专题7.1 相交线（6大知识点+ 9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

本初中数学讲义聚焦“相交线”核心知识，系统梳理邻补角与对顶角的定义及性质、垂线的定义与性质、垂线段与点到直线的距离、三线八角的识别等内容，构建从概念到性质再到计算应用的学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，基础题巩固定义识别与基础计算，培优题结合方程思想与角平分线综合应用，压轴题融入最短路径与规律探究。通过“F/Z/U型”模型识别三线八角等方法，培养学生用数学眼光观察图形、用数学思维分析问题的能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题7.1 相交线 知识点1：邻补角与对顶角 知识点 定义 示例 邻补角 两条直线相交形成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角 对顶角 两条直线相交形成的四个角中，没有公共边且两边分别互为反向延长线的两个角 知识点2：邻补角与对顶角的性质 角的类型 核心性质 数量关系 图形特征 邻补角 互为补角 有一条公共边，另一边反向延长 对顶角 对顶角相等 无公共边，两边均反向延长 知识点3：垂线的定义与性质 1.定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（）时，这两条直线互相垂直，记作，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 2.性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3.性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 知识点4：垂线段与点到直线的距离 1.垂线段：从直线外一点向已知直线作垂线，点到垂足之间的线段叫做垂线段（如CD）。 2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度(如d)，叫做点到直线的距离。 知识点5：两条直线被第三条直线所截形成的角（三线八角） 1.基本概念：两条直线、被第三条直线（截线）所截，形成8个角，统称“三线八角”。 2.三类角的定义与特征（核心）： 角的类型 位置特征 图形识别技巧 同位角 截线同旁，被截两直线同侧 呈“F”型（） 内错角 截线两旁，被截两直线之间 呈“Z”型（） 同旁内角 截线同旁，被截两直线之间 呈“U”型（） 3.注意事项：三类角仅由位置关系定义，与角的大小无关；识别时需先明确“截线”和“被截直线”。 知识点6：相交线与三线八角的计算核心 1.基本依据：邻补角互补、对顶角相等、垂直的定义（）、三线八角的位置关系。 2.计算思路：先确定角的类型，再结合性质建立等量关系，复杂情况用方程求解。 【基础必考题型】 【题型1】邻补角与对顶角的识别与计数 1.核心知识点 邻补角、对顶角的定义； 相交线的图形特征。 2.解题方法技巧 抓特征：邻补角“共边反向”，对顶角“无共边双反向”； 有序计数：按顶点、按边依次排查，避免重复或遗漏。 【例题1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（23-24七年级下·广西柳州·期中）下列各图中，和是邻补角的是（   ） A． B． B． C． D． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式题1-3】.（2025七年级上·江苏南京·专题练习）平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有 对． 【题型2】邻补角与对顶角的基础角度计算 1.核心知识点 邻补角互补（和为）； 对顶角相等。 2.解题方法技巧 对顶角直接等量代换； 邻补角用减已知角，一步求解。 【例题2】.（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，折叠晾衣架展开后，两根支架和交叉于点是支架形成的一个角，如果把晾衣架再撑开一点，让增加，则会（    ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 【变式题2-1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙角的度数，小莉分别延长、至点、，测得，则 ． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，，两两相交，，，求的度数． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下面命题及说理过程，在括号内填上推理的依据． 命题：如图所示，直线，相交于点，那么． 理由：因为(________)， (________)， 所以(________)， 所以(________)． 【题型3】垂线的定义与基础计算 1.核心知识点 垂直的定义（）； 邻补角与垂线的结合。 2.解题方法技巧 见垂直写直角，直接关联； 结合邻补角推导，快速完成角度换算。 【例题3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与直线相交于点O，，若过点作，则的度数为 ． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 【题型4】三线八角的识别 1.核心知识点 同位角、内错角、同旁内角的定义； 三线八角的图形特征（F/Z/U型）。 2.解题方法技巧 定三线：先找截线（公共边），再定被截直线； 套模型：用“F/Z/U”型快速匹配角的类型。 【例题4】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，用数字标注的角中，共有四对内错角，请把它们一一写出，并说明它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？ 【变式题4-2】.（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】点到直线的距离的识别与判断 1.核心知识点 垂线段的定义； 点到直线的距离的概念。 2.解题方法技巧 找垂线段：锁定直线外一点与垂足间的线段； 辨概念：距离是“长度”，非线段本身，区分几何图形与数量表述。 【例题5】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【变式题5-2】.