专题 2.1 二元一次方程（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.1 二元一次方程（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二元一次方程定义 1 【题型 1】二元一次方程的识别 1 【题型 2】由二元一次方程定义求参数 3 【题型 3】列二元一次方程 5 【知识点二】二元一次方程的解 7 【题型 4】已知方程的解求参数值或代数式值 7 【题型 5】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 8 【题型 6】求二元一次方程的整数解 10 【题型 7】二元一次方程的应用——方案问题 11 二.中考模拟真题 15 （一）单选题（6题） 15 （二）填空题（6题） 18 （三）解答题（4题） 20 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】二元一次方程定义 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程。 【题型 1】二元一次方程的识别 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）写出一个以为解的二元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二元一次方程解的概念，正确理解概念是解题的关键．根据二元一次方程的解的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程，叫做二元一次方程；能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，直接进行求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程的解为， ∴只要写出解为这个的二元一次方程即可， 如：；等等； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）逐一判断各方程即可得到答案． 【详解】解：①中，项的次数为2，不符合定义； ②是整式方程，含有两个未知数，且未知数的次数均为1，符合定义； ③不是整式方程，不是二元一次方程； ④中项的次数为2，不符合定义； ⑤整理后为，是整式方程，且含有未知数的项的次数均为1，符合定义． 故答案为：②⑤． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 【题型 2】由二元一次方程定义求参数 【例题2】（25-26八年级上·河南·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查二元一次方程的定义，核心是明确二元一次方程需满足：含有两个未知数，且每个含未知数的项的次数均为1．先根据的项的次数为1列出关于的方程，求解得到的值；再将的值代入的项的次数为1的方程中，求解得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，即，解得； 且，即，解得； 故答案为：，． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的定义，可得，进而得到的值即可求解． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 -3 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义，得且，解之即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 由得或， 解得或， 又因为， 即， 所以， 故答案为：． 【题型 3】列二元一次方程 【例题3】今年“六•一”儿童节，李老师给同学们准备了钢笔和铅笔两种纪念品．已知铅笔的数量比钢笔的2倍少20支，设钢笔有x支，铅笔有y支，根据题意，可列二元一次方程（　　） A．y﹣20＝2x B．y+20＝2x C．2x+y＝20 D．x+20＝2y 【答案】B 【分析】根据“铅笔的数量比钢笔的2倍少20支”得出等量关系：铅笔的数量钢笔的数量，依此列出方程，再变形即可． 【详解】解：设钢笔有支，铅笔有支，根据题意得： ，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，解题的关键是从题目中找到等量关系． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知某校八年级学生总人数为m人，其中女生n人，若女生人数的倍比男生人数多人，则可列二元一次方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 利用男生人数总人数一女生人数，可得出该校八年级有男生人，结合女生人数的倍比男生多人，即可得出关于，的二元一次方程，此题得解． 【详解】解：某校八年级学生总人数为m人，其中女生n人， 男生有人， 又女生人数的倍比男生人数多人， 可列二元一次方程为， 故答案为：． 【变式2】（2024·吉林四平·二模）《孙子算经》中记载了一道数学问题，其部分译文为：现有甲、乙两人，所带钱数不详，如果甲得到乙的钱数的一半，甲就有了48钱．设甲、乙各带了x钱、y钱，则可列二元一次方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 设设甲、乙各带了x钱、y钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半，据此列方程即可． 【详解】解：设甲、乙各带了x钱、y钱， 根据题意可得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 【答案】(1)；(2)；(3)千克 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，核心是利用“总价=单价×数量”的数量关系建立方程，并通过代入已知值求解未知量． （1）根据苹果和香蕉的各自总价之和等于总花费，直接列出二元一次方程； （2）将已知的值代入（1）中的方程，通过一元一次方程的求解步骤算出的值； （3）将已知的值代入（1）中的方程，解一元一次方程得到的值，即为购买香蕉的重量． 【详解】（1）解：∵苹果的单价为4元/，购买苹果的总价为元， 香蕉的单价为6元/，购买香蕉的总价为元，总花费为元， ∴可列二元一次方程为； （2）解：将代入方程中，得， 解得； （3）解：将代入方程中，得， 解得， 答：购买香蕉千克． 【知识点二】二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解。 【题型 4】已知方程的解求参数值或代数式值 【例题4】（25-26八年级上·陕西西安·月考）若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得． 【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·月考）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 把代入二元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：把代入二元一次方程得 ， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如果是方程的一个解，那么代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．将代入方程得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如果是方程的一组解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，先把方程的解代入方程得到a与b的关系式，再对变形，最后代入求值． 【详解】解：是方程的一组解， ∴将 代入方程，得：， ∴， ∴． 【题型 5】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 【例题5】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，然后利用等式的性质求解． 【详解】解：由移项，得． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：∵， ∴两边同乘3去分母，得， ∴移项，得， ∴合并同类项，得， ∴系数化为1，得，即． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·广东珠海·期末）把方程改写成用含y的式子表示x的形式，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，将y看作已知数、x看作未知数成为解题的关键． 将x看作未知数，y看作已知数，求出x即可． 【详解】解：由，解得：． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）由可以得到用含x的式子表示y，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查解二元一次方程，把x看作已知数表示出y即可，解题的关键是将一个未知数看作已知数，求出另一个未知数． 【详解】解： ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型 6】求二元一次方程的整数解 【例题6】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）请写出二元一次方程的一个正整数解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解 任意给定一个y的正整数值，然后求得对应的x值，确保x也是正整数即可． 【详解】解：当时，， 解得， 因此是方程的一个正整数解． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（23-24七年级下·湖南永州·月考）关于x、y的二元一次方程的正整数解的对数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，用y表示x是解题的关键. 先用y表示x,然后确定方程的正整数解，最后统计即可解答． 【详解】解：， 解得：， 当时，；当时，， 则方程的正整数解有2对． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·月考）已知方程的一组整数解（均为整数）是，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查根据二元一次方程的解的情况求参数的值．根据题意得到，由和都是整数，得到是偶数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵和都是整数， ∴是偶数， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·月考）写出二元一次方程的一组正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的解，根据二元一次方程的解的定义，写出一组正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：， ∴二元一次方程的一组正整数解可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【题型 7】二元一次方程的应用——方案问题 【例题7】随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？ (1)如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元； (2)请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多． 【答案】(1)250 (2)案二补充见解析，方案一盈利较多 【分析】本题考查二元一次方程的应用； （1）按照方案一配货，用单价数量总价分别来求； （2）按照甲、乙两店盈利相同配货，就是甲店A，B两种水果的总盈利等于乙店A、B两种水果的总盈利，根据等量关系列出方程再分析． 【详解】（1）元 ∴经销商能盈利250元 （2）设按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店x箱，B种水果甲店y箱 由题意得： ∵， 当时，方程有整数解 答：A种水果甲店5箱，乙店5箱，B种水果甲店4箱，乙店6箱；A种水果甲店2箱，乙店8箱。B种水果甲店6箱，乙店4箱；A种水果甲店8箱，乙店2箱。B种水果甲店2箱，乙店8箱； 元 元 元 ∵ ∴方案一盈利较多； 【变式1】（2026七年级下·北京·专题练习）学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程与实际问题，关键是根据等量关系列方程，求方程的特殊解；设购买种奖品个，种奖品个，根据总费用列出二元一次方程，再结合、为正整数求符合条件的解的个数即可. 【详解】解：设购买种奖品个，种奖品个， ∵总费用为元， ∴， 化简得：， ∴， ∵为正整数，为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有种购买方案， 故选：A． 【变式2】周末，佳佳的妈妈让她到药店购买口罩和酒精湿巾．已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了40元（两种物品都买），则佳佳的购买方案共有 种，请你写出一种佳佳的购买方案 ． 【答案】 6 购买口罩6包，酒精湿巾11包（答案不唯一） 【分析】设购买口罩包，酒精湿巾包，根据总价单价数量，即可列出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买口罩包，酒精湿巾包， 依据题意得： 均为正整数， 或或或或或 小明共有6种购买方案． 其中一种购买方案为：购买口罩6包，酒精湿巾11包（答案不唯一）． 故答案为：6，购买口罩6包，酒精湿巾11包． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）． (1)求写出的关系式； (2)求出所有可能的购买方案； (3)若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由． 【答案】(1)的关系式为，且； (2)见解析； (3)笔记本本，笔支时奖品总数最多．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出二元一次方程组即可； （）由（）得，则，然后求出的正整数解即可； （）根据（）得结果进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，的关系式为，且； （2）解：由（）得，， ∴， ∵均为正整数， ∴，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支； （3）解：由（）可得：笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， ∴笔记本本，笔支时奖品总数最多． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将代入求解即可． 【详解】解：将代入得： ， 解得：． 故选：B． 2．（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 逐个将x的值代入方程，求出a的值，再分别判断即可． 【详解】解：A． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； B． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； C． 将代入，得 ，解得， ∴不是关于x和a的方程的解，符合题意； D． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意． 故选C． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键． 4．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据方程组的解，得，变形得，代入求值即可． 本题考查了方程组的解，整体思想求代数式的值，熟练掌握求值的方法是解题的关键． 【详解】解：由是方程的一组解， 得， 变形得， ． 故选：A． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． （二）填空题（6题） 7．（2025·浙江台州·二模）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程的解的概念，即解能使方程左右两边相等． 将解代入即可解得答案． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得． 故答案为：． 8．（2025·陕西榆林·一模）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据图意列二元一次方程，认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．解题的关键是读懂图的意思． 【详解】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项， 最左边一个竖线表示一个，中间一个竖线表示一个，最右边一条横线表示一十，一个竖线表示一， 所以该图表示的方程是：． 故答案为：． 9．（2025·广东珠海·三模）已知方程的一个解为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程可得，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵的一个解为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·湖南·模拟预测）某文具店购买笔记本和钢笔预算元．笔记本5元/本，钢笔元/支，至少买4支钢笔，个笔记本，则购买方式有 种． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，解题关键是列出二元一次方程． 先设可再买笔记本本，钢笔支，再列出二元一次方程，然后求出它的非负整数解即可． 【详解】解：∵至少买4支钢笔，个笔记本， ∴设可再买笔记本本，钢笔支， 则， 解得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴购买方式有3种， 故答案为：3． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）写出一个以为解的二元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二元一次方程解的概念，正确理解概念是解题的关键．根据二元一次方程的解的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程，叫做二元一次方程；能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，直接进行求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程的解为， ∴只要写出解为这个的二元一次方程即可， 如：；等等； 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键． 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长， ∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案为：（或或，写出一种即可 ）． （三）解答题（4题） 13．（2024·上海·模拟预测）求证：方程有无数多解 【答案】见详解 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键． 将方程化为，得出当y取任意一个实数，则有对应的x值，即可证明． 【详解】证明：方程可化为， 当时，， 当时，， 当时，， 以此类推，当y取任意一个实数，则有对应的x值， 可以取任意值， 此时方程有无数组解． 14．（2025·安徽芜湖·三模）某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了列代数式、二元一次方程的应用等知识点，根据题意、找出找等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据今年第一季度的总收入为出口收入与内销收入的和，据此列代数式即可解答； （2）根据今年第一季度的总收入比去年增加，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：今年第一季度的内销收入为，第一季度的出口收入为，所以今年第一季度的总收入为万元． 故答案为：． （2）解：去年第一季度的总收入为， 由题意可得：， 整理得：， 所以． 15．（2025·安徽·一模）某电视台在黄金时段的广告时间内，计划插播长度为和的两种广告，广告每播1次收费1万元，广告每播1次收费6000元．若要求每种广告播放不少于2次，插播的广告正好排满． (1)请问电视台两种广告的播放次数是如何安排的？ (2)请你帮电视台选择收益最大播放方式，说明理由． 【答案】(1)两种广告的格放次数有两种安排方式，播放的广告的次数是2时，播放的广告的次数是4：播放的广告的次数是3时，播放的广告的次数是2 (2)播放的广告2次，选择播放的广告4次收益最大，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．解题关键是要弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意每种广告的播放次数是不的正整数． （1）本题中的等量关系：30秒次数次数． （2）要收益更大，就是说广告费最少．由（1）得到的安排方式，可求出每种安排方式所用的钱，再比较． 【详解】（1）解：设播放的广告次，播效的广告次． 依题意，得， ，， 解得或 答：两种广告的格放次数有两种安排方式，播放的广告的次数是2时，播放的广告的次数是4：播放的广告的次数是3时，播放的广告的次数是2； （2）当，时，（万元）． 当，时，（万元）． 所以，播放的广告2次，选择播放的广告4次收益最大． 16．（2023·河北衡水·二模）一堆足够多的棋子，其数目是3的倍数，现在依次进行如下操作： 第一步：将棋子平均分成左、中、右三堆； 第二步：从左堆中取出枚棋子放入中堆，再从右堆中取出枚棋子放入中堆； 第三步：从中堆取出与左堆余留棋子数相等的棋子放入左堆 (1)设这堆棋子数目为3n（n是正整数），若，，回答下列问题 ①第二步完成后，中堆的棋子有______个； ②第三步完成后，中堆的棋子有______个； (2)若题中第三步完成后，中堆棋子共有5枚，求第二步应从左堆、右堆各取多少枚棋子放入中堆？ 【答案】(1)①； ②20 (2)第二步应从左堆取1个，右堆取3个，或从左堆取2个，右堆取1个 【分析】（1）①根据题意列式计算即可； ②根据题意列出代数式，运算即可； （2）根据题意列出关于x、y的方程，求二元一次方程的整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：①第二步完成后，中堆的棋子有： 个； 故答案为：； ②第三步完成后，中堆的棋子有： ． 故答案为：20． （2）解：由题意，完成第三步后中堆的棋子数量为： ， ∴，或，时满足题意； 即第二步应从左堆取1个，右堆取3个，或从左堆取2个，右堆取1个． 【点睛】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出二元一次方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 二元一次方程（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二元一次方程定义 1 【题型 1】二元一次方程的识别 1 【题型 2】由二元一次方程定义求参数 2 【题型 3】列二元一次方程 2 【知识点二】二元一次方程的解 3 【题型 4】已知方程的解求参数值或代数式值 3 【题型 5】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 3 【题型 6】求二元一次方程的整数解 4 【题型 7】二元一次方程的应用——方案问题 4 二.中考模拟真题 5 （一）单选题（6题） 5 （二）填空题（6题） 6 （三）解答题（4题） 6 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】二元一次方程定义 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程。 【题型 1】二元一次方程的识别 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）写出一个以为解的二元一次方程： ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【题型 2】由二元一次方程定义求参数 【例题2】（25-26八年级上·河南·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若是二元一次方程，则 ， ． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 【题型 3】列二元一次方程 【例题3】今年“六•一”儿童节，李老师给同学们准备了钢笔和铅笔两种纪念品．已知铅笔的数量比钢笔的2倍少20支，设钢笔有x支，铅笔有y支，根据题意，可列二元一次方程（　　） A．y﹣20＝2x B．y+20＝2x C．2x+y＝20 D．x+20＝2y 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知某校八年级学生总人数为m人，其中女生n人，若女生人数的倍比男生人数多人，则可列二元一次方程为__________． 【变式2】（2024·吉林四平·二模）《孙子算经》中记载了一道数学问题，其部分译文为：现有甲、乙两人，所带钱数不详，如果甲得到乙的钱数的一半，甲就有了48钱．设甲、乙各带了x钱、y钱，则可列二元一次方程为 ． 【变式3】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 【知识点二】二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解。 【题型 4】已知方程的解求参数值或代数式值 【例题4】（25-26八年级上·陕西西安·月考）若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·月考）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如果是方程的一个解，那么代数式的值是 ． 【变式3】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如果是方程的一组解，求代数式的值． 【题型 5】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 【例题5】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知，用含x的代数式表示y，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·广东珠海·期末）把方程改写成用含y的式子表示x的形式，则 ． 【变式3】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）由可以得到用含x的式子表示y，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型 6】求二元一次方程的整数解 【例题6】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）请写出二元一次方程的一个正整数解： ． 【变式1】（23-24七年级下·湖南永州·月考）关于x、y的二元一次方程的正整数解的对数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·月考）已知方程的一组整数解（均为整数）是，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·月考）写出二元一次方程的一组正整数解 ． 【题型 7】二元一次方程的应用——方案问题 【例题7】随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？ (1)如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元； (2)请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多． 【变式1】（2026七年级下·北京·专题练习）学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2】周末，佳佳的妈妈让她到药店购买口罩和酒精湿巾．已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了40元（两种物品都买），则佳佳的购买方案共有 种，请你写出一种佳佳的购买方案 ． 关键． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）． (1)求写出的关系式； (2)求出所有可能的购买方案； (3)若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 （二）填空题（6题） 7．（2025·浙江台州·二模）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 8．（2025·陕西榆林·一模）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ． 9．（2025·广东珠海·三模）已知方程的一个解为，则 ． 10．（2025·湖南·模拟预测）某文具店购买笔记本和钢笔预算元．笔记本5元/本，钢笔元/支，至少买4支钢笔，个笔记本，则购买方式有 种． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）写出一个以为解的二元一次方程： ． 12．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）． （三）解答题（4题） 13．（2024·上海·模拟预测）求证：方程有无数多解 14．（2025·安徽芜湖·三模）某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 15．（2025·安徽·一模）某电视台在黄金时段的广告时间内，计划插播长度为和的两种广告，广告每播1次收费1万元，广告每播1次收费6000元．若要求每种广告播放不少于2次，插播的广告正好排满． (1)请问电视台两种广告的播放次数是如何安排的？ (2)请你帮电视台选择收益最大播放方式，说明理由． 16．（2023·河北衡水·二模）一堆足够多的棋子，其数目是3的倍数，现在依次进行如下操作： 第一步：将棋子平均分成左、中、右三堆； 第二步：从左堆中取出枚棋子放入中堆，再从右堆中取出枚棋子放入中堆； 第三步：从中堆取出与左堆余留棋子数相等的棋子放入左堆 (1)设这堆棋子数目为3n（n是正整数），若，，回答下列问题 ①第二步完成后，中堆的棋子有______个； ②第三步完成后，中堆的棋子有______个； (2)若题中第三步完成后，中堆棋子共有5枚，求第二步应从左堆、右堆各取多少枚棋子放入中堆？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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