精品解析：上海市宝山区淞谊中学2025--2026学年七年级上学期12月数学月考卷

2025学年第一学期七年级数学教学评价2 一、选择题（本大题共5题，每题2分，共12分） 1. 下列运算结果正确的是（） A. B. C. D. 2. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若将分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A. 扩大到原来的4倍 B. 扩大到原来的2倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 6. 材料节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律．则的计算结果各项系数之和为（ ） 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ A. B. C. D. 二、填空题（本大题共14题，每题2分，共28分） 7. 多项式是___________次三项式． 8. 计算：___________． 9. 计算：___________． 10. 计算：___________． 11. 计算___________ 12. 因式分解：___________． 13. 利用负整数指数幂将写成不含分母的形式为_______． 14. 若分式的值等于1，则的值为___________． 15. 计算：___________． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 17. 现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 18. 为常数，如果，则___________． 19. 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有一个齿数为35的小齿轮要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合可使小齿轮的转速从3600圈/分降为1000圈/分，则大齿轮的齿数为___________． 20. 我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式． 材料：如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如：； 又如：． 请你用上述材料，解决下列问题：若分式是整数，则正整数的值是___________． 三、简答题（本大题共6题，第21、22题每题4分，第23~16题每题5分，共28分） 21. 计算：． 22. 计算： 23. 计算： 24. 因式分解： 25. 因式分解： 26. 解方程： 四、解答题（本大题共4题，第27、28题每题5分；第29题6分：第30题7分，第31题9分；满分32分） 27. 老师在批改这道题时，发现了其中的错误． 以下是某同学解的过程： 解：由原方程可得………………① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是 可得…………………………………………② 解得………………………………………………③ 经检验是原方程的解……………………………④ 所以原方程的解是 （1）先请你指出：解题过程中，从第____________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可） （2）请写出你认为正确的解题过程． 28. 先化简，再求值：，其中． 29. 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，刘峰家离动物园20千米，李明家离动物园25千米．刘峰骑自行车前往，李明乘公交车前往．若刘峰早上从家出发，李明早上坐上公交车，二人同时到达．若公交车的速度是自行车速度的2倍，求：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行多少千米． 30. 已知、是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． （1）如图1，用含、的代数式表示、两个正方形纸片的面积之和____________． （2）如图1，当时，、两个正方形纸片的面积之和为____________． （3）如图2，如果、两个正方形纸片的面积之和为5，阴影部分的面积为2，试求、的值． 31. 如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． （1）已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； （2）已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期七年级数学教学评价2 一、选择题（本大题共5题，每题2分，共12分） 1. 下列运算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则逐项判断即可． 【详解】解∶A．，故原计算错误，不符合题意； B．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算正确，符合题意； D． ，故原计算错误，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，熟记能用公式法进行因式分解的式子的特点是解题的关键． 根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； B：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； C：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； D：，故此选项符合题意． 故选：D ． 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母不能约分的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 4. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式的性质和多项式除以单项式，根据分式的性质和多项式除以单项式运算法则分别计算出各选项结果，再进行判断即可． 【详解】解：A、 ，故选项A从左到右变形错误，不符合题意； B、 ，故选项B从左到右变形错误，不符合题意； C、 ，故选项C从左到右变形错误，不符合题意； D、，故选项D从左到右变形正确，符合题意； 故选：D． 5. 若将分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A. 扩大到原来的4倍 B. 扩大到原来的2倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得 ， 则分式的值扩大到原来的2倍， 故选B. 6. 材料节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律．则的计算结果各项系数之和为（ ） 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，通过赋值法，令，代入二项式展开式，直接计算系数之和. 【详解】解：∵的展开式中，各项系数之和等价于当时的值， ∴系数之和 故选：B. 二、填空题（本大题共14题，每题2分，共28分） 7. 多项式是___________次三项式． 【答案】 六 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的次数，掌握多项式的次数是最高项的次数是解题的关键． 先计算各项的次数，选取最高次数即为多项式的次数． 【详解】解：∵各项次数依次为 4、2、6，最高次数为 6， ∴该多项式是六次三项式， 故答案为：六． 8. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，涉及去括号和合并同类项．先处理括号内的表达式，注意符号变化，然后使用分配律，最后合并同类项． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的计算． 用多项式的每一项除以单项式即可求解． 【详解】解： ． 10. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方，利用积的乘方进行拆分化简是解题的关键． 首先将原式中的指数进行拆分，利用同指数幂的乘法法则进行化简计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 11. 计算___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，熟记乘法公式是解答的关键． 利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：, 故答案为：． 13. 利用负整数指数幂将写成不含分母的形式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，根据，再解答即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为： 14. 若分式的值等于1，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要分式值为1的条件，掌握分式值为1的条件为分子和分母相等且分子不为零是解题的关键 根据分式值为1的条件，建立方程并求解，同时确保分母不为零． 【详解】解：由题意可得：，且分母 ，即 ． 方程两边同乘 ，得：，解得：． 检验：当 时，，满足条件． 故答案为：． 15. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂、平方差公式和分数的除法运算，利用分数的除法运算是解题的关键． 首先将负指数化为倒数形式，分子和分母分别通分后，利用分式的除法法则转化为乘法，再结合平方差公式约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 16. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，去分母，化分式方程为整式方程，由分式方程产生增根， 可知，然后把代入整式方程即可求得a的值． 【详解】解∶分式方程去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， 故答案为：． 17. 现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据浓度定义，浓度等于溶质质量除以溶液质量，设加水质量为m克，溶质为果汁粉，溶液质量为，浓度为，由此列出方程. 【详解】解：根据题意方程为 故答案为：. 18. 为常数，如果，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值即可解答． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． ∴． 故答案为：6． 19. 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有一个齿数为35的小齿轮要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合可使小齿轮的转速从3600圈/分降为1000圈/分，则大齿轮的齿数为___________． 【答案】126 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设大齿轮有x齿，根据转动的路程等于齿数乘以转数建立方程求解即可． 【详解】解：设大齿轮有x齿， 由题意得， ， 解得， ∴大齿轮有126齿， 故答案为：126． 20. 我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式． 材料：如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如：； 又如：． 请你用上述材料，解决下列问题：若分式是整数，则正整数的值是___________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，根据题意将分式拆分为整式与“真分式”的和的形式是解题的关键． 首先将分式化为整式与真分式的和，根据真分式为整数确定分母的取值即可． 【详解】解： ∴为整式，为真分式， ∵分式是整数， ∴为整数， ∴当时，；当时，； ∵当时，分式值为； 当时，分式值为；均为整数， ∴正整数的值为2或8， 故答案为：2或8． 三、简答题（本大题共6题，第21、22题每题4分，第23~16题每题5分，共28分） 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 22. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、乘法公式，利用平方差公式和完全平方公式把整式中的各部分展开，再去括号、合并同类项． 【详解】解： 23. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式和负指数幂，利用平方差公式进行化简是解题的关键． 首先根据平方差公式和负指数幂进行化简，再进行乘法计算即可． 【详解】解： ． 24. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，利用公式法和提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 根据公式法和提取公因式法进行因式分数即可． 【详解】解： ． 25. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查换元法、十字相乘法和完全平方公式，利用换元法进行化简是解题的关键． 首先将用t进行表示并结合十字相乘法进行化简，化简结束后将再代入并结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：令，则， ∴． 26. 解方程： 【答案】分式方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，验证分式方程是否无解是解题的关键． 首先通过去分母、去括号、移项、合并同类项进行求解方程，求解后检验发现解为增根，即可得到原分式方程无解． 【详解】解： ， ∵当时，分母为零， ∴为分式方程的增根， ∴原方程无解． 四、解答题（本大题共4题，第27、28题每题5分；第29题6分：第30题7分，第31题9分；满分32分） 27. 老师在批改这道题时，发现了其中的错误． 以下是某同学解的过程： 解：由原方程可得………………① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是 可得…………………………………………② 解得………………………………………………③ 经检验是原方程的解……………………………④ 所以原方程的解是 （1）先请你指出：解题过程中，从第____________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可） （2）请写出你认为正确的解题过程． 【答案】（1） （2） ， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题的关键． （）根据分式方程的解法进行分析即可得到答案； （）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【小问1详解】 解：∵第步最后的式子应为：， ∴从第步开始出现错误， 故答案为：； 【小问2详解】 略 28. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 29. 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，刘峰家离动物园20千米，李明家离动物园25千米．刘峰骑自行车前往，李明乘公交车前往．若刘峰早上从家出发，李明早上坐上公交车，二人同时到达．若公交车的速度是自行车速度的2倍，求：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行多少千米． 【答案】李明乘公交车每小时行30千米，刘峰骑自行车每小时行15千米 【解析】 【分析】设刘峰骑自行车的速度为v千米/小时，则公交车的速度为千米/小时；根据两人同时到达的条件，刘峰从出发行驶20千米，李明从出发行驶25千米，建立方程求解． 【详解】解：设刘峰骑自行车的速度为v千米/小时，则李明乘公交车的速度为千米/小时 刘峰从出发，行驶时间为小时， 李明从出发，行驶时间为小时， ∵二人同时到达， ∴， 方程两边同乘得： ， ∴， 经检验是分式方程的解且符合题意， ∴， 答：李明乘公交车每小时行30千米，刘峰骑自行车每小时行15千米． 30. 已知、是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． （1）如图1，用含、的代数式表示、两个正方形纸片的面积之和____________． （2）如图1，当时，、两个正方形纸片的面积之和为____________． （3）如图2，如果、两个正方形纸片的面积之和为5，阴影部分的面积为2，试求、的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设、两个正方形纸片的边长分别为、，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可； （2）由（1）代入计算即可； （3）设、两个正方形纸片的边长分别为、，由题意得：，进而求出，即可求出m、n的值； 【小问1详解】 解：设、两个正方形纸片的边长分别为、， 由题意得：， 解得： ∴、两个正方形纸片的面积之和为 故答案为：； 【小问2详解】 解：当，时，、两个正方形纸片的面积之和为 故答案为：； 【小问3详解】 解：设、两个正方形纸片的边长分别为、 由题意得： . 31. 如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． （1）已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； （2）已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 【答案】（1）A是B的“差整分式”，“差整值”为3 （2）①；② （3）1或4 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、分式的加减、分式方程的无解问题，熟练掌握以上知识点，根据新定义运算法则按要求计算是解题的关键． （1）先计算，根据计算结果即可解答； （2）①由题意得，，代入式子再化简即可得出M所代表的代数式；②由，结合分式D的值为正整数，且x为整数，得出，即可解答； （3）由题意得，，可得，整理得，由方程无解，可得或者方程有增根，再分别求解即可． 【小问1详解】 解：， 是B的“差整分式”，“差整值”为3． 【小问2详解】 解：①C是D的“差整分式”，且“差整值” ， ， 解得：； ②， 分式D的值为正整数，且x为整数 ， ． 【小问3详解】 解：由（2）得，， ， ， 整理得：， 当时，整式方程无解，符合题意； 当时，， 方程无解， （无解，舍去）或， 解得：， 综上所述，实数m的值为1或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $