立体几何部分寒假检测-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第一册

高二年级寒假成果检测卷一--立体几何部分 一、单选题（本大题共8小题） 1．已知点，若向量，则点B的坐标是（    ）. A． B． C． D． 2．如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，，，.若，则面积的最小值为（ ） A．4 B．8 C． D． 3．如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱 底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为 ，则 的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 4．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5．已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且，M，N，P分别为AB，，的中点，则（    ） A． B．平面BDN C． D．平面MNC 7．直线的一个方向向量为，点 为直线外一点，点为直线上一点，则点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，，E为弧AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题（本大题共3小题） 9．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为、，若，，则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（    ）    A．，，，四点共面 B．与所成角的大小为 C．在线段上存在点，使得平面 D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 11．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c．若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,则下列说法中正确的是　 (　　) A．=a+b+c B．||= C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题） 12．在棱长为2的正方体中，动点E在正方体内切球的球面上，则的取值范围是 . 13．如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为 . 14．在平行六面体中，，且，若，，则棱的最大值为 . 四、解答题（本大题共5小题） 15．如图所示，在三棱柱中，点G、M分别是线段AD、BF的中点.    （1）求证：平面BEG； （2）若三棱柱的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，求二面角的余弦值； 16．如图，在四面体中，平面平面，，，， （1）求四面体的体积； （2）求二面角的平面角的正切值． 17．已知是等边三角形，点,满足，，将沿折起到的位置，使 ． （1） 求证： 平面. （2） 在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，,,为的中点，点为线段上一动点，且,, ． （1） 若点为线段的中点，证明：平面. （2） 若平面 平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点. (1)求的值。 (2)若为的中点，求二面角的正弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求． 参考答案 1．【答案】B 【详解】由空间向量的坐标表示可知，， 所以， 所以点B的坐标为. 故选B. 2．【答案】C 【详解】由, ,,知点在平面内. 以为原点,,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,如图所示. 则,,,设,,,则,, 由,得,即. 取的中点,连接,则点的轨迹为线段,过点作,垂足为,连接, 则. 又 平面, 平面,故, 所以的最小值为.故选. 3．【答案】A 【详解】如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系, 则,,,,,, 所以, 设,则,因为, 所以,即,则,所以,易知平面的一个法向量为, 则,, 又,所以当时, 取得最大值,为,则,此时 取最大值,为.故选. 【归纳总结】 求空间中直线与平面所成的角的常见方法 （1）定义法：①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键； ②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成的角的概念； ③求,利用解三角形的知识求角. （2）向量法：,（其中为直线的方向向量,为平面 的法向量, 为直线与平面 所成的角）. （3）等体积法：不作垂线,通过等体积法间接求点到平面的距离,点到平面的距离与斜线段长的比值即为线面所成的角的正弦值. 4．【答案】A 【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角， 所以平面平面， 因为是菱形，是的中点， 所以，， 而平面平面，平面， 所以平面，而平面， 所以， 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 故选：A    5．【答案】B 【分析】根据题意，求得该正四面体的外接球的半径，进而得，再根据求解即可. 【详解】如图，设分别为正四面体棱中点， 作平面，垂足为， 所以，由正四面体的性质知三点共线，且，且其外接球的球心在上，记为， 因为正四面体的棱长为6， 所以，， 设四面体外接球的半径为，即， 所以，，即，解得， 所以，， 因为P是四面体外接球的球面上任意一点， 所以， 因为， ， 所以 ， 因为， 所以 故选：B 6．【答案】D 【分析】根据已知条件求得在底面的射影，由此建立空间直角坐标系，进而对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】先证明在底面上的射影在上： 过作平面，垂足为， 过作，垂足为；过作，垂足为. 连接. 由于平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以. 同理可证得. 由于，所以， 所以， 由于，所以， 所以，所以是的角平分线， 由于四边形是菱形，所以点在上， 也即在底面上的射影在上. 依题意， 由于，所以， 所以是的中点，也即，如下图所示， 则平面，由于平面，所以， 由于，所以两两相互垂直， 由此建立如图所示空间直角坐标系. ， ， 所以，， , A选项，由于不存在实数，使，所以不平行，A选项错误. B选项，，所以与不垂直，所以与平面不垂直. C选项，，所以与不垂直，C选项错误. D选项，设平面的法向量为， 则，故可设， 所以，， 因为平面，所以平面，D选项正确. 故选：D 7．【答案】C 【分析】先求出，再结合已知条件利用距离公式求解即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为，， 所以点到直线的距离为 ， 故选：C 8．【答案】C 【分析】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则为圆台的高，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出，可得， 设异面直线AC和EF所成角为，利用同角三角函数关系式可得答案. 【详解】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则，连接， 因为是弧AB的中点，所以，以为原点， 分别以为轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 设异面直线AC和EF所成角为， 所以，可得. 故选：C. 9．【答案】AD 【分析】求出的值，即可得解. 【详解】由已知可得，因此，二面角的大小为或. 故选：AD. 10．【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项. 【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，， 设，    则， 所以，解得， 故，即，，，四点共面，故A正确； 因为，， 所以， 所以与所成角的大小为，故B错误； 假设在线段上存在点，符合题意， 设（），则， 若平面，则，, 因为，， 所以，此方程组无解， 所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误； 因为，所以， 又平面，平面，所以平面， 故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值， 又的面积是定值， 所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确； 故选ABD. 11．【答案】ABD　 【详解】对于A,=++=++=-+++(-)=++=a+b+c,故选项A正确; 对于B,因为|a|=|b|=|c|=1,∠BAC=90°, ∠BAA1=∠CAA1=60°,所以a·b=0,a·c=b·c=1×1×=, 所以=(a+b+c)2=(a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c)=×(1+1+1+0+1+1)=, 所以||=,故选项B正确; 对于C,=a+c,=c+b-a, 所以·=(a+c)·(c+b-a)=a·c+a·b-a2+c2+b·c-a·c=+0-1+1+-=≠0,故选项C不正确; 对于D,||====, ||===, 所以cos <,>== ==,故选项D正确.故选ABD. 12．【答案】 【分析】取的中点为，连接，由数量积可得，求出的最大值和最小值，即可得出答案. 【详解】取的中点为，连接，则， 所以 ， 正方体内切球的直径为，即， 设正方体内切球的球心为，面的中心为，连接， 由正方体的性质知：面，又面， 所以，所以，所以， 所以，， 所以的取值范围是：. 13．【答案】 【详解】 以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知， ，设同时垂直于，由，令，得， 又，则异面直线，EN间的距离为. 故答案为：. 14．【答案】4 【详解】设，则有， 由， 所以， 所以 ， 将代入，整理得， 所以，即，解得， 则棱的最大值为4. 15．【答案】（1）见详解 （2） 【详解】（1）取BE中点N， 则平行且等于，AG也平行且等于，而平行且等于， 所以平行且等于， 因此四边形为平行四边形，∥， 又平面BEG，平面BEG， 所以平面BEG； （2）由已知易证建立以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，    则，，，，，，，， 所以， 设为面的法向量，则 ， 同理可求平面的法向量为， . 所以二面角的余弦值为. 16．【答案】（1）； （2）. 【详解】（1）法一：如图，过作，垂足为， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即是四面体的面上的高； 设为边的中点，由，得，则， 由，得； 在中，，， 故四面体的体积； 法二：如图，设是的中点， 在平面内过作交与， 在平面内过作交与， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 以为原点，以射线为轴，建立空间坐标系， 已知，故的坐标分别为， 设，而，，有，得或（舍），则， 设，而，有，得或（舍），则， 从而边的高为，又， 故四面体的体积； （2）法一：如图，过作，垂足为，连接， 由（1）知平面，由三垂线定理可得，故为二面角的平面角， 在中，， 在中，，从而，可得， 在中，， 则二面角的平面角的正切值为； 法二：由（1）知， 设是平面的法向量，则，取，则， 显然是平面的法向量，从而， 所以，则二面角的平面角的正切值为. 17．【答案】见详解 【详解】（1）【证明】设的边长为6， 因为点，分别是边，的三等分点，且，， 所以,,,, ，所以， 所以，所以，即且， 因为 ，所以， 又因为，且 平面， 平面, 所以 平面. （2）【解】存在点满足条件.由（1）可知,,两两垂直，所以以为坐标原点，,,所在的直线分别为,,轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则,,，, 所以,. 由题可得平面的一个法向量为. 假设在线段上存在点满足条件，则设，， 则， 所以 , ,，即, 所以. 设平面的法向量为，则 则 令，则,，所以. 因为平面与平面夹角的余弦值为, 所以,， 化简得，解得或，当时， ；当时，. 所以在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，此时或. 18．【答案】见详解 【详解】（1） 【证明】如图①,取中点，连接，. 因为,分别为,的中点， 所以，. 因为四边形为菱形，为中点，所以，， 所以，， 则四边形为平行四边形， 所以. 因为 平面， 平面，所以平面. 图① （2）【解】存在点使得直线与平面所成角的正弦值为.理由如下: 如图②，取中点，连接，. 因为平面 平面，平面 平面，， 平面， 所以 平面. 因为 平面， 平面， 所以，， 因为 ，四边形为菱形，所以为等边三角形. 因为为中点， 所以，所以， 所以,,两两垂直， 则以为坐标原点，分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，则，，，. 设，则，. 设平面的法向量为，则 令，则，， 所以， ,，解得， 所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 图② 19．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，底面为矩形，， 底面，，, . (2)以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.， , 又为的中点，则，， 平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，令，则. 故平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，且， 则，故. 故二面角的正弦值为. （3）由（1）可得，由题意，设，， 则 则， 由可知，，且，由， 则，解得； 则，则解得，， 则，又，解得. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $