精品解析：山东省泰安市东平县清河实验学校（五四制）2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题

清河实验学校2025-2026学年度上学期 八年级数学质量测评试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3． 总分150分，时间90分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，根据定义分析选择即可． 【详解】解：A、属于整式的乘法，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； B、属于整式的除法，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； C、属于因式分解，选项说法正确，符合题意； D、结果不是整式的积形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，严格按照定义判断是否是因式分解是解题的关键． 2. 下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式． 【详解】解：，这两个式子分母中含有字母，因此是分式；其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故选择：B. 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意：π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 3. 下列变号不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式的变号操作，需逐一验证每个等式是否成立. 【详解】对于选项A：∵ ，∴ 等式成立. 对于选项B：左边 ，右边 ，∵ ，∴ 等式不成立. 对于选项C：∵ ，∴ ，∴ ，等式成立. 对于选项D：右边 ，与左边相等，∴ 等式成立. 故变号不正确的是B. 4. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式——提取公因式，掌握公因式的提取技巧是解题关键．通过提取多项式中各项系数的最大公约数与各变量最小指数的乘积即可． 【详解】解：∵系数18、9、3的最大公约数为3，变量的最小指数为2，的最小指数为1，的最小指数为1， ∴此多项式的公因式为． 故选C． 5. 计算，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：原式＝ 故选答案A. 考点： 分式的乘法 6. 下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此判断即可． 【详解】解：A．与符号相同，不能使用平方差公式分解因式； B．可以使用平方差公式分解因式； C．，与符号相同，不能使用平方差公式分解因式； D．是立方的形式，故不能使用平方差公式分解因式； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 7. 若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（　　） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 【答案】C 【解析】 【分析】把多项式m3﹣m2﹣m+1分解因式，根据分解的结果即可判断． 【详解】解：多项式m3﹣m2﹣m+1=（m3﹣m2）﹣（m﹣1）=m2（m﹣1）﹣（m﹣1）=（m﹣1）（m2﹣1）=（m﹣1）2（m+1）， ∵m＞﹣1， ∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0， ∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0， 故选：C． 8. 下列说法错误是（ ） A. 当时，分式无意义 B. 当时，分式的值为正数 C. 当分式时， D. 无论x取何值，的值总为正数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的意义、分式有意义时，自变量的取值范围．掌握分式有意义的条件是解题关键．选项A、B、D均正确，选项C错误，因为当时，分式无意义，不能使分式值为 【详解】对于A:当 时，分母 ，分式无意义，选项A正确，不符合题意； 对于B:当 时，分母 ，分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意； 对于选项C:∵ 分式 ， 需分子为0且分母不为0，即 且 ， ∴ 或 ，但 时， ，分式无意义， ∴ 只有 成立，选项C错误，符合题意； 对于D:分母 ，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 9. 如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大6倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的性质即可得出答案． 【详解】解：如果把分式的和都扩大3倍， ， 则分式的值不变， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质是解题关键． 10. 已知实数满足，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：已知， 则， 那么 ． 故选：C． 11. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式、最简分式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据“和谐分式”的定义逐项分析即可． 【详解】解：A： ，为最简分式，故该选项符合题意； B： 已是最简分式，分子和分母都不可因式分解，故该选项不合题意； C： ，原分式不是最简分式，故该选项不合题意； D： ，原分式不是最简分式，故该选项不合题意． 故选：A． 12. 248﹣1能被60到70之间某两个整数整除，则这两个数是（　　） A. 61和63 B. 63和65 C. 65和67 D. 64和67 【答案】B 【解析】 【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解． 【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1） ＝（224+1）（212+1）×65×63， 故选：B． 【点睛】此题考查多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案． 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 13. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解. 【详解】解：， 故答案为：． 14. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。 【详解】解： 当时，原式。 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键。 15. 若，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质，利用“几个非负数的和为时，每个非负数都为”求未知数的值是解题的关键． 先通过因式分解将转化为，再根据“几个非负数的和为时，每个非负数都为”的性质求出，， 的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 16. 甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解结果为，那么分解因式正确的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据甲、乙看错的情况下得出、的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键． 【详解】解：因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， ， 又乙看错了的值，分解的结果为， ， 原二次三项式为， 因此，， 故答案为：． 17. 如果多项式因式分解后有一个因式为，则＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、二项式乘二项式的展开、解二元一次方程组，掌握二项式乘二项式的展开技巧是解题关键．根据题意，由于多项式有一个因式，可设另一个因式，通过比较系数求解即可． 【详解】设另一个因式为 ，则 ， 展开得 ， 比较系数，得 ，， 解得 ，， 代入 项系数，得，即 ， 解得 ． 故答案为：． 18. 若可以用完全平方式来分解因式，则m的值为_______． 【答案】或13 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：可以用完全平方式来分解因式， ， 解得：或． 故答案为：或13． 【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 分解因式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法，公式法分解因式并能根据多项式的结构特征灵活选用是解题的关键． （1）直接提取公因式即可分解； （2）先利用平方差公式分解，再对得到的两个多项式分别用完全平方公式继续分解； （3）先提出公因式，再对括号内的多项式用完全平方公式分解； （4）将 看作一个整体，利用完全平方公式进行分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，分式指数幂和分式乘除的计算，熟练掌握完全平方公式和分式乘除的运算法则是解题的关键， （1）利用完全平方公式计算即可得到答案； （2）利用分式指数幂和分式乘除的运算法则计算即可得到答案； （3）利用分式乘除的运算法则计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值．先把分式的分子和分母因式分解，约分后得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 22. 已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，求的值． 【答案】6 【解析】 【分析】根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得的值；根据分式没有意义，即分母等于0，求得的值，从而求得的值． 【详解】解：时，分式的值为0， ， ． 时，分式没有意义， ， ． ． 【点睛】本题考查了分式，解题的关键是注意：分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式无意义，则分母等于0． 23. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，将继续分解因式即可得解； （3）利用换元法，将看成一个整体，设，进行因式分解即可得解； 【小问1详解】 解：，是利用了两数和的完全平方公式， 故选：C． 【小问2详解】 解： ， 该同学因式分解的结果不彻底， ， ． 【小问3详解】 解：设， ． 24. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做“配方法”．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． （1）用配方法因式分解：． 解：原式 ， （2）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ， 因为，所以， 所以的最小值为． （1）因式分解：； （2）当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． 【答案】（1）； （2）当时，有最大值． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用配方法因式分解，求最值等知识点，熟练掌握配方法是解题的关键． （）利用配方法把配凑成，然后利用平方差公式分解即可； （）原式变形可得，再根据完全平方公式的非负性解答即可． 【小问1详解】 解：   小问2详解】 解： ， 因为， 所以， 所以， 所以当时，取最大值， 即当时，的最大值为． 25. 先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解： ， ， 参照以上解答过程解决以下问题： （1）若，求的值． （2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式计算即可； （2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出、的值，然后利用三角形的三边关系即可求解． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． ，，是的三边， 的取值为： ． 又 是中最长的边，且， 的取值为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，三角形三边关系，第问中一定要特别注意为最长边这一条件．利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键． 26. 给定下面一列分式：（其中） （1）把任意一个分式除以它前面与之相邻的一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的这列分式中的第2021个分式； （3）表示出第n个分式，并验证第一问的结论． 【答案】（1）任意一个分式除以它前面与之相邻的分式恒等于； （2）这列分式中的第2021个分式为； （3）第n个