (2)工厂加工一批机器零件，计划完成1088个，甲先做3天后乙再加入，两人共同再做6天刚好完成． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·课前预习）今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问：物几何？（选自《孙子算经》）你知道物品最少有多少个吗？ 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 23. （本小题满分10分）（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 24. （本小题满分12分）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一组解，请求出这个方程的一组解？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $