第四章 3 探索三角形全等的条件&4 利用三角形全等测距离 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

第四章三角形 1认识三角形 第1课时三角形的概念及内角和 1.C2.C3.B4.△CDF,△CDB△EFB∠BCE CE5.解：(1)因为CD平分 ∠ACB,所以∠ACB=2∠BCD=2×31°=62°。在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠ACB= 180°-72°-62°=46°。(2)因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD=31°。在△ACD 中，∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-72°-31°=77°。6.解：(1)因为在△ABC中， CD⊥AB,所以∠CDA=∠CDB=90°。所以∠A十∠ACD=90°，∠B+∠DCB=90°。因为 ∠A=∠DCB,所以∠ACD=∠B。(2)△ABC是直角三角形。理由如下：因为∠B+ ∠DCB=90°，∠ACD=∠B,所以∠ACD+∠DCB=90°。所以∠ACB=90°。所以△ABC 是直角三角形。 第2课时三角形的三边关系 1C2.C3.A4.B5.22或236解：因为a,b,c为△ABC三条边的长，所以a-b-c <0,b-a-c<0,c-a十b>0。所以原式=(-a十b+c)+(-b十a十c)-(c-a十b)=-a十 b十c-b十a十c-c十a-b=c十a-b。7.解：(1)因为a=4,b=6,所以6-4<c<6十4,2< c<10。故c的取值范围为2<c<10。(2)因为c是小于8的偶数，所以c=4或c=6。当c =4时，a=c=4,△ABC是等腰三角形；当=6时，b=c=6,△ABC是等腰三角形。综上所 述，△ABC是等腰三角形。 第3课时三角形的高、中线、角平分线 1.B2.C3.50°445.号cm6.解：因为∠ABC=36,∠C=76,所以∠BAC=180 -∠ABC-∠C=68。因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=2∠BAC=号X68 34°。因为AE⊥BE,所以∠AEB=90°。所以∠ABE=180°-∠AEB-∠BAE=56°。 2全等三角形 1.B2.D3.50°4.解：因为△ABE≌△ACD,所以AB=AC,AE=AD,BE=CD, ∠BAE=∠CAD,∠B=∠C,∠AEB=∠D。5.解：(1)因为△ABC≌△DEC,AC=4,CE =6,所以DC=AC=4,BC=CE=6。所以BD=BC-DC=6-4=2。(2)AE⊥BC。理由 如下：因为△ABC≌△DEC,所以∠ACB=∠DCE。因为∠ACB十∠DCE=180°，所以 ∠ACB=∠DCE=90°。所以AE⊥BC。 3探索三角形全等的条件 第1课时利用“边边边”判定三角形全等 1.C2.D3.AE∥BC4.③①④②5.解：因为BD=FC,所以BD+CD=FC+CD,即 BC=FD。在△ABC和△EFD中，因为AB=EF,AC=ED,BC=FD,根据三角形全等的判 定条件“SSS”,所以△ABC≌△EFD。 第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等 1.A2.C3.(1)∠a(2)Aa(3)B∠a4.55.解：因为BE=CF,所以BE+EF= CF+EF,即BF=CE。在△ABF和△DCE中，因为∠A=∠D,∠B=∠C,BF=CE,根据 三角形全等的判定条件“AAS”,所以△ABF≌△DCE。所以AB=DC。 第46页（共48页） 第3课时利用“边角边”判定三角形全等 1.C2.D3.D4.(1)∠a(2)ac5.解：因为∠BAD=∠CAE,所以∠BAD+∠DAC =∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中，因为AB=AD,∠BAC= ∠DAE,AC=AE,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△ABC≌△ADE。根据“全等三 角形的对应角相等”，所以∠B=∠D。 第4课时灵活选择方法判定两个三角形全等 1.(1)CD=CE(2)∠A=∠B(3)∠ADC=∠BEC2.C3.解：条件：①③，结论：②。 理由如下：因为AE=BF,所以AE十EF=BF十EF,即AF=BE。在△DAF和△CBE中， 因为AD=BC,∠A=∠B,AF=BE,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△DAF≌ △CBE。所以DF=CE。或条件：②③，结论：①。理由如下：因为AE=BF,所以AE十EF =BF十EF,即AF=BE。在△ADF和△BCE中，因为AD=BC,DF=CE,AF=BE,根据 三角形全等的判定条件“SSS”,所以△ADF≌△BCE。所以∠A=∠B。4.解：此图中有3 对全等三角形，分别是△ABC≌△ADC,△ABE≌△ADE,△BCE≌△DCE。理由如下：在 △ABC和△ADC中，因为AB=AD,BC=DC,AC=AC,根据三角形全等的判定条件 “SSS”,所以△ABC≌△ADC。所以∠BAE=∠DAE,∠BCE=∠DCE。在△ABE和 △ADE中，因为AB=AD,∠BAE=∠DAE,AE=AE,根据三角形全等的判定条件“SAS”, 所以△ABE≌△ADE。在△BCE和△DCE中，因为BC=DC,∠BCE=∠DCE,CE=CE, 根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△BCE≌△DCE。(任选其一说明理由即可) 4利用三角形全等测距离 L.A2.AA'=BB'3.404.解：由题意，知BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD, 根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△ADB≌△ADC。根据“全等三角形的对应边相 等”，所以AB=AC=3km。所以EF=AB-AE-BF=3-1.2-0.7=1.1(km)。答：建造 的斜拉桥EF至少有1.1km。5.解：因为点O是线段AD和BC的中点，所以OA=OD, OB=OC。在△AOB和△DOC中，因为OA=OD,∠AOB=∠DOC,OB=OC,根据三角形 全等的判定条件“SAS”,所以△AOB≌△DOC。所以AB=CD。即CD的长即为花瓶的 内径。 第五章图形的轴对称 1轴对称及其性质 1.B2.B3.D4.③⑤5.86.30°7.解：如图所示。 2简单的轴对称图形 第1课时等腰三角形的性质 1.D2.D3.C4.B5.30°6.解：因为BE=AE,所以∠BAD=∠ABE=25°。因为 AB=AC,点D为BC边的中点，所以AD平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD=50°。 7.解：(1)在△ABC和△AED中，因为AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,根据三角形全等的判 第47页（共48页） 定条件“SAS”,所以△ABC≌△AED。(2)由(1)可知，△ABC≌△AED,所以AC=AD。因 为点F是边CD的中点，所以AF⊥CD。 第2课时线段垂直平分线的性质及作法 1.D2.B3.A4.115°5.186.解：(1)如图。 (2)因为DE是AB的垂直 平分线，所以AE=BE。所以∠EAB=∠B=50°。所以∠AEB=180°-∠EAB-∠B= 80°。所以∠AEC=180°-∠AEB=180°-80°=100°。 第3课时角平分线的性质及作法 1.B2.A3.154.解：如图所示， 点D即为所求。5.解：因为AO平分 C ∠BAC,CD⊥AB,BE⊥AC,所以OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°。在△ODB和△OEC 中，因为∠ODB=∠OEC,OD=OE,∠DOB=∠EOC,根据三角形全等的判定条件“ASA”, 所以△ODB≌△OEC。根据“全等三角形的对应边相等”，所以OB=OC。 第六章变量之间的关系 1现实中的变量 1.A2.B3.D4.声速气温气温声速5.日期和电表读数日期电表读数 2用表格表示变量之间的关系 1.62.D3.解：(1)每月的乘车人数x每月的利润y(2)2000(3)由表可知，估计当 每月的乘车人数为3500时，每月的利润为3000元。 3用关系式表示变量之间的关系 1.A2.A3.y=3十0.3x4.解：(1)自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分的面 积。(2)y=144-4x2。(3)当x=1时，y=140;当x=5时，y=44。所以当小正方形的边长 由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积由140cm减小到44cm。5.解：(1)根据题意， 得Q=10t十100。当Q=500时，得10t十100=500，解得t=40。所以0≤t≤40。所以Q与 t的关系式为Q=10t+100(0≤≤40)。(2)当t=18时，Q=10×18+100=280。所以注水 18min时水箱内的水量是280L。(3)当水箱注满时，Q=500,即10t十100=500，解得t= 40。所以把水箱注满需要40min。 4用图象表示变量之间的关系 第1课时曲线型图象 1.C2.C3.解：(1)自变量是温度，因变量是豌豆苗呼吸作用强度：(2)温度在0-35℃时 豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强，温度在35~50℃时逐渐减弱：(3)35℃左右。 第2课时折线型图象 1.C2.B3.①②④4.解：(1)操控无人机的时间t无人机的飞行高度h(2)5(3)25 (4)215(5)第14分钟时无人机的飞行高度是75-(14一12)×25=25(m)。 第48页（共48页）3探索三角形全等的条件 第1课时利用“边边边”判定三角形全等 1.如图，已知AB=6,AC=9,DC=6,要使能利用“SSS”判定△ABD≌△DCA,还需增加的条 件是 A.AD=5 B.AD=4 C.DB-9 D.DB=6 R (第1题图)》 (第2题图) (第3题图) 2.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形，这种做法的根据是 ( A.两点之间线段最短 B.长方形的对称性 C.长方形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 3.如图，AC与BE相交于点D,AD=CD,BD=DE,AE=BC,则AE与BC的位置关系是 4.已知线段a,b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c。 ①以点B为圆心，c的长为半径画弧； ②连接AB,AC; ③作BC=a; ④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A。 作法的合理顺序是 。(填序号) 5.如图，B,D,C,F四点在同一直线上，AB=EF,AC=ED,BD=FC,△ABC与△EFD是否全 等？为什么？ ·27· 第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等 1.如图，AC,BD相交于点O,∠A=∠D,请你再补充一个条件，使得能利用“ASA”判定△AOB≌ △DOC,你补充的条件是 ( A.OA=OD B.OB=OC C.AB=CD D.OA=OC 50 C72 58°72以 甲 。丙 72°50 5 (第1题图) (第2题图) 2.如图，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中，一定和△ABC全等的是() A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.乙 3.如图，已知线段a和∠a,求作△ABC,使∠A=∠B=∠a,AB=a,根据作图痕迹补全作法。 B 图① 图② (1)作∠MAN= (2)以点 为圆心，以 的长为半径在射线AM上画弧，交AM于点B; (3)以点 为顶点作∠ABC= ,交射线AN于点C。则△ABC即为所求作的三角形。 4.如图，AC⊥BC于点C,DE⊥AC于点E,AD⊥AB于点A。若BC=AE,AD=5,则AB= B C 5.如图，已知点E,F在边BC上，BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE相交于点O,AB与 DC相等吗？为什么？ ·28· 第3课时利用“边角边”判定三角形全等 1.如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE,若已知AB=AD,AC=AE,则还需 () A.∠B=∠D B.∠C=∠E C.∠1=∠2 D.∠3=∠4 2.下列能判定△ABC≌△A'B'C的条件是 ( A.AB=A'B',AC=A'C',∠C=∠C B.AB=A'B',∠A=∠A',BC=B'C C.AC=A'C',∠A=∠A',BC=B'C D.AC=A'C',∠C=∠C',BC=B'C' 3.下列说法正确的是 ( A.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等 B.两腰对应相等的两个等腰三角形全等 C.两边及一个角对应相等的两个三角形全等 D.一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 4.如图，已知线段a,c和∠a,求作：△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠a,填空： a☐ -M 图① 图② 图③ 图④ (1)如图②，作∠MBN= (2)如图③，在射线BM上截取BC= ,在射线BN上截取BA=; (3)如图④，连接AC。△ABC即为所求作的三角形。 5.如图，已知∠BAD=∠CAE,AB=AD,AC=AE,那么∠B与∠D相等吗？为什么？ ·29· 第4课时灵活选择方法判定两个三角形全等 1.如图，已知点D,E分别在BC,AC上，AC=BC,请添加一个条件，使△ACD≌ △BCE。 (1)直接根据“SAS”需添加条件 (2)直接根据“ASA”需添加条件 (3)直接根据“AAS”需添加条件 2.根据下列条件，能画出唯一△ABC的是 A.∠A=50°，AB=3,BC=4 B.∠C=90°，AB=7 C.AB=6,AC=5,∠A=40° D.AB=5,BC-6,AC=12 3.如图，已知E,F是线段AB上的两点，AE=BF,从①∠A=∠B,②DF=CE,③AD=BC中选 择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的理由。 4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=CD。图中有几对全等三角形？选择其中一对说明 理由。 ·30· 4利用三角形全等测距离 1.小亮设计了如下测量一池塘两端A,B的距离的方案：先取一个可直接到达点A,B的点O,连 接AO,BO,延长AO至点P,延长BO至点Q,使得OP=AO,OQ=BO,再测出PQ的长度，即 可知道A,B之间的距离。他设计方案的理由是 ) A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS B A777777777777777B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.你一定玩过跷跷板吧！如图是跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面 垂直。当一方着地时，另一方上升到最高点。问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大 高度AA',BB的数量关系是 3.如图，某人在楼顶点A处看到一烟囱顶端B的仰角∠BAD=42°，看到烟囱底部C的俯角 ∠CAD也是42°。如果楼高AE是20m,那么烟囱高m。 4.如图，A,B,C,D是四个村庄，B,D,C三村在一条东西走向公路的沿线上，且D村到B村、C村 的距离相等；村庄A与C,A与D间也有公路相连，且公路AD是南北走向；只有村庄A,B之 间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路。现决定在湖面上造一座斜拉桥E,测得 AC=3km,AE=1.2km,BF=0.7km。求建造的斜拉桥EF至少有多少千米。 5.数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内径，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具一卡 钳，它能够解决无法直接测量的问题，于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务。利用卡钳测 量花瓶内径的示意图如图所示，已知AD=BC,O是线段AD和BC的中点。 利用卡钳测量内径的步骤为：①将卡钳A,B两端伸入在花瓶内；②打开卡钳，使得A,B两端 卡在内壁；③测量出点C与点D间的距离，即为花瓶内径的长度AB。 请你写出这样测量的理由。 7 金武 ·31·