10.1 二元一次方程组的概念&10.2 消元解二元一次方程组 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）宁夏专版

7.3定义、命题、定理 第1课时定义与命题 知识梳理 陈述真命题假命题 当堂练习 1.D2.A3.B4.真两个角是同一个角的补角这两个角相等两个角是同一 个角的补角这两个角相等5.解：(1)如果两个角相等，那么它们的余角也相等：真 命题：(2)如果两个角是对顶角，那么这两个角互补：假命题 第2课时定理与证明 知识梳理 ①推理证实依据②证明 当堂练习 1.B2.C3.①②④4.解：(1)题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：得到的一 对内错角的平分线互相平行；(2)如图（答案不唯一）：4G E。(3)如图，如果AB N、 H F/M D ∥CD,EF交AB于点G,交CD于点M,∠BGF与∠CME是一对内错角，GH,MN分 别平分∠BGF和∠CME,那么GH∥MN;(4):AB∥CD,∠BGF=∠CME.:GH, MN分别平分∠BGF和∠CME,·∠HGM=令∠BGF,∠NMG=∠CME, ∴∠HGM=∠NMG.∴.GH∥MN.5.解：如果AB∥DE,BC∥EF,那么∠B=∠E. (答案不唯一)理由如下：.AB∥DE,.∠B=∠DOC.BC∥EF,∴.∠E=∠DOC ∠B=∠E. 7.4平移 知识梳理 ③(1)形状大小(2)对应点平行在同一条直线上相等 当堂练习 1.C2.D3.104.解：(1)如图，三角形A'B'C即为所求： (2)连接AA',CC,AC在平移过程中扫过的面积即四边形ACC'A'的面积，为4X6 2×2×5-号×1×2-3×2×5-号×1×2=24-5-1-5-1=12. 第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 知识梳理 ①平方根二次方根 ②开平方开平方3两互为相反数0没有④士√a 正、负根号a 当堂练习 1.B2.(1)士4两相反数-4,4士√16=士4(2)003.解：(1)因为 （士0.6=Q6,断以05的平方根是士0,62调为（土号）-号=2宁所以2宁 的平方根是士号3闪为（士号）-所以票的平方根是士号。+解，由愿包，得 ,25 5 3-a十2a十3=0，解得a=-6.则3-a=3-(-6)=9,92=81,故这个正数是81. 第2课时算术平方根 知识梳理 ②0 当堂练习 1.A2.A3.B4.C5.解：(1)因为0.12=0.0144，所以0.0144的算术平方根是 0.12,即0-0.12：2)因为（台）广-碧所以9的算术平方根是号即√爱 (3)因为(-0.3)=0.09,0.32=0.09，所以(-0.3)的算术平方根是0.3，即 4 -0,3可=0.3.6解：1)原式=8：(2)原式=号(3)原式=0,6十07=1.3， 第3课时算术平方根的估算及用计算器求算术平方根 当堂练习 1.B2.B3D4.C5.>6.0.0317310.37.解：1w>1.7:(2)8,1<1. 2 8.解：(1)529=23；(2)/44.81≈6.69. 第37页（共42页） 8.2立方根 第1课时立方根 知识梳理 ①立方根 三次方根②开立方立方3正数负数0④a三次根号a 根指数 当堂练习 1.C2.D3.(1)228=2(2)-4-4-64=-44.解：(1)因为0.63= 0.216,所以0.216的立方根是0.6，即70.216=0.6：(2)因为-3冬=-号，且 （2)广=号所以-3受的立方根是一号，即√3哥=-是：(3)-5的立方根 是/百.5解：1z2=高=子：(2(x一1=0.027x-1=03x=1.3 第2课时立方根的估算与用计算器求立方根 当堂练习 1B2.C3A4.C5.解：原式=0.5-子+-05- =-1;(2)原式=2 ×号+1 4十1=3 7 8.3实数及其简单运算 第1课时实数的概念及分类 知识梳理 ②实数 当堂练习 1.C2.D3.B4万5.16，-冬0，-0.02,1.4142)-万，-万(38， 于1.414 第2课时实数的性质及运算 知识梳理 ①-a②它本身相反数0a0-a③法则性质 当堂练习 1.C2.D3.A4.