专题7.2 平行线（5大知识点+ 9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

本讲义系统梳理平行线的核心知识点，从概念（同一平面内不相交）、位置关系（相交或平行）到平行公理及推论，再到判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等）和性质（平行推角关系），构建从基础到应用的完整学习支架。 资料以分层题型（基础、培优、压轴）设计为特色，融入生活情境（如道路拐弯、台灯设计）和动态探究题，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过“三线八角”模型识别、辅助线添加等方法发展推理能力，课中助力分层教学，课后易错点与练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题7.2 平行线 知识点1：平行线的概念与平面内直线的位置关系 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作，读作“平行于”。 2.位置关系：同一平面内不重合的两条直线，只有相交和平行两种位置关系（重合视为同一条直线）。 3.注意：线段或射线平行，指它们所在的直线平行。 知识点2：平行公理及其推论 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（强调“直线外”，直线上点无法作平行线）。 2.推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即若，，则。 知识点3：平行线的判定方法 判定方法 文字语言 符号语言（图示：直线、被直线所截） 图形特征 判定1 同位角相等，两直线平行 若，则 “F”型 判定2 内错角相等，两直线平行 若，则 “Z”型 判定3 同旁内角互补，两直线平行 若，则 “U”型 判定4 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 若，，则 均与截线成 知识点4：平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 核心作用 性质1 两直线平行，同位角相等 由平行推角相等 性质2 两直线平行，内错角相等 由平行推角相等 性质3 两直线平行，同旁内角互补 由平行推角互补 知识点5：平行线的判定与性质的区别 类别 前提条件 核心结论 逻辑关系 判定 角的数量关系（相等/互补） 直线的位置关系（平行） 由角定线 性质 直线的位置关系（平行） 角的数量关系（相等/互补） 由线定角 【基础必考题型】 【题型1】平行线的概念与位置关系判断 1.核心知识点 平行线的定义（同一平面内、不相交）； 平面内直线的位置关系（相交、平行）。 2.解题方法技巧 抓关键条件：判断时必提“同一平面内”，排除异面直线情况； 区分图形：线段/射线平行需转化为所在直线平行，不直接看线段/射线是否相交。 【例题1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【变式题1-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）正方体中，与某一条棱在同一平面的平行棱有 条． 【变式题1-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有 条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相 ． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】平行公理及其推论的应用 1.核心知识点 平行公理（过直线外一点有且只有一条平行线）； 平行线的传递性。 2.解题方法技巧 验证“直线外”：判断过点作平行线是否成立，先看点是否在直线上； 传递性应用：多线平行时，通过中间直线建立平行关系，如由、得。 【例题2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 【变式题2-1】.（24-25七年级上·全国·课后作业）若直线，，则的依据是 ． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·周测）如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ． 【变式题2-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【题型3】平行线的判定 1.核心知识点 同位角、内错角、同旁内角的识别； 平行线的判定方法（判定1-3）。 2.解题方法技巧 定三线：先找截线（公共边），再定被截直线； 套模型：用“F/Z/U”型匹配角的类型，再根据角的关系判定平行。 【例题3】.（25-26七年级上·福建宁德·期末）如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，，与相交于点，，试判断，是否平行，并说明理由． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在的延长线上，给出下列条件： ； ： ； ．其中能判定的有 ．（填序号） 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【题型4】平行线的性质 1.核心知识点 平行线的性质1-3； 对顶角、邻补角的性质。 2.解题方法技巧 见平行想性质：已知两直线平行，优先找同位角、内错角或同旁内角； 结合基础角关系：通过对顶角相等、邻补角互补转化角度，再应用性质。 【例题4】.（2026七年级下·北京·专题练习）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，中，点在边上，点分别在边和上，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，平分，，，求，，的度数． 【培优高频题型】 【题型5】开放性问题（添加条件/结论） 1.核心知识点 平行线的判定与性质； 开放性思维（多条件/多结论）。 2.解题方法技巧 添加条件型：根据目标结论（如），逆向推导需补充的角关系（如同位角相等、内错角相等）； 补充结论型：已知平行关系，推导可能的角关系、线段关系，确保结论唯一且符合逻辑。 【例题5】.（24-25七年级下·福建福州·期中）如图所示，添加一个条件后可得，则添加的这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，B，C，E三点在同一条直线上，要使，需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，添加一个条件即可）． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，点在的延长线上，请添加一个的条件能判断，你添加的条件是： ． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型6】平行线的性质与判定综合应用 1.核心知识点 平行线的判定与性质（双向逻辑）； 角度的等量代换与等式性质。 2.解题方法技巧 区分逻辑：先由角关系判定平行（判定），再由平行推新角关系（性质），即“先定线，再推角”； 标注图形：将已知角、推导角标注在图中，清晰呈现逻辑链条。 【例题6】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，点，分别在，上，分别交，于点，，，，且．试说明：． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，平分，，．求的度数． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，，平分，平分 ． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【变式题6-3】.（20252026学年度第一学期期末学情分析样题七年级数学）如图，点F在上，． (1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，试说明． 【压轴素养题型】 【题型7】生活情境中的平行线问题 1.核心知识点 平行线的判定与性质； 实际情境的几何建模。 2.解题方法技巧 建模转化：将生活场景（如道路拐弯、镜面反射、工具测量）转化为几何图形，明确截线与被截直线； 结合实际意义：角度计算需符合实际情境（如拐弯角度为正、反射角等于入射角）。 【例题7】.（23-24七年级下·山西朔州·月考）如图，一条公路修在湖边时，需要拐弯绕道而过，第一次的拐角，第二次的拐角，第三次的拐角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为 ． 【变式题7-1】.（24-25六年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一个可折叠台灯，图2是台灯的示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，支架可以绕点旋转，从而调节灯光照射方向，已知灯体顶角，的平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，请你求出此时的度数．         【变式题7-2】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，线段和表示两面镜子，且直线直线，光线经过镜子反射到镜子，最后反射到光线光线反射时，，，下列结论： 直线直线； 的角平分线所在的直线垂直于直线； 如果，那么； 当直线绕点顺时针旋转，直线绕点顺时针旋转时，直线与直线不平行． 其中正确的是 ． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置，常用于潜水艇，坑道和坦克内观察敌情．如图，潜望镜中的两面镜子和是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行，将证明过程补充完整． 证明：∵（已知） ∴，（____________） ∵，，（已知） ∴，（____________） ∵， ______，（平角的定义） ∴，， ∴，（等量代换） ∴．（____________） 【题型8】添加辅助线解决平行线中的折线问题 1.核心知识点 平行线的性质与判定； 辅助线的添加技巧（过拐点作平行线）。 2.解题方法技巧 拐点作平行：过折线的拐点作已知平行线的平行线，构造“三线八角”模型； 分步应用性质：新作平行线与原平行线分别应用性质，通过中间角建立已知角与未知角的关系。 【例题8】.（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【变式题8-1】.（25-26七年级上·山东济南·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则________°； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·山东济南·期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据所学知识完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据，同时完成（2）． (1)过点作． ，， ____________， ______（           ）， 又 ， ， 又， ______． (2)如图2，现有含角的直角三角板，含角的直角三角板，将这一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，直角三角板的斜边与纸条一边重合，直角三角板的顶点在纸条的另一边上，点与点重合，求的度数． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若 ，请直接写出的度数． 【题型9】平行线中的动态探究题 1.核心知识点 平行线的判定与性质； 动态几何的角度变化规律。 2.解题方法技巧 定基准状态：分析旋转前的角度关系，确定初始平行条件； 表变化规律：设旋转时间为，用表示旋转角度，结合平行条件列方程求解。 【例题9】.（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，射线平行射线，点、分别在射线、射线上，点是射线上的一个动点，点是射线上的一个动点，且．    (1)求证：． (2)如图1，当点在点A处，点在点左侧，若平分，，，求的度数． (3)如图2，当点在点A上方，点沿射线从左向右运动时（点不与点重合），求、、之间的关系． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·广东广州·期中）灯光秀是广州珠江夜游的靓丽风景线，假定河两岸，桥，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯O转动的速度分别是1度/秒、3度/秒． (1)若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点 ①如图1，若，则需要______秒； ②如图2，在射线线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由； (2)若灯A射线先转动30秒后，灯O射线才开始转动，在灯A射线第一次到达之前，求灯O射线转动多少秒，两灯的光束互相平行． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． AI (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 易错点 1.忽略平行线定义的“同一平面内”前提，误将异面直线判定为平行或相交； 2.混淆平行线的判定与性质，如由“两直线平行”推出“同位角相等”时，误写判定依据； 3.识别角时找错截线与被截直线，导致角的类型判断错误（如同位角误判为内错角）； 4.动态问题中未考虑旋转方向、拐点位置，导致漏解； 5.添加辅助线时未说明辅助线作法，或作法错误（如过拐点作非平行线）。 重点 1.掌握平行线的定义、平行公理及其推论，能准确判断直线位置关系； 2.熟练运用平行线的判定方法（4种）判定两直线平行，能识别“三线八角”； 3.熟练运用平行线的性质（3种）推导角度关系，解决角度计算问题； 4.能综合运用判定与性质解决中等难度的几何题，明确“由角定线”“由线定角”的逻辑； 5.掌握过拐点作辅助线的技巧，解决平行线中的折线问题。 难点 1.复杂图形中“三线八角”的识别，能拆分基本模型、排除干扰线； 2.平行线的判定与性质的综合应用，能构建“角关系→平行→新角关系”的逻辑链条； 3.动态几何与跨学科情境题的建模，能将非数学场景转化为几何问题； 4.开放性与规律探究题的解答，能逆向推导条件或归纳通用规律； 5.辅助线的添加与应用，能根据题目特征选择合适的辅助线（如过拐点作平行）。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A． B． C． D． 2．“榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，直线交于点，直线，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，点是直线上一点，平分，，，若再添加一个条件，仍不能判定，则添加的条件可能是（　　） A．平分 B． C． D． 5．如图所示，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 度． 7．书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为 ． 8．如图，直线被所截，且，平分，若，则 °． 9．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ． 10．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为 ． 三、解答题 11．如图，已知，． 求证：．请将下面证明过程补充完整： 证明：（已知） （①___________） 又（②___________） ③_____（同角的补角相等） ，（④___________） （⑤___________） 12．已知：如图所示，，垂足为，且点在直线上，与直线相交于点，．说明的理由． 13．如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 14．如图所示，直线，被直线所截，且，，试说明：． 15．线段与线段互相平行，是平面内的一点，且点不在直线，上，连接，．射线，分别是和的平分线． (1)若点在线段上，如图所示． ①依题意补全下图； ②判断与的位置关系，并证明． (2)是否存在点，使？若存在，写出，需要满足的关系，并证明满足这种关系时，；若不存在，说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 平行线 知识点1：平行线的概念与平面内直线的位置关系 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作，读作“平行于”。 2.位置关系：同一平面内不重合的两条直线，只有相交和平行两种位置关系（重合视为同一条直线）。 3.注意：线段或射线平行，指它们所在的直线平行。 知识点2：平行公理及其推论 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（强调“直线外”，直线上点无法作平行线）。 2.推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即若，，则。 知识点3：平行线的判定方法 判定方法 文字语言 符号语言（图示：直线、被直线所截） 图形特征 判定1 同位角相等，两直线平行 若，则 “F”型 判定2 内错角相等，两直线平行 若，则 “Z”型 判定3 同旁内角互补，两直线平行 若，则 “U”型 判定4 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 若，，则 均与截线成 知识点4：平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 核心作用 性质1 两直线平行，同位角相等 由平行推角相等 性质2 两直线平行，内错角相等 由平行推角相等 性质3 两直线平行，同旁内角互补 由平行推角互补 知识点5：平行线的判定与性质的区别 类别 前提条件 核心结论 逻辑关系 判定 角的数量关系（相等/互补） 直线的位置关系（平行） 由角定线 性质 直线的位置关系（平行） 角的数量关系（相等/互补） 由线定角 【基础必考题型】 【题型1】平行线的概念与位置关系判断 1.核心知识点 平行线的定义（同一平面内、不相交）； 平面内直线的位置关系（相交、平行）。 2.解题方法技巧 抓关键条件：判断时必提“同一平面内”，排除异面直线情况； 区分图形：线段/射线平行需转化为所在直线平行，不直接看线段/射线是否相交。 【例题1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，根据初中数学教材中的相关概念判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系为平行或相交，重合的直线视为同一条直线，不属于两条不同直线的位置关系． ∴两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：C． 【变式题1-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）正方体中，与某一条棱在同一平面的平行棱有 条． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．正方体中每条棱属于两个面，在每个面中，存在一条对边与给定棱平行且共面，因此满足条件的棱有两条． 【详解】解：设给定棱为．在正方体中，棱同时属于两个面，例如面和面． 在面中，棱与平行且共面； 在面中，棱与平行且共面． 不存在其他棱与既平行又共面． 故答案为． 【变式题1-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有 条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相 ． 【答案】 3 垂直 【分析】本题考查了正方体的结构特征，熟练掌握基本特征是解题的关键 根据正方体的结构特征，其12条棱分为3组互相平行的棱，每组4条；每个顶点处的三条棱两两垂直。 【详解】正方体的12条棱可分为3组，每组4条棱互相平行，因此每条棱有且仅有3条棱与它平行；与同一个顶点相连的三条棱互相垂直． 故答案为：3，垂直； 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：∵选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D． 故选：D． 【题型2】平行公理及其推论的应用 1.核心知识点 平行公理（过直线外一点有且只有一条平行线）； 平行线的传递性。 2.解题方法技巧 验证“直线外”：判断过点作平行线是否成立，先看点是否在直线上； 传递性应用：多线平行时，通过中间直线建立平行关系，如由、得。 【例题2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定公理，明确各选项对应的知识点是解题关键． 【详解】解：∵已知，， ∴根据“平行于同一直线的两条直线平行”这一公理，可推出， ∴这个推理的依据是：平行于同一直线的两条直线平行， 故选：D． 【变式题2-1】.（24-25七年级上·全国·课后作业）若直线，，则的依据是 ． 【答案】如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行公理推论即可求解，掌握平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：若直线，，则的依据是如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·周测）如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式题2-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【答案】② 【分析】本题主要考查了对顶角定义，平行公理应用，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的定义、平行公理及推论，对顶角性质．根据对顶角性质，平行线的概念、平行公理及推论，逐项进行判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②根据平行公理的推论可知：如果，，那么，故②正确； ③相等的角不一定是对顶角，故③错误； ④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，故④错误； 综上分析可知：正确的是②． 故答案为：②． 【题型3】平行线的判定 1.核心知识点 同位角、内错角、同旁内角的识别； 平行线的判定方法（判定1-3）。 2.解题方法技巧 定三线：先找截线（公共边），再定被截直线； 套模型：用“F/Z/U”型匹配角的类型，再根据角的关系判定平行。 【例题3】.（25-26七年级上·福建宁德·期末）如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解： 与是内错角，且， 要使，则， 故选：A． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，，与相交于点，，试判断，是否平行，并说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①同旁内角互补，两直线平行，②两直线平行，同位角相等． 根据题意，等量代换得到，再根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：平行，理由如下： ，， ． ， ， （内错角相等，两直线平行）． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在的延长线上，给出下列条件： ； ： ； ．其中能判定的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 逐一判断条件是否能得到即可． 【详解】解：，，故①不符合题意； ，，故②符合题意； ，得不出任何平行，故③不符合题意； ，，故④符合题意； 故答案为：②④． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据图形可知：和互为同旁内角，和互为内错角，和互为同位角，然后结合平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：①通过度量的度数，若满足， 根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论； ②通过度量的度数，若满足， 根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论； ③通过度量的度数，若满足， 根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论． 【题型4】平行线的性质 1.核心知识点 平行线的性质1-3； 对顶角、邻补角的性质。 2.解题方法技巧 见平行想性质：已知两直线平行，优先找同位角、内错角或同旁内角； 结合基础角关系：通过对顶角相等、邻补角互补转化角度，再应用性质。 【例题4】.（2026七年级下·北京·专题练习）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的等量关系，再结合三角形外角定理进行计算． 先根据平行线的性质得到内错角相等，再利用三角形外角等于不相邻两内角之和，计算出的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查两直线平行的判定与性质，直线平行的传递性，作合适的辅助线是解题的关键． 过作，由平行的性质可得，进而得到，即，再由平行的传递性可得． 【详解】解：过作， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ． 故选：C． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，中，点在边上，点分别在边和上，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质与判定定理的综合应用，关键是通过平行线的性质实现角的等量代换，再利用平行线的判定定理推导出直线的平行关系． 【详解】解：，理由如下： ∵(已知)， ∴(两直线平行，同位角相等)， 又∵(已知)， ∴(等量代换)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，平分，，，求，，的度数． 【答案】；； 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质即可求出． 【详解】解：， ． 平分， ． ， 【培优高频题型】 【题型5】开放性问题（添加条件/结论） 1.核心知识点 平行线的判定与性质； 开放性思维（多条件/多结论）。 2.解题方法技巧 添加条件型：根据目标结论（如），逆向推导需补充的角关系（如同位角相等、内错角相等）； 补充结论型：已知平行关系，推导可能的角关系、线段关系，确保结论唯一且符合逻辑。 【例题5】.（24-25七年级下·福建福州·期中）如图所示，添加一个条件后可得，则添加的这个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知同旁内角互补，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； C、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，不能得到，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，B，C，E三点在同一条直线上，要使，需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，添加一个条件即可）． 【答案】（或或或） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握判定两直线平行的方法． 利用内错角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴； ②， ∴； ③， ∴； ④， ∴； 故答案为：（或或或）． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，点在的延长线上，请添加一个的条件能判断，你添加的条件是： ． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，涉及内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行等知识，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：当时， 由内错角相等，两直线平行，即可得到； 当时， 由同位角相等，两直线平行，即可得到； 当时， 由同旁内角互补，两直线平行，即可得到； 故答案为：或或（答案不唯一） 【变式题5-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，明确内错角的定义是解题的关键． 根据内错角相等两直线平行，确定是的内错角即可． 【详解】由图可知，是的内错角， 若，则． 故答案为：C． 【题型6】平行线的性质与判定综合应用 1.核心知识点 平行线的判定与性质（双向逻辑）； 角度的等量代换与等式性质。 2.解题方法技巧 区分逻辑：先由角关系判定平行（判定），再由平行推新角关系（性质），即“先定线，再推角”； 标注图形：将已知角、推导角标注在图中，清晰呈现逻辑链条。 【例题6】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，点，分别在，上，分别交，于点，，，，且．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质及判定，关键是灵活应用知识点进行论证；根据角的关系得出， 进而可得，则得以论证． 【详解】证明：，， ， ， ， 又， ， ， ． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，平分，，．求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再根据垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ． 平分， ． ， ， 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，，平分，平分 ． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义，结合已知得到，然后根据平行线的判定可得结论； （2）先求得，再证明，利用平行线的性质求得，再根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分 ； （2）解： ， 平分 ． 【变式题6-3】.（20252026学年度第一学期期末学情分析样题七年级数学）如图，点F在上，． (1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，试说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图（作一个角等于已知角），平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的尺规作图及平行线的判定与性质是关键． （1）根据尺规作图（作一个角等于已知角），作，根据平行线的判定，可得； （2）由，可得，所以，再根据，可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，线段就是所求作的线段； （2）解：， ， ， 由（1）得，， ， ． 【压轴素养题型】 【题型7】生活情境中的平行线问题 1.核心知识点 平行线的判定与性质； 实际情境的几何建模。 2.解题方法技巧 建模转化：将生活场景（如道路拐弯、镜面反射、工具测量）转化为几何图形，明确截线与被截直线； 结合实际意义：角度计算需符合实际情境（如拐弯角度为正、反射角等于入射角）。 【例题7】.（23-24七年级下·山西朔州·月考）如图，一条公路修在湖边时，需要拐弯绕道而过，第一次的拐角，第二次的拐角，第三次的拐角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】如图，过点B作． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（24-25六年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一个可折叠台灯，图2是台灯的示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，支架可以绕点旋转，从而调节灯光照射方向，已知灯体顶角，的平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，请你求出此时的度数．         【答案】 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质，垂直定义，是解题关键． 由角平分线定义求得，再根据垂直定义可得，即可求得；根据平行线的性质可求． 【详解】解：∵平分，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，线段和表示两面镜子，且直线直线，光线经过镜子反射到镜子，最后反射到光线光线反射时，，，下列结论： 直线直线； 的角平分线所在的直线垂直于直线； 如果，那么； 当直线绕点顺时针旋转，直线绕点顺时针旋转时，直线与直线不平行． 其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题综合考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义等相关知识，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由平行线的性质和判定结合角平分线的定义推理逐一判断各个结论即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， 故结论①正确； 如图，过点作的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故结论②正确； ，， ， ， ， 故结论③正确； 如图2，， ， ， 同理可得， ， ， ， 故结论④不正确； 综上所述，结论①②③正确， 故答案为：①②③． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置，常用于潜水艇，坑道和坦克内观察敌情．如图，潜望镜中的两面镜子和是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行，将证明过程补充完整． 证明：∵（已知） ∴，（____________） ∵，，（已知） ∴，（____________） ∵， ______，（平角的定义） ∴，， ∴，（等量代换） ∴．（____________） 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；；；；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质的综合应用；读懂每步推理，结合平行线的判定与性质即可完成． 【详解】解：∵（已知） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，，（已知） ∴，（等量代换） ∵，，（平角的定义） ∴，， ∴，（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；；；；内错角相等，两直线平行． 【题型8】添加辅助线解决平行线中的折线问题 1.核心知识点 平行线的性质与判定； 辅助线的添加技巧（过拐点作平行线）。 2.解题方法技巧 拐点作平行：过折线的拐点作已知平行线的平行线，构造“三线八角”模型； 分步应用性质：新作平行线与原平行线分别应用性质，通过中间角建立已知角与未知角的关系。 【例题8】.（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析；；见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的定义、角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义可得的度数； （2）综合应用平行线的性质及判定论证即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·山东济南·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则________°； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)； (2)与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的性质及“拐点”模型的应用，核心是通过构造平行线将分散的角进行转化，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质解决角度计算问题． （1）过拐点作平行线，通过平行线的性质推导得出，代入的度数即可求解； （2）通过作辅助线平行于和，将相关的角分解为与、相关的角，结合平行线性质求出锐角度数． 【详解】（1）解：如图，过的顶点作直线平行于支撑平台． ∵工作篮底部∥支撑平台，支撑平台， ∴工作篮底部． ∵支撑平台， ∴． ∵工作篮底部， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，过点作， ， ， ∵顶部支架与灯杆所成锐角， ， ∵顶部支架与灯杆所成锐角， ， ， ， ． 答：与所成锐角的度数为． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·山东济南·期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据所学知识完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据，同时完成（2）． (1)过点作． ，， ____________， ______（           ）， 又 ， ， 又， ______． (2)如图2，现有含角的直角三角板，含角的直角三角板，将这一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，直角三角板的斜边与纸条一边重合，直角三角板的顶点在纸条的另一边上，点与点重合，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，根据两直线平行，内错角相等得到，，再由角的和差关系可得答案； （2）过点作，则，证明，得到，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作． ，， ， （两直线平行，内错角相等）， 又 ， ， 又， ； （2）解：如图，过点作， ， ， ， ， ∵， ， ． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若 ，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换求解即可． （2）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换证明即可． （3）设，，则，，，同理，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得， ∴． 【题型9】平行线中的动态探究题 1.核心知识点 平行线的判定与性质； 动态几何的角度变化规律。 2.解题方法技巧 定基准状态：分析旋转前的角度关系，确定初始平行条件； 表变化规律：设旋转时间为，用表示旋转角度，结合平行条件列方程求解。 【例题9】.（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，射线平行射线，点、分别在射线、射线上，点是射线上的一个动点，点是射线上的一个动点，且．    (1)求证：． (2)如图1，当点在点A处，点在点左侧，若平分，，，求的度数． (3)如图2，当点在点A上方，点沿射线从左向右运动时（点不与点重合），求、、之间的关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是利用平行线的性质及判定，结合角平分线等知识进行角的推导与关系探究． （1）利用得角的关系，结合，通过同旁内角互补（方法一）或内错角相等（方法二），判定． （2）先由和度数求，再依据角平分线得，结合与求，最后用三角形内角和算；或作，利用平行线传递性及角的传递，结合角平分线求出． （3）作，根据得，利用平行线性质得到角的等量关系，再分点在左侧、右侧（与有交点、无交点）三种情况，推导、、的关系． 【详解】（1）方法一：， ， ， ， ； 方法二：， ， ， ， ； （2）方法一：，， ， 平分， ， ， ， 在中，， 方法二：过点作，   ， ， ，， ，， ， 平分， ， ； （3）过点作， ， 当点在点左侧时   ； 当点在点右侧，且与有交点时   ； 当点在点右侧，且与无交点时   ； 综上：或或． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·广东广州·期中）灯光秀是广州珠江夜游的靓丽风景线，假定河两岸，桥，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯O转动的速度分别是1度/秒、3度/秒． (1)若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点 ①如图1，若，则需要______秒； ②如图2，在射线线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由； (2)若灯A射线先转动30秒后，灯O射线才开始转动，在灯A射线第一次到达之前，求灯O射线转动多少秒，两灯的光束互相平行． 【答案】(1)①45；②， (2)15或秒 【分析】本题主要考查了角的计算以及平行线的性质，正确的用运动时间表示角的大小是本题解题的关键． （1）先计算t的取值范围， ①确定的次数，用t表示出和，根据两角互余求出t值即可； ②延长交于M，延长交于N，用t表示出和，用k和t表示出，根据与t无关，求出k值以及的度数； （2）先确定t的取值范围，确定开始开始运动时的位置，然后根据平行线的性质，依次判断当两射线平行时的t值． 【详解】（1）解：当灯O射线第一次到达时，秒， ， ①当灯O射线到达时，， 当，C在右侧，且只有一种情况， 运动过程中，，， ， ，， ，， ， 即， 解得：； 故答案为：45； ②延长交于N，如图： ，， ， ， ， ， 为定值， ， ，； （2）当开始运动时，， 设运动了a秒，灯A射线第一次到达时，， 设灯A射线为，灯O射线为， 当时，在右侧，如图： ， ， ， ， 即， 解得：； 当时，在左侧，如图： ， ， ， 即， 解得：； 当时，在左侧，如图， 同理可得，， 即， 解得：，不符合题意； 综上所述，灯O射线转动15或秒，两灯的光束互相平行． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】【操作拼图】；【问题探究】或；【拓展延伸】，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确判断角的数量关系是本题解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）根据，的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵与直线重合， ∴， ∵， ∴ 故答案为：75； （2）三角板以每秒的速度顺时针旋转t秒后， ，， ， ； ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，t的值为9或17； （3）∵三角板顺时针旋转，三角板逆时针旋转， ∴，， 当时， ∵，， 又， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得， 综上，t的值为5，10或20． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． AI (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当当转到之前时，构建方程即可解决问题．当落在射线上时返回，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， 当转到之前时 ， ， ， ， ， ， 当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 在旋转过程中，若边，t的值为或； ②当转到之前时 绕点B旋转，平分的角平分线， ， ； 绕点E旋转，平分 ， 当时 ∵ ∴ 即 解得：；      当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 如图 ，， 当时 ， ∵ ∴， ∵ 即 解得：； 易错点 1.忽略平行线定义的“同一平面内”前提，误将异面直线判定为平行或相交； 2.混淆平行线的判定与性质，如由“两直线平行”推出“同位角相等”时，误写判定依据； 3.识别角时找错截线与被截直线，导致角的类型判断错误（如同位角误判为内错角）； 4.动态问题中未考虑旋转方向、拐点位置，导致漏解； 5.添加辅助线时未说明辅助线作法，或作法错误（如过拐点作非平行线）。 重点 1.掌握平行线的定义、平行公理及其推论，能准确判断直线位置关系； 2.熟练运用平行线的判定方法（4种）判定两直线平行，能识别“三线八角”； 3.熟练运用平行线的性质（3种）推导角度关系，解决角度计算问题； 4.能综合运用判定与性质解决中等难度的几何题，明确“由角定线”“由线定角”的逻辑； 5.掌握过拐点作辅助线的技巧，解决平行线中的折线问题。 难点 1.复杂图形中“三线八角”的识别，能拆分基本模型、排除干扰线； 2.平行线的判定与性质的综合应用，能构建“角关系→平行→新角关系”的逻辑链条； 3.动态几何与跨学科情境题的建模，能将非数学场景转化为几何问题； 4.开放性与规律探究题的解答，能逆向推导条件或归纳通用规律； 5.