（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【变式题5-3】.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若， ，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【培优高频题型】 【题型6】含字母的相交线角度计算 1.核心知识点 邻补角互补、对顶角相等； 一元一次方程的应用。 2.解题方法技巧 设未知：用表示核心角，关联其他角； 列方程：以或为等量关系，求解后验证合理性。 【例题6】.（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，点，，在一条直线上，已知，则的度数为 ． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，相交于点，已知，把分成两个角，且，求的度数． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图所示，直线，相交于点，，平分，则的度数为 ． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线相交于点的余角比小，回答下列问题： （1） ； （2）若从点向直线右侧引出一条射线，当时， （题中所说的角均是小于平角的角） 【题型7】垂线与角平分线的综合计算 1.核心知识点 垂直的定义、角平分线的性质； 邻补角的数量关系。 2.解题方法技巧 分步拆解：先由垂直得直角，再由角平分线得等角； 标注图形：逐步推导，清晰呈现角度关系。 【例题7】.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点O，射线平分，射线在内部． (1)若平分，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线，交于点O，平分，，． (1)求的度数； (2)是否平分？请说明理由． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·广西崇左·期末）已知是直线上的一点，是直角． (1)如图1，若平分，当时，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 【压轴素养题型】 【题型8】三线八角与最短路径的综合应用 1.核心知识点 垂线段最短的性质； 三线八角的位置关系。 2.解题方法技巧 找最短路径：确定直线外一点到直线的垂线段； 结合角度：利用三线八角的位置关系，关联垂线段与其他线段的角度，辅助计算。 【例题8】.（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 【变式题8-3】.（23-24七年级下·全国·假期作业）古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之一．为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中的大小，张扬同学设计了两种测量方案： 方案1：作的延长线，量出的度数，便知的度数； 方案2：作的延长线，的延长线，量出的度数，便知的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？ 【题型9】相交线与三线八角的规律探究 1.核心知识点 相交线、三线八角的数量规律； 归纳推理思想。 2.解题方法技巧 特例分析：计算2条、3条直线被截时，各类角的数量； 归纳规律：用含（直线条数）的代数式表示规律，代入验证。 【例题9】.（24-25七年级下·全国·周测）下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 【变式题9-1】.（2024七年级·全国·竞赛）已知条直线相交于一点，设表示这条直线构成的所有对顶角的对数．我们从特殊到一般地研究问题：，由此可推出： ． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·江西上饶·月考）（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 【变式题9-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 易错点 1.混淆邻补角与对顶角的特征，误将有公共边的角判定为对顶角； 2.误将“垂线段”等同于“点到直线的距离”，忽略距离是“长度”； 3.识别三线八角时，未正确确定截线与被截直线，导致角的类型判断错误； 4.复杂图形中，易遗漏隐藏的邻补角、对顶角，导致角度计算错误。 重点 1.熟练识别邻补角、对顶角，运用“邻补角互补、对顶角相等”进行角度计算； 2.掌握垂直的定义与性质，能解决垂线相关的角度推导问题； 3.精准识别三线八角（同位角、内错角、同旁内角），明确其位置特征； 4.运用方程思想解决含字母的相交线与三线八角计算问题。 难点 1.复杂图形中三线八角的识别，能准确拆分基本模型、排除干扰； 2.动态几何题中，能捕捉角度变化规律，建立代数与几何的关联； 3.跨学科与实际情境题的建模，将非数学场景转化为相交线或三线八角模型； 4.相交线与三线八角的规律探究，能从特例归纳出通用规律并验证。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，与是同位角，若，则的大小是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 3．如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点，，在同一条直线上，平分，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，直线，相交于点，射线平分．若，则 ． 7．如图，为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李萧同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ． 8．如图，点，，在同一直线上，若，则的度数为 ． 9．如图，直线和相交于点，和互余，若，则 ． 10．已知：点在一条直线上，，．则 ． 三、解答题 11．如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 12．如图所示，直线，，相交于点，，，求的度数． 13．