7.1.2 两条直线垂直-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）贵州专版

【名师导学 。◆预习先知 。新知梳理 ①一般地，当两条直线α，b相交所成的 四个角中，有一个角是 时， 我们说a与b互相垂直，记作“a⊥ b”其中的一条直线叫作另一条直线的 ,它们的交点叫作 ②在同一平面内，过一点 条直线与已知直线垂直 ③连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中， 最短.简单说 成： ④直线外一点到这条直线的 的长度，叫作点到直线的距离。 ☑例题引路 【例1】过点P作直线1的垂线CD,下 面三角尺的摆放正确的是 44 【学生解答】 【例2】下列说法中，不正确的是( A.一条直线有无数条垂线 B.一条直线只有一条垂线 C.过一点可画平面内多条直线的垂线 D.过直线外一点画直线的垂线，垂足 一定在直线上 【学生解答】 【例3】如图，某工程队计划把河水引到 水池A中，他们先过点A作AB⊥CD, 垂足为B,CD为河岸，然后沿AB开 渠，可以节约人力、物力和财力，这样设 计的数学依据是 【学生解答】 7.1.2两条直线垂直 【基础过关 ·●逐点击破 知识点1垂线的定义 1.如图，OA⊥OB.若∠1=55°，则∠2的度数为 ( A.35 B.40° C.45° D.60° B B C 130 290 1 40°D A E (第1题图) (第2题图) 2.如图，直线AB,CD相交于点O如果∠EOD=40°，∠BOC= 130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是 知识点2垂线的画法及性质 3.如图，在同一平面内，经过直线1外一点A画1的垂线，能 画出 ( A· A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.(教材P5例2变式)如图，已知∠AOB和一点P,过点P 画∠AOB两边的垂线. A B B 图① 图② 图③ 知识点3垂线段的性质及点到直线的距离 5.(2025·贵阳期末)如图，能表示点A到直线1距离的 是 ( A.线段AB的长 B.线段AC的长 C.线段AD的长 D.线段AE的长 B D (第5题图) (第6题图) 6.噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害， 其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间.人距 离声源越近，听到的声音越大，受到的危害就越大.如图，工 厂C处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在（填 “A”“B”或“D”)处受到的危害较大.理由是 第七章相交线与平行线3 !易错点未给出图形，考虑不周全而致错 7.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射 线OC,使∠BOC=135°.将直角三角尺 MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线 OC互相垂直时，∠AOM的度数是 【能力提升 ◆>、整合运用 8.如图，已知OC是∠BOD的平分线，OD I OA, ∠BOC=32°，则∠AOC的度数为 () A.58° B.64° C.26° D.68° D (第8题图) (第9题图) 9.(2025·遵义期中)如图，在△ABC中，ACI BC,D为BC边上的一点，连接AD,E为线 段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB, 垂足为F.如果AC=6,BC=8,AB=10,则 CE十EF的最小值为 10.(1)在如图所示的方格纸中，点P是∠AOB 的边OB上的一点，请完成下列各题： ①过点P画OA的垂线，垂足为M; ②在射线OA上找一点N,使得直线 PN⊥OB; (2)在图中PN,PM,ON这三条线段大小关 系是 (用“<”号连接)，并 说明其中的数学理由： 11.如图，直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB 于点O. (1)若∠1=∠2，试说明：ON CD; 4数学1七年级下册 (2)若∠BOC=6∠1，求∠AOC,∠MOD的 度数. ■思维拓展 ，◆◆强化素养 12.如图①，∠AOB,∠COD都是直角. B 图① 图② (1)试猜想∠AOD和∠BOC在数量上是否 存在相等、互余或互补关系，你能说明 你猜想的正确性吗？ (2)当∠COD绕点O旋转到如图②的位置 时，你的猜想还成立吗？为什么？参考答案 第七章相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 新知梳理 ①反向延长线②顶点反向延长线 日相等 例题引路 【例1】(1)∠BOC(2)∠BOF,∠AOE【例2】D 基础过关 1.C2.144°3.120°4.D5.180°6.100°7.解：(1)∠B0D∠AOE(2)因为 ∠DOB=∠AOC=70°，∠DOB=∠BOE+∠EOD,∠BOE:∠EOD=2:3,所以设∠BOE =2x°，∠EOD=3.x°，则2x十3x=70,解得x=14.所以∠BOE=2x°=28°.所以∠AOE= 180°-∠B0E=180°-28°=152°. 能力提升 8.C9.A10.80°11.解：如图，4 一B方案一：用尺子沿塔底画出AO的延长 弥 D- C 线OC,用量角器测量∠BOC,利用邻补角互补可求得∠AOB的度数：方案二：用尺子沿塔底 画出AO的延长线OC,BO的延长线OD,用量角器测量出∠COD的度数，利用对顶角相等 求得∠AOB的度数.12.解：(1)因为∠BOE与∠BOD互为余角，所以∠BOE+∠BOD= 90°.因为∠BOE=4∠BOD,所以4∠BOD十∠BOD=90°.所以∠BOD=18°.(2)因为 ∠BOE=4∠BOD,所以∠BOE=4X18°=72°.所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-72°= 108.因为OF平分∠A0E,所以∠BOF=号∠A0E=5.所以∠BOF=∠B0E+∠EOF 地 =72°+54°=126° 思维拓展 13.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) 7.1.2 两条直线垂直 新知梳理 ①直角垂线垂足②有且只有一 ③垂线段垂线段最短④垂线段 例题引路 【例1】A【例2】B【例3】垂线段最短 基础过关 1.A2.互相垂直3.A4.解：如图. 图① 图② 图③ 5.C6.D垂线段最短7.135°或45 能力提升 8.A9.4.810.解：(1)①如图，PM即为所求.②如图，PN即为所求 线 (2)PM<PN<ON垂线段最短11.解：(1)因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°.所以 ∠AOC+∠1=90°，因为∠1=∠2，所以∠AOC+∠2=90°，即∠NOC=90°，所以ON⊥CD. (2)因为OM⊥AB,所以∠BOM=90°.因为∠BOC=6∠1，所以∠BOM+∠1=6∠1，即90° 十∠1=6∠1.所以∠1=18°.所以∠A0C=90°-∠1=90°-18°=72°.∠M0D=180°-∠1 =180°-18°=162°. 思维拓展 12.解：(1)∠AOD与∠BOC互补.说明如下：因为∠AOD=∠AOB十∠BOD=90°+ ∠BOD,∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOD=90°+90°-∠BOC.即 ∠AOD+∠BOC=180°.所以∠AOD与∠BOC互补.(2)猜想还成立.理由如下：因为 ∠AOB十∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，∠AOB,∠COD都是直角，所以90°+∠BOC+ 90°+∠AOD=360°.所以∠BOC+∠AOD=180°.所以∠AOD与∠BOC互补. 7.1.3两条直线被第三条直线所截 基础过关 1.A2.∠43.D4.N5.C6.∠3 第1页（共48页） 能力提升 7.B8.70°70°110°对顶9.解：(1)如图. (2)由∠1：∠2：∠3 h 2 =1:2:3,设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x.由∠2与∠3是邻补角，得∠2十∠3=2x°+3x° =180°，解得x=36.所以∠1=36°，∠2=2x°=72°，∠3=3x°=108. 模型构建专题“三线八角”的常见模型 L.C2.D3.A4.C5.AB AC DE内错6.(1)∠C,∠MOF,∠AOF (2)∠MOE,∠AOE,∠D7.解：(1)同位角：∠FAE和∠B;内错角：∠B和∠DAB:同旁内 角：∠EAB和∠B.(2)∠EAC和∠BCA,∠DAC和∠ACG.(3)∠BAC和∠BCA,∠FAC和 ∠ACG. 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 新知梳理 ②相交平行 ③3且只有一 ④平行 例题引路 【例1】D【例2】解：(1)如图，直线c即为所求.、P(2)a∥c.理由如下：因为a∥b, b∥c,所以a∥c.(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) 基础过关 1.C2.B3.(1)平行(2)相交(3)重合4.解：如图 EL 5.B 6.不能过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行7.解：(1)如图. Q(2)AB∥CD.理由如下：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD. C —B E 能力提升 8.B9.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面10.解：因为AB∥EF,CD∥EF,所以 AB∥CD.依据：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 11.解：(1)(2)如图. A (3)如图，4与2的夹角有两个，设为∠1，∠2.量得∠1 0 B =∠0=50°，∠2=130°，所以∠2十∠O=180°.综上所述，l1与l2的夹角与∠0相等或互补. 思维拓展 12.解：(1)分类讨论(2)如图，三条直线将平面分成四或六或七部分 Ⅱ/M ⅢV /VI Ⅲ 答图①答图②答图③ 答图④ 7.2.2平行线的判定 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：(1)由∠1=∠2可得AD∥BC.理由：内错角相等，两直线平行.(2)由∠B+ ∠BAD=180°可得AD∥BC.理由：同旁内角互补，两直线平行.(3)由∠B=∠3可得AB∥ CD.理由：同位角相等，两直线平行.【例2】解：AB∥CD.理由如下：：∠ACD=70°， ∠ACB=60°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=70°+60°=130°.：∠B=50°，∴.∠BCD+∠B =180°..AB∥CD. 基础过关 1.D2.同位角相等，两直线平行3.(1)ABCD同位角相等，两直线平行(2)EF GH同位角相等，两直线平行4.B5,ADBC6.B7.100°8.解：AB∥CD.理由如 下：.DE平分∠BDC,∴.∠BDC=2∠1.BE平分∠ABD,.∠ABD=2∠2..∠BDC+∠ABD =2∠1+2∠2=2（∠1十∠2）.：∠1+∠2=90°，∴.∠ABD+∠BDC=180°..AB∥CD. 第2页（共48页） 能力提升 9.C10.∠DAE=∠B(答案不唯一)1l.解：光线a与光线b平行.理由如下：如图. a 空气名 ∠1=∠2，∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，∠5=∠6.∠3=∠4，.∠3 1P5 水62 6卫空气 十∠5=∠4十∠6.∴.a∥b,即光线a与光线b平行. 思维拓展 12.解：(1)∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,∴∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE=116. (2)BC∥PA.理由如下：·∠PAD=∠BAE,∴∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE=180° 2∠BAE.同理可得∠ABC=180°-2∠ABE.:∠BAE+∠ABE=90°，∴·∠PAB+∠ABC =180°-2∠BAE+180°-2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)=180°..BC∥PA. 7.2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 新知梳理 ①相等②相等日互补 例题引路 【例1】解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下：：AB∥CD,∠A十∠D=180°.：AD∥BC, ∴∠C+∠D=180°..∠A=∠C.同理可得∠B=∠D.【例2】解：如图， 过点B作EF∥AM,则∠1=∠A=120°.：∠ABC=150°，∴.∠2= B ∠ABC-∠1=150°-120°=30°.：AM∥CN,∴.EF∥CN.∴.∠2+∠C=180°.∴.∠C=180 -∠2=180°-30°=150 基础过关 1.B2.160°3.D4.A5.A6.65 能力提升 7.B8.A9.140°10.65°11.解：(1)∠A=∠B.理由如下：：BC∥AD,∴∠B= ∠DOE.又：BE∥AF,∴∠DOE=∠A.∴∠A=∠B.(2):BE∥AF,∴∠EOA+∠A= 180°.：∠E0A=∠D0B=135°，.∠A=180°-∠E0A=180°-135°=45. 思维拓展 12.解：(1)AB∥CD,∴∠1=∠3.BE∥DF,∴∠2=∠3.∠1=∠2.(2)AB∥CD, ∠1=∠3.：BE∥DF,.∠2+∠3=180°.∴.∠1十∠2=180°.(3)相等或互补(4)设一 个角的度数为x°，则另一个角的度数为3x°-60°，①当x=3x-60时，解得x=30.此时3x -60°=x°=30°.则这两个角的度数分别为30°，30°；②当x十3x-60=180时，解得x=60. 此时3x°-60°=3×60°-60°=120°.则这两个角的度数分别为60°，120°. 第2课时平行线的性质与判定的综合运用 例题引路 【例】解：(1)：AE∥DG,∴.∠2+∠CAE=180°.：∠1+∠2=180°，.∠CAE=∠1..EF∥ AC.(2)AE∥DG,.∠AEC=∠CDG=100°..∠AEB=180°-∠AEC=80°.：EF平分 ∠AEB,∠1=∠AEB=40∴由1)知，∠CAE=∠1=40. 基础过关 1.D2.A3.145°4.110°5.解：EF∥AB.理由如下：CD∥AB,∴∠ABC=∠DCB= 70°.：∠CBF=20°，∴.∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°.：∠EFB=130°，.∠ABF+ ∠EFB=180°.∴.EF∥AB. 能力提升 6.B7.65°8.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，内错角相等等式的性质内错 角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等9.解：(1)∠GEA=∠HFB.理由如下： AD∥BC,∴.∠HPA=∠HFB,GE∥HF.∠GEA=∠HPA.∠GEA=∠HFB. (2)当∠EFC=35时，GH∥AD.理由如下：AD∥BC,.GE∥HF.根据折叠的性质可知 ∠G=∠D=70°，∠HFE=∠EFC=35°，.∠H=180°-∠G=180°-70°=110°，∠HFC= ∠HFE+∠EFC=35°+35°=70°..∠H+∠HFC=110°+70°=180°..GH∥BC.:AD ∥BC,.GH∥AD.∴.当∠EFC=35时，GH∥AD. 思维拓展 10.解：延长EF,交CD于点P.AB∥CD,∴.∠AEF=∠EPD.又.∠AEF=∠GHD, ∠EPD=∠GHD.∴.EP∥GH.∠EFN+∠FNG=180.MG∥FN,∠G+∠FNG =180°.∴.∠EFV=∠G. 第3页（共48页）