π-3.153.15-π5.解：(1)原式=2W3;(2)原式=√5-2+3- 厅=1：(3)原式=E-1+-+-原-是=-2 第九章平面直角坐标系 9.1用坐标描述平面内点的位置 9.1.1平面直角坐标系的概念 知识梳理 ①平面直角坐标系横轴纵轴原点②象限第二象限 第四象限③唯一 唯一 一对应 当堂练习 1.D2.D3.B4.二5.(1,4)(3,3)(5,2) 9.1.2用坐标描述简单几何图形 知识梳理 坐标 当堂练习 1.C2.C3.(3,5)4.解：建立平面直角坐标系如图： A(-5,1),B(-3.-2),C(1,-2),D(3,一1)，G(一2,3).其中点A和点G在第二象 限，点B在第三象限，点C和点D在第四象限.5.解：(1)A(一1,2)，B(2,0):(2)如 图，点C,D即为所求.连接BC.易知点B到AC的距离、点C到BD的距离均为1十2= 3.AC=2一（一2）=4，BD=0-（-3)=3..Sg边形AB00=S兰角形Bc十S兰角形D=之X4X 1×3×3= 3十 21 2· 9.2坐标方法的简单应用 9.2.1用坐标表示地理位置 知识梳理 x轴y轴单位长度坐标名称 第38页（共42页） 当堂练习 1.D2.A3.D4.昨天到 9.2.2用坐标表示平移 第1课时用坐标表示点和图形的平移 知识梳理 x-a y x y-b 当堂练习 1.A2.C3.(-2,3)4.(-2,3)5.解：A'(-5,3),B(-5,-1),C(1,-1), D'(1,3) 第2课时图形的平移规律 知识梳理 右左a上下a 当堂练习 1.D2.C3.(-2,0)或(1,2)4.(5，-6)5.解：(1)由图知A(1,2),A(-2,-1); B(2,1),B(-1,-2):C(3,3),C(0,0);(2)由(1)知，平移的方向和距离为：向左平移 3个单位长度、向下平移3个单位长度，.x一3=3，y一3=5，.x=6,y=8.则点P的 坐标为(6,8). 第十章二元一次方程组 10.1二元一次方程组的概念 知识梳理 ①两1②两两③相等④公共解 当堂练习 1.D2.A3.B4.4x+6y=28, x-y=2 10.2消元一解二元一次方程组 10.2.1代入消元法 第1课时用代入法解二元一次方程组 知识梳理 ①消元②另一个未知数 当堂练习 LB2.605035-4g5-4g-190,14.解：)由0，得y=2z3 ③把③代入②，得3x十4(2x-3)=10.解这个方程，得x=2.把x=2代入③，得y=1. 所以这个方程组的解是{二：(2)山@，得x=7-3y.③把③代人①，得≥》-音 y=1: 合，解这个方程，得y=2.把y=2代入③，得x=1.所以这个方程组的解是二： {y=2. 第2课时用代入法解稍复杂的二元一次方程组 当堂练习 1.B2.号之3-号4解：1由①，得y=42,@把③代人②，得2422+1 3 =5x解这个方程，得x=品把x=是代人③，得y=号所以这个方程组的解是 11 x一19 18 (2)由②，得x=-15-4之.③把③代入①，得3(-15-4z)-52=6.解这个方 程，得之=一3.把=一3代入③，得x=一3.所以这个方程组的解是二二3,5.解： x=一3. 设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元.根据题意，得 (2x士3y二270解这个方程组，得二30答：甲种商品每件的进价为30元，乙种商品 3x+2y=230. y=70. 每件的进价为70元. 10.2.2加减消元法 第1课时用加减法解二元一次方程组 知识梳理 互为相反数相等相加相减 当堂练习 1.A2.D3.9+1 4.解：(1)①十②，得3x=9,x=3.把x=3代入①，得3 y=5y=一2.所以这个方程组的解是3，(2)①-②，得y=1.把y=1代入①， y=-2: 得4x十3=5x=子所以这个方程组的解是一乞，5解：设购买一块电子白板需 y=1. 要x元，一台投影机需要y元.根据题意，得2一3二4000；解这个方程组，得 4x+3y=44000. x二8000，答：购买一块电子白板需要8000元，一台投影机需要4000元. y=4000. 第39页（共42页） 第2课时用加减法解稍复杂的二元一次方程组 当堂练习 1.C2.A3.B4.解：(1)①×2，得10x+8y=12.③②×5，得10x+15y=5.④ ④-③，得7y=-7,y=-1.把y=-1代入②，得2x+3×(-1)=1,x=2.所以这个 方程组的解是/x=2,,(2)0×3,得24x+15y=33.③②×8，得32y-24x=-80.④ y=-1: ③十④，得47y=-47,y=-1.把y=-1代入①，得8.x十5×(-1)=11，x=2.所以这 个方程组的解是x=2, y-1. 5.解：设跳绳的单价为x元，毽子的单价为y元.根据题 立得十奶解这个方程组，得答跳绳的单价为16元：慧子的单 y=4. 价为4元. 10.3实际问题与二元一次方程组 第1课时 和差倍分问题 当堂练习 1D2.B3,33,4125.解：设安排x人生产镜片y人生产镜架，根据题 意得二00 解这个方程组，得0，答：安排20人生产镜片，40人生产铜 架，才能使每天生产的产品正好配套 第2课时图表信息问题与几何图形问题 当堂练习 1.A2.5063.2024.解：设长AB为xcm,宽BC为ycm.根据题意，得 1x=2y, 7十2y二60，解这个方程组，得{二0：答：长方体盒子的底面的长(AB)为20四 (BC)为10cm. 第3课时市场经济问题与行程问题 知识梳理 ①售价进价 当堂练习 1.C2.B3.4404.解：设飞机的平均速度为xkm/h,风速为ykm/h.根据题意，得 /x-y=240, 4z十1200解这个方程组，得二0·答：飞机的平均速度为270km/h,风速 y=30. 为30km/h. *10.4三元一次方程组的解法 第1课时三元一次方程组的解法 知识梳理 ①三1三 ②代入加减二元二元一次一元一次 当堂练习 1.A2.3x十y=18-x十y=1021216212163.解：②-①，得y-3x =-12.④②×2-③，得7y-3=6.⑤④与⑤组成方程组/3三12，解这个方程组， 7y-3x=6. x=2, 得∫义二，把y=3,之=5代入①，得x=2.因此，这个三元一次方程组的解为y=3 x=5. 第2课时三元一次方程组的应用 当堂练习 1,解：设这个三位数的个位、十位、百位上的数字分别是x,y,根据题意，得 (x十=y, (x=5, 7x=x十y十2，解这个方程组，得)y=7,答：这个三位数是275.2.解：设从小明家到 x+y十之=14. =2. x十y十z=3.3, 学校的上坡路为xkm,平路为ykm,下坡路为之km,根据题意，得 +￥+=1， ++音 x=2.25, 解这个方程组，得y=0.8,答：从小明家到学校的上坡路为2.25km,平路为0.8km, x=0.25】 下坡路为0.25km. 第十一章不等式与不等式组 11.1不等式 11.1.1不等式及其解集 知识梳理 ①<> ②未知数的值③所有的解解集 当堂练习 1.C2.C3.A4D5.解：102a-4>0:(2)26+c<0:(3)x-y>2:(0号a+ 15< 第40页（共42页） 11.1.2不等式的性质 第1课时不等式的性质 知识梳理 ①(1)改变(2)> ②(1)不变>(2)正不变>>(3)负改变<< 当堂练习 1.A2.C3.D4.B5.解：(1)不等式的性质1，两边同时减5：(2)不等式的性质2， 两边同时除以3：(3)不等式的性质3，两边同时除以一2；(4)不等式的性质3，两边同时 乘-3. 第2课时不等式性质的运用 知识梳理 ①不等式的性质②空心圆圈实心圆点 当堂练习 1.C2.(1)>1不等式的性质1(2)>-合不等式的性质2(3)<日 不等式 的性质33.20≤x≤254.解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方 向不变，所以x十3-3<5一3，x<2.解集在数轴上的表示如图所示. 0 (2)根据不等式的性质2，不等式两边除以3，不等号的方向不变，所以兰>号，>号 解集在数轴上的表示如图所示.， (3)根据不等式的性质3，不等式两边 0 1 乘-7，不等号的方向改变，所以-号x×(一7)>(-3)×(-7)，x>21.解集在数轴上 的表示如图所示， (4)根据不等式的性质3，不等式两边除以一2，不等 0 21 -2x 5 号的方向改变，所以一？>2>一，解集在数轴上的表示如图所示.厂 5 11.2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 知识梳理 ①一整式1②等式的性质不等式的性质去分母去括号移项合并同 类项系数化为1 当堂练习 1.B2.D3.x≤-24.解：(1)移项，得7x-9x≤5十1.合并同类项，得-2x≤6.系 数化为1，得x≥一3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：☐ (2)去分母，得6x-3(x十2)>2(2x-5).去括号，得6x一3x-6>4x一10.移项，得6x 一3x-4x>一10十6.合并同类项，得-x>一4.系数化为1，得x<4.这个不等式的解 集在数轴上的表示如图所示， 5.解：(1)由题意可得，5一3x<0,解得x >号故当>号时，代数式5-3x的值是负数：(2)由题意可得，5-3江=0，解得x= 号故当x=号时，代数式5一3x的值是0，（③）由题意可得，5-3>0，解得x<号故 当x<号时，代数式5-3x的值是正数. 第2课时 一元一次不等式的应用 当堂练习 1.D2.C3.144.1825.解：设这个班胜x场.根据题意，列得不等式3x+(28一 x)≥43.去括号，得3x十28-x≥43.移项，合并同类项，得2x≥15.系数化为1，得x≥ 7.5.由x为正整数，可得x至少为8.答：这个班至少要胜8场. 第3课时利用一元一次不等式解决方案问题 当堂练习 1.C2.购买24块彩色地砖、60块单色地砖（或购买27块彩色地砖、55块单色地砖） 3.解：设该学校购买x台电脑.到甲商场购买应付款y甲元，y甲=6000十6000×(1 25%)(x-1)=4500x十1500.到乙商场购买应付款yz元，yz=6000×(1-20%)x =4800x,令ym<yz,即4500x十1500<4800x,解得x>5;令y甲=yz,即4500x十 1500=4800x,解得x=5:令ym>yz,即4500x十1500>4800x,解得x≤5.所以当 购买的电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠；当购买的电脑为5台时，到两家商场购 买所需费用一样；当购买的电脑少于5台时，到乙商场购买更优惠. 11.3一元一次不等式组 知识梳理 ①两同一个未知数②公共部分解集③公共部分数轴 当堂练习 1.A2.D3.34.解：(1)解不等式①，得x≥一3.解不等式②，得x>2.把不等式① 和②的解集在数轴上表示出来，就可以找出两个不等式解集的公共部分 所以不等式组的解集为x>2;(2)解不等式①，得 -5-4-3-2-1012345 x≥-1.解不等式②，得x<4.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，就可以找出 两个不等式解集的公共部分， 420； 所以不等式组的解 第41页（共42页） 集为-1≤r<4,5解：翩不等式组（经士i0,得3<<5.5x可取的正整数值 为3,4,5. 第十二章数据的收集、整理与描述 12.1统计调查 12.1.1全面调查 知识梳理 ①全体对象②全体对象 当堂练习 1.B2.B3.204.(1)小丽(2)1530%5.解：(1)不合适.提供选择的答案不够 全面，应增加选项“自行车”，因为自行车是初中生上学使用的主要交通工具；(2)不合 适，提供选择的答案不够全面，应增加选项“不满意”，因为所有选项中都是满意，不便 于学生表达真实想法，另外问题改为“你对××科老师教学是否满意？”可使调查目的 更明确.（答案均不唯一，合理即可） 12.1.2抽样调查 知识梳理 ①一部分对象全体对象②个体的数目 ③简单随机抽样④全面、准确花费 多、耗时长花费少、省时省力代表性 当堂练习 1.C2.不可靠样本不具有代表性3.20004.解：(1)了解某型号电池的平均使用 寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查；(2)了解某班50名同学的身高，调查范围小， 应采用全面调查；(3)了解某一天全国鸡蛋的平均价格，调查范围大，实施全面调查会 浪费大量人力物力，应采用抽样调查， 12.2用统计图描述数据 12.2.1扇形图、条形图和折线图 第1课时扇形图 知识梳理 各个部分占总体的百分比各部分占总体的百分比 当堂练习 1.A2.解：(1)100(2)选择B选项的学生人数为100-20一30一10=40，补全条形图 如图所示；人数 (3)108（4200×20=1200名.答： 40 30 0 CD选项 估计该校对于某自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有1200名. 第2课时条形图和折线图 当堂练习 1.C2.603.解：(1)扇形图中交通监督所在扇形的圆心角度数是360°× 12+15十13+14=97,2°，(2)D班选择环境保护的学生人数为200×30%-15-14 200 16=15,补全折线图如图：1人数 ·一环境保护 (3)4000×(1-30%-5%- -·交通监督 0 ABCD班级 12+15+13+14、 =1520.答：该校选择文明宣传的学生人数大约为1520. 200 12.2.2直方图 知识梳理 ①(1)端点(2)个数(3)小长方形的面积小长方形的高②(1)最大值最小值 (2)组距组数 当堂练习 1.C2.203.解：(1)209025(2)补全频数分布直方图如图：(3)2200×(20%+ 45%)=1430(名).答：该年级体育成绩不低于36分的学生约有1430名. ↑频数 100 90 80 60 50 40 40 20 20 2229364350成绩 12.2.3趋势图 知识梳理 一条线（直线或曲线） 当堂练习 1.D2.解.(1)折线(2)5.78 (3)我国2021年至2022年货物进出口总额都呈上升 趋势（答案不唯一）. 第42页（共42页）第十章二元一次方程组 10.1二元一次方程组的概念 知识梳理 ①含有 个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 ,像这样的方程叫作二元一次方程. ②含有 个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1， 一共有 个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. ③一般地，使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. ④一般地，二元一次方程组的两个方程的 ,叫作二元一次方程组的解. 当堂练习 1.下列方程中，是二元一次方程的是 A.3.x-2y=4z B.6xy+9=0 C.1+4y=6 D.2y+z=4 2.下列方程组中，是二元一次方程组的是 2x+y=3, A. 3 x-2y=5 xy=5 3 x-2y=1, 3y=-1, C. x+3z=8 2=3 3.二元一次方程x一2y=1有无数个解，下列四组值中不是该方程的解的是 x=0, (x=1, A. 1 y=-2 y=1 x=1, x=一1， C. D. y=0 y=-1 4.小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元， 且乙种水果比甲种水果少买了2kg,则小亮的妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮 的妈妈买了甲种水果xkg,乙种水果ykg,则可列方程组为 ·24· 10.2消元—解二元一次方程组 10.2.1代入消元法 第1课时用代入法解二元一次方程组 知识梳理 ①将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作 思想 ②代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含 的式子表示 出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解 当堂练习 2x+3y=7, 1.用代入法解方程组 时，最简便的是先消去未知数 ( ) 5.x-y=9 A.x B.y C.x,y中的任意一个 D.无法确定 2.某校春季运动会比赛中，七年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学 说：“(1)班与(5)班得分比为6：5.”