第4章 三角形（导图+知识梳理+易错点拨+15个考点讲练+优选压轴题专练 共58题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第4章 三角形 （知识梳理+易错点拨+15个重难点考点讲练+压轴题专练 共58题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：三角形的内角和 3 知识点梳理02：三角形的分类 3 知识点梳理03：三角形的三边关系 3 知识点梳理04：全等三角形的性质与判定 4 知识点梳理05：用尺规作三角形 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：基本概念与三边关系 5 易错知识点02：三角形分类与性质混淆 5 易错知识点03：重要线段与角度的计算疏漏 5 易错知识点04：全等三角形的判定与性质 6 易错知识点05：作图与实际应用问题 6 重点难点 考点讲练 6 重点难点考点讲练01:三角形 6 重点难点考点讲练02:三角形的角平分线、中线和高 8 重点难点考点讲练03:三角形的重心 8 重点难点考点讲练04:三角形三边关系 9 重点难点考点讲练05:三角形内角和定理 10 重点难点考点讲练06:全等三角形的性质 12 重点难点考点讲练07:全等三角形的判定 13 重点难点考点讲练08:全等三角形的判定与性质 15 重点难点考点讲练09:作图-基本作图 16 重点难点考点讲练10:全等三角形的应用 18 重点难点考点讲练11:一线三等角构造全等模型（全等三角形解题模型） 19 重点难点考点讲练12:手拉手模型-旋转想全等（全等三角形解题模型） 21 重点难点考点讲练13:倍长中线模型（全等三角形解题模型） 22 重点难点考点讲练14:角平分线+垂直构造全等模型（全等三角形解题模型） 24 重点难点考点讲练15:对角互补且一组邻边相等的半角模型（全等三角形解题模型） 25 重点难点考点讲练15:“边边边”模型（全等三角形解题模型） 28 压轴专练 拔尖冲刺 29 知识点梳理01：三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 【易错点剖析】应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点梳理02：三角形的分类 1.按角分类： 【易错点剖析】 ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 【易错点剖析】 ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点梳理03：三角形的三边关系 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【易错点剖析】 （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 2.三角形的重要线段： 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 知识点梳理04：全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理 全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 【易错点剖析】 （1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 知识点梳理05：用尺规作三角形 1.基本作图 利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等； 【易错点剖析】要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达. 易错知识点01：基本概念与三边关系 1. 三角形定义理解偏差 三角形需满足“不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接”，但学生可能忽略“首尾相接”条件，误认为任意三条线段即可组成三角形。 易错实例：若线段AB、BC、CA未首尾相连，即使不在同一直线上，也不构成三角形。 2. 三边关系的应用错误 范围计算错误：已知两边长求第三边范围时，需同时满足“两边之和>第三边”和“两边之差<第三边”。 忽略单位统一：若题目中边长单位不同（如3cm和50mm），未统一单位直接计算导致错误 易错知识点02：三角形分类与性质混淆 1. 分类标准不清 按边分类：等腰三角形包含等边三角形，但学生可能将两者视为并列关系，误认为“等边三角形不是等腰三角形”。 按角分类：锐角三角形需三个角均为锐角，但可能将含一个锐角的直角三角形或钝角三角形误判为锐角三角形。 2. 特殊三角形性质误用 等腰三角形： 误将“两腰相等”等同于“两底角相等”，但未明确“等边对等角”的前提。 计算周长时，未考虑“腰和底边”的多种可能性（如已知等腰三角形两边为3cm和5cm，需分情况讨论腰和底边） 直角三角形： 忽略“斜边大于任意直角边”的性质，导致三边关系错误（如直角边为3和4，斜边应为5，但误算为其他值） 易错知识点03：重要线段与角度的计算疏漏 1. 中线、角平分线、高线的混淆 中线：连接顶点与对边中点，但可能误认为中线平分面积以外的性质（如误以为中线垂直对边）。 高线：钝角三角形的高可能在形外，学生未延长边作垂线导致漏解（如钝角△ABC中，高线AD需从顶点A向BC的延长线作垂线）。 2. 内角与外角关系错误 外角定理：三角形的一个外角等于不相邻两内角之和，但可能误加相邻内角（如误认为外角=相邻内角+另一内角）。 内角和计算：复杂图形中，未正确识别三角形边界，导致角度累加错误（如将四边形内角和误用于三角形）。 易错知识点04：全等三角形的判定与性质 1. 判定条件混淆 SSA与HL的误用：SSA（边边角）不能判定一般三角形全等，但可能误用于非直角三角形；HL（斜边直角边）仅适用于直角三角形，但未验证直角条件直接使用 AAA的无效性：三个角相等（AAA）无法判定全等，但可能因图形形状相似误判为全等 2. 全等性质应用错误 对应边/角错位：在复杂图形中，未正确标记对应顶点，导致对应边或角匹配错误（如△ABC≌△DEF中，误将AB与DF对应） 忽略隐藏条件：如公共边、公共角未在证明中明确标注，导致步骤不严谨（如未说明“AC=AC”即公共边 易错知识点05：作图与实际应用问题 1. 尺规作图规范性错误 作三角形条件缺失：例如用SAS作三角形时，未保证“夹角”是已知两边的夹角，导致图形不符 忽略作图痕迹：如未保留作图弧线或未标注关键点，导致扣分 2. 实际问题的数学建模错误 稳定性误解：认为三角形稳定性适用于所有情况，忽略材料强度或连接方式的影响（如木棍未固定端点仍可能变形） 最短路径问题：如“蚂蚁爬行最短路径”未展开立体图形为平面图，直接计算错误 重点难点考点讲练01:三角形 【例题精讲】（2024春•长安区期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b． （1）用a，b表示图中阴影部分的面积； （2）若a+b＝8，ab＝9，求图中阴影部分的面积． 【训练1】（2019春•金堂县校级期中）原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形； 如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形； 如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形； … 以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成　 　 个三角形． 【训练2】（2024秋•海城市期中）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 重点难点考点讲练02:三角形的角平分线、中线和高 【例题精讲】（2024秋•恩施市校级期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【训练1】（2024秋•宁津县校级期中）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　　 cm2． 【训练2】（2024秋•南昌期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 重点难点考点讲练03:三角形的重心 【例题精讲】（2021春•城阳区期中）下列结论正确的有（　　） ①两条直线相交，所得的四个角中有一个角是90°，这两条直线一定互相垂直 ②三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的重心 ③直线AB⊥CD，也可以说成直线CD⊥AB ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（2019春•泰兴市期中）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，且BC＝4cm，OF＝2cm，则四边形ADOE的面积是 ． 【训练2】（2023秋•确山县期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　） A．点G B．点D C．点E D．点F 重点难点考点讲练04:三角形三边关系 【例题精讲】（2024春•二道区校级期中）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝8m，PB＝6m，那么点A与点B之间的距离不可能是（　　） A．11.5m B．12.5m C．13.5m D．14.5m 【训练1】（2024春•浦东新区期中）已知，如图四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，试说明：AC与BD的和小于四边形ABCD的周长． 【训练2】（2018春•雁塔区校级期中）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论． （1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC　 　 AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． （3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 重点难点考点讲练05:三角形内角和定理 【例题精讲】（2024春•源城区校级期中）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【训练1】．（2023秋•上杭县期中）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则x＝ 　 度． 【训练2】（2024春•天宁区校级期中）阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是30°、90°、60°，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为90°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍． （1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 　45°　 ． （2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度数． （3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“优雅三角形”，直接写出∠C的度数． 重点难点考点讲练06:全等三角形的性质 【例题精讲】（2024秋•广饶县校级期中）图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是　　 ． 【训练1】．（2024春•中原区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝15，点P从A点出发沿A→C→B路径运动；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A．点P和Q分别以每秒2和5的运动速度同时开始运动，点Q到相应的终点时点P也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动　 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 【训练2】（2023秋•金平区期中）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图①，当t＝　 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 重点难点考点讲练07:全等三角形的判定 【例题精讲】（2018秋•龙口市期中）如图，已知∠BAC＝∠DAC那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90° 【训练1】（2024秋•高安市期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　 秒时，△PEC与△QFC全等． 【训练2】（2024春•成都期中）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6． （1）求BO的长； （2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 重点难点考点讲练08:全等三角形的判定与性质 【例题精讲】（2024秋•汉滨区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E．下列结论：①∠ABM＝∠ACD；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④S△EDN＝S△ADM．其中正确结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【训练1】（2024秋•汝南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝128°时，∠EDC＝ 　 ，∠AED＝　 　 ； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【训练2】（2024秋•上杭县期中）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DEBD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　 　 ． 重点难点考点讲练09:作图-基本作图 【例题精讲】（2024春•青山区期中）如图，已知∠AOB，用尺规以OB为一边在∠AOB的外部作∠COB＝∠AOB，对于弧PQ，下列说法正确的是（　　） A．以点M为圆心，OM的长为半径 B．以点N为圆心，MN的长为半径 C．以点O为圆心，OM的长为半径 D．以点N为圆心，ON的长为半径 【训练1】（2024春•市中区期中）画图题： （1）在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH． （2）判断EF、GH的位置关系是 　 　 ． （3）连接AC和BC，则三角形ABC的面积是 　 　 ． 【训练2】（2024春•和平区校级期中）学习完三角形的知识后，轩轩想出了“作三角形一边中线”的一种尺规作图的作法，下面是具体过程． 已知：△ABC． 求作：BC边上的中线AD． 作法： ①分别以点B为圆心，AC长为半径；点C为圆心，AB长为半径在BC的下方作弧，两弧相交于P点． ②作射线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下面问题． （1）尺规作图，补全图形；（保留作图痕迹） （2）求证：AD是△ABC的中线． 重点难点考点讲练10:全等三角形的应用 【例题精讲】（2024秋•东港区期中）某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，且ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【训练1】（2021秋•无为市期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由． 【训练2】（2024秋•沂源县期中）如图，把一个三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、B、C分别槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论． 重点难点考点讲练11:一线三等角构造全等模型（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2024秋•朝阳区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 　 cm． 【训练1】（2024秋•东方期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系，并加以证明； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【训练2】（2022春•南岸区校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． （1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝ 　 °； （2）过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△　 　 ； ②求证：AE＝AF+BC； （3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由． 重点难点考点讲练12:手拉手模型-旋转想全等（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2024春•青羊区校级期中）如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，延长AD至点G，若GE平分∠DGC，CE平分∠DCH，则下列结论：①∠ABE＝∠ACF；②∠GEB＝45°；③EO＝EC；④AE﹣CE＝BF；⑤AG﹣CG＝BC，其中正确的结论有 　 （写序号）． 【训练1】（2023春•越秀区校级期中）如图，△ABC和△AED都为等腰直角三角形，∠ABC＝∠AED＝90°，五边形ABCDE面积为S，求　　 ． 【训练2】（2023春•荣成市期中）如图1，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点． （1）直接写出△CDE的形状是 　 　 ； （2）如图2，若点M为直线DE上一动点，∠MCN＝90°，CM＝CN，连接ND，请判断ND与ME的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接AN，请求出AN的最小值． 重点难点考点讲练13:倍长中线模型（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2017秋•江华县期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定 【训练1】（2022春•肥城市期中）如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数． 【训练2】（2024春•雨城区校级期中）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 重点难点考点讲练14:角平分线+垂直构造全等模型（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2024秋•三河市校级期中）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度． 【训练1】（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，过点A作AE⊥BC于点E，连接AC，若∠B＝2∠BCA，BC＝CD+3，则BE的长为 　 ． 【训练2】（2015春•深圳校级期中）如图，已知△ABC的面积为8cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为　　 cm2． 重点难点考点讲练15:对角互补且一组邻边相等的半角模型（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2024秋•醴陵市期末）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　 ； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【训练1】（2021春•静安区校级期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF． （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【训练2】（2017春•皇姑区期末）（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 　 ；则中线AD的取值范围是 ； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF 　 　 EF（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF 　　 EF（填“＞”或“＝”或“＜“）； （4） 若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝　　 （用含α的代数式表示）. 重点难点考点讲练15:“边边边”模型（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2024秋•南昌期末）如图，小马用高度都是2cm的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙AD与BE，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知AC＝BC，∠ACB＝90°，则两面木墙之间的距离为（　　） A．30cm B．24cm C．20cm D．18cm 【训练1】（2024春•长春期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙AD、CE，其中木块墙AD＝24cm，CE＝12cm．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在DE上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE＝　 　 cm． 【训练2】（2024春•章丘区期末）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求两堵木墙之间的距离． （2）如图2，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E，当线段DC＝2时，请证明△ABD≌△DCE． 1．（2024秋•荣成市校级期中）如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•微山县期中）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝2，AD＝3，则AC的取值范围是（　　） A．AC＞2 B．AC＜3 C．2＜AC＜3 D．1＜AC＜5 3．（2024秋•沂南县期中）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•张店区校级期中）如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为 　　 ． 5．（2024春•成都期中）如图，AB⊥CD于点E，且AB＝CD＝AC，若点I是△ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点．下列结论：①∠AIC＝135°；②BD＝BI；③S△AIC＝S△BID；④IF⊥AC．其中正确的是　　 （填序号）． 6．（2023春•黄梅县期中）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交 BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的是 　　 （填序号）． ①∠BAD+∠ADC＝180°； ②AF∥DE；③∠DAF＝∠F；④若CD＝DF，则DE＝AF． 7．（2024春•宁阳县期中）如图，在△ABC中，CD为△ABC的高，AE为△ABC的角平分线，CD交AE于点G，∠BCD＝50°，∠BEA＝110°，求∠ACD的大小． 8．（2024春•隆昌市校级期中）如图1，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC（∠C＞∠B） （1）试探究∠EAD与∠B，∠C之间的关系？ （2）若F是AE上一动点 ①若F移动到AE之间的位置时，FD⊥BC，如图2所示，此时∠EFD与∠B，∠C之间的关系如何？ ②当F继续移动到AE延长线上时，FD⊥BC，①中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由，如果不成立，写出新的结论． 9．（2024秋•永城市校级期中）（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 10．（2024春•工业园区校级期中）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点． 研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是 　　 ； 研究（1）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 　 ； 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第4章 三角形 （知识梳理+易错点拨+15个重难点考点讲练+压轴题专练 共58题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：三角形的内角和 3 知识点梳理02：三角形的分类 3 知识点梳理03：三角形的三边关系 3 知识点梳理04：全等三角形的性质与判定 4 知识点梳理05：用尺规作三角形 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：基本概念与三边关系 5 易错知识点02：三角形分类与性质混淆 5 易错知识点03：重要线段与角度的计算疏漏 5 易错知识点04：全等三角形的判定与性质 6 易错知识点05：作图与实际应用问题 6 重点难点 考点讲练 6 重点难点考点讲练01:三角形 6 重点难点考点讲练02:三角形的角平分线、中线和高 9 重点难点考点讲练03:三角形的重心 11 重点难点考点讲练04:三角形三边关系 13 重点难点考点讲练05:三角形内角和定理 15 重点难点考点讲练06:全等三角形的性质 18 重点难点考点讲练07:全等三角形的判定 23 重点难点考点讲练08:全等三角形的判定与性质 27 重点难点考点讲练09:作图-基本作图 31 重点难点考点讲练10:全等三角形的应用 34 重点难点考点讲练11:一线三等角构造全等模型（全等三角形解题模型） 37 重点难点考点讲练12:手拉手模型-旋转想全等（全等三角形解题模型） 42 重点难点考点讲练13:倍长中线模型（全等三角形解题模型） 47 重点难点考点讲练14:角平分线+垂直构造全等模型（全等三角形解题模型） 52 重点难点考点讲练15:对角互补且一组邻边相等的半角模型（全等三角形解题模型） 55 重点难点考点讲练15:“边边边”模型（全等三角形解题模型） 63 压轴专练 拔尖冲刺 66 知识点梳理01：三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 【易错点剖析】应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点梳理02：三角形的分类 1.按角分类： 【易错点剖析】 ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 【易错点剖析】 ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点梳理03：三角形的三边关系 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【易错点剖析】 （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 2.三角形的重要线段： 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 知识点梳理04：全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理 全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 【易错点剖析】 （1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 知识点梳理05：用尺规作三角形 1.基本作图 利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等； 【易错点剖析】要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达. 易错知识点01：基本概念与三边关系 1. 三角形定义理解偏差 三角形需满足“不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接”，但学生可能忽略“首尾相接”条件，误认为任意三条线段即可组成三角形。 易错实例：若线段AB、BC、CA未首尾相连，即使不在同一直线上，也不构成三角形。 2. 三边关系的应用错误 范围计算错误：已知两边长求第三边范围时，需同时满足“两边之和>第三边”和“两边之差<第三边”。 忽略单位统一：若题目中边长单位不同（如3cm和50mm），未统一单位直接计算导致错误 易错知识点02：三角形分类与性质混淆 1. 分类标准不清 按边分类：等腰三角形包含等边三角形，但学生可能将两者视为并列关系，误认为“等边三角形不是等腰三角形”。 按角分类：锐角三角形需三个角均为锐角，但可能将含一个锐角的直角三角形或钝角三角形误判为锐角三角形。 2. 特殊三角形性质误用 等腰三角形： 误将“两腰相等”等同于“两底角相等”，但未明确“等边对等角”的前提。 计算周长时，未考虑“腰和底边”的多种可能性（如已知等腰三角形两边为3cm和5cm，需分情况讨论腰和底边） 直角三角形： 忽略“斜边大于任意直角边”的性质，导致三边关系错误（如直角边为3和4，斜边应为5，但误算为其他值） 易错知识点03：重要线段与角度的计算疏漏 1. 中线、角平分线、高线的混淆 中线：连接顶点与对边中点，但可能误认为中线平分面积以外的性质（如误以为中线垂直对边）。 高线：钝角三角形的高可能在形外，学生未延长边作垂线导致漏解（如钝角△ABC中，高线AD需从顶点A向BC的延长线作垂线）。 2. 内角与外角关系错误 外角定理：三角形的一个外角等于不相邻两内角之和，但可能误加相邻内角（如误认为外角=相邻内角+另一内角）。 内角和计算：复杂图形中，未正确识别三角形边界，导致角度累加错误（如将四边形内角和误用于三角形）。 易错知识点04：全等三角形的判定与性质 1. 判定条件混淆 SSA与HL的误用：SSA（边边角）不能判定一般三角形全等，但可能误用于非直角三角形；HL（斜边直角边）仅适用于直角三角形，但未验证直角条件直接使用 AAA的无效性：三个角相等（AAA）无法判定全等，但可能因图形形状相似误判为全等 2. 全等性质应用错误 对应边/角错位：在复杂图形中，未正确标记对应顶点，导致对应边或角匹配错误（如△ABC≌△DEF中，误将AB与DF对应） 忽略隐藏条件：如公共边、公共角未在证明中明确标注，导致步骤不严谨（如未说明“AC=AC”即公共边 易错知识点05：作图与实际应用问题 1. 尺规作图规范性错误 作三角形条件缺失：例如用SAS作三角形时，未保证“夹角”是已知两边的夹角，导致图形不符 忽略作图痕迹：如未保留作图弧线或未标注关键点，导致扣分 2. 实际问题的数学建模错误 稳定性误解：认为三角形稳定性适用于所有情况，忽略材料强度或连接方式的影响（如木棍未固定端点仍可能变形） 最短路径问题：如“蚂蚁爬行最短路径”未展开立体图形为平面图，直接计算错误 重点难点考点讲练01:三角形 【例题精讲】（2024春•长安区期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b． （1）用a，b表示图中阴影部分的面积； （2）若a+b＝8，ab＝9，求图中阴影部分的面积． 【思路引导】（1）阴影部分的面积等于正方形面积之和减去△DAM，△EBM的面积．将这四部分由含有a，b的代数式表示出来即可得到答案； （2）由（1）得到阴影部分面积的表达式，利用完全平方公式得到a2+b2＝46代数求值即可得到答案． 【规范解答】解：（1）∵点M是AB的中点，AP＝a，BP＝b， ∴BM＝AM（a+b）， ∴S△DAMAD•AMa（a+b）a（a+b）， ∴S△EBMBE•BMb（a+b）b（a+b）， ∴阴影部分的面积＝a2+b2a（a+b）b（a+b）． 故图中阴影部分的面积是． （2）∵a+b＝8，ab＝9， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64， ∴a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣18＝46， ∴30． 故图中阴影部分的面积是30． 【考点评析】本题主要考查完全平方公式的应用，正方形的性质，将阴影部分的面积用含有a，b的代数式表示出来是解题的关键． 【训练1】（2019春•金堂县校级期中）原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形； 如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形； 如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形； … 以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成　2n+1　 个三角形． 【思路引导】认真审题可以发现：在三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个，以此类推，即可发现规律．所以原三角形内部有n个不同点时，答案即现． 【规范解答】解：三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个． 故答案为：2n+1． 【考点评析】这是一道找规律的题目，解决此类题目关键是要找出数据之间的关系． 【训练2】（2024秋•海城市期中）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 【思路引导】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形． 【规范解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形． 如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形． 如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形． 因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形． 综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 重点难点考点讲练02:三角形的角平分线、中线和高 【例题精讲】（2024秋•恩施市校级期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【思路引导】根据中点得到BE＝CE，再表示出△ACE和△ABE的周长，找出它们的联系即可． 【规范解答】解：∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AB＝7，AC＝10， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE， ∴CE+AE＝15， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22， 故选：B． 【考点评析】本题考查三角形的中线，注意两个三角形周长的关系是解题的关键． 【训练1】（2024秋•宁津县校级期中）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　 cm2． 【思路引导】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【规范解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 【考点评析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等． 【训练2】（2024秋•南昌期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 【思路引导】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【规范解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3或（AB+AF+BF）﹣（BC+CF+BF）＝3 ∴AB﹣BC＝3或BC﹣AB＝3， ∵AB＝9， ∴BC＝12或6． 【考点评析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 重点难点考点讲练03:三角形的重心 【例题精讲】（2021春•城阳区期中）下列结论正确的有（　　） ①两条直线相交，所得的四个角中有一个角是90°，这两条直线一定互相垂直 ②三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的重心 ③直线AB⊥CD，也可以说成直线CD⊥AB ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引导】根据垂线、三角形的重心、对顶角、邻补角，垂线段最短，三角形的角平分线、中线和高，对选项逐一判断即可解答． 【规范解答】解：①根据对顶角和邻补角的性质，可得相交的四个角都为90°，所以两直线垂直，正确； ②三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心，三角形中线的交点为重心，错误； ③直线AB⊥CD，也可以说成直线CD⊥AB，正确； ④根据垂线段最短的性质可以判定，正确； 所以，上列结论正确的有3个， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了垂线、三角形的重心、对顶角、邻补角，垂线段最短，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【训练1】（2019春•泰兴市期中）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，且BC＝4cm，OF＝2cm，则四边形ADOE的面积是　4cm2　 ． 【思路引导】根据三角形的面积＝底×高÷2，求出△BOC的面积是多少；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得△BCD、△ACE的面积均是△ABC的面积的一半，据此判断出四边形ADOE的面积等于△BOC的面积，据此解答即可． 【规范解答】解：∵BD、CE均是△ABC的中线， ∴S△BCD＝S△ACES△ABC， ∴S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD， ∴S四边形ADOE＝S△BOC＝4×2÷2＝4cm2． 故答案为：4cm2． 【考点评析】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；（2）三角形的面积＝底×高÷2． 【训练2】（2023秋•确山县期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　） A．点G B．点D C．点E D．点F 【思路引导】取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，然后根据图形可知AN与BM的交点为D，即可得到点D为△ABC的重心． 【规范解答】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示， 则AN与BM的交点为D， 故点D是△ABC的重心， 故选：B． 【考点评析】本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点． 重点难点考点讲练04:三角形三边关系 【例题精讲】（2024春•二道区校级期中）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝8m，PB＝6m，那么点A与点B之间的距离不可能是（　　） A．11.5m B．12.5m C．13.5m D．14.5m 【思路引导】设AB＝d m，根据三角形的三边关系，即可求解． 【规范解答】解：根据题意，设AB＝d m，PA＝8m，PB＝6m， ∴由三角形的三边关系得，8﹣6≤d≤8+6， ∴2≤d≤14， 所以点A与点B之间的距离不可能是14.5m， 故选：D． 【考点评析】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的三边关系是解题的关键． 【训练1】（2024春•浦东新区期中）已知，如图四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，试说明：AC与BD的和小于四边形ABCD的周长． 【思路引导】根据三角形两边之和大于第三边得出AD+AB＞BD，CD+BC＞BD，AD+CD＞AC，AB+BC＞AC，计算得出AD+AB+CD+BC＞AC+BD，即可得证． 【规范解答】证明：在△ABD中，AD+AB＞BD， 在△BCD中，CD+BC＞BD， 在△ACD中，AD+CD＞AC， 在△ABC中，AB+BC＞AC，AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC＞BD+BD+AC+AC， ∴2（AD+AB+CD+BC）＞2（AC+BD）， ∴AD+AB+CD+BC＞AC+BD， ∴AC与BD的和小于四边形ABCD的周长． 【考点评析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【训练2】（2018春•雁塔区校级期中）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论． （1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC　＜　 AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． （3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 【思路引导】（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果， （2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果， （3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出结果． 【规范解答】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边， （2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由： 如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长， （3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由： 如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M， 可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论． 【考点评析】本题考查了比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，通过作辅助线进行解答，难度较大． 重点难点考点讲练05:三角形内角和定理 【例题精讲】（2024春•源城区校级期中）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【思路引导】由题意设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x，根据三角形内角和定理，进而可解决此题． 【规范解答】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x． ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+7x＝180°． ∴x＝（）°． ∴7x＝90°． ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查三角形内角和定理以及解一元一次方程，熟练掌握三角形内角和定理以及解一元一次方程是解决本题的关键． 【训练1】．（2023秋•上杭县期中）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则x＝　140　 度． 【思路引导】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求得． 【规范解答】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2+∠4（∠ABC+∠ACB）（180﹣∠A）80°＝40°， ∴x＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣40°＝140°． 【考点评析】主要考查了三角形的内角和是180度和角平分线的定义．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件． 【训练2】（2024春•天宁区校级期中）阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是30°、90°、60°，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为90°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍． （1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 　45°　 ． （2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度数． （3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“优雅三角形”，直接写出∠C的度数． 【思路引导】本题考查“优雅三角形”的新定义问题，灵活运用三角形的内角和定理． 【规范解答】解：（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，另两个角之和为：180°﹣120°＝60°， “优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得： 60°45°， 故答案为：45°； （2）∵AB⊥OM交ON于点B， ∴∠MAB＝90°， 由题意得∠MON＝60°，△AOC 是“优雅三角形”， ①当“优雅角”为60°时，另一个角为20°，则∠ACO＝100°，∠ACB的度数为80°， ②当另两个角中有优雅角时，另两个角之和为120°， 根据“优雅三角形”的定义，另两个角分别为：30°，90°， 若∠ACO＝90°，则∠ACB的度数为90°， 若∠ACO＝30°，则∠ACB的度数为150°（不符合题意，舍去）； 综上所述，∠ACB的度数为80°或90°； （3）∵∠AFE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°， ∴∠AFE＝∠ADB， ∴EF//BC， ∴∠FED＝∠BDE， 又∵∠FED＝∠C， ∴∠BDE＝∠C， ∵DE平分∠ADB交AB于点E， ∴∠ADB＝2∠BDE， ∴∠ADB＝2∠C． 若△ADC是“优雅三角形”，则可分以下六种情况进行讨论： ①当∠C是“优雅角”且∠C＝3∠ADC时， 设∠ADC＝x°，则∠C＝3x°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝（180﹣x）°， ∴180﹣x＝2×3x，解得x＝ ，∴∠C； ②当∠C是“优雅角”且∠C＝3∠DAC时， 设∠DAC＝x°，则∠C＝3x°，∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝（180﹣4x）°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝4x°， ∴4x＝2×3x，解得x＝0，不符合题意，舍去； ③当∠ADC是“优雅角”且∠ADC＝3∠C时， 设∠C＝x°，则∠ADC＝3x°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝（180﹣3x）°， ∴180﹣3x＝2x，解得x＝36，即∠C＝36°； ④当∠ADC是“优雅角”且∠ADC＝3∠DAC时， 设∠DAC＝x°，则∠ADC＝3x°，∠C＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝（180﹣4x）°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝（180﹣3x）°， ∴180﹣3x＝2×（180﹣4x），解得x＝36，∴∠C＝36°； ⑤当∠DAC是“优雅角”且∠DAC＝3∠ADC时， 设∠ADC＝x°，则∠DAC＝3x°，∠C＝180°﹣∠ADC﹣∠DAC＝（180﹣4x）°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝（180﹣x）°， ∴180﹣x＝2（180﹣4x），解得x＝ ，∴∠C； ⑥当∠DAC是“优雅角”且∠DAC＝3∠C时， 设∠C＝x°，则∠DAC＝3x°，∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠DAC＝（180﹣4x）°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝4x°， ∴4x＝2x，解得x＝0，不符合题意，舍去； 综上可知，∠C的度数为36°或 ． 【考点评析】本题考查三角形的内角和定理．解题的关键是能对新定义的理解和运用． 重点难点考点讲练06:全等三角形的性质 【例题精讲】（2024秋•广饶县校级期中）图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是　50°　 ． 【思路引导】利用全等三角形的性质即可解决问题． 【规范解答】解：如图， 由题意：△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠C， ∵∠C＝180°﹣85°﹣45°＝50°， ∴x＝∠F＝50°． 故答案为50°． 【考点评析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【训练1】．（2024春•中原区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝15，点P从A点出发沿A→C→B路径运动；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A．点P和Q分别以每秒2和5的运动速度同时开始运动，点Q到相应的终点时点P也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动　1或　 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 【思路引导】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可． 【规范解答】解：设点P运动t秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC＝12﹣2t，QC＝15﹣5t， ∵PE⊥l，QF⊥l， ∴∠PEC＝∠QFC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°， ∴∠EPC＝∠QCF， ∵△PCE≌△CQF， ∴PC＝CQ， 即12﹣2t＝15﹣5t， ∴t＝1； ②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC＝2t﹣12，QC＝5t﹣15， ∵由①知：PC＝CQ， ∴2t﹣12＝5t﹣15， ∴t＝1； 因为此时t﹣12＜0，所以此种情况不符合题意； ③当P、Q都在AC上时，如图3， PC＝12﹣2t＝5t﹣15， 解得：； ④当Q到A点停止，P在BC上时，如图4，AC＝PC，2t﹣12＝12时， 解得t＝12． 而Q从B运动到A所需时间为， 故不符合题意； ⑤因为P的速度是每秒2，Q的速度是每秒5，P和Q都在BC上的情况不存在； 综上，点P运动1或秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等． 故答案为：1或． 【考点评析】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程，能根据题意得出方程是解此题的关键． 【训练2】（2023秋•金平区期中）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图①，当t＝　或　 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 【思路引导】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可； （2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度． 【规范解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1， 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CPBCcm， 此时，点P移动的距离为AC+CP＝12， 移动的时间为：3秒， ②当点P在BA上时，如图①﹣2 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PDAB，即点P为BA中点， 此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9cm， 移动的时间为：3秒， 故答案为：或； （2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F； ①当点P在AC上，如图②﹣1所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， ∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）cm/s， ②当点P在AB上，如图②﹣2所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， 即点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm， ∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）cm/s， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF， 点Q的运动速度为cm/s或cm/s． 【考点评析】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键． 重点难点考点讲练07:全等三角形的判定 【例题精讲】（2018秋•龙口市期中）如图，已知∠BAC＝∠DAC那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90° 【思路引导】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可． 【规范解答】解：A、∵在△ABC和△ADC中 ， ∴△ABC≌△ADC（SAS），正确，故本选项错误； B、根据CB＝CD，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，不能推出△BAC和△DAC全等，错误，故本选项正确； C、∵在△ABC和△ADC中 ， ∴△ABC≌△ADC（ASA），正确，故本选项错误； D、∵在△ABC和△ADC中 ， ∴△ABC≌△ADC（AAS），正确，故本选项错误； 故选：B． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 【训练1】（2024秋•高安市期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　2或或12　 秒时，△PEC与△QFC全等． 【思路引导】点Q在BC上，点P在AC上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算． 【规范解答】解：由题意得，AP＝t，BQ＝2t， ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴CP＝6﹣t，CQ＝8﹣2t， ①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l， ∵∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°， ∴∠CPE+∠PCE＝∠PCE+∠FCQ＝90°， ∴∠CPE＝∠FCQ， 当△PEC≌△CFQ时， 则PC＝CQ， 即6﹣t＝8﹣2t， 解得：t＝2； ②如图2，当点P与点Q重合时， 当△PEC≌△QFC， 则PC＝CQ， ∴6﹣t＝2t﹣8． 解得：t； ③如图3，当点Q与A重合时，∠QCF+∠CQF＝∠QCF+∠PCE＝90°， ∴∠CQF＝∠PCE， 当△PEC≌△CFQ， 则PC＝CQ， 即t﹣6＝6， 解得：t＝12； 当综上所述：当t＝2秒或秒或12秒时，△PEC与△QFC全等， 故答案为：2或或12． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【训练2】（2024春•成都期中）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6． （1）求BO的长； （2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 【思路引导】（1）由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长； （2）分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值． 【规范解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°， ∴∠ACD＝∠AOE， ∴∠BOD＝∠ACD． 又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD， ∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）， ∴BO＝AC＝6． （2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝6﹣4t， ∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2． ②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝4t﹣6， ∴t＝4t﹣6，解得t＝2． 综上，t＝1.2或2． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用． 重点难点考点讲练08:全等三角形的判定与性质 【例题精讲】（2024秋•汉滨区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E．下列结论：①∠ABM＝∠ACD；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④S△EDN＝S△ADM．其中正确结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路引导】由CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M，得∠BDC＝∠ADC＝∠CMB＝∠AMB＝90°，则∠ABM＝∠ACD＝90°﹣∠A，可判断①正确； 由∠DCB＝∠DBC＝45°，得CD＝BD，而∠CDM＝∠BDN＝90°﹣∠CDN，可证明△CDM≌△BDN，得DM＝DN，可判断②正确； 由∠AMB＝90°，∠DMN＝∠DNM＝45°，得∠AMD＝45°，可判断③正确； 由∠END＝∠AMD＝45°，∠EDN＝∠ADM＝90°﹣∠CDM，DN＝DM，可证明△EDN≌△ADM，则S△EDN＝S△ADM，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵CD⊥AB于点D，BM⊥AC于点M， ∴∠BDC＝∠ADC＝∠CMB＝∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝∠ACD＝90°﹣∠A， 故①正确； ∵DN⊥MD，交BM于点N， ∴∠MDN＝90°， ∴∠CDM＝∠BDN＝90°﹣∠CDN， ∵∠BDC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠DCB＝∠DBC＝45°， ∴CD＝BD， 在△CDM和△BDN中， ， ∴△CDM≌△BDN（ASA）， ∴DM＝DN， 故②正确； ∵DM＝DN，∠MDN＝90°， ∴∠DMN＝∠DNM＝45°， ∴∠AMD＝∠AMB﹣∠DMN＝90°﹣45°＝45°， 故③正确； ∵∠END＝45°，∠AMD＝45°， ∴∠END＝∠AMD， ∵∠EDN+∠CDM＝90°，ADM+∠CDM＝90°， ∴∠EDN＝∠ADM， 在△EDN和△ADM中， ， ∴△EDN≌△ADM（ASA）， ∴S△EDN＝S△ADM， 故④正确， 故选：D． 【考点评析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明△CDM≌△BDN及△EDN≌△ADM是解题的关键． 【训练1】（2024秋•汝南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝128°时，∠EDC＝　16°　 ，∠AED＝　52°　 ； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，得到答案； （2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝144°，∠ADB+∠EDC＝144°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝2，证明△ABD≌△DCE； （3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【规范解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝36°， ∵∠ADE＝36°，∠BDA＝128°， ∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝16°， ∴∠AED＝∠EDC+∠C＝16°+36°＝52°， 故答案为：16°；52°； （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE， 理由：∵AB＝2，DC＝2， ∴AB＝DC， ∵∠C＝36°， ∴∠DEC+∠EDC＝144°， ∵∠ADE＝36°， ∴∠ADB+∠EDC＝144°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3）当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形， ①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝72°， ∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝72°+36°＝108°； ②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝36°， ∴∠DAE＝108°， 此时，点D与点B重合，不合题意； ③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝36°， ∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝36°+36°＝72°； 综上所述，当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形． 【考点评析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【训练2】（2024秋•上杭县期中）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DEBD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　64　 ． 【思路引导】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可． 【规范解答】解：如图所示，连接AF， ∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∵∠ABD＝∠C， ∵∠E＝∠C， ∵∠ABD＝∠E， 在△ABF与△BED中， ， ∴△ABF≌△BED（SAS）， ∴S△ABF＝S△BDE， ∵， ∵BF20＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12， ∴S△AFDAD•DF12×16＝96， ∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD， ∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64． 故答案为：64． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 重点难点考点讲练09:作图-基本作图 【例题精讲】（2024春•青山区期中）如图，已知∠AOB，用尺规以OB为一边在∠AOB的外部作∠COB＝∠AOB，对于弧PQ，下列说法正确的是（　　）#ZZ01 A．以点M为圆心，OM的长为半径 B．以点N为圆心，MN的长为半径 C．以点O为圆心，OM的长为半径 D．以点N为圆心，ON的长为半径 【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法进行判断即可． 【规范解答】解：根据作一个角等于已知角的方法进行如下步骤的作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N， ②以点N为圆心，MN为半径画弧PQ，交已画的弧于点C， ③作射线OC． 故选：B． 【考点评析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 【训练1】（2024春•市中区期中）画图题： （1）在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH． （2）判断EF、GH的位置关系是 　EF⊥GH　 ． （3）连接AC和BC，则三角形ABC的面积是 　10　 ． 【思路引导】（1）过点C作5×1的矩形的对角线所在的直线，可得AB的垂线和平行线； （2）易得EF与GH的位置关系是：垂直； （3）设小方格的边长为1，利用三角形的面积求解即可． 【规范解答】解：（1）如图， （2）EF、GH的位置关系是EF⊥GH， 故答案为：EF⊥GH． （3）如图，连接AC和BC， 设小方格的边长为1，则三角形ABC的面积是4×5＝10． 故答案为：10． 【考点评析】本题主要考查了基本作图，解题的关键是利用方格正确的作出图形． 【训练2】（2024春•和平区校级期中）学习完三角形的知识后，轩轩想出了“作三角形一边中线”的一种尺规作图的作法，下面是具体过程． 已知：△ABC． 求作：BC边上的中线AD． 作法： ①分别以点B为圆心，AC长为半径；点C为圆心，AB长为半径在BC的下方作弧，两弧相交于P点． ②作射线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下面问题． （1）尺规作图，补全图形；（保留作图痕迹） （2）求证：AD是△ABC的中线． 【思路引导】（1）利用几何语言画出对应的几何图形； （2）利用作法得到PB＝AC，PC＝AB，先证明△APB≌△PAC（SSS），再证明△ADB≌△PDC（AAS），问题得证． 【规范解答】解：（1）如图所示： （2）证明：连接PB，PC． ∵PB＝AC，PC＝AB，PA＝AP， ∴△APB≌△PAC（SSS）． ∴∠BAP＝∠APC． 又∵∠ADB＝∠PDC．PC＝AB， ∴△ADB≌△PDC（AAS）， ∴DB＝DC， ∴AD是BC边上的中线． 【考点评析】本题考查了作图—基本作图（作一条线段等于已知线段）和平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 重点难点考点讲练10:全等三角形的应用 【例题精讲】（2024秋•东港区期中）某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，且ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【思路引导】由E，F分别是AB，AC的中点，得出AE＝AF；根据三边对应相等，证明三角形全等即可． 【规范解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝AC， ∴AE＝AF， 在△AED与△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）． 故选：D． 【考点评析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【训练1】（2021秋•无为市期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由． 【思路引导】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE，再利用“边角边”证明△ACD和△CBE全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC＝∠ACD，然后表示出∠BFC，再根据等边三角形的性质求出∠ACB，从而得到∠BFC． 【规范解答】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同， ∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE， ∵在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）； （2）解：∵△ACD≌△CBE， ∴∠EBC＝∠ACD， ∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD， ∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD， ＝180°﹣∠ACB， ∵∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BFC无变化． 【考点评析】本题考查了全等三角形的应用，主要利用了全等三角形对应角相等的性质，等边三角形的性质，根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE是证明三角形全等的关键． 【训练2】（2024秋•沂源县期中）如图，把一个三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、B、C分别槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论． 【思路引导】易发现AD与BE所在的△ABD与△BCE在滑动过程中始终全等，因而AD＝BE． 【规范解答】解：AD＝BE，AD⊥BE． 理由如下： ∵∠D＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90° 又∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠EBC＝90° ∴∠BAD＝∠EBC； 又∵AB＝BC，∠D＝∠E； ∴△ABD≌△BCE（AAS）； ∴AD＝BE，AD⊥BE． 【考点评析】本题考查了全等三角形的应用；证明两条线段相等，一般证明它们所在的三角形全等．本题中不论三角板如何滑动，始终有AB＝BC，∠ABC＝90度，做题时要注意找规律． 重点难点考点讲练11:一线三等角构造全等模型（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2024秋•朝阳区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 　18或28　 cm． 【思路引导】设BM＝3t cm，则BN＝4t cm，使△ACM与△BMN全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况： 情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，列方程解得t，可得AC； 情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，列方程解得t，可得AC． 【规范解答】解：设BM＝3tcm，则BN＝4t cm，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况： 情况一：当BM＝AC，BN＝AM时， ∵BN＝AM，AB＝42cm， ∴4t＝42﹣3t， 解得：t＝6， ∴AC＝BM＝3t＝3×6＝18cm； 情况二：当BM＝AM，BN＝AC时， ∵BM＝AM，AB＝42cm， ∴3t＝42﹣3t， 解得：t＝7， ∴AC＝BN＝4t＝4×7＝28cm， 综上所述，AC＝18cm或AC＝28cm． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并利用分类讨论思想是解答此题的关键． 【训练1】（2024秋•东方期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系，并加以证明； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【思路引导】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC＝∠CEB＝90°，根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD． （2）根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝BE，所以DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE． （3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE＝BE﹣AD．证明的方法与（2）相同． 【规范解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝DC+CE＝BE+AD； （2）DE＝AD﹣BE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）结论：DE＝BE﹣AD． 同法可得△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 【考点评析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 【训练2】（2022春•南岸区校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． （1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝　60　 °； （2）过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△　EFA　 ； ②求证：AE＝AF+BC； （3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由． 【思路引导】（1）先由∠AEF＝20°、∠DEF＝90°得到∠DEA＝70°，然后由∠ADE＝50°得到∠DAE＝60°，再结合∠EAB＝90°得到∠BAC＝30°，最后由∠ACB＝90°得到∠ABC＝60°； （2）①先由DG⊥AE得到∠DEG+∠EDG＝90°，然后由∠DEF＝90°得到∠DEG+∠AEF＝90°，从而得到∠EDG＝∠FEA，再结合DE＝EF、∠DGE＝∠EAF＝90°得证△DEG≌△EFA； ②先由∠GDA+∠GAD＝90°和∠GAD+∠BAC＝90°得到∠GDA＝∠BAC，再结合AD＝AB、∠DGA＝∠C＝90°得证△GDA≌△CAB，进而得到BC＝AC，最后由△DEG≌△EFA得到EC＝AF，最后得证AE＝AF+BC； （3）过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE＝90°，先由AE⊥AB，得到∠EAF＝∠DGE＝90°，然后由△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形得到∠DEF＝90°，DE＝EF，从而得证△GDE≌△AEF，因此有GE＝AF，再由∠DGE＝∠EAF＝90°得到∠GDA＝∠CAB，然后证明△GDA≌△CAB，最后得到BC＝EG+AE＝AF+AE． 【规范解答】（1）解：∵∠AEF＝20°，∠DEF＝90°， ∴∠DEA＝70°， ∵∠ADE＝50°， ∴∠DAE＝60°， ∵∠EAB＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝60°， 故答案为，60． （2）①解：∵DG⊥AE， ∴∠DEG+∠EDG＝90°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEG+∠AEF＝90°， ∴∠EDG＝∠FEA， 在△DEG和△EFA中， ， ∴△DEG≌△EFA（AAS）， 故答案为：EFA． ②证明：∵∠GDA+∠GAD＝90°，∠GAD+∠BAC＝90°， ∴∠GDA＝∠BAC， ∵AD＝AB，∠DGA＝∠C＝90°， ∴△GDA≌△CAB（AAS）， ∴BC＝AG， ∵△DEG≌△EFA， ∴EC＝AF， ∴AE＝AG+GE＝AF+BC． （3）解：BC＝AE+AF，理由如下， 如图2，过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE＝90°， ∵AE⊥AB， ∴∠EAF＝∠DGE＝90°， ∵△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形， ∴∠DEF＝90°，DE＝EF， ∴∠GDE+∠GED＝∠GED+∠AEF＝90°， ∴∠GDE＝∠AEF， ∴△GDE≌△AEF（AAS）， ∴GE＝AF， ∵∠DGE＝∠EAF＝90°， ∴DG∥AB， ∴∠GDA＝∠CAB， 在△GDA和△CAB中， ， ∴△GDA≌△CAB（AAS）， ∴BC＝AG， ∴BC＝EG+AE＝AF+AE． 【考点评析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握一线三等角模型证明三角形全等． 重点难点考点讲练12:手拉手模型-旋转想全等（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2024春•青羊区校级期中）如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，延长AD至点G，若GE平分∠DGC，CE平分∠DCH，则下列结论：①∠ABE＝∠ACF；②∠GEB＝45°；③EO＝EC；④AE﹣CE＝BF；⑤AG﹣CG＝BC，其中正确的结论有 　①②③⑤　 （写序号）． 【思路引导】利用直角三角形性质和等角的余角相等即可判断①正确；运用角平分线定义和三角形内角和定理及外角性质即可求出∠GEC＝45°，再求得∠GEB＝90°﹣45°＝45°，即可判断②正确；证明△EGO≌△EGC（ASA），得出EO＝EC，即可判断③正确；证明△AOE≌△BCE（AAS），可得AE＝BE，推出AE﹣EC＝OB，在Rt△BOF中，OB＞BF，即AE﹣EC＞BF，即可判断④错误；由△EGO≌△EGC，可得OG＝CG，由△AOE≌△BCE，可得AO＝BC，即可判断⑤正确． 【规范解答】解：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F， ∴CF⊥AB， ∴∠ABE+∠BAC＝90°，∠ACF+∠BAC＝90°， ∴∠ABE＝∠ACF； 故①正确． ∵∠DGC＝90°﹣∠BCG，∠BCH＝180°﹣∠BCG，GE平分∠DGC，CE平分∠DCH， ∴∠EGO＝∠EGC∠DGC（90°﹣∠BCG）＝45°∠BCG，∠ECH∠BCH（180°﹣∠BCG）＝90°∠BCG， ∵∠ECH＝∠GEC+∠EGC， ∴∠GEC＝∠ECH﹣∠EGC＝90°∠BCG﹣（45°∠BCG）＝45°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠GEB＝∠BEC﹣∠GEC＝90°﹣45°＝45°； 故②正确． 在△EGO和△EGC中， ， ∴△EGO≌△EGC（ASA）， ∴EO＝EC； 故③正确． ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠OAE+∠ACB＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°， ∴∠OAE＝∠CBE， 在△AOE和△BCE中， ， ∴△AOE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∵BE﹣EO＝OB， ∴AE﹣EC＝OB， ∵∠BFO＝90° ∴OB＞BF， ∴AE﹣EC＞BF； 故④错误． ∵△EGO≌△EGC， ∴OG＝CG， ∵△AOE≌△BCE， ∴AO＝BC， ∵AG﹣OG＝AO， ∴AG﹣CG＝BC； 故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【训练1】（2023春•越秀区校级期中）如图，△ABC和△AED都为等腰直角三角形，∠ABC＝∠AED＝90°，五边形ABCDE面积为S，求　2　 ． 【思路引导】过点B作BF⊥BE，且BF＝BE，连接CF、EF，EF，CD交于点G，则△BFE是等腰直角三角形，证明△ABE≌△CBF，则S△ABE＝S△CBF，△CGF≌△DGE，则S△CGF＝S△DGE，根据S＝S△BEFBE2，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点B作BF⊥BE，且BF＝BE，连接CF、EF，EF，CD交于点G，则△BFE是等腰直角三角形， ∵△ABC和△BEF都为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BEF＝90°， ∴BA＝BC，BE＝BF， ∵BF⊥BE， ∴∠FBE＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝∠FBC+∠EBC， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴S△ABE＝S△CBF，AE＝CF，∠AEB＝∠CFB， ∵AE＝DE， ∴DE＝CF， ∵∠AEB＝45°﹣∠GED，∠CFB＝45°﹣∠CFG， ∴∠CFG＝∠DEG， 又∠CGF＝∠DGE， ∴△CGF≌△DGE（AAS）， ∴S△CGF＝S△DGE， ∴五边形ABCDE面积S＝S△BEFBE2， ∴2． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，关键是利用手牵手模型构造全等三角形将五边形ABCDE面积转化为三角形的面积． 【训练2】（2023春•荣成市期中）如图1，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点． （1）直接写出△CDE的形状是 　等腰直角三角形　 ； （2）如图2，若点M为直线DE上一动点，∠MCN＝90°，CM＝CN，连接ND，请判断ND与ME的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接AN，请求出AN的最小值． 【思路引导】（1）由中点的定义得CD＝CE，则△CDE是等腰直角三角形； （2）利用SAS证明△DCN≌△ECM，得∠CEM＝∠CDN，则∠NDM＝∠CDE+∠DEC＝90°； （3）连接BM，作BH⊥DE于H，由（2）同理得，△ACN≌△BCM（SAS），得AN＝BM，求出BM的最小值BH的长即可． 【规范解答】解：（1）∵点D，E分别是AC，BC的中点． ∴CDAC，CE， ∵AC＝BC， ∴CD＝CE， ∴△CDE是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）ND⊥ME，理由如下： ∵∠DCE＝∠MCN， ∴∠MCE＝∠NCD， ∵CD＝CE，CM＝CN， ∴△DCN≌△ECM（SAS）， ∴∠CEM＝∠CDN， ∴∠NDM＝∠CDE+∠DEC＝90°， ∴DN⊥ME； （3）连接BM，作BH⊥DE于H， 由（2）同理得，△ACN≌△BCM（SAS）， ∴AN＝BM， ∴BM的最小值为BH， ∵BEBC＝2， ∴BH， ∴AN的最小值为． 【考点评析】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握双子型全等是解题的关键． 重点难点考点讲练13:倍长中线模型（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2017秋•江华县期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定 【思路引导】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解． 【规范解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB． 在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， 即2＜2AD＜14， 1＜AD＜7． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 【训练1】（2022春•肥城市期中）如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数． 【思路引导】延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，然后利用中线的性质和已知条件证明△ADC≌△GDB（SAS），接着利用全等三角形的性质和已知条件再证明△DAC≌△HEB（SAS）即可解决问题． 【规范解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG，∠G＝∠CAD， ∵FA＝FE， ∴∠CAD＝∠AEF， ∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED， ∴BG＝BE＝AC， ∵AE＝DC＝BD， ∴AE+ED＝DH+ED， ∴AD＝EH， 在△DAC和△HEB中， ， ∴△DAC≌△HEB（SAS）， ∴CD＝BH， ∴BD＝BH＝DH， ∴△BDH为等边三角形， ∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC． 故答案为：60°． 【考点评析】本题主要考查了三角形的中线，全等三角形的性质与判定，同时也利用了等边三角形的性质与判定，有一定的综合性，对于学生的要求比较高． 【训练2】（2024春•雨城区校级期中）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【思路引导】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CED，得出BF＝CD，∠F＝∠CDE，再判断出AB＝BF，即可得出结论； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CEG，得出BF＝CG，再判断出△BAF≌△CDG，即可得出结论； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，先判断出BE＝CE，进而判断出△BAE≌△CME（AAS），得出CM＝AB，∠BAE＝∠M，即可得出结论． 【规范解答】证明：（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（SAS）， ∴BF＝CD，∠F＝∠CDE， ∵∠BAE＝∠CDE， ∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF， ∴AB＝CD； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G， ∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BEF和△CEG中， ， ∴△BEF≌△CEG（AAS）， ∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中， ， ∴△BAF≌△CDG（AAS）， ∴AB＝CD； （2）如图3， 过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M， 则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△BAE和△CME中， ， ∴△BAE≌△CME（AAS）， ∴CM＝AB，∠BAE＝∠M， ∵∠BAE＝∠EDC， ∴∠M＝∠EDC， ∴CM＝CD， ∴AB＝CD． 【考点评析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 重点难点考点讲练14:角平分线+垂直构造全等模型（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2024秋•三河市校级期中）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度． 【思路引导】（1）根据SAS证明△ABC与△DCE全等即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠ECD， 在△ABC与△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△DCE， ∴AB＝CD＝8， ∴BC＝BD﹣CD＝12﹣8＝4． 【考点评析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【训练1】（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，过点A作AE⊥BC于点E，连接AC，若∠B＝2∠BCA，BC＝CD+3，则BE的长为 　1.5　 ． 【思路引导】在CE边上截取EF＝BE，连AF，利用垂直平分线的性质证得AB＝AF，利用已知和AD∥BC证出∠DAC＝∠FAC，然后证出△AFC≌△ADC，进而即可得出答案， 【规范解答】解：在CE边上截取EF＝BE，连接AF， ∵AE⊥BC， ∴AB＝AF， ∴∠B＝∠AFB＝∠ACB+∠FAC， ∵∠B＝2∠BCA， ∴∠BCA＝∠FAC， ∵AD∥BC， ∴∠BCA＝∠DAC＝∠FAC， ∵AB＝AD， ∴AD＝AF， 在△AFC和△ADC中 ； ∴△AFC≌△ADC（SAS）， ∴CF＝CD， ∵BC＝CD+3， ∴BC＝CD+3＝CF+BF， ∴BF＝2BE＝3， ∴BE＝1.5． 故答案为：1.5． 【考点评析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【训练2】（2015春•深圳校级期中）如图，已知△ABC的面积为8cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为　4　 cm2． 【思路引导】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积． 【规范解答】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP＝∠EBP， 又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°， 在△ABP与△BEP中， ∴△ABP≌△BEP（ASA）， ∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC＝S△PCE， 设△ACE的面积为m， ∴S△ABE＝S△ABC+S△ACE＝8+m ∴S△PBCS△ABES△ACE＝4cm2． 故答案为：4． 【考点评析】本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点． 重点难点考点讲练15:对角互补且一组邻边相等的半角模型（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2024秋•醴陵市期末）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　EF＝BE+DF　 ； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【思路引导】问题背景：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，证明EF＝FG，得到答案； 探索延伸：连接EF，延长AE，BF相交于点C，利用全等三角形的性质证明EF＝AE+FB． 实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，首先证明，∠FOE∠AOB，利用结论EF＝AE+BF求解即可． 【规范解答】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF， ∴BE＝DG，EF＝GF， ∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD． 故答案为：EF＝BE+FD． 探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立． 理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 又∵AB＝AD， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， 又∵∠EAF∠BAD， ∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF， ＝∠BAD∠BAD∠BAD， ∴∠EAF＝∠GAF． 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， 又∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD． 实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C， 在四边形AOBC中， ∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°∠AOB， 又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝AE+FB成立． 即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为320海里． 【考点评析】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用． 【训练1】（2021春•静安区校级期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF． （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【思路引导】（1）首先利用SAS证明△ABE≌△CBF，得∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，再证明△BEF是等边三角形，且∠ABE＝∠CBF＝30°，得AE，CF，可证明结论； （2）将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，利用SAS证明△GBF≌△EBF，得FG＝EF，可得结论； （3）将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，同理利用SAS证明△BFG≌△BFE，得GF＝EF，可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A＝∠C 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF， ∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°， ∴∠ABE＝∠CBF＝30°， ∴AE，CF， ∵∠MBN＝60°，BE＝BF， ∴△BEF为等边三角形， ∴BE＝BF＝EF， ∴AE＝CF， ∴AE+CF＝EF； （2）证明：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG， ∴BE＝BG，AE＝CG，∠A＝∠BCG， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴点A与点C重合， ∵∠A＝∠BCF＝90°， ∴∠BCG+∠BCF＝180°， ∴点G、C、F三点共线， ∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG， ∴∠GBF＝60°， 在△GBF与△EBF中， ， ∴△GBF≌△EBF（SAS）， ∴FG＝EF， ∴EF＝AE+CF； （3）解：不成立，EF＝AE﹣CF，理由如下： 如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG， ∴AE＝CG， 由（2）同理得，点C、F、G三点共线， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴点A与点C重合，∠ABE＝∠CBG， ∴BG＝BE， ∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°， ∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠GBF＝60°， 在△BFG与△BFE中， ， ∴△BFG≌△BFE（SAS）， ∴GF＝EF， ∴EF＝AE﹣CF． 【考点评析】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 【训练2】（2017春•皇姑区期末）（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 　2＜AE＜8　 ；则中线AD的取值范围是 　1＜AD＜4　 ； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF 　＞　 EF（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF 　＝　 EF（填“＞”或“＝”或“＜“）； （4） 若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝　2a　 （用含α的代数式表示）. 【思路引导】（1）利用SAS证明△ADC≌△EDB，得BE＝AC＝3，再利用三角形三边关系可得2＜AE＜8，从而得出AD的范围； （2）延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG，由（1）同理得△BDG≌△CDF，得BG＝CF，再根据线段垂直平分线的性质得EF＝EG，从而得出答案； （3）延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，先利用SAS证明△CBG≌△CDF，得CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，再根据SAS证明△ECG≌△ECF，得EG＝EF，可得答案； （4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，得CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，再利用SSS证明△ECF≌△ECG，得∠ECG＝∠ECF，从而解决问题． 【规范解答】解：（1）在△ADC与△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝3， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即2＜AE＜8， ∴2＜2AD＜8， ∴1＜AD＜4， 故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4； （2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG， ∵点D是BC的中点， ∴DB＝DC， ∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF， ∴△BDG≌△CDF（SAS）， ∴BG＝CF， ∵ED⊥FD，FD＝GD， ∴EF＝EG， 在△BEG中，BE+BG＞EG， ∴BE+CF＞EF， 故答案为：＞； （3）BE+DF＝EF， 如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°， ∴∠CBG＝∠D， 又∵CB＝CD，BG＝DF， ∴△CBG≌△CDF（SAS）， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， ∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°， ∴∠DCF+∠BCE＝70°， ∴∠BCE+∠BCG＝70°， ∴∠ECG＝∠ECF＝70°， 又∵CE＝CE，CG＝CF， ∴△ECG≌△ECF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵BE+BG＝EG， ∴BE+DF＝EF， 故答案为：＝； （4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， 若BE+DF＝EF， 则EG＝EF， ∴△ECF≌△ECG（SSS）， ∴∠ECG＝∠ECF， ∴∠BCD＝2∠ECF＝2α， 故答案为：2α． 【考点评析】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 重点难点考点讲练15:“边边边”模型（全等三角形解题模型） 【例题精讲】（2024秋•南昌期末）如图，小马用高度都是2cm的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙AD与BE，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知AC＝BC，∠ACB＝90°，则两面木墙之间的距离为（　　） A．30cm B．24cm C．20cm D．18cm 【思路引导】由题意易得∠ADC＝∠CEB＝90°，则有∠BCE＝∠DAC，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm． ∴DE＝DC+CE＝20（cm）， 即：两堵木墙之间的距离为20cm． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 【训练1】（2024春•长春期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙AD、CE，其中木块墙AD＝24cm，CE＝12cm．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在DE上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE＝　36　 cm． 【思路引导】根据题意可得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE，进而得到∠ADB＝∠BEC＝90°，再根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再证明△ABD≌△BCE，利用全等三角形的性质进行解答． 【规范解答】解：由题意得AB＝BC，∠ABC＝90°，AD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ABD＝∠BCE， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（AAS）； ∴AD＝BE＝24cm，DB＝EC＝12cm， ∴DE＝DB+BE＝36cm， 即：两堵木墙之间的距离为36cm． 故答案为：36． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件． 【训练2】（2024春•章丘区期末）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求两堵木墙之间的距离． （2）如图2，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E，当线段DC＝2时，请证明△ABD≌△DCE． 【思路引导】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性质进行解答； （2）由“ASA”可证△ABD≌△DCE． 【规范解答】（1）解：由题意得：AB＝BD，∠ABD＝90°，AC⊥CE，DE⊥CE， ∴∠BED＝∠ACB＝90°． ∴∠BDE+∠DBE＝90°，∠DBE+∠ABC＝90°， ∴∠BDE＝∠ABC． 在△ACB和△BED中， ， ∴△ACB≌△BED（AAS）． ∴DE＝BC，BE＝AC． 由题意得：AC＝5×3＝15（cm），DE＝7×5＝35（cm）， ∴DE＝DC+CE＝50（cm）． 答：两堵木墙之间的距离为50cm． （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE． 理由：∵AB＝2，DC＝2， ∴AB＝DC． ∵∠C＝40°， ∴∠DEC+∠EDC＝140°． ∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB+∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC． 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）． 【考点评析】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．还考查了勾股定理． 1．（2024秋•荣成市校级期中）如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据三角形的高的定义判断即可． 【规范解答】解：△ABC的边AB上的高经过点C与AB垂直， 故选：D． 【考点评析】本题考查作图﹣基本作图，三角形的高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型． 2．（2024春•微山县期中）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝2，AD＝3，则AC的取值范围是（　　） A．AC＞2 B．AC＜3 C．2＜AC＜3 D．1＜AC＜5 【思路引导】根据题意，结合垂线段最短即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 因为AB⊥BC，AB＝2， 所以AC＞2． 又因为AC⊥CD，AD＝3， 所以AC＜3， 所以2＜AC＜3． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了三角形三边关系，熟知“垂线段最短”是解题的关键． 3．（2024秋•沂南县期中）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引导】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE＝∠CBE∠ABC＝22.5°，继而可得∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，即可判断①③；由M为EF的中点且AE＝AF可判断②；证△FBD≌△NAD可判断④，证明△EBA≌△EBN（SAS），推出∠BNE＝∠BAM＝90°，即可判断⑤． 【规范解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝45°＝∠CAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝22.5°， ∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5° ∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°， ∴AF＝AE，故①正确；③错误， ∵M为EF的中点， ∴AM⊥EF，故②正确； ∵AM⊥EF， ∴∠AMF＝∠AME＝90°， ∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN， 在△FBD和△NAD中， ， ∴△FBD≌△NAD（ASA）， ∴DF＝DN，故④正确； ∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°， ∴BA＝BN， ∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE， ∴△EBA≌△EBN（SAS）， ∴∠BNE＝∠BAE＝90°， ∴∠ENC＝∠ADC＝90°， ∴AD∥EN．故⑤正确， 故选：D． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键． 4．（2024春•张店区校级期中）如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为 　10　 ． 【思路引导】延长AD到M，作DH⊥AB于H．首先证明△ADC≌△ADH，推出AC＝AH＝6，再证明AH＝HE＝6，由BE＝2，可得BH＝4，推出AB＝10． 【规范解答】解：延长AD到M，作DH⊥AB于H． ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAC＝∠DAH， ∵∠C＝∠AHD，AD＝AD， ∴△ADC≌△ADH（AAS）， ∴AC＝AH＝6， ∵∠ADE+∠CAB＝180°，∠ADE+∠EDM＝180°， ∴∠EDM＝∠CAB， ∵∠EDM＝∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠CAD，∠CAD＝∠DAB， ∴∠DAB＝∠E， ∴DA＝DE， ∵DH⊥AE， ∴AH＝HE＝6， ∵BE＝2， ∴BH＝4， ∴AB＝10， 故答案为：10． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．（2024春•成都期中）如图，AB⊥CD于点E，且AB＝CD＝AC，若点I是△ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点．下列结论：①∠AIC＝135°；②BD＝BI；③S△AIC＝S△BID；④IF⊥AC．其中正确的是　①③④　 （填序号）． 【思路引导】如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K．利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质一一判断即可． 【规范解答】解：如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K． ∵AB⊥CD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠EAC+∠ECA＝90°， ∴∠IAC+∠ICA∠EAC∠ECA＝45°， ∴∠AIC＝180°﹣45°＝135°，故①正确， ∵AB＝AC，∠IAB＝∠IAC，AI＝AI， ∴△AIB≌△AIC（SAS）， ∴∠AIB＝∠AIC＝135°，IA＝ID， ∴∠BIC＝360°﹣135°﹣135°＝90°， 同法可证：△ICA≌△ICD（SAS）， ∴∠AIC＝∠CID＝135°，IA＝ID， ∴∠AID＝360°﹣135°﹣135°＝90°， ∴∠DIB+∠AIC＝180°， ∵DF＝FB，IF＝FG， ∴四边形IBGD是平行四边形， ∴ID＝BG＝AI，ID∥BG， ∴∠DIB+∠IBG＝180°， ∴∠AIC＝∠IBG， ∵IA＝ID，IC＝IB， ∴△AIC≌△GBI（SAS）， ∴∠GIB＝∠ACI，S△AIC＝S△BGIS平行四边形DGBI＝S△BDI，故③正确， ∵∠GIB+∠CIK＝90°， ∴∠CIK+∠ICK＝90°， ∴∠IKC＝90°，即IF⊥AC，故④正确， 不妨设BI＝BD，则△BDI是等腰直角三角形，显然IDIB，即AIIC，显然题目不满足这个条件，故②错误． 故答案为①③④． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．（2023春•黄梅县期中）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交 BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的是 　①②③　 （填序号）． ①∠BAD+∠ADC＝180°； ②AF∥DE；③∠DAF＝∠F；④若CD＝DF，则DE＝AF． 【思路引导】根据平行线的判定和性质解答即可． 【规范解答】解：∵AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°，故①正确； ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠BAF＝180°， ∵∠BAF＝∠EDF， ∴∠AFD+∠EDF＝180°， ∴AF∥DE，故②正确； ∴∠DAF＝∠ADE， ∵DE平分∠ADC交BC于点E， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵AF∥DE， ∴∠F＝∠CDE， ∴∠DAF＝∠F，故③正确； ∵CD＝DF，无法得出DE＝AF，故④错误； ∴结论正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【考点评析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 7．（2024春•宁阳县期中）如图，在△ABC中，CD为△ABC的高，AE为△ABC的角平分线，CD交AE于点G，∠BCD＝50°，∠BEA＝110°，求∠ACD的大小． 【思路引导】利用三角形内角和定理求出∠BAE，再根据角平分线的定义求出∠DAC，可得结论． 【规范解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵∠BCD＝50°， ∴∠B＝40°， ∵∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣40°﹣110°＝30°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAC＝2∠BAE＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°． 【考点评析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是利用三角形内角和定理解决问题． 8．（2024春•隆昌市校级期中）如图1，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC（∠C＞∠B） （1）试探究∠EAD与∠B，∠C之间的关系？ （2）若F是AE上一动点 ①若F移动到AE之间的位置时，FD⊥BC，如图2所示，此时∠EFD与∠B，∠C之间的关系如何？ ②当F继续移动到AE延长线上时，FD⊥BC，①中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由，如果不成立，写出新的结论． 【思路引导】（1）根据角平分线的定义和扇形的内角和定理即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和扇形的内角和定理，以及垂直的定义即可得到结论； （3）根据角平分线的定义和扇形的内角和定理，以及垂直的定义即可得到结论． 【规范解答】解：（1）∠EAD与∠B，∠C之间的关系为：，理由如下： ∵AE平分∠BAC； ∴， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴， ∵∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴； （2）①若F是AE上一动点，①若F移动到AE之间的位置时，FD⊥BC，如图2所示，此时∠EFD与∠B，∠C之间的关系为：， 理由如下：∵AE平分∠BAC， ∴， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴， ∵∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴， ∵FD⊥BC， ∴∠FDB＝90°， ∴； ②当F继续移动到AE延长线上时，FD⊥BC，①中的结论还成立，理由如下： ∵AE平分∠BAC， ∴， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴， ∵∠BEF＝∠B+∠BAE， ∴， ∵FD⊥BC， ∴∠FDC＝90°， ∴． 【考点评析】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． 9．（2024秋•永城市校级期中）（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 【思路引导】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，即可得出结论； （2）由∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案； （3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CEA中，， ∴△ABD≌△CEA（AAS）， ∴S△ABD＝S△CEA， 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h， ∴S△ABCBC•h＝12，S△ACFCF•h， ∵BC＝2CF， ∴S△ACF＝6， ∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6， ∴△ABD与△CEF的面积之和为6． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出∠CAE＝∠ABD是解决问题的关键． 10．（2024春•工业园区校级期中）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点． 研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是 　∠BDA′＝2∠A　 ； 研究（1）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 　∠BDA′+∠CEA′＝2∠A　 ； 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由． 【思路引导】研究（1）：翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有∠A＝∠DA′A，再利用外角的性质可得结论∠BDA′＝2∠A； 研究（2）：图2中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′+∠CEA′＝2∠A； 研究（3）：图3中由于折叠∠A与∠DA′E是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论． 【规范解答】解：（1）∠BDA′与∠A的数量关系是∠BDA′＝2∠A； 故答案为：∠BDA′＝2∠A； （2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A， 理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°， ∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA， ∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°， ∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA， ∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得， ∴∠A＝∠DA′E， ∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A； 故答案为：∠BDA′+∠CEA′＝2∠A； （3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A． 理由：DA′交AC于点F， ∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′， ∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′， ∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得， ∴∠A＝∠DA′E， ∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A． 【考点评析】此题考查了三角形内角和定理，注意此类一题多变的题型，基本思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理及其推论进行证明 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$