如图，直线，相交于点，，垂足为． (1)图中的对顶角是（     ），的余角是（     ），的补角（     ）； (2)若，求的度数． 14．已知：如图，点是直线上一点，过点作射线平分，过点作，垂足为点，若．求的度数． 15．如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 相交线 知识点1：邻补角与对顶角 知识点 定义 示例 邻补角 两条直线相交形成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角 对顶角 两条直线相交形成的四个角中，没有公共边且两边分别互为反向延长线的两个角 知识点2：邻补角与对顶角的性质 角的类型 核心性质 数量关系 图形特征 邻补角 互为补角 有一条公共边，另一边反向延长 对顶角 对顶角相等 无公共边，两边均反向延长 知识点3：垂线的定义与性质 1.定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（）时，这两条直线互相垂直，记作，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 2.性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3.性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 知识点4：垂线段与点到直线的距离 1.垂线段：从直线外一点向已知直线作垂线，点到垂足之间的线段叫做垂线段（如CD）。 2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度(如d)，叫做点到直线的距离。 知识点5：两条直线被第三条直线所截形成的角（三线八角） 1.基本概念：两条直线、被第三条直线（截线）所截，形成8个角，统称“三线八角”。 2.三类角的定义与特征（核心）： 角的类型 位置特征 图形识别技巧 同位角 截线同旁，被截两直线同侧 呈“F”型（） 内错角 截线两旁，被截两直线之间 呈“Z”型（） 同旁内角 截线同旁，被截两直线之间 呈“U”型（） 3.注意事项：三类角仅由位置关系定义，与角的大小无关；识别时需先明确“截线”和“被截直线”。 知识点6：相交线与三线八角的计算核心 1.基本依据：邻补角互补、对顶角相等、垂直的定义（）、三线八角的位置关系。 2.计算思路：先确定角的类型，再结合性质建立等量关系，复杂情况用方程求解。 【基础必考题型】 【题型1】邻补角与对顶角的识别与计数 1.核心知识点 邻补角、对顶角的定义； 相交线的图形特征。 2.解题方法技巧 抓特征：邻补角“共边反向”，对顶角“无共边双反向”； 有序计数：按顶点、按边依次排查，避免重复或遗漏。 【例题1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，称为互为对顶角 【详解】解：根据对顶角的定义，只有选项C的图形符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】.（23-24七年级下·广西柳州·期中）下列各图中，和是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的定义，正确把握定义：有公共顶点，一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义判断即可． 【详解】解：A．没有公共顶点，不是邻补角，故A不符合题意； B．没有公共顶点，不是邻补角，故B不符合题意． C．没有公共顶点，不是邻补角，故C不符合题意； D．符合邻补角的定义，故D符合题意； 故选D． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可． 【详解】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意； C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式题1-3】.（2025七年级上·江苏南京·专题练习）平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有 对． 【答案】6 【分析】本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键；三条互不重合的直线交于一点，可视为三对两条直线的组合，每对两条直线相交形成2对对顶角，因此总对数为对，然后问题可求解． 【详解】解：三条互不重合的直线交于一点，共有三种不同的两条直线组合：直线1与直线2、直线1与直线3、直线2与直线3，每种组合形成2对对顶角，故总对数为对． 故答案为：6． 【题型2】邻补角与对顶角的基础角度计算 1.核心知识点 邻补角互补（和为）； 对顶角相等。 2.解题方法技巧 对顶角直接等量代换； 邻补角用减已知角，一步求解。 【例题2】.（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，折叠晾衣架展开后，两根支架和交叉于点是支架形成的一个角，如果把晾衣架再撑开一点，让增加，则会（    ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的性质，关键是掌握“对顶角相等”这一核心知识点；根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 当增加时，也会增加． 故选：B． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙角的度数，小莉分别延长、至点、，测得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查对顶角的性质，关键是准确识别出与是对顶角，利用“对顶角相等”的性质即可直接求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴； 故答案为：． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，，两两相交，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等． 先由对顶角相等得到，则，再由对顶角相等得到． 【详解】解：因为， 所以． 又因为， 所以． 所以． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下面命题及说理过程，在括号内填上推理的依据． 命题：如图所示，直线，相交于点，那么． 理由：因为(________)， (________)， 所以(________)， 所以(________)． 【答案】邻补角的定义；邻补角的定义；等量代换；等式的性质1 【分析】本题考查利用邻补角的定义、等量代换及等式基本性质来得到对顶角相等，先利用邻补角的定义得到两个角的和为，再通过等量代换建立等式，最后利用等式的基本性质消去公共角，从而推导出对顶角相等的结论． 【详解】解：∵(邻补角的定义)， (邻补角的定义)， ∴(等量代换)， ∴(角的和差)； 故答案为：邻补角的定义；邻补角的定义；等量代换；等式的性质1． 【题型3】垂线的定义与基础计算 1.核心知识点 垂直的定义（）； 邻补角与垂线的结合。 2.解题方法技巧 见垂直写直角，直接关联； 结合邻补角推导，快速完成角度换算。 【例题3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查对垂线定义的理解． 根据直线垂直的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上，原说法正确，符合题意； B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足可能在它们的延长线（或反向延长线）上，原说法错误，不符合题意； C．过线段或射线外一点可以画出一条直线与之垂直，原说法错误，不符合题意； D．在同一平面内，过直线上一点可画一条直线与该直线垂直，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与直线相交于点O，，若过点作，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，对顶角相等，分类讨论是解答的关键． 分为当射线在上方时和当射线在下方时两种情况，根据垂线的定义得到，再根据角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：如图1，当射线在上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图2，当射线在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 【变式题3-3】.（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查两点之间线段最短、垂线段最短： （1）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，此时的值最小； （2）根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，只需作于点N即可； 【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求： （2）解：如图所示． 【题型4】三线八角的识别 1.核心知识点 同位角、内错角、同旁内角的定义； 三线八角的图形特征（F/Z/U型）。 2.解题方法技巧 定三线：先找截线（公共边），再定被截直线； 套模型：用“F/Z/U”型快速匹配角的类型。 【例题4】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，用数字标注的角中，共有四对内错角，请把它们一一写出，并说明它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了内错角的定义，理解其定义是解题的关键．根据内错角的定义解题即可． 【详解】解：与是内错角，它们是直线与被直线所截形成的； 与是内错角，它们是直线与被直线所截形成的； 与是内错角，它们是直线与被直线所截形成的； 与是内错角，它们是直线与被直线所截形成的． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？ 【答案】见详解 【分析】本题考查了同位角的概念及对几何图形中角度形成原理的理解，通过观察图形，可以确定出哪些直线被截以及形成的角的类型． 【详解】解：和是直线，被直线所截形成的，它们是内错角． 和是直线，被直线所截形成的，它们是同位角． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角， 故选：C． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中和的位置是否符合该定义． 【详解】解：选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角； 选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 故选：C． 【题型5】点到直线的距离的识别与判断 1.核心知识点 垂线段的定义； 点到直线的距离的概念。 2.解题方法技巧 找垂线段：锁定直线外一点与垂足间的线段； 辨概念：距离是“长度”，非线段本身，区分几何图形与数量表述。 【例题5】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一概念是解题的关键． 根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段． 【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离； 选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 故选：C． 【变式题5-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 【详解】解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若， ，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：A． 【培优高频题型】 【题型6】含字母的相交线角度计算 1.核心知识点 邻补角互补、对顶角相等； 一元一次方程的应用。 2.解题方法技巧 设未知：用表示核心角，关联其他角； 列方程：以或为等量关系，求解后验证合理性。 【例题6】.（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，点，，在一条直线上，已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查邻补角的定义及角的运算，根据，计算即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，相交于点，已知，把分成两个角，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等． 根据对顶角相等得到，再由即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：如图所示，直线，相交于点，，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差计算，对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等． 根据对顶角的性质以及邻补角的性质得到，，再由角平分线得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线相交于点的余角比小，回答下列问题： （1） ； （2）若从点向直线右侧引出一条射线，当时， （题中所说的角均是小于平角的角） 【答案】 /60度 或 【分析】本题考查了角的计算，根据题意结合图形找准各个角之间的关系是解决问题的关键； （1）设，根据的余角比小列方程求解即可； （2）根据的位置分情况讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， ∵的余角比小， ∴， 解得：， 即：； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， 设， 当在上方即时， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在下方即时， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴ 综上：或； 故答案为：或． 【题型7】垂线与角平分线的综合计算 1.核心知识点 垂直的定义、角平分线的性质； 邻补角的数量关系。 2.解题方法技巧 分步拆解：先由垂直得直角，再由角平分线得等角； 标注图形：逐步推导，清晰呈现角度关系。 【例题7】.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点O，射线平分，射线在内部． (1)若平分，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差计算及角平分线的有关计算，熟练掌握角的和差计算的方法是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解； （2）由先求出，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：．理由如下： 因为分别平分， 所以，， 所以， 所以． （2）解：因为平分， 所以． ． 因为平分， 所以， 所以． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线，交于点O，平分，，． (1)求的度数； (2)是否平分？请说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查平角，角平分线和垂直的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由得，结合角平分线和垂直的定义计算即可； （2）根据平角的定义求出即可． 【详解】（1）解：∵直线，交于点O，， ∴， ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴． （2）解：平分.理由如下： 由（1）得，， ∴， ∴， ∴平分． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·广西崇左·期末）已知是直线上的一点，是直角． (1)如图1，若平分，当时，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角与直角的性质以及角的和差运算，熟练掌握角平分线的性质和角的和差关系是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义求出的度数，再结合平角和直角的性质，计算出的度数． （2）先根据角平分线的定义表示出和，再通过角的和差关系推导出与的关系，最后代入的度数计算． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是直角， ∴， ∴ ∴的度数为； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵是直角， ∴， ∴， ∴的度数为； 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）依据对顶角相等，以及角平分线的定义，即可得到的度数； （2）依据角平分线的定义，得到，根据垂直的定义得到． 【详解】（1）解：， ． 平分， ． （2）证明：平分，平分， ，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．也考查了对顶角、邻补角以及垂直的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 【压轴素养题型】 【题型8】三线八角与最短路径的综合应用 1.核心知识点 垂线段最短的性质； 三线八角的位置关系。 2.解题方法技巧 找最短路径：确定直线外一点到直线的垂线段； 结合角度：利用三线八角的位置关系，关联垂线段与其他线段的角度，辅助计算。 【例题8】.（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 【答案】(1)沿走，两点之间线段最短，画图见解析 (2)沿走，垂线段最短，画图见解析 (3)沿走，垂线段最短，画图见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，连接，则沿走，两点之间线段最短； （2）理解题意，过点作直线，沿走，垂线段最短． （3）理解题意，过点A作直线，沿走，垂线段最短． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 依题意，沿走，两点之间线段最短． （2）解：过点作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． （3）解：过点A作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)，两点之间线段最短． 【分析】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据射线的画法作图即可； （2）根据线段的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可； （4）根据垂线的长度求解即可； （5）根据线段的性质求解即可． 