第一章 4 整式的除法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

【名师导学 ◆预习先知 新知梳理 ①单项式相除，把 分别相除后，作为商的因式；对于只 在被除式里含有的字母，则连同它 的 一起作为商的一个因式。 ②多项式除以单项式，先把这个多项 式的 分别除以单项式， 再把所得的商 ☑例题引路 【例1】计算： (1)(2x2y)2÷6.x3y2: (2)-21x2y4÷(-3x2y3)。 【名师点拨】(1)先计算积的乘方，再根 据单项式除以单项式法则计算：(2)直 接利用法则计算，注意符号变化。 【学生解答】 【例2】计算： (3ry-xy+2y)÷(7y 【名师点拔】计算时，先利用法则把多 项式除以单项式转化成单项式除以单 项式，再按单项式除法法则进行计算。 【学生解答】 18数学Ⅲ七年级下册(BS) 4 整式的除法 基础过关 ◆◆逐点击破 知识点1单项式除以单项式 1.计算28.xy2÷(-7x3y)的正确结果是 A.4xy B.-4xy C.4x2y D.4xy2 2.如果☐×ab=3ab,那么☐内应填的代数式是 3.已知4a3bm÷36a"b2= 号，则m= n=。 4.计算： (1)-12a2b3c÷6ab; (2)(1.5×10°)÷(-5×10). 知识点2多项式除以单项式 5.计算(14a2-7a)÷7a的结果是 A.2a-1 B.-2a-1 C.-2a+1 D.-2a 6.(2025·毕节期末)已知一个长方形的面积为12ab2-9a, 若它的长为3a,则它的宽为 7.计算： (1)(x3-2x2y)÷(-x2); (2)(12a3-6a2+3a)÷3a。 知识点3单项式乘、除混合运算 8.计算-2a3b÷3ab·ab3的结果是 ( A.-号 B-号ab c. 3a6 D. 9.计算： (1)x3y2·(2xy2)3÷(2xy)2; (2②)号y6y÷2x。 口能力提升 ◆>整合运用 10.小亮在计算(6x3y一3.x2y2)÷3xy时，错把 括号内的减号写成了加号，那么正确结果 与错误结果的乘积是 ( A.2x2-xy B.2x2+xy C.4x-x2y2 D.无法计算 11.已知a3b÷ab2=3,则a2b3的值为 12.整体思想新理念在进行一些代数式计算 时，我们可以把某一单项式或多项式看作 一个整体，运用整体换元，使得运算更简单。 已知xy2=2,则代数式(8xy7-4x3y5+ 3x2y)÷xy的值为一。 13.计算： (1)(8a2b3-4ab)÷2ab2+3ab: (2)(12x4-8x3+4x2)÷(-2x)2; (3)2x2y3(2x2-3.xy+5y2)÷(-xy)。 14.过程纠错新趋势阅读下面这位同学的解答 过程，并完成任务。 先化简，再求值：[(a-2b)2一a(a-3b)]÷ (-b),其中a=1,b=2。 解：原式=(a2-4ab+4b2-a2-3ab)÷(-b) …第一步 =(-7ab+4b2)÷(-b) ……第二步 =7a-4b。 …第三步 当a=1,b=2时，原式=7×1-4×2=-1。 …第四步 任务： (1)第一步运用到的乘法公式是 (2)以上步骤从第 步开始出现了错 误，错误的原因是 (3)请你写出正确的解答过程。 【思维拓展 >>强化素养 15.一个组合容器（如图），由一个长方体和一 个圆柱叠放而成：长方体的长为3、宽为 2m、高为m;圆柱部分底面半径为m、高为 4。容器内装满了液体，现在要把这些液 体分装到底面直径为2、高为2m的圆柱 形小瓶中，每个小瓶最多装90%的液体（防 止溢出)，至少需要多少个这样的小瓶？ (提示：π取3.14) 提示 请完成阶段微测试（二）[1.3~1.4] 第一章整式的乘除19-2a十0e。(4原式=(3m+2m)=(3m)+2·3m·2m+2m=9m+12mm十4r。 5.A6.A7.7或-1 能力提升 8.C9.1210.411.解：有。解法不唯一，如：(a-b十2c)2=[(a十2c)-b]2=(a十2c)2 2(a+2c)·b+b2=a2+4ac+4c2-2ab-4bc+b。或(a-b+2c)2=[a-(b-2c)]2=a2-2a (b-2c)+(b-2c)2=a2-2ab+4ac+b2-4bc+4c2.12.解：(1)9025(2)100a(a+1)+ 25(3)由(2)，易得(10a十5)2=100a(a+1)+25=25[4a(a+1)+1]=25(4a2+4a+1)。 因为a是1到9范围内的整数，所以4a2十4a十1是整数。所以100a(a十1)十25是25的倍 数，即可被25整除。 微专题巧用完全平方公式的变形进行计算【一题多变·贵州热点】 1.B2.1【变式题1】13【变式题2】-15士8 第4课时完全平方公式的运用 例题引路 【例1】解：(1)4982=(500-2)2=5002-2×500×2+2=250000-2000+4=248004。 2)(102)=(10+)=10+2×100×号+(2)=1000+10+=10100是 【例2】解：原式=[(2a+3b)-1][(2a十3b)+1]=(2a+3b)2-12=4a2+12ab+9-1。 基础过关 1.C2.(1)0.020.9604(2)1000210040043.解：(1)原式=(200-1)2=200 2×200×1+12=39601。(2)原式=(47-27)2=202=400.4.A5.a2-6.解： (1)原式=a2+4a十4-a2=4a十4。(2)原式=(4x2-9)2=16x-72x2+81.7.解：原式 =x2+6x+9-(x2+2x-3)=x2+6x+9-x2-2x十3=4x十12。当x=6时，原式=4×6 +12=36。 能力提升 8.B9.D10.411.解：(1)原式=(x+y)(x-y)(x2-y2)=(x2-y2)(x2-y2)=(x2- y2)2=x-2x2y2+y。(2)原式=(a-b)2(a-b)=(a2-2ab十)(a-b)=a3-a2b-2ab +2ab2+ab-b=a-b-3a2b+3ab2 思维拓展 12.解：(1)(a-b)2(a十b)2-4ab(2)(a-b)2=(a十b)2-4ab(3)①因为a+b=5,ab= 5,所以(a-b)2+(a十2)(b+2)=(a+b)2-4ab十ab+2(a十b)+4=(a+b)2-3ab+2(a+ b)+4=52-3×5十2×5+4=25-15+10+4=24。②设2024-a=x,a-2023=y,所以 x十y=2024-a十a-2023=1。因为(2024-a)2十(a-2023)2=7,所以x2+y2=7。所 以(x十y)2-2xy=7。所以1-2xy=7。所以xy=-3。所以(2024-a)(a-2023)=-3。 方法技巧专题灵活运用乘法公式进行简便运算【回归教材】 1.(1)4a-62(2)9x2-12x十42.解：(1)原式=(-x)2-(2y)2=x2-4y2。(2)原式= [-(mn+1)]=(mn+1)2=m2n2十2n十1。(3)原式=[(x+2y)(x-2y)]2=-(x2-4y)2 =x-8x2y2+16y。(4)原式=-[1-(m+n)][1+(m十n)]=-[12-(m十n)2]=-(1 -m2-2mn-n2)=-1+m2+2m十n2.3.解：(1)原式=(200-2)2-4=2002-2X200 ×2十22-4=40000-800+4-4=39200。(2)原式=2192-(219-1)(219+1)=2192 (2192-1)=2192-2192+1=1.4.解：(1)原式=[x2y2+1+(x2y2-1)][x2y+1 (x2y2-1)]=2xy2×2=4x2y2。(2)原式=2002-2×200×199+199=(200-199)2=1。 5.解：(1)原式=(m2-4)(m2-4)=(m2-4)2=m-8m2+16。(2)原式=(3x-y)(3x十 y)(9x2+y2)=(9x2-y2)(9x2+y2)=81x-y。(3)原式=(3-1)(3+1)(3+1)(3+1) -3=(32-1)(32+1)(3+1)-38=(3-1)(3+1)-38=3-1-38=-1。 4整式的除法 新知梳理 ①系数同底数幂指数②每一项相加 第4页（共48页） 例题引路 【例1】解：1原式=4女y÷6xy=子.(2)原式=7。【例2】解：原式=3y÷ (-2y）-xy÷(2y)+2xy÷(-7xy）=-6x+2y-1。 基础过关 1.B2.3a3.434.解：(1)原式=-2abc。(2)原式=-3×10.5.A6.4b2-3 7.解：(1)原式=x3÷(-x2)-2x2y÷(-x2)=-x十2y。(2)原式=12a3÷3a-6a2÷3a十 3a÷3a=4a2-2a十1.8.D9.解：(1)原式=x3y2·8x3y°÷4x2y2=2xy。(2)原式= -4x5y2÷2x2y2=-2x3。 能力提升 10.C11.912.5413.解：(1)原式=4ab-2+3ab=7ab-2。(2)原式=(12x-8x3+ 4x2)÷4x2=12x÷4x2-8x3÷4x2+4x2÷4x2=3x2-2x十1。(3)原式=(4xy3-6x3y 十10x2y)÷(-xy)=-4x3y2+6x2y3-10xy。14.解：(1)完全平方公式(2)一括 号前为负号，去括号时括号内的第二项没有变号(3)原式=(a2-4ab十4b-a2十3ab)÷ (-b)=(-ab十462)÷(-b)=a-4b。当a=1,b=2时，原式=1-4×2=-7。 思维拓展 15.解：长方体的体积为3m·2m·m=6m3,圆柱的体积为π×m2×4m=4πm3。每个圆柱 形小瓶实际装液的体积为π×m2×2m×90%=1.8元m。所需小瓶的个数为(6m2十4πm2) ÷1.8πm≈3.28（个）。因为小瓶个数为整数，所以至少需要4个。 第一章章末复习 思维导图 am+aama”bam-n1 是a2-6a+2ab+6a-2ab+6 考点整合 1C2.A3C4解：原式=-1-号+1=-号。(2)原式=a+d+d-6d。 (3)原式=-8x+x-9x=-16x。5.解：1)22=2÷2=(2)÷2=3÷5=号。 9 (2)因为3×27“×81“=9，所以3X(33)X(34)“=(32)16,3“X3“X3“=332,3=32。 所以8a=32。解得a=4。所以a3-a=43-4=64-256=-192.6.D7.A8.2a2 +5ab+2b9.310.解：(1)原式=-12x3y2÷(-3y2)=4x3。(2)原式=(x3-2x2十3x -3x)÷x=2x-4.11.解：1)长方形喷泉的面积为(3a+46-2b)(a十2b-2b)=(3a +2b)a=3a+2ab(m)。(2)(3a2+2ab)÷2a=6a十4h(块)。答：需要这样的瓷砖(6a十 4b)块。12.D13.114.解：(1)原式=(2000-1)×(2000+1)=20002-1=4000000 -1=3999999。(2)原式=(99+1)×(99-1)=100×98=9800.15.解：(1)小玲说得 对。理由如下：(x十y一3)(x十y十3)一(2x十y)(y一4x)一x·4y=(x十y)2一9一(2xy一 8x2十y-4xy)-4xy=x2+2xy十y2-9-2xy+8x2-y2+4xy-4xy=9x2-9。经过化 简，知代数式的结果只与x的取值有关，所以小玲说得对。(2)由(1)，得原式=9x2-9。当 x=-2时，原式=9×(-2)2-9=27。 聚焦课标 16.解：(1)39(2)28(3)设CD=xm,AD=ym,则2(x+y)=120,所以x十y=60。由 题意，得x2+y2=2000。因为(x十y)2=x2十2xy十y,所以2xy=(x+y)2-(x2+y)= 60-2000=3600-2000=1600。所以xy=800。所以原有长方形用地ABCD的面积为 800m2。 第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角与余角 新知梳理 ①相交平行②一 ③在同一平面内④相等⑤相等相等 第5页（共48页） 例题引路 【例1】50°【例2】解：因为∠BOC=∠AOC-∠1=90°-15°=75°，所以∠2=180°-∠BOC =180°-75°=105°。 基础过关 1.C2.D3.C4.C5.B6.∠1=∠3同角的余角相等7.解：设这个角的角度为 aα°。根据题意，得180一a=2(90一a)+40,解得α=40。则这个角的补角的度数为180°-40 =140°。8.40或80 能力提升 9.C10.D11.100°12.解：(1)∠BOD∠AOE(2)易得∠BOD=∠AOC=70°。因为 ∠B0D=∠B0E+∠EDD,∠B0E:∠E0D=2:3,所以∠B0E=号∠B0D=号X70- 28°。所以∠AO0E=180°-∠BOE=180°-28°=152°。13.解：因为∠BOM=∠DON, ∠B0M=∠A0N,所以∠A0N=∠DON=号∠A0D-之×56°=28”.因为∠C0N=90, 所以∠AOC=∠CON-∠AON=90°-28°=62°。14.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) (5)4098600 第2课时垂直 新知梳理 ①直角垂线垂足⊥②有且只有一③垂线段 例题引路 【例1】解：因为∠EOF=90°，所以∠EOC+∠COF=90°。因为∠AOE=∠COF,所以∠EOC 十∠AOE=90°，即∠AOC=90°。所以OC⊥AB。【例2】> 基础过关 1.C2.32°3.C4.解：如图。 图① 图② 图③ 5.B6.B垂线段最短7.2cm8.50°或130° 能力提升 9.D10.30°11.解：(1)如图，PH为所求。(2)如图， CP为所求。 (3)PH<PO<OC垂线段最短12.解：(1)因为直线AB,CD相交于点O,∠BOC= AOC,所以∠AOC=3∠BOC。所以∠AOC+∠BOC=3∠BOC+∠BOC=180 ∠BOC=45°。所以∠AOD=∠BOC=45°。(2)OE⊥CD。理由如下：由(1)可知：∠AOD= 45°。因为OA平分∠EOD,所以∠EOD=2∠AOD=90°。所以OE⊥CD。 思维拓展 一D 13.解：(1)如图。 160°(2)如答图①，A0 B当OE在AB上方时。 D 答图① 因为OE⊥OD,所以∠DOE=90°。因为∠BOD=a,所以∠AOE=180°一∠DOE-∠BOD -D B =180°-90°-a=90°-a。如答图②， 当OE在AB下方时，因为OE⊥OD, 答图② 第6页（共48页）