15.3.1等腰三角形及其性质 教学设计2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦等腰三角形及其性质，通过阅兵视频导入，联系生活中轴对称美，衔接已学的三角形、全等三角形及轴对称知识，从定义出发引导学生研究图形性质，搭建从直观到推理的学习支架。 此设计以“观察-猜想-验证-证明”为主线，通过画、量、折等操作培养几何直观，拆分命题严谨证明提升推理能力，轴对称视角再探激发创新意识。例题结合性质应用，助力学生发展空间观念，为教师提供清晰教学思路，高效落实核心素养。

教学设计 学科 数学 年级 八年级上册 章节 第十五章 轴对称 课例名称 §15.3.1等腰三角形及其性质 学习目标 1.经历实验操作、猜想、证明等探究过程，理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的两个性质，体会轴对称图形在研究几何问题中的作用，体会几何图形性质研究的一般思路与方法，发展几何直观和推理能力； 2.经历应用等腰三角形的性质解决问题的过程，掌握等腰三角形的性质，发展空间观念和推理能力； 3.经历用轴对称视角再探等腰三角形的过程，体会运用图形变换视角观察几何图形，得到几何命题猜想的直观性，发展几何直观和创新意识. 教学重点、 难点 教学重点：等腰三角形的性质定理 难点：探索并证明等腰三角形的性质定理 学情分析 学生已经学习了三角形、全等三角形、轴对称等知识，对等腰三角形这一特殊的三角形已有直观的认识；但学生在学习几何命题的题设和结论的区分、形式化证明和符号表达时，需要一定的形象思维能力和逻辑思维能力，特别是在等腰三角形性质二的探究中如何区分题设和结论可能存在一定的困难，同时目前学生对几何图形研究的基本经验还较欠缺，发现、提出问题的能力还有待提高。 教学环节 师生活动 设计意图 一、情境导入 师：同学们，9.3日我们在学校的组织下一同观看了让人热血沸腾的阅兵仪式，现在让我们用一个小视频简短的回顾一下~ 活动1：观看阅兵片段 【预设对话】 师：每次阅兵都惊叹于队伍整齐划一的动作和精妙的结构编排，多么赏心悦目！刚才的视频中更淋漓尽致的体现了生活中的对称美学，那轴对称在数学几何研究中又可以为我们带来怎样的几何之美呢？ 通过阅兵视频激发学生的民族自豪感，同时充分感受生活中轴对称的美，进而引出本节课在数学中对轴对称在几何中的美进行探究。 二、任务探究 师：今天就让我们从最基础的几何图形三角形中的等腰三角形开始研究吧。 活动2：观察并猜想等腰三角形性质 问1：我们可以怎么画出一个等腰三角形呢？ 预设：两条边相等的三角形 师：请大家和老师一起根据定义，在你的本子上画一个等腰三角形【黑板上画等腰三角形，腰用彩色】我们可以由图形的定义得到符合要求的图形，在此基础上，我们进一步研究图形的性质。 问2：大家看看老师手上和黑板上的两个等腰三角形，从研究三角形的边角要素出发，你能发现他们都有什么共同之处吗？ 预设：有两条边相等（这来自于定义） 两个角相等 追问1：你可以怎么验证刚才的猜想是否正确呢？ 预设：量一量，折一折 师：通过测量，可以发现度数似乎确实是一样的，（演示）折叠时让两个底角的一边重合，观察两个角的另一边是否重合，也发现两个角似乎是完全重合的，我们通过实际操作验证刚才的猜想似乎是正确的！ 问3：展开纸片后发现这条折痕好像还经过顶角顶点，结合等腰三角形的定义，你认为这个顶点有什么特殊的位置呢？ 预设：在底边的垂直平分线上 追问1：如果从研究三角形的要素角度出发，我们通过操作发现，顶角顶点在底边的高、中线上，联系三角形研究中的重要线段，你有什么样的疑问？ 预设：也在角平分线上吗？ 追问2：先想象一下，如果要画出顶角的角平分线，可能会在什么位置呢？ 师：请你动手在你练习本上的三角形上画一画验证一下，我看到有同学用不同颜色的笔表示不同的线以示区分，这个方法可太妙了！ 追问3：你有什么发现？ 预设：等腰三角形的高、中线、角平分线重合 追问4：有不同意见吗？可以如何验证呢？请你们试试看 （在同一个三角形上画出腰上的高、中线、角平分线） 追问5：那现在该如何完善之前的表述呢？ 预设：等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线重合 师：至此我们就从研究三角形的边、角、重要线段这些要素对等腰三角形的性质提出了猜想并进行了初步验证，我们已经是以理服人的初中生！