第四章 三角形 综合评价(150分)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

外其他均相同的10个白球和1个黑球的袋中摸球，摸出白球。18.解：由题意，得事件① 发生的可能结果有9种，可能性大小为号：事件②发生的可能结果有16种，可能性大小为 号：事件③发生的可能结果有2种，可能性大小为云。因为务<号<碧，所以将它们按可 能性从小到大的顺序排列为事件③、事件①、事件②。19.解：(1)每次翻动正面一个数字 共9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中有1种结果是“翻到奖金800元”，所以P (翻到奖金800元)=。(2)每次翻动正面一个数字共9种结果，且每种结果出现的可能 性相同，其中有3种结架是“翻到奖金”，所以P(翻到奖金)=号=言。20.解：1)由题意 知，从这个袋子中任意摸出一个球共有15种等可能结果，其中摸到红球的有8种结果，所 以P(摸到红球)=号。(2)由题意知，此时从袋中任意摸出一个球共有24种等可能结果， 其中摸到红球的有12种结果，所以P(摸到红球)号=号。21，解：(1)因为在这7张卡 片中，正数有1,23,45这5个，所以P(轴到的数字为正数)=号。(2)因为在这7张卡片 中，绝对值小于2的数有-1,0,1这3个，所以P(轴到的数字的绝对值小于2)=号。 22.解：(1)因为扇形上有1,3,5共3个奇数，所以自由转动转盘，当它停止转动时，P(指针 指向奇数区)=号-之。(2)答案不雕一。如：自由转动的转盘停止时，指针指向大于2的 区域。23.解：(1)0.60(2)0.60.4(3)因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率 是0.4，所以口袋中白球有20×0.6=12（个），黑球有20×0.4=8（个）。24.解：(1)当n> 6时，即n=7或8或9时，这个事件必然发生。(2)当n<3时，即n=1或2时，这个事件不 可能发生。(3)当3n≤6时，即n=3或4或5或6时，这个事件可能发生。25.解： (1)号(2)选择方法①中“不是3的倍数”。理由如下：大于4的数有：5,67,8,9,10，所以 P(猜“是大于4的数”)=品-=号.不是大于4的数有：12,34，所以P(猜不是大于4的 数”)=告=号。由①可得猜“不是3的倍数“的概率是1一品=品。因为品>子>号，所 2 以选择方法①中“不是3的倍数”。(3)不公平。猜“是奇数”或“是偶数”对双方都公平。 阶段综合评价（二）[期中] 1.C2B3.A4.B5.B6.B7.D8.D9.D10.D11.D12.C【解析】过点 F作FH∥AB,得FH∥AB∥CD,所以∠ABF=∠BFH,∠GCD=∠CFH。根据BF,GC 是∠ABE,∠ECD的平分线，得∠EBF=∠ABF=∠BFH,∠ECG=∠GCD=∠CFH。根 据四边形内角和为360°，∠BEC-∠F=33°，即可求出∠E的角度。13.垂线段最短 14.2415.316.28°17.解：(1)原式=-1×1十9-5=-1十9-5=3。(2)设这个角为 x°。由题意，得180-x=3(90-x)-20,解得x=35。答：这个角的度数是35°。18.解： 原式=(4x2十4xy十y2-y2-4xy-8xy)÷2x=(4x2-8xy)÷2x=2x-4y。当x=2,y= -1时，原式=2×2-4×(-1)=4十4=8.19.解：因为AB∥DE,所以∠1=∠CAB。因 为∠1=∠ACB,所以∠CAB=∠ACB。又因为∠CAB=号∠BAD,所以∠CAB=∠CAD. 所以∠CAD=∠ACB。所以AD∥BC。20.解：(1)0.510.50(2)估计这名同学投篮 一次，投中的概率约是0.5。(3)622×0.5=311（次）。所以估计这名同学投篮622次，投中 的次数是311次。21，同旁内角互补，两直线平行两直线平行，内错角相等P℉内错 角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等22，解：1)2(2)该校工会主席的做法对 小张和小李公平。理由如下：从写有“社会主义核心价值观”的12张卡片中随机摸出一张 第28页（共48页） 卡片，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中出现国家层面的结果有4种，分别 是“富强”“民主”“文明”“和谐”，出现社会层面的结果有4种，分别是“自由”“平等”“公正” “法治”，所以P(小张去)=是=子，P(小李去)=吉-子.所以P(小张去)=P小李去)。 1 所以该校工会主席的做法对小张和小李公平。23.解：(1)因为∠BOD=40°，所以∠AOD= 180°-∠B0D=180°-40=140。因为OF平分∠A0D,所以∠A0F=∠D0F=号∠A0D =70°，所以∠COF=180°-∠DOF=180°-70°=110°。(2)因为∠AOC:∠C0E=2:3,所 以设∠AOC=x,则∠COE=是x。因为0E⊥AB,所以∠A0E=∠BOE=90,所以 ∠A0C+∠C0E=∠A0E=90°，所以x十号x=90,解得x=36.即∠A0C=36°。所以 ∠A0D=180-∠A0C=180°-36°=14。因为OF平分∠A0D,所以∠D0F=号∠A0D =72°。24.解：(1)15(2)根据题意，设OA=OC=m,OD=OF=n。因为CF=8,所以 OC十OF=m十n=8。所以(m十)2=82，即m2十n2+2n=64。因为正方形ABC0和正方 形ODEF的面积和为36，所以m2十m2=36。所以36十2n=64。所以mn=14。所以S阴影 一乞mm+2mn=mm=14,即阴影部分的面积为14.25.解：(1)110°理由如下：因为PE∥ AB,所以∠PAB+∠APE=180°。所以∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°。又因为 AB∥CD,所以PE∥CD。所以∠PCD+∠CPE=180°。所以∠CPE=180°-∠PCD= 180°-120°=60°。所以∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°。(2)∠APC=a十B。 理由如下：如图②，过点P作PF∥AB交AC于点F。因为AB∥CD,所以AB∥PF∥CD。 所以∠PAB=∠APF=a,∠PCD=∠CPF=B。所以∠APC=∠APF+∠CPF=a+B。 (3)如答图①，当点P在射线DM上运动时，过点P作PG∥AB,∠APC=a-B;如答图②， 当点P在O,B之间运动时，过点P作PH∥AB,∠APC=B-a。 图② 答图① 答图② 第四章综合评价 1,B2.C3.A4.D5.B6.D7.B8.B9.C10.C11.C12.C13.稳定性 14.∠A=∠D(答案不唯一)15.2416.3或717.解：(1)因为三角形的内角和为180°， 三个内角度数之比为2：3：4，所以最小内角的度数为号×180°=40。(2)因为△AB02 △CDO,所以∠AOB=∠COD,∠A=∠C。所以∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB。所以 ∠AOC=∠BOD=35°。因为AO∥CD,所以∠AOC=∠C=35°。所以∠A=∠C=35°。 18.解：因为∠B+∠C+∠BAC=180°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°= 80.因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=合∠BAC=40。因为AD⊥BC,所以∠ADB= 90°。所以∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°。所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20 =20°。19.解：如图，a △ABC即为所求。20.解：(1)因 为a,b,c是△ABC的三边，a=4,b=6,所以根据三角形的三边关系，得6一4<c<4十6，即2 <c<10。因为三角形的周长是小于16的偶数，所以a十b+c<16,即c<6。所以c=4。 (2)因为a=c=4,所以△ABC的形状是等腰三角形。21.解：因为∠ACD=100°，∠ADC 第29页（共48页) =65°，所以∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-100°-65°=15°。所以∠CAD= ∠CEB。在△ACD和△ECB中，因为∠CAD=∠CEB,∠ACD=∠ECB,CD=CB,根据三 角形全等的判定条件“AAS”,所以△ACD≌△ECB。所以CA=CE。又因为CB=CD,所以 CA-CB=CE-CD,即AB=DE。因为DE=30m,所以AB=30m。答：A,B两点间的距 离为30m。22.解：(1)因为AB∥CD,所以∠ABD=∠EDC。在△ABD和△EDC中，因 为∠ABD=∠EDC,∠ADB=∠ECD,AD=EC,根据三角形全等的判定条件“AAS”,所以 △ABD≌△EDC。(2)由(1)可知，△ABD≌△EDC,所以AB=DE=2,BD=CD。因为BD =DE+BE=2十3=5，所以CD=5.23.解：①（或②）当选择①BF=DE时，BF+EF =DE十EF,即BE=DF。在△ABF和△CDE中，因为AB=CD,AF=CE,BF=DE,根据 三角形全等的判定条件“SSS”,所以△ABF≌△CDE。所以∠B=∠D。在△ABE和 △CDF中，因为AB=CD,∠B=∠D,BE=DF,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以 △ABE≌△CDF。所以∠AEB=∠CFD。所以AE∥CF。[或选②，先用“SAS”判定 △ABF≌△CDE,得到∠B=∠D,BF=DE。后续过程同①]24.解：(1)因为∠C=50°， ∠B=30°，所以∠BAC=180°-∠C-∠B=100°。因为AE平分∠BAC,所以∠CAE= ∠BAC=50。在△ACE中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=80°。因为AD⊥BC,所以 1 ∠EFD=90°-∠AEC=10'。(2)∠EFD=（∠C-∠B)。理由如下：因为AE平分 ∠BAC,所以∠BAE=2∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-号（∠C+∠B)。在 △ABE中，∠AEB=180°-∠B-∠BAE,所以∠AEC=180°-∠AEB=∠B+∠BAE= ∠B+90°-2（∠C+∠B)=90°+（∠B-∠C)。因为FD1BC,所以∠FDE=90°。所 以∠EFD=90-∠AEC=90-90-(∠B-∠C)=之（∠C-∠B)。(3)∠EFD 合（∠C-∠B)25.解：）ASA(2)延长AE交BC于点F。同(1)可得△ABC≌ △FEC,所以∠EFC=∠EAC=65°。所以∠AFB=180°-∠AFC=115°。所以∠DAE= 180°-∠B-∠AFB=30。(3)BE=号CD。理由如下：延长BE,CA交于点G,则∠BAG= 180°-∠BAC=90°。因为BE⊥CD,所以∠BED=90°=∠BAC。因为∠ABG+∠G=90°， ∠ACD+∠G=90°，所以∠ABG=∠ACD。在△ABG和△ACD中，因为∠ABG=∠ACD, AB=AC,∠BAG=∠CAD,根据三角形全等的判定条件“ASA”,所以△ABG≌△ACD。所 以BG=CD。同(I)可得△CBE2△CGE,所以BE=EG=号BG。所以BE=CD。 第五章综合评价 1.C2.A3.C4.C5.B6.C7.D8.C9.C10.C11.A12.B13.2 14.10°15.65°16.号【解析】过点0作OM LBC于M,ON1AB于N,则ON=OM, 可证期票 号BE.0N BC.OM 货=号则可准出瓷=号运面得到SrSm=0B: 0C=3:2,据此可得答案。7，解：1)如图，BOOK这个单词所指 的物品是书。(2)因为在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，∠BAC=50°，所以AD 平分∠BAC,AD1BC,所以∠1=号×50=25，∠ADC=90。 18.解：(1)分两种情况： 当等腰三角形的顶角是30°，则底角为(180°-30°)÷2=75°，则另外两个内角都是75°；当等 腰三角形的底角是30°，则顶角为180°-30°-30°=120°，则另外两个角分别是120°和30°。 第30页（共48页）第四章综合评价 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(每小题3分，共36分。每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只 有一个选项正确) 1.在下列各图的 △ABC 中，正确画出AC边上的高的图形是 () B B A D C D A C A B B B D A C D A C C D 2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是 () A.4，5，9 B.5，5，11 C.8，8，14 D.3，4，7 3.在 △ABC 中，如果 $$\angle A + \angle B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，那么 △ABC 是 () A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.斜三角形 4.尺规作图：作 ∠A'O'B'=∠AOB。 。如图，下列作图过程中，错误的是() A.作射线 O'A 4' 封 B.以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA 于点C 交OB于点D C.以点O为圆心，以 OC 的长为半径作弧，交 O'A '于点C D.以点C'为圆心，以任意长为半径作弧，与已知的弧交于点 D' A B B' E I D C AO C'A' B C D B D C (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图， △ABC≅△DEC， 点B，C，D在同一直线上，且 CE=5，AC=8， 则 BD长 () A.12 B.13 C.14 D.16 6.如图， △ABC 的周长为30 cm，AD是边 BC 上的中线。若 CD=6cm，AC 比AB长4cm，则AB的长为 () A.11 cm B.5cm C.6cm D.7 cm 7.将一副三角尺如图摆放，则图中 ∠1 的度数是 () $$A . 7 5 ^ { \circ }$$ $$B . 1 0 5 ^ { \circ }$$ $$C . 1 3 5 ^ { \circ }$$ $$D . 1 5 0 ^ { \circ }$$ A 1 D D B C (第7题图) (第8题图) (第9题图 第1页(共6页) 8.如图，OA=OC,添加下列条件后仍不能判定△OAB≌△OCD的是() A.OB=OD B.AB=DC C.∠B=∠D D.∠A=∠C 9.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高，则∠DBC 的度数是 ( ) A.36 B.26° C.18 D.16° 10.如图，在△ABC中，M,N分别是边AB,BC上的点，将△BMN沿MN 折叠，使点B落在点B'处。若∠B=35°，∠BNM=28°，则∠AMB'的度 数为 ) A.30° B.37° C.549 D.63 B (第10题图) (第11题图) (第12题图) 11.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F。若 ∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC的度数为 ( ) A.118 B.119 C.120 D.121° 12.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ADC+∠ABC=180°，E是BC 上的动点，过点E作∠EAF=∠BAD,则下列说法正确的是（ ) A.AE=AF B.∠C=∠EAF C.EF=BE+DF D.∠AFE=∠AEB 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.如图，自行车的三角形支架；一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定。 这两个日常生活实例都是利用三角形具有 B (第13题图) (第14题图) 14.如图，AB=DB,∠1=∠2，要使△ABC≌△DBE,还需添加的一个条件 是 。（只需写出一种情况) 15.如图，D,E,F分别是BC,AD,AC边上的中点。若阴影部分的面积为9，则 △ABC的面积为 B B (第15题图) (第16题图) 16.如图，在正方形ABCD中，AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE, 动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→BC→D→A 向终点A运动。设点P的运动时间为ts,当△ABP和△DCE全等时， t的值为 第2页（共6页） 三、解答题（本大题共9题，共98分。解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(本题满分12分) (1)若一个三角形的三个内角的度数之比是2：3：4，求最小内角的度数； (2)如图，△ABO≌△CDO,点B在CD上，AO∥CD,∠BOD=35°，求 ∠A的度数。 18.(本题满分10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B= 70°，∠C=30°。求∠BAE和∠DAE的度数。 19.(本题满分10分)如图，已知线段a,b和∠a,求作△ABC,使AB=a, AC=b,∠A=∠a. 第3页（共6页） 20.(本题满分10分)已知a,b,c是△ABC的三边，a=4,b=6,若三角形的 周长是小于16的偶数。 (1)求c的值； (2)判断△ABC的形状。 21.(本题满分10分)在学习完三角形章节后，数学兴趣小组的同学设计了 如下方案测量河两岸A,B两点间的距离。 课题 测量河两岸A,B两点间的距离 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案 示意图 E ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和，点D,使得点A,B, C在同一直线上，且CD=BC; 测量步骤 ②测得∠ACD=100°，∠ADC=65°： ③在CD的延长线上取点E,使得∠CEB=15°； ④测得DE的长度为30m。 请你根据以上方案求出A,B两点间的距离。 22.(本题满分10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠ADB= ∠ECD,AD=EC (1)△ABD与△EDC全等吗？请说明理由. (2)若AB=2,BE=3,求CD的长。 第4页（共6页） 23.(本题满分12分)如图，已知AB=CD,点E,F在线段BD上，且AF= CE。 请从①BF=DE;②∠BAF=∠DCE;③AF=CF中选择一个合适的选 项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE。 你添加的条件是 (只填写一个序号)。 添加条件后，请说明AE∥CF的理由。 24.(本题满分12分)在△ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC,F为射线 AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D. (1)如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图①，求∠EFD的 度数。 (2)如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图②，问∠EFD与 ∠C一∠B有怎样的数量关系？并说明理由。 (3)如果点F在△ABC外部，如图③，此时∠EFD与∠C-∠B的数量 关系是 A(F) ED ED 图① 图② 图③ 第5页（共6页） 25.(本题满分12分)【问题情境】 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分 ∠MON。点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长 AC交ON于点B,可根据“ ”判定△AOC≌△BOC,则AO= BO,AC=BC(即点C为AB的中点). 【类比解答】 (2)如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若∠EAC= 65°，∠B=35°，请通过上述构造全等的方法，求∠DAE的度数。 【拓展延伸】 (3)如图③，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB, BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关 系，并说明理由。 B E D D 图① 图② 图③ 第6页（共6页）