辅助线的添加与应用，能根据题目特征选择合适的辅助线（如过拐点作平行）。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定、平角定义，利用即可求解． 【详解】解：如图，，，则， 当，， 故选：C． 2．“榫卯”是采用凹凸部分相结合的一种连接方式．如图是某种“榫”构件的截面图，其中，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：C． 3．如图，，直线交于点，直线，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和垂直的性质．根据平行线的性质，得到，进而求出的度数，最后根据垂直的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：． 4．如图，点是直线上一点，平分，，，若再添加一个条件，仍不能判定，则添加的条件可能是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键．根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.当平分，不能得出，故A选项符合题意； B. 当时， ∵平分， ∴ ∵ ∴，故B选项不符合题意， C.∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴，故C选项不符合题意， D.∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴，故D选项不符合题意， 故选：A． 5．如图所示，点在的延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），本选项不符合题意； B、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，本选项符合题意； C、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），本选项不符合题意； D、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 6．用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质；关键是利用数形结合的思想解题；根据对顶角的性质和平行线的性质，可以求得的度数，从而可以得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意，分别过点D和点E作的平行线，得到，则，由平行线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：分别过点D和点E作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，直线被所截，且，平分，若，则 °． 【答案】58 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，根据平行线的性质及角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：58． 9．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为 ． 【答案】/64度 【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质． 根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， 水面与槽底平行， ； 故答案为：． 三、解答题 11．如图，已知，． 求证：．请将下面证明过程补充完整： 证明：（已知） （①___________） 又（②___________） ③_____（同角的补角相等） ，（④___________） （⑤___________） 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据证明过程，写出得到的结论或所需条件即可． 【详解】证明：（已知） （①两直线平行，同旁内角互补） 又（②已知） ③（同角的补角相等） ，（④内错角相等，两直线平行） （⑤两直线平行，同位角相等） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 12．已知：如图所示，，垂足为，且点在直线上，与直线相交于点，．说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，根据同角的余角相等得出，再根据同位角相等，两直线平行，即可得出． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直的概念），即． 又因为（已知）， 所以（同角的余角相等）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 13．如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 求出，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， 理由：平分，， ， ， ， ． 14．如图所示，直线，被直线所截，且，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，关键是灵活应用平行线的性质及判定；根据可得，结合可得，则可证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 15．线段与线段互相平行，是平面内的一点，且点不在直线，上，连接，．射线，分别是和的平分线． (1)若点在线段上，如图所示． ①依题意补全下图； ②判断与的位置关系，并证明． (2)是否存在点，使？若存在，写出，需要满足的关系，并证明满足这种关系时，；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)存在，，证明见解析． 【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②根据平行线的性质及判定进行论证即可； （2）根据平行线的性质及判定进行论证即可． 【详解】（1））解：①先连接，再在上取一点，然后分别作和的平分线，如图①所示： ②； 证明：平分，平分， ，． ， ， ， ； （2）答：当点在直线上，位于与两平行线之外， 时，， 证明：如图②所示， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的定义是解题关键． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $