新趋势题型拉分练(三) 数学文化半)开放性、新定义试题&(四) 规律探究试题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

新趋势题型拉分练（三） 数学文化、 (半)开放性、新定义试题 1.如图，点E在AD的延长线上，请添加一个 5.定义：在一个三角形中，如果有一个角是 恰当的条件 ,使AB∥CD。 一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”， 这个三角形叫作“和谐三角形”。例如在 △ABC中，如果∠A=70°，∠B=35°，那么 D E 2.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的 ∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐 平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如 三角形”。 8=32-1,16=52-32,所以8,16都是“凤 问题1：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°， 凰数”，下列整数是“凤凰数”的为 ( ∠A=60°，点D是线段AB上一点（不与A, A.22 B.24 C.30 D.34 B重合)，连接CD。 3.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和 (1)如图①，△ABC是“和谐三角形”吗？为 的乘方规律，称之为“杨辉三角”。这个三角 什么？ 形给出了(a十b)"(n=1,2,3,4,…)的展开式 (2)如图①，若CD⊥AB,则△ACD,△BCD 的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 是“和谐三角形”吗？为什么？ 问题2：如图②，△ABC中，∠ACB=60°， 11 (a+b)'=a+b 121(a+b)2=a+2ab+b ∠A=80°，点D是线段AB上一点（不与A, 1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab+b3 B重合)，连接CD,若△ACD是“和谐三角 14641(a+b)=a+4a3b+6ab+4ab+b 形”，则∠ACD的度数是 请根据上述规律，则(x十1)225展开式中含 x2024项的系数是 D A.2022 B.2023 图① 图② C.2024 D.2025 4.如图，AD∥BC,∠BAD=90°，以点B为圆 心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点 E,连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F, 不添加辅助线找出图中与BF相等的线段， 然后再加以说明。 (1)结论：BF= (2)对上述(1)的结论进行推理说明。 ·29· 新趋势题型拉分练（四） 规律探究试题 1.你会求(a-1)(a2025十a2024+a2028+..+ (1)通过比较图①和图②中阴影部分的面 a2+a+1)的值吗？这个问题看上去很复 积，可以验证的乘法公式是 d 杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算， (2)在计算(2+1)(22+1)(2+1)时，可以利 探索规律： 用(1)中的结论.请你补全计算过程： (a-1)(a+1)=a2-1; 解：(2+1)(2+1)(24+1) (a-1)(a2+a+1)=a3-1: =(2-1)(2+1)(2+1)(24+1) (a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1; =( )(2+1)(24+1) … =( )(2+1) (1)根据上面的规律，我们可以猜想：(a一1)· (a2025+a2024+a2023+…+a2+a+1) (3)利用以上结论和方法计算： (5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)。 (2)利用上面的结论，求22025+22024十 (4)根据你发现的规律填空： 22023+…+22十2十1的值； (a+1)(a-1)(a2+1)(a+1)…(a”+1) (3)计算：（一2）50十(-2)49+（-2)48+…十 (-2)2+(-2)+1。 -a 图① 图② 2.数与形是数学中的两个最古老也是最基本 的研究对象，数形结合的思想就是运用数的 严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观 的图形语言结合起来。 如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边 长为b的小正方形后，将剩下的阴影部分沿 虚线剪开，拼成如图②所示的长方形。 ·30·401-10(1+3)=20,解得=号。③摩托车到达终点后，10(1+3)=80-20，解得1=3。综 上所述，摩托车出发后号h或号h或3h,他们相距20km。 新趋势题型拉分练（一）过程、依据补充题 1.CF+CE BCBC EF ABC DEF SAS全等三角形的对应角相等2.解：(I)一 (2)x(x-2)-(x+2)2=x2-2x-(x2+4x+4)=x2-2x-x2-4x-4=-6x-4。 3.解：小聪说得有道理。原式=7a3-6a3b+3a2b十3a3十6a3b-3a2b-10a3=7a3+3a3- 10a3-6ab十6a3b十3ab-3ab=0。则此题的结果与a,b无关.故小聪说得有道理。 4.垂直的定义同位角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等∠E两直线平行， 同位角相等角平分线的定义5.ACB⊥BCE6.两直线平行，内错角相等GHD 同位角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补同角 的补角相等7.解：(1)答案不唯一，如①③作为已知条件，②作为结论。说明如下：因为 BE=CF,所以BC=EF。在△ABC和△DEF中，AB=DE,AC=DF,BC=EF,所以 △ABC≌△DEF(SSS)。所以∠ABC=∠DEF。(2)因为AD∥BF,∠DAC=48°，所以 ∠ACB=∠DAC=48°。由(1)，可得∠ABC=∠DEF=55°，所以∠COE=180°-55°-48=77°。 新趋势题型拉分练（二）实际生活、跨学科情境问题 1.A2.B3.子4.150°5.解：在单词mathematics((数学)中随机选择一个字母，所有可 能的结果有11种。(1)字母t出现两次，所以P(字母为“t")=。(2)单词mathematics中 元音字母有a,©，共4个，所以P(字母为元音字母)=青。6，解：(1)不公平。理由如下： 抛掷一枚质地均匀的骰子所有可能的结果有6种：掷出的点数分别是1,2,3,4,5,6。因为 骰子是质地均匀的，所以每种结果出现的可能性相同。其中向上的点数是3的倍数的结果 只有2种：掷出的点数分别是3,6。所以P(向上的点数是3的倍数)=号=宁.P(向上的 点数不是3的倍数)=青=号。因为号>了，所以爸爸去的概率大，不公平。(2②)保证爸 爸、妈妈去的概率相等即可。如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则 爸爸去，此时他们的概率为，所以公平。7，解：(1)如图， -E过点C作CF∥ BE,所以∠BCF+∠CBE=180°。因为∠CBE=130°，所以∠BCF=50°。因为∠BCD= 110°，所以∠DCF=∠BCD-∠BCF=60°。因为BE∥MN,所以CF∥MN。所以∠CDM =∠DCF=60°。(2)因为AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°。因为∠BCD=110°，所以 ∠ABC=70°。因为∠CBE=130°，所以∠ABE=∠CBE-∠ABC=60°。8.解：(1)② ②④(2)在△BCD和△BAP中，∠CBD=∠ABP,BC=BA,∠BCD=∠BAP,所以 △BCD≌△BAP(ASA)。所以CD=AP。(3)如答图，选择合适的点Q,E,使 ∠QAE=∠PAE,且AE⊥PQ,则测量AQ的长即可。理由如下：因为AE⊥PQ,所 以∠AEP=∠AEQ=90°。在△APE和△AQE中，∠PAE=∠QAE,AE=AE, ∠AEP=∠AEQ=90°，所以△APE≌△AQE(ASA)。所以AP=AQ。 答图 第40页（共48页） 新趋势题型拉分练（三）数学文化、 (半)开放性、新定义试题 1.∠A=∠CDE(答案不唯一)2.B3.D4.解：(1)AE(2)因为以点B为圆心，BC长 为半径画弧，与射线AD相交于点E,所以BE=BC。因为∠BAD=90°，CF⊥BE,所以 ∠BAD=∠CFB=9O°。因为AD∥BC,所以∠AEB=∠FBC。在△ABE和△FCB中，∠BAE =∠CFB,∠AEB=∠FBC,BE=CB,所以△ABE≌△FCB(AAS)。所以AE=BF。5.解：问 题1：(1)△ABC是“和谐三角形”。理由如下：因为∠ACB=90°，∠A=60°，所以∠B=30°。 所以∠B=?∠A,所以△ABC是“和谐三角形”。(2)△ACD,△BCD是“和谐三角形”。理 由如下：因为∠ACB=90°，∠A=60°，所以∠B=30°。因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC =90°。所以∠ACD=30°，∠BCD=60°。在△ACD中，因为∠A=60°，∠ACD=30°，所以 ∠ACD=合∠A。所以△ACD为“和谐三角形”。在△BCD中，因为∠BCD=60,∠B= 30,所以∠B=号∠BCD。所以△BCD为“和谐三角形”。问题2：40或10O 新趋势题型拉分练（四）规律探究试题 L.解：(1)a22s-1(2)由(1)，知原式=(2-1)×(2225十22024十22023十…十22十2十1)= 226-1。(3)原式=[(-2)-1]X[(-2)0+(-2)8+(-2)8+.+(-2)2+(-2)+1] ×(-)=[(-2-11×(-）-2"。2.解：1a+ba-b)=a-8(22 3 -12-12-1(3)原式=子×(5-1)(5+10(62+1)(51+1)(5+1)(5“+1)= 1 ×(5-1)(6+15+1D(5+10(5+1D=子×(6-1D(5+1D(5+1D(5+1)=× (6-15+16+1)=×(6"-1D6+1-5".(0-1 新趋势题型拉分练（五）综合实践探究试题 L.解：由题意，得AB⊥BC,DE⊥CD,所以∠ABC=∠CDE=90°。因为∠ECD=15°，所以 ∠CED=90°-∠ECD=90°-15°=75°。因为∠ACB=75°，所以∠ACB=∠CED。在 △ABC和△CDE中，∠ACB=∠CED,BC=DE,∠ABC=∠CDE,所以△ABC≌ △CDE(ASA),所以AB=CD=12m。答：教学楼的高度AB为12m。2.解：(1)110 (2)∠3+∠4=90°。理由如下：过点B作BN∥a。因为a∥b,所以BN∥a∥b。所以∠3= ∠NBC,∠4=∠ABN。因为∠ABC=∠ABN+∠VBC=90°，所以∠3+∠4=90°。(3)因 为∠ACB=45°，所以∠a十∠B=180°-45°=135°。因为∠a=4∠B,所以5∠3=135°。所以 ∠B=27°。因为a∥b,所以射线CA与直线a所夹锐角的度数为∠ACB十∠B=45°十27°= 72°。3.解：(1)因为点B,B关于l对称，所以CB=CB,CB=CB'。所以AC十CB=AC +CB'=AB',AC+CB=AC+CB'。因为AB<AC+CB',所以AC+CB<AC+CB。 所以作点B关于（的对称点B',连接AB与l交于点C,点C就是饮马的地方，此时按路线 AC-CB走的路程是最短的。(2)如答图①所示，答图O 路线PE-EF一FP即为所求。 (3)如答图②所示，0 路线PF-FE-EM-MN-VQ即为所求。 答图② 第41页（共48页） 随堂反馈答案 第一章整式的乘除 1幂的乘除 第1课时同底数幂的乘法 1.A2.(1)a"(2)-m(3)(x-y)”3.154.解：(1)原式=-y3·(-y2)=y。 (2)原式=(p-q)5·（p-q)2=(p-q)”。(3)原式=-(s-t)m·(s-t)m+"·(s-t)= 一(s一t)m+m+n+1=一(s一t)2m+n+1。(4)原式=x+m+1十x2+1=x2m+1十x2知+1=2x2a+1。 5.解：3×105×3×10×6=(3×3×6)×(10×10)=54×1012=5.4×103(km)。故这颗 恒星与地球的距离大约是5.4×103km。 第2课时暴的乘方 1.D2.C3.B4.95.解：(1)原式=10×12=106。(2)原式=x3×2=x。(3)原式= -(x十y)3×6=-(x十y)8。(4)原式=a3·a-2a”=a”-2a°=-a'。6.解：因为22r+ =8=2x,所以2x十4=3x,解得x=4。 第3课时积的乘方 1.B2.C3.-24.1445.解：1)原式=分a6。(2)原式=16(x-)(x+2y)'。 (3)原式=8×10×1012=8×108。(4)原式=a26+2a2b=3a2b。6.解：4×3×(6.4 ×10)2=12×40.96×1012=491.52×1012=4.9152×104(m)。答：它的表面积约为 4.9152×1014m2。 第4课时同底数幂的除法 1.B2.1≠2（2173.号4.解：1原式=（号）=-名(2)原式=(-)= -b。(3)原式=6+1m=b。(4)原式=x÷x=x2.5.解：(1)原式=1.2345×104。 (2)原式=-4×10-7.6.解：因为m=4,=16,m=8,所以m+6e=m“·m÷m=4 ×16÷8=8。 2整式的乘法 第1课时单项式乘单项式 1.A2.(1)10a5(2)-12xy之3.1.5×1054.22a25.解：(1)原式=-x2y。(2)原 式=子mm·4mm=mn。(3)原式=4y…(日）=-之，y。(4)原式 3a·(日a0）(-8a)=3ab。6.解：原式=6ar+ar·ar-ar=6at +7ax5-ax5=6ax3十6ax。当x=-2,a=-1时，原式=6×(-1)°×(-2)3+6× (-1)7×(-2)5=48+6×(-1)×(-32)=240。 第2课时单项式与多项式、多项式与多项式的乘法 1.B2.(1)8x-12x+4红(2)-a+2a3a十ab4.解：1)原式=-2xy十 4xy。(2)原式=4xy2(3x3y-xy2)=12xy2-4x3y。5.解：(1)原式=a2+2ab+ab十 26=a2十3ab+26。(2)原式=6x2-4xy十9xy-6y2=6x2+5xy-6y2.6.解：(1)根据 题意，得(x十a)(4x十3)-2x=4x2十(3十4a-2)x十3a=4x2十13x十9，所以1十4a=13,解 得a=3。(2)正确的算式为(x-3)(4x十3)-2x=4x2-9x-9-2x=4x2-11x-9。 第42页（共48页）