乙同学说：“(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分.” 则(1)班得 分，(5)班得 分. 2p-3q=21,① 3.已知方程组 由②，得p= ③把③代入①，得2( -p+5=4q.② 3q=21,解这个方程，得q= 把q的值代入③，得p= 所以这个方程组 的解为 4.用代入法解下列方程组： 2x-y=3,① (1) (2) 3x+4y=10;② x+3y=7.② ·25· 第2课时用代入法解稍复杂的二元一次方程组 知识梳理 ①用代入法解稍复杂的二元一次方程组. ②用二元一次方程组解应用题 当堂练习 1.将方程3x-5y=11用含x的式子表示y为 ) A.y=11-3x 6 B.y=3x11 C.x=5y+11 D.x=5y11 5 3 2x+m=1, 2.由方程组 可得出用含y的式子表示x的形式是x= y-3=m 3x=2y+5, 3.若方程组 的解满足x十y十a=0,则a的值是 2x-6y=1 4.解下列方程组： 2x+3y=4,① 3x-5z=6,① (1) (2) 12y+1=5x;② 1x+4x=-15.② 5.春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品.已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270 元，购进甲商品3件和乙商品2件共需230元，求甲、乙两种商品每件的进价分别是多 少元. ·26· 10.2.2加减消元法 第1课时用加减法解二元一次方程组 知识梳理 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数 或 时，把这 两个方程的两边分别 或 ,就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进 而求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法， 当堂练习 5y=4,① 1.解方程组 时，用加减消元法最简便的是 4x+5y=1② A.①+② B.①-② C.①×2-②×3 D.①×3+②×2 2a+2b=3,① 2.用加减法解方程组 最简单的方法是 ( 3a+2b=4,② A.①×3-②×2 B.①×3+②×2 C.①+② D.①-② x-2y=9,① 3.解方程组 由①+②，得x-2y+3x+2y= 3x+2y=1.② 4.用加减法解下列方程组： (1)y=5,① (2)4x+3y=5,@ 12x+y=4;② 14x+2y=4.② 5.为了改善办学条件，某校计划集中采购一批电子白板和投影机.已知购买2块电子白板 比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元.问购买 一块电子白板和一台投影机各需要多少元？ ·27· 第2课时用加减法解稍复杂的二元一次方程组 知识梳理 ①当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时，能 用加减法解方程组. ②二元一次方程组的应用. 当堂练习 2x+3y=3, 1.用加减消元法解方程组 下列变形正确的是 3x-2y=11, 4x+6y=3, 6x+3y=9, 4x+6y=6, 6x+9y=3, A B. D. 19x-6y=11 16x-2y=22 9x-6y=33 6x-4y=11 2x-3y=5,① 2.用加减法解方程组 下列解法不正确的是 ( 3x-2y=7,② A.①×2-②×(-3)，消去y B.①×2-②×3，消去y C.①×(-3)+②X2,消去x D.①×3-②×2，消去x 3.已知关于x,y的二元一次方程组 的保为 ,则a-2b的值是( ax-by=1 y=-1 A.-2 B.2 C.3 D.-3 4.用加减法解下列方程组： 5x+4y=6,① (1) (28x+5y=1,0 2x+3y=1;② 4y-3.x=-10.② 5.在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个键 子共用360元，求跳绳、毽子的单价各是多少元. ·28·