【详解】（1）解：射线如图1所示， （2）解：连接，交于点，如图2所示， （3）解：过点作于点，如图3所示， （4）解：点到的距离是线段的长度； 故答案为：； （5）解：图中点到两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 【变式题8-3】.（23-24七年级下·全国·假期作业）古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之一．为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中的大小，张扬同学设计了两种测量方案： 方案1：作的延长线，量出的度数，便知的度数； 方案2：作的延长线，的延长线，量出的度数，便知的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？ 【答案】方案1利用了邻补角的性质；方案2利用了对顶角的性质 【分析】本题主要考查对顶角和邻补角，牢记对顶角的定义和性质（对顶角相等），邻补角的定义是解题的关键． （1）根据邻补角求出结果即可； （2）根据对顶角相等求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵与为邻补角， ∴根据邻补角的性质可得：， ∴量出的度数，便知的度数； 方案2：∵与为对顶角， ∴根据对顶角相等可得：， ∴量出的度数，便知的度数． 【题型9】相交线与三线八角的规律探究 1.核心知识点 相交线、三线八角的数量规律； 归纳推理思想。 2.解题方法技巧 特例分析：计算2条、3条直线被截时，各类角的数量； 归纳规律：用含（直线条数）的代数式表示规律，代入验证。 【例题9】.（24-25七年级下·全国·周测）下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律．对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共对； ……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：； 故答案为：． 【变式题9-1】.（2024七年级·全国·竞赛）已知条直线相交于一点，设表示这条直线构成的所有对顶角的对数．我们从特殊到一般地研究问题：，由此可推出： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意可得有两条直线，共有2对对顶角，而；有三条直线，共有6对对顶角，而；有四条直线，共有12对对顶角，而；……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：有两条直线，共有2对对顶角，而； 有三条直线，共有6对对顶角，而； 有四条直线，共有12对对顶角，而； ……； 当有n条直线相交于一点时，共有对对顶角； 故答案为：． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·江西上饶·月考）（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 【答案】（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3）同位角有对，内错角有对，同旁内角有对 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． （1）根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． （2）同理（1）中解答方法解答解答； （3）同理（1）中解答方法解答解答． 【详解】解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有2对． 故答案为：4，2，2； （2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对． 故答案为：12，6，6； （3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对， 故答案为：，，． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 【答案】（1）①2  ②6  ③12  ④（2）（3）归纳结论：n条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【分析】（1）根据对顶角定义，认真观察图①②③，求出答案即可，根据①②③对顶角的个数进行探究即可； （2）依据规律可以推测出若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； （3）根据（1）（2）得到的结论，进行归纳即可． 【详解】解：（1）①图①中对顶角是与，与，共有对对顶角． ②图②中对顶角是与，与，与，与，与，与，共有对对顶角． ③图③中有条直线相交于点，共有对对顶角． ④根据以上总结，2条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）． 以此类推，条直线相交于一点，可形成的对顶角对数为 ． 故答案为：①；②；③；④． （2）若条直线两两相交于不同的点，则有（个）交点，有对对顶角； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，有对对顶角； ……； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，共有对对顶角． 故答案为：． （3）归纳结论：条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键． 易错点 1.混淆邻补角与对顶角的特征，误将有公共边的角判定为对顶角； 2.误将“垂线段”等同于“点到直线的距离”，忽略距离是“长度”； 3.识别三线八角时，未正确确定截线与被截直线，导致角的类型判断错误； 4.复杂图形中，易遗漏隐藏的邻补角、对顶角，导致角度计算错误。 重点 1.熟练识别邻补角、对顶角，运用“邻补角互补、对顶角相等”进行角度计算； 2.掌握垂直的定义与性质，能解决垂线相关的角度推导问题； 3.精准识别三线八角（同位角、内错角、同旁内角），明确其位置特征； 4.运用方程思想解决含字母的相交线与三线八角计算问题。 难点 1.复杂图形中三线八角的识别，能准确拆分基本模型、排除干扰； 2.