所以接下来我们需要进行推理证明。 活动3：证明等腰三角形性质 问4：如何证明两个角相等呢？目前涉及角等的证明方法有哪些？该如何选择？ 预设：全等、角平分线，从要证明的两角的位置可以看出，用全等比较合适 师：请你们试试看证明这个文字命题 【展示学生思路，并口述】 追问1：大家还有别的全等构造方法吗 【不同意见的生答】 问5:这样经过证明得到等腰三角形的第一个性质。请你们继续尝试看看如何证明猜想二呢？ 【展示学生思路】 追问1:不是证明重合吗，为什么你选择先作一条高？ 预设：先有这条线，再去证明 追问2:那你证明的命题其实是哪一个？将哪条线作为条件？ 预设：等腰三角形底边上的高是底边上的中线，顶角的角平分线 追问3:你认为重合应该是什么含义？仅仅只说明底边上的高也是底边上的中线与顶角的角平分线这一条推出另外两条够吗？ 追问4:所以想要证明重合，等价需要证明哪几个命题呢？ 追问5：有哪位同学有证明其余的两个命题？思路是什么？ 【生口答】 师：三个命题经过证明均是正确的，因此猜想二也正确，作为等腰三角形第二个性质 师：至此我们经历观察—猜想—验证—证明得到了等腰三角形要素之间的关系，这也是我们今后研究其他几何图形的一般方法。 活动4：等腰三角形轴对称性再探究 活动4-1：整体轴对称性的研究： 问6：刚才在探究的过程中，相信大家对等腰三角形的整体图形特征也有了比较深刻的感受，从整体看，等腰三角形结构有什么特殊的地方？ 预设：轴对称 追问1:你是怎么得到等腰三角形是轴对称图形的呢？ 预设：折叠 追问2:这也是通过实际操作得到的猜想，接下来要思考，如何证明呢？请你试试看？【独立思考后小组内讨论分享？】 追问3：有什么依据可以证明一个图形是轴对称图形？ 追问4：需要找到一条直线使得直线两侧的两个图形全等，你认为在等腰三角形中可以是哪条直线？ 追问5：如何证明呢？ 活动4-2：轴对称视角再探等腰三角形： 问7：我们也通过严谨的推理证明得到等腰三角形是轴对称图形，结合今天所研究，你可以如何快速画出等腰三角形的对称轴呢？可以进行简化，现在我们用轴对称的视角再次审视刚才画出来的三角形中重要线段，你看看还有什么特殊的发现呢？ 师：分组完善对于三线的研究。 追问1：除了三线以外，从轴对称的视角出发，你还能发现更一般的结论吗？ 追问2：刚才的证明过程中，对称轴将等腰三角形分割成两个全等的直角三角形，即这两个直角三角形关于这条对称轴成轴对称，你还能发现那些具有特殊关系的线段？ 【学生展示】 师：在今天的探究中，发现图形所具有的特殊性质是整个探索环节中最困难的部分，除了可以从图形要素外，若用轴对称性的视角观察等腰三角形时，则可以帮助我们得到很多直观的猜想再进一步进行思考，当然在解决问题中同样也可以发挥很关键的作用。 我们来试试看 通过操作：画等腰三角形，回顾定义，并提出由定义出发研究性质，明确研究一类新图形通常由定义出发； 通过观察两类等腰三角形，直观发现等腰三角形中两个底角特殊的数量关系，明确研究一类新图形从组成图形的边、角等要素入手； 通过验证活动，直观感受折痕与等腰三角形底边的关系，进而提出问题，顺其自然地开展下一步探究 通过想象并在一个三角形中画出底边的高、中线、顶角角平分线的活动，直观感受三线之间的特殊关系，得到猜想 通过设问理清证明等腰三角形两底角相等的思路，为后续进一步证明三线合一做铺垫 通过追问理清“重合”含义，进而对猜想二进行命题拆分并完成证明，体现证明的完备性 对直观得到的等腰三角形的轴对称性进行推理证明，感受数学的严谨性 通过轴对称视角再探等腰三角形，从中发现更为一般的结论，感受从图形变换角度能直观得到猜想提出问题，为后续其他图形开展研究奠定基础 三、典例精析 例题： 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．试探究线段BE和CD的数量关系． 问：在解决这道题的过程中，由条件分析得到辅助线做法的过程，对你今后解决问题有什么启发？ 通过例题再次感受等腰三角形三线的特殊性，关注轴对称性在解题思路指引上的作用 四、课堂小结 1.回顾今天的研究，说说你对等腰三角形的认识 2.你认为可以如何对一个新图形开展研究？ 四、作业布置 五、板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $