第1章 平面向量及其应用（复习课件）数学湘教版必修第二册

单元复习课件 第1章平面向量及其应用 湘教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解平面向量的核心概念：明确向量是“既有大小又有方向”的量，能区分向量与数量（如温度、长度等仅含大小的量）；熟练掌握向量的几何表示（有向线段）、字母表示及相关概念（模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量） 3. 把握核心定理与坐标体系：理解平面向量基本定理（不共线向量可作为基底表示任意向量），掌握向量的正交分解与坐标表示；熟练运用向量共线）、垂直的充要条件，能通过坐标判断向量关系；掌握余弦定理、正弦定理的向量推导过程及应用 2. 掌握向量的运算体系：熟练运用三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（共起点）进行向量加减运算，理解其几何意义；掌握向量数乘运算的规则，方向由符号决定：理解向量数量积的概念、几何意义（投影乘积），能进行数量积的代数运算与坐标运算。 4. 能将几何问题（平行、垂直、长度、角度计算）、物理问题（力的合成与分解、位移与速度合成）转化为向量问题，运用向量工具求解；能结合生活实例（如无人机飞行、帆船航行）解释向量的应用价值；掌握“几何图形→向量表示→代数运算→几何结论”的转化路径，能灵活运用向量工具解决几何问题。 单元学习目标 本章数学本质 向量是“数”与“形”的完美统一体。 几何视角： 向量既有大小又有方向，是解决平行、垂直、长度、夹角问题的“天然工具”。 代数视角： 坐标化使向量运算程序化、算法化。 应用视角： 基底法与坐标法是向量应用的“任督二脉”，所有向量运算最终都归结为数的运算。 整个章节始终围绕 “数形结合” 展开，通过向量的运算将几何问题代数化、代数问题几何化，体现了数学的转化与化归思想。 向量的概念 向量的加法 向量的减法 向量的数乘 向量的数量积 力 速度 位移 有向线段 位移的合成 力的合成 三角形 平行四边形 平行、共线 相似三角形 长度 夹角 垂直 功 平面向量基本定理 力的分解 物理背景 运算对象 几何意义 坐标表示 物理问题 几何问题 解三角形 向量的运算 向 量 的 应 用 投影向量 线性运算 单元知识图谱 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roma ⃗ n为主,可搭配使用a ⃗ ria ⃗ l。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roma ⃗ n为主,可搭配使用a ⃗ ria ⃗ l。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 5 向量的概念 向量的加法 向量的减法 向量的数乘 向量的数量积 力 速度 位移 有向线段 位移的合成 力的合成 三角形 平行四边形 平行、共线 相似三角形 长度 夹角 垂直 功 平面向量基本定理 力的分解 物理背景 运算对象 几何意义 坐标表示 向量的运算 投影向量 线性运算 单元知识图谱 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roma ⃗ n为主,可搭配使用a ⃗ ria ⃗ l。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roma ⃗ n为主,可搭配使用a ⃗ ria ⃗ l。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 6 背景 ----定义 ---- 运算 ---- 运算性质 --- 应用 向量的应用 平面几何中的向量方法 余弦定理、 正弦定理 向量在物理中的应用 几何图形到向量 恰当的向量运算 向量到几何关系 “三部曲” 数量 平行 投影 夹角 长度 共线 位置 垂直 单元知识图谱 7 向量的概念 向量的表示 向量的运算 向量的应用 几何方法 代数方法 加法与减法 数乘运算 数量积 平面几何 物理 实际应用 实际背景 向量的基本定理 几何方法 代数方法 数学模型 单元知识图谱 8 一、平面向量的概念 1 数量与向量 在数学中,把既有大小又有方向的量叫做向量（向量不能比较大小），而把只有 大小没有方向的量称为数量（数量可以比较大小）. 2 向量的二要素 向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征,方向是几何特征. 考点串讲 1.向量及向量的模、向量的表示方法 1)图形表示 2)字母表示 3)坐标表示 有向线段AB 一.基本概念 B A 考点串讲 一、平面向量的概念 3 向量的长度 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作.向量 的长度在数值 上等于线段A 的长度,因此向量的长度（【易错点】向量不能比较大小，但向量的长 度可以比较大小）是非负实数. 4 两种特殊的向量 零向量：长度为0的向量，记作 （印刷用黑体，书写用 ，注意区分）. （【对比理解】注意0与的区别及联系，0是一个实数，是一个向量，且有 ） 单位向量：长度等于1个单位长度的向量，同一方向的单位向量唯一。 与单位向量： 考点串讲 特别提醒 向量相关概念的理解 1.定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向.其实，任何向量都 具有大小和方向，零向量的方向是任意的，而单位向量在平面上每个方向上都存在着. 2.当有向线段的起点A 与终点重合时， . 3.在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点可构成一个半 径为1个单位长度的圆. 一、平面向量的概念 考点串讲 12 二、相等向量与共线向量 1 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与 平行，记作 ． 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量,都有 . 2 相等向量 （1）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量相等，记作= . （2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段 的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向 量完全由它的模和方向确定. （3）零向量与零向量相等，即 . . . 考点串讲 13 3 共线向量 由于向量与起点无关，因此向量是可以自由平 行移动的.也就是说，任一组平行向量都可以平移到 同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量. 如图（1），, , 是一组平行向量，任作 提示 表示共线（平行）向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以在平行的直线上. 一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，则可在上分别作出 , , ，如图（2）. 二、相等向量与共线向量 考点串讲 14 4 用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 （1）利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且 相等（【关键点】需说明向量所在的直线无公共点）． （2）利用向量共线可以证明直线与直线平行. （3）利用向量可以判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角形等）、证明多 点共线（【小结论】若,则A,, 三点共线）等． . . . . . . . . . . 二、相等向量与共线向量 考点串讲 15 特别提醒 对共线（平行）向量的四个提醒 1. 理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直 线不包括重合的情况，而平行向量是可以共线的． 2. 共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含 义．实际上，共线（平行）向量有以下四种情况： 显然共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量. . . 二、相等向量与共线向量 考点串讲 16 3.对共线向量的讨论，要考虑方向、长度，尤其不能忘记对零向量的讨论 . 4.向量相等具有传递性，即若，则 .而向量的平行不具有传递性， 即若 ,未必有.因为零向量平行于任意向量，那么当时， 可以 是任意向量，所以不一定平行.但若，则必有因此，解 答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量. 二、相等向量与共线向量 考点串讲 17 三、向量的线性运算（加、减、数乘） 1 向量加法的定义及两个重要法则：___________、_______________ 三角形法则 平行四边形法则 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关 系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的 情况 两向量起点、 终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起 点，即“首尾相接,首尾连” 两向量起点相同，即应用 前提是“共起点” 位移的合成 力的合成 考点串讲 18 2 向量加上的相反向量,叫做与的差，即 （【文字理解】减 去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是一个向量）.求两个 向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的三角形法则 如图，已知向量 , 1、在平面内任取一点， 2、作，， （【易混点】强调了差向量的“箭头”指向被减向量）. 即 可以表示为从向 （作非零向量 的差向量 ,可以简记为“共起点,连终点,指向被减”.） 量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 三、向量的线性运算（加、减） 考点串讲 19 三、向量的线性运算（加、减） 特别提醒 1.向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广， 是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是 “首尾相接,首尾连”． 2. 当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为 ． 如图，在边形 中，有+… 特别地，在中，, 在四边形 中， .运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形． 考点串讲 20 三、向量的线性运算（加、减） 向量形式的绝对值三角不等式 当向量 不共线时，作，，则 , 根据三角形的三边关系，有 ． 当 同向共线或 中至少有一个为零向量时，此时； 当反向共线或中至少有一个为零向量时，不妨设 ， 此时 . 考点串讲 21 故对于任意向量，总有 ①． 由于 ，所以 即 ②． 将①②两式结合起来，即 （【对比理解】结合三角形中两边之差小于第三边，两边之和大于第三边理解）， 我们称之为向量形式的绝对值三角不等式. 三、向量的线性运算（加、减） 考点串讲 22 四、向量的线性运算（数乘） 向量的数乘运算 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 （运算结果为向量）,记作 ，它的长度与方向规定如下： （1） ； （2）当时，的方向与 的方向相同;当时，的方向与 的方向相反. 由（1）可知，当时，; 注：当时,;当 时，.注意结果是零向量，而非实数0. 即零乘任何向量的结果为零向量，任意实数乘零向量的结果为零向量） 考点串讲 向量的数乘的运算律 设,为实数，那么 （1）； 类比实数的乘法运算进行理解,同时， （2）；（3） . 特别地，我们有, . 四、向量的线性运算（数乘） 特别提醒（1）实数与向量可以相乘，但不能相加减，如, 均没有意义. （2）对于非零向量,当时，即表示与同向的单位向量；当 时，即表示与 反向的单位向量. （3）向量的数乘运算类似于代数多项式的运算.主要是“合并同类项”“提取公因 式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数. 考点串讲 三点共线的性质定理 根据向量共线的性质定理及三点共线的判定定理不难得到三点共线的性质定理. 若平面内三点，，共线，为不同于，，的任意一点，设 , 则存在实数,,使得 . 事实上，若三点，，共线，则一定存在实数，使得 ，即 ,从而，令, ，则 . 综上，我们得到如下的三点共线定理:已知平面内三点,,,为不同于,, 的 任意一点，，，三点共线当且仅当存在实数, 使得 ,且 注意是存在,，且,并非一定有.如,为线段 的三 等分点时，,,不唯一，当 在直线 外时，则一定有 . 四、向量的线性运算（数乘） 考点串讲 两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量 与的数量积（或内积），记作 （【易错点】不能表示为或 ），即 （【抓重点】两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，其 符号由夹角的余弦值决定）． 由数量积的定义可知， .该式常称为向量的夹角公式，用于求两向量 的夹角.规定:零向量与任一向量的数量积为0，即 ． 五、向量的数量积 考点串讲 五、向量的数量积 我们可以在平面内任取一点，作,.过点 作直线的垂线， 垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. 知识剖析 （1）公式：在上的投影向量为，是向量. （2）区别：在上的投影向量（与向量共线）与在 上的投影向量 （与向量 共线）一般是不同的． （3）在上的投影向量的长度为 ，是非负实数． （4）数量积的等价理解：与的数量积等于在上的投影向量与 的数量积.#1.3.3 投影与投影向量 考点串讲 五、向量的数量积 我们可以在平面内任取一点，作,.过点 作直线的垂线， 垂足为，则就是向量在向量 上的投影向量. 投影与投影向量 考点串讲 六、平面向量基本定理 对平面向量基本定理的理解 （1）平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即存在实数, , 使.二是唯一性，即对任一向量，存在唯一一对实数， ，使 . （2）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量,都可以构成基向量.同 一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. （3）任一向量都可以由同一个基底唯一表示，即基底给定时，分解形式唯一. ,是被,, 唯一确定的数值. （4）若｛是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当与 共线时， ;当与共线时，;当时， .#1.1.1.4 . . . . . . 考点串讲 七、平面向量运算的坐标表示 两个向量和（差）的坐标表示 设，，则， ，所以 ， 即.同理可得 . 这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 求任一向量的坐标 已知，，坐标原点为 ， 则， ,所以 . 考点串讲 七、平面向量运算的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设,，其中.我们知道，， 共线的充要条件是存在 实数 ,使.如果用坐标表示，可写为，即,消去, 得.这就是说，向量，共线的充要条件是 （还可以写成 ,即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例）. 知识剖析 当,时,,此时也成立,即对任意向量, 都 有. . . 考点串讲 七、平面向量运算的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示 设 ，，因为， ，所以 .又 ,,，所以, 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 知识剖析 若已知两向量的模与夹角，则可直接利用公式 求解； 若已知两向量的坐标，则可选用公式 求解. 考点串讲 七、平面向量运算的坐标表示 平面向量长度（模）的坐标表示 若，则,或 . 其含义是：向量的长度（模）等于向量 的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为， ，那么 ， （实质为平面直角坐标系中两 点间的距离的运算）. 知识剖析 向量的模的坐标表示与两点间距离公式的联系 向量的模即向量的长度，其大小等于平面直角坐标系中两点间的距离，如 ,则在平面直角坐标系中，一定存在点，使得 , ,即为点到原点的距离.同样，若, ， 则, ,即为， 两点间的距离. . . . . 考点串讲 几何图形到向量 恰当的向量运算 向量到几何关系 1.基本思路： 2.基本步骤：三步 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 八、向量在平面几何中的应用 考点串讲 八、向量在平面几何中的应用 考点串讲 八、向量在平面几何中的应用 考点串讲 余弦定理解决的题型： 1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 两个定理 1.余弦定理 变形 八、向量在平面几何中的应用 考点串讲 变形 两个定理 2.正弦定理 正弦定理解决的题型： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. 八、向量在平面几何中的应用 考点串讲 八、向量在平面几何中的应用 考点串讲 九、向量在物理中的应用 向量在物理中的应用主要体现在力、位移、速度的合成与分解，因为这三个物理量都是矢量，符合向量的运算规律； 力的合成与分解：遵循平行四边形法则，合力为分力的和向量； 位移的合成：遵循三角形法则，总位移为分位移的和向量； 速度的合成：遵循平行四边形法则，合速度为分速度的和向量； 功的计算：力F使物体产生位移s，则力做的功W==|cosθ（θ为与的夹角）。 解题步骤：①将物理量（力、位移、速度）用向量表示； ②利用向量的线性运算或数量积进行计算； ③将向量结果转化为物理结论。 考点串讲 题型01 平面向量的基本概念 AD 题型剖析 题型01 平面向量的基本概念 解题策略 题型剖析 题型02 平面向量的线性运算 A．3－2 B．－2＋3 C．3＋2 D．2＋3 B 方法二(作图法)：如图，利用平行四边形法则，合成向量，由图易知(即向量)的系数为负数，排除A、C、D，故选B. 题型剖析 题型02 平面向量的线性运算 C 题型剖析 平面向量的线性运算问题的求解策略 题型剖析 问题2：利用平面向量基本定理，我们选择什么向量作为基底？ 问题1： 是 上的一点，如何用向量表示？ 题型03 向量共线定理的应用 例3 如图所示，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为__________. 题型剖析 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 46 例3 如图所示，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为__________. 题型03 向量共线定理的应用 题型剖析 47 利用向量共线定理解题的策略 (1)∥⇔＝λ(≠)是判断两个向量共线的主要依据． (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 题型剖析 例4 （1）已知{}是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能组成一个基底的是(　　) A．和 B．3和4 C．和2 D．和 【解析】　因为4＝－2(3)，所以3与4共线，又因为组成一个基底的两个向量一定不共线，所以它们不能组成一个基底．故选B. B 题型04 平面向量的基本定理应用 题型剖析 49 6 题型04 平面向量的基本定理应用 题型剖析 题型04 平面向量的基本定理应用 题型剖析 应用平面向量基本定理表示向量的方法 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： (1)运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 题型剖析 题型05 平面向量的坐标运算 题型剖析 题型05 平面向量的坐标运算 C 题型剖析 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加法、减法、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用． 题型剖析 题型06 平面向量的数量积 题型剖析 56 题型06 平面向量的数量积 B 针对训练 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 题型06 平面向量的数量积 题型剖析 【例6】(3)已知||＝3，||＝1，向量与向量的夹角为120°，求向量在向量上的投影向量. 题型06 平面向量的数量积 【解析】∵||＝1，∴为单位向量． ∴向量在向量上的投影向量为||cos120°=- 题型剖析 59 向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解， 即·＝|a|||cos〈，〉． (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解， 即若＝(x1，y1)＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2. (3)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°这三种特殊情况．   题型剖析 题型07 平面向量的平面几何中应用 题型剖析 题型07 平面向量的平面几何中应用 题型剖析 平面几何问题的向量解法 (1)坐标法． 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法． 适当选取一个基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于未知量的方程进行求解． 题型剖析 63 题型08 平面向量在物理中应用 题型剖析 状元笔记 用向量方法解决实际问题的步骤 题型剖析 BD 针对训练 D 针对训练 C 针对训练 C 针对训练 B 针对训练 B 针对训练 B 针对训练 B 针对训练 9 . (1)已知向量＝(－2，λ)，＝(1，1)，且⊥，则λ＝________， 向量－在向量上的投影向量的坐标为____________． 2 (－1，－1) 【解析】（1）由题意可得·＝－2＋λ＝0，所以λ＝2. 记(－3，1)，则向量在向量上的投影向量为 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 你收获了什么？ 研究思路 数学思想方法 知识与技能 几何 代数 向量 概念 运算 关系 应用 物理模型 课堂总结 78 本章以 “概念 — 运算 — 应用” 为主线： 向量概念（大小、方向）是基础，线性运算、数量积运算（几何 + 坐标表示）是核心，几何应用、物理应用、解三角形是延伸，形成完整的知识闭环。 数形结合是本章的 “灵魂”： 向量的双重属性（几何形态 + 代数运算）决定了其能实现 “几何问题代数化、代数问题几何化”；转化与化归、函数与方程、分类讨论是解决向量问题的三大核心思想，需灵活运用。 思想方法提炼： 坐标法是解决综合问题的 “万能工具”—— 通过建系将几何、物理问题转化为代数运算，降低思维难度； 基底法适用于不便建系的场景，核心是选择合适的不共线向量作为基底，分解待求向量； 函数与方程思想是解决最值问题的关键，将向量模或数量积表示为变量的函数，利用函数性质求最值。 向量是沟通几何、代数、三角、物理的 “桥梁”，其工具性体现在能将复杂问题转化为简洁的运算，后续学习立体几何、解析几何时，向量仍将是核心工具，需熟练掌握核心方法。 课堂总结 感谢聆听! 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【例1】（多选）下面的命题正确的有（    ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若 ， 满足 且 与 同向，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且 ” “四边形ABCD是平行四边形” 【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确； 对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误； 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且 ， 可得 ，且 ，故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可知 ，且 ， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且 ，故D正确. 故选：AD. 准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关. 【例2】 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记 ， ，则 ＝(　　) 【解析】　方法一：因为BD＝2DA，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝3eq \o(AD,\s\up16(→))，所以eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋3eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋3(eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(CA,\s\up16(→)))＝－2eq \o(CA,\s\up16(→))＋3eq \o(CD,\s\up16(→))＝－2eq \o(m,\s\up16(→))＋3 eq \o(n,\s\up16(→)). 故选B. 【解析】　如图，因为eq \o(BD,\s\up16(→))＝2eq \o(DC,\s\up16(→))，所以eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up16(→))，则eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→)).又eq \o(AD,\s\up16(→))＝4eq \o(AE,\s\up16(→))，所以eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,12) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AC,\s\up16(→))，则eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(11,12) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AC,\s\up16(→))，又eq \o(BE,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))， 所以x＝－eq \f(11,12)，y＝eq \f(1,6)，则x＋y＝－eq \f(11,12)＋eq \f(1,6)＝－eq \f(3,4).故选C. (2)(2025·陕西西安未央区模拟)在△ABC中，D在BC上，且eq \o(BD,\s\up16(→))＝2eq \o(DC,\s\up16(→))，E在AD上，且eq \o(AD,\s\up16(→))＝4eq \o(AE,\s\up16(→)).若eq \o(BE,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))，则x＋y＝(　　) A.eq \f(13,12) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(13,12) 【解析】在 中， ，即 ，又 ， 因此 ，而点B，P，N共线，于是 ，解得 ， 所以实数m的值为 . 【解析】　方法一：以λeq \o(OA,\s\up16(→))和μeq \o(OB,\s\up16(→))为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OB1,\s\up16(→))＋eq \o(OA1,\s\up16(→)).因为eq \o(OA,\s\up16(→))与eq \o(OB,\s\up16(→))的夹角为120°，eq \o(OA,\s\up16(→))与eq \o(OC,\s\up16(→))的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°，在Rt△OB1C中，|eq \o(OC,\s\up16(→))|＝2eq \r(3)，所以|eq \o(OB1,\s\up16(→))|＝2，|eq \o(B1C,\s\up16(→))|＝4，所以|eq \o(OA1,\s\up16(→))|＝|eq \o(B1C,\s\up16(→))|＝4，所以eq \o(OC,\s\up16(→))＝4eq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→))，即λ＋μ＝6. 例4 （2）如图，已知平面内有三个向量eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))，其中eq \o(OA,\s\up16(→))与eq \o(OB,\s\up16(→))的夹角为120°，eq \o(OA,\s\up16(→))与eq \o(OC,\s\up16(→))的夹角为30°，且|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|＝1，|eq \o(OC,\s\up16(→))|＝2eq \r(3)，若eq \o(OC,\s\up16(→))＝λeq \o(OA,\s\up16(→))＋μeq \o(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为__________． 方法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，C(2eq \r(3)cos 30°，2eq \r(3)sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)． 即A(1，0)，C(3，eq \r(3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))). 由eq \o(OC,\s\up16(→))＝λeq \o(OA,\s\up16(→))＋μeq \o(OB,\s\up16(→))＝λ(1，0)＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ，\f(\r(3),2)μ))＝(3，eq \r(3))， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝3，,\f(\r(3),2)μ＝\r(3)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝2，,λ＝4，))即λ＋μ＝6. 【例5】（1）已知 ， ， ，则点 的坐标为 【解析】设点 ，则 ， ， 因为 ，所以 ，解得 ，所以点 的坐标为 . 故答案为： . 【例5】 （2）已知向量 ， ，若 满足 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】设 ， ， 由 ，可得 ， 由 得 ，所以 ， 联立得 解方程组可得 ，所以 . 故选： 【例6】（1）已知 ， ， 与 的夹角为 ．满足下列条件时，分别求 与 的数量积． (1) ； (2) ； (3) 与 的夹角为30°时. 【解析】（1）解：当 时，若 与 同向，则 ， ． 若 与 反向，则 ， ． （2）解： 时， ， ． （3）解：当 与 的夹角为30°时， ． 【例6】(2)(2023·全国乙卷，文)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则eq \o(EC,\s\up16(→))·eq \o(ED,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \r(5) B．3 C．2eq \r(5) D．5 【解析】　方法一：以{eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))}作为平面内所有向量的一个基底，可知|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝2，eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＝0， 则eq \o(EC,\s\up16(→))＝eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(ED,\s\up16(→))＝eq \o(EA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))，所以eq \o(EC,\s\up16(→))·eq \o(ED,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AD,\s\up16(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AD,\s\up16(→))))＝－eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))2＋eq \o(AD,\s\up16(→))2＝－1＋4＝3. 方法三：由题意可得ED＝EC＝eq \r(5)，CD＝2， 在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC＝eq \f(DE2＋CE2－DC2,2DE·CE)＝eq \f(5＋5－4,2×\r(5)×\r(5))＝eq \f(3,5)， 所以eq \o(EC,\s\up16(→))·eq \o(ED,\s\up16(→))＝|eq \o(EC,\s\up16(→))||eq \o(ED,\s\up16(→))|cos∠DEC＝eq \r(5)×eq \r(5)×eq \f(3,5)＝3.故选B. 则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得eq \o(EC,\s\up16(→))＝(1，2)， eq \o(ED,\s\up16(→))＝(－1，2)，所以eq \o(EC,\s\up16(→))·eq \o(ED,\s\up16(→))＝－1＋4＝3. 方法二(基向量法)：∵eq \o(CP,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))， ∴eq \o(CP,\s\up16(→))·(eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→)))＝(eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→)))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))2＋eq \o(AP,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝9－eq \o(AP,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝9－|eq \o(AP,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|cos∠BAC＝9－3|eq \o(AP,\s\up16(→))|cos∠BAC. ∵cos∠BAC为正且为定值， ∴当|eq \o(AP,\s\up16(→))|最小，即|eq \o(AP,\s\up16(→))|＝0时，eq \o(CP,\s\up16(→))·(eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→)))取得最大值9. 【例7】 （1）已知 的三边长 ， ， ，P为 边上任意一点，则 的最大值为 . 【解析】（1）方法一(坐标法)： 根据题意，如图建立直角坐标系， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ，∴ 的最大值为 . 【例7】 （2）已知 的内角 的对边分别为 且 . (1)求角 的大小； (2)若 ， ， ，求 的长. 解析：（1）因为 ，由正弦定理得： ，即 ， 由余弦定理知 ，又 ，所以 . （2）因为 ， ， 则 , 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , 所以 （2）设 与 的夹角为θ，则 ， 即 EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ， 因为 ，所以 . 【例8】若平面上的三个力 作用于一点，且处于平衡状态，已知 ， 与 的夹角为45°，求: (1) 的大小; (2) 与 的夹角的大小. 【解析】（1）因为三个力平衡，所以 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ， 故 的大小为(1+ )N. 1（多选）．以下关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．有向线段就是向量 B．所有单位向量的模都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫作共线向量 【解析】向量可以用有向线段表示,有向线段只是表示向量的一个图形工具,它不是向量，故A错误； 单位向量是长度为1的向量，故B正确； 零向量有方向，其方向是任意的，故C错误； 由平行向量的定义知，平行向量也叫作共线向量，故D正确． 故选：BD. 2、设 为单位向量，①若 为平面内的某个向量，则 ＝| | ；②若 与 平行，则 ＝| | ；③若 与 平行且| |＝1，则 ＝ .上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　C．2　　　 D.3 【解析】向量是既有大小又有方向的量， 与| | 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 与 平行，则 与 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 ＝－| | ，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.选D. 3、如图，在 中， ， ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得， ， ，所以 ， ， 所以 ，因为 ， 所以 , 所以 故选： 4.若点 是 所在平面内的一点，且满足 ，则 与 的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，所以 ， 即 ，所以 与 的面积之比为 . 故选：C 5.已知平面向量 ， 不共线， ， ， ，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【解析】 ， ,则不存在唯一 ，使得 ，故A错误. ， ，则 . 则 ，则 ，两个向量由公共点 . 故A，B，D三点共线.故B正确. 同理 ， ,则不存在唯一 ，使得 ，故C也错误. ， ，则 ， 则不存在唯一 ，使得 ，故D也错误. 故选：B. 6.在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 解析：如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 7.设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（   ） A． B． C． D． 解析：设，以所在直线为终边的一个角为， 则，且以所在直线为终边的一个角为， 的横坐标为，纵坐标为，即，， 即，解得，. 8.在四边形 中， ， ， ，则四边形 的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 【解析】因为在四边形 中， ，所以 且 ，则四边形为梯形， 又 ， ，所以 ， 则 ，且 ，则 ， 所以四边形 的面积为 . 故选：B. （2）已知向量 ， 满足 ， ，则 ． （2）法一：因为 ，即 ，则 ，整理得 ，又因为 ，即 ，则 ，所以 . 法二：设 ，则 ，由题意可得： ，则 ，整理得： ，即 . 故答案为： . 10、如图，点D是中BC边的中点，，.   (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 解析：（1）因为点D是中BC边的中点，且，，所以； （2）因为点G是的重心，所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 11.已知，，. (1)若，求λ的值； (2)当k为何值时，？ 解析：（1）由题可知，，. ，，解得. （2）由，得，， ， ，. （2）因为 ， ， ，则 , 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , 所以 12. 已知 的内角 的对边分别为 且 . (1)求角 的大小； (2)若 ， ， ，求 的长. 【解析】（1）因为 ，由正弦定理得： ， 即 ，由余弦定理知 ，又 ，所以 . $