7.1.1 两条直线相交-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）贵州专版

第七 【名师导学 ◆◆预习先知 ▣新知梳理 ①两个角有一条公共边，它们的另一边 互为 ,具有这种位置 关系的两个角，互为邻补角. ②两个角有一个公共 ,并且一 个角的两边分别是另一个角的两边 的 ,具有这种位置关 系的两个角，互为对顶角. ③邻补角互补，对顶角 ☑例题引路 【例1】如图，直线AB,CD,EF相交于 点O. (1)∠AOD的对顶角是 (2)∠BOE的邻补角有 【学生解答】 【例2】如图，两条直线交于点O.若∠1十 ∠2=100°，则∠3的度数为( 12 A.110°B.120°C.125°D.130 【名师点拨】根据对顶角的性质，得 ∠1=∠2=50°，再根据邻补角的定义 即可得∠3的度数 【学生解答】 章相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 【基础过关 ●◆◆逐点击破 知识点1邻补角的定义及性质 1.下面四个图形中，∠1与∠2互为邻补角的是 A B 2.(2025·广州中考)如图，直线AB,CD相交于点O.若 ∠1=36°，则∠2的度数为 D D D 2一B B 1 C B (第2题图) (第3题图) （第5题图) 3.如图，直线AB和CD相交于点O,OE平分∠BOD.若 ∠BOE=30°，则∠AOD的度数为 知识点2对顶角的定义及性质 4.生活测量情境化下列日常使用的工具或学具中，没有应用 到对顶角及其相关知识的是 5.如图，直线AB,CD,EF相交于点O,则∠1+∠2+∠3的度 数为 6.(教材P3练习T3变式)如图，直线AB,CD相 交于点O,若∠AOC=∠BOC-20°，则∠AOD A- 的度数为 7.方程思想新理念（教材P9习题T5变式）如 图，直线AB,CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分. (1)图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为 (2)若∠AOC=70°，且∠BOE:∠EOD=2:3,求∠AOE 的度数. 第七章相交线与平行线1 【能力提升 、♪》整合运用 8.如图，直线AB与CD相交于点O,OE是AB上 方一条射线，若∠AOC=20.2°，∠BOE=75°，则 ∠DOE的度数用度、分、秒表示为 ( A.54581 B.55°58 C.54°48 D.55°481 (第8题图) (第9题图) 9.如图是一把剪刀，在使用过程中，若∠1增大 5°，则下列说法正确的是 A.∠2减少5° B.∠3减少5 C.∠4增大5 D.∠2的度数不变 10.如图，直线AB,CD,EF相交 于点O,∠AOD=120°， ∠BOE=140°，则∠COF的度 数为 11.地域文化情境化安顺西秀文笔塔始建于元 朝泰定年间，为安顺八景之一.该塔底部为 六边形结构.要测量该塔底部的底角 ∠AOB的度数（人不能进入塔内测量），请 写出两种不同的测量方案，并说明理由. 2数学1七年级下册 12.如图，已知直线AB与CD交于点O,OE是 AB上方的一条射线，若∠BOD与∠BOE 互为余角，且∠BOE=4∠BOD. (1)求∠BOD的度数； (2)若OF平分∠AOE,求∠BOF的度数. 【思维拓展 ◆·强化素养 13.规律探究新趋势观察下列各图，寻找对顶 角（不含平角）： 图① 图② 图③ (1)如图①，图中共有 对对顶角； (2)如图②，图中共有 对对顶角； (3)如图③，图中共有 对对顶角； (4)总结(1)~(3)小题中直线条数与对顶 角的对数之间的关系.若有n(n≥2)条 直线相交于一点，则有 对对 顶角参考答案 第七章相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 新知梳理 ①反向延长线②顶点反向延长线 日相等 例题引路 【例1】(1)∠BOC(2)∠BOF,∠AOE【例2】D 基础过关 1.C2.144°3.120°4.D5.180°6.100°7.解：(1)∠B0D∠AOE(2)因为 ∠DOB=∠AOC=70°，∠DOB=∠BOE+∠EOD,∠BOE:∠EOD=2:3,所以设∠BOE =2x°，∠EOD=3.x°，则2x十3x=70,解得x=14.所以∠BOE=2x°=28°.所以∠AOE= 180°-∠B0E=180°-28°=152°. 能力提升 8.C9.A10.80°11.解：如图，4 一B方案一：用尺子沿塔底画出AO的延长 弥 D- C 线OC,用量角器测量∠BOC,利用邻补角互补可求得∠AOB的度数：方案二：用尺子沿塔底 画出AO的延长线OC,BO的延长线OD,用量角器测量出∠COD的度数，利用对顶角相等 求得∠AOB的度数.12.解：(1)因为∠BOE与∠BOD互为余角，所以∠BOE+∠BOD= 90°.因为∠BOE=4∠BOD,所以4∠BOD十∠BOD=90°.所以∠BOD=18°.(2)因为 ∠BOE=4∠BOD,所以∠BOE=4X18°=72°.所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-72°= 108.因为OF平分∠A0E,所以∠BOF=号∠A0E=5.所以∠BOF=∠B0E+∠EOF 地 =72°+54°=126° 思维拓展 13.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) 7.1.2 两条直线垂直 新知梳理 ①直角垂线垂足②有且只有一 ③垂线段垂线段最短④垂线段 例题引路 【例1】A【例2】B【例3】垂线段最短 基础过关 1.A2.互相垂直3.A4.解：如图. 图① 图② 图③ 5.C6.D垂线段最短7.135°或45 能力提升 8.A9.4.810.解：(1)①如图，PM即为所求.②如图，PN即为所求 线 (2)PM<PN<ON垂线段最短11.解：(1)因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°.所以 ∠AOC+∠1=90°，因为∠1=∠2，所以∠AOC+∠2=90°，即∠NOC=90°，所以ON⊥CD. (2)因为OM⊥AB,所以∠BOM=90°.因为∠BOC=6∠1，所以∠BOM+∠1=6∠1，即90° 十∠1=6∠1.所以∠1=18°.所以∠A0C=90°-∠1=90°-18°=72°.∠M0D=180°-∠1 =180°-18°=162°. 思维拓展 12.解：(1)∠AOD与∠BOC互补.说明如下：因为∠AOD=∠AOB十∠BOD=90°+ ∠BOD,∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOD=90°+90°-∠BOC.即 ∠AOD+∠BOC=180°.所以∠AOD与∠BOC互补.(2)猜想还成立.理由如下：因为 ∠AOB十∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，∠AOB,∠COD都是直角，所以90°+∠BOC+ 90°+∠AOD=360°.所以∠BOC+∠AOD=180°.所以∠AOD与∠BOC互补. 7.1.3两条直线被第三条直线所截 基础过关 1.A2.∠43.D4.N5.C6.∠3 第1页（共48页） 能力提升 7.B8.70°70°110°对顶9.解：(1)如图. (2)由∠1：∠2：∠3 h 2 =1:2:3,设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x.由∠2与∠3是邻补角，得∠2十∠3=2x°+3x° =180°，解得x=36.所以∠1=36°，∠2=2x°=72°，∠3=3x°=108. 模型构建专题“三线八角”的常见模型 L.C2.D3.A4.C5.AB AC DE内错6.(1)∠C,∠MOF,∠AOF (2)∠MOE,∠AOE,∠D7.解：(1)同位角：∠FAE和∠B;内错角：∠B和∠DAB:同旁内 角：∠EAB和∠B.(2)∠EAC和∠BCA,∠DAC和∠ACG.(3)∠BAC和∠BCA,∠FAC和 ∠ACG. 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 新知梳理 ②相交平行 ③3且只有一 ④平行 例题引路 【例1】D【例2】解：(1)如图，直线c即为所求.、P(2)a∥c.理由如下：因为a∥b, b∥c,所以a∥c.(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) 基础过关 1.C2.B3.(1)平行(2)相交(3)重合4.解：如图 EL 5.B 6.不能过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行7.解：(1)如图. Q(2)AB∥CD.理由如下：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD. C —B E 能力提升 8.B9.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面10.解：因为AB∥EF,CD∥EF,所以 AB∥CD.依据：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 11.解：(1)(2)如图. A (3)如图，4与2的夹角有两个，设为∠1，∠2.量得∠1 0 B =∠0=50°，∠2=130°，所以∠2十∠O=180°.综上所述，l1与l2的夹角与∠0相等或互补. 思维拓展 12.解：(1)分类讨论(2)如图，三条直线将平面分成四或六或七部分 Ⅱ/M ⅢV /VI Ⅲ 答图①答图②答图③ 答图④ 7.2.2平行线的判定 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：(1)由∠1=∠2可得AD∥BC.理由：内错角相等，两直线平行.(2)由∠B+ ∠BAD=180°可得AD∥BC.理由：同旁内角互补，两直线平行.(3)由∠B=∠3可得AB∥ CD.理由：同位角相等，两直线平行.【例2】解：AB∥CD.理由如下：：∠ACD=70°， ∠ACB=60°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=70°+60°=130°.：∠B=50°，∴.∠BCD+∠B =180°..AB∥CD. 基础过关 1.D2.同位角相等，两直线平行3.(1)ABCD同位角相等，两直线平行(2)EF GH同位角相等，两直线平行4.B5,ADBC6.B7.100°8.解：AB∥CD.理由如 下：.DE平分∠BDC,∴.∠BDC=2∠1.BE平分∠ABD,.∠ABD=2∠2..∠BDC+∠ABD =2∠1+2∠2=2（∠1十∠2）.：∠1+∠2=90°，∴.∠ABD+∠BDC=180°..AB∥CD. 第2页（共48页） 能力提升 9.C10.∠DAE=∠B(答案不唯一)1l.解：光线a与光线b平行.理由如下：如图. a 空气名 ∠1=∠2，∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，∠5=∠6.∠3=∠4，.∠3 1P5 水62 6卫空气 十∠5=∠4十∠6.∴.a∥b,即光线a与光线b平行. 思维拓展 12.解：(1)∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,∴∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE=116. (2)BC∥PA.理由如下：·∠PAD=∠BAE,∴∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE=180° 2∠BAE.同理可得∠ABC=180°-2∠ABE.:∠BAE+∠ABE=90°，∴·∠PAB+∠ABC =180°-2∠BAE+180°-2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)=180°..BC∥PA. 7.2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 新知梳理 ①相等②相等日互补 例题引路 【例1】解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下：：AB∥CD,∠A十∠D=180°.：AD∥BC, ∴∠C+∠D=180°..∠A=∠C.同理可得∠B=∠D.【例2】解：如图， 过点B作EF∥AM,则∠1=∠A=120°.：∠ABC=150°，∴.∠2= B ∠ABC-∠1=150°-120°=30°.：AM∥CN,∴.EF∥CN.∴.∠2+∠C=180°.∴.∠C=180 -∠2=180°-30°=150 基础过关 1.B2.160°3.D4.A5.A6.65 能力提升 7.B8.A9.140°10.65°11.解：(1)∠A=∠B.理由如下：：BC∥AD,∴∠B= ∠DOE.又：BE∥AF,∴∠DOE=∠A.∴∠A=∠B.(2):BE∥AF,∴∠EOA+∠A= 180°.：∠E0A=∠D0B=135°，.∠A=180°-∠E0A=180°-135°=45. 思维拓展 12.解：(1)AB∥CD,∴∠1=∠3.BE∥DF,∴∠2=∠3.∠1=∠2.(2)AB∥CD, ∠1=∠3.：BE∥DF,.∠2+∠3=180°.∴.∠1十∠2=180°.(3)相等或互补(4)设一 个角的度数为x°，则另一个角的度数为3x°-60°，①当x=3x-60时，解得x=30.此时3x -60°=x°=30°.则这两个角的度数分别为30°，30°；②当x十3x-60=180时，解得x=60. 此时3x°-60°=3×60°-60°=120°.则这两个角的度数分别为60°，120°. 第2课时平行线的性质与判定的综合运用 例题引路 【例】解：(1)：AE∥DG,∴.∠2+∠CAE=180°.：∠1+∠2=180°，.∠CAE=∠1..EF∥ AC.(2)AE∥DG,.∠AEC=∠CDG=100°..∠AEB=180°-∠AEC=80°.：EF平分 ∠AEB,∠1=∠AEB=40∴由1)知，∠CAE=∠1=40. 基础过关 1.D2.A3.145°4.110°5.解：EF∥AB.理由如下：CD∥AB,∴∠ABC=∠DCB= 70°.：∠CBF=20°，∴.∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°.：∠EFB=130°，.∠ABF+ ∠EFB=180°.∴.EF∥AB. 能力提升 6.B7.65°8.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，内错角相等等式的性质内错 角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等9.解：(1)∠GEA=∠HFB.理由如下： AD∥BC,∴.∠HPA=∠HFB,GE∥HF.∠GEA=∠HPA.∠GEA=∠HFB. (2)当∠EFC=35时，GH∥AD.理由如下：AD∥BC,.GE∥HF.根据折叠的性质可知 ∠G=∠D=70°，∠HFE=∠EFC=35°，.∠H=180°-∠G=180°-70°=110°，∠HFC= ∠HFE+∠EFC=35°+35°=70°..∠H+∠HFC=110°+70°=180°..GH∥BC.:AD ∥BC,.GH∥AD.∴.当∠EFC=35时，GH∥AD. 思维拓展 10.解：延长EF,交CD于点P.AB∥CD,∴.∠AEF=∠EPD.又.∠AEF=∠GHD, ∠EPD=∠GHD.∴.EP∥GH.∠EFN+∠FNG=180.MG∥FN,∠G+∠FNG =180°.∴.∠EFV=∠G. 第3页（共48页）