动态几何题中，能捕捉角度变化规律，建立代数与几何的关联； 3.跨学科与实际情境题的建模，将非数学场景转化为相交线或三线八角模型； 4.相交线与三线八角的规律探究，能从特例归纳出通用规律并验证。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同位角的定义，根据“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角”进行分析即可． 【详解】解：的同位角是， 故选：A． 2．如图所示，与是同位角，若，则的大小是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了三线八角，明确同位角、内错角、同旁内角只是两个角的一种位置关系，而没有一定的大小关系是解此类问题的关键． 两直线平行时同位角相等，不平行时无法确定同位角的大小关系，据此分析判断即可得． 【详解】解：同位角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同位角才相等， ∴的大小不能确定， 故选D． 3．如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，先求解，再进一步的利用邻补角的性质求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A 4．如图，点，，在同一条直线上，平分，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义，根据角平分线的定义可知，根据可得，再根据求出结果即可． 【详解】解：点，，在同一条直线上， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ． 故选：B． 5．下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 二、填空题 6．如图，直线，相交于点，射线平分．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、角平分线的定义和平角的性质，掌握对顶角相等，角平分线分角为相等的两部分，平角为是解题的关键． 先利用对顶角相等求出的度数，再根据角平分线定义求出 ，最后通过平角的性质求出． 【详解】解：根据题意，得． ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李萧同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等，利用该性质可以通过测量易获取的角来得到不易直接测量的角是解题的关键． 观察与的位置关系，判断其为对顶角，根据对顶角的性质确定测量方案的依据． 【详解】解：∵与是对顶角，根据对顶角相等的性质， ∴量出的度数，即可得到的度数． 因此，这个测量方案的依据是：对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 8．如图，点，，在同一直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义，角的和差，由补角的定义得，由角的和差得，即可求解． 【详解】解：因为， 所以 ， 所以 ， 故答案为：． 9．如图，直线和相交于点，和互余，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质和互余的定义，熟练掌握对顶角相等及互余两角的和为是解题的关键．根据对顶角相等，先求出的度数，再利用互余的定义，用减去的度数即得到的度数． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴′． ∵和互余， ∴−−′′． 故答案为：′． 10．已知：点在一条直线上，，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平角的定义、角的和差关系，熟练掌握利用角的和差关系计算未知角的度数是解题的关键．先利用平角及已知直角求出和的度数，再根据计算出结果． 【详解】解：∵点，，在一条直线上， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【答案】(1) (2)    【分析】本题考查了对顶角的定义、角的和差关系和平角的性质，掌握对顶角相等，平角为，通过角的和差关系计算角度是解题的关键． （1）根据对顶角的定义，直接找出与相对的角； （2）先利用对顶角相等求出 ，再通过角的和差计算，最后利用平角性质求出． 【详解】（1）解：直线与相交于点， 根据对顶角的定义，的对顶角为． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 12．如图所示，直线，，相交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角，角的和差计算． 先求出，再由对顶角相等求解即可． 【详解】解：因为，， 所以， 所以． 13．如图，直线，相交于点，，垂足为． (1)图中的对顶角是（     ），的余角是（     ），的补角（     ）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；，；，； (2) 【分析】本题考查对顶角、余角、补角的定义以及垂直的性质，核心是理解对顶角相等、余角和为、补角和为，以及垂直的角为直角这些关键知识点． （1）对于对顶角，依据“有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角”来判断；对于余角，结合得到，从而找到与和为的角；对于补角，寻找与和为的邻补角或其对顶角． （2）先利用邻补角的和为求出的度数，再结合垂直得到的直角，用直角减去的度数即可得到的度数． 【详解】（1）解：根据对顶角的定义，与有公共顶点，且两边互为反向延长线，故的对顶角是； ， ，即， 又， 的余角是，； ，， 的补角是，； 故答案为：；，；，； （2）解：， ， ， ， ． 14．已知：如图，点是直线上一点，过点作射线平分，过点作，垂足为点，若．求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，利用角平分线得，结合垂直与平角定义计算即可解题． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴∠， ∵点在直线上， ∴， ∴， 故的度数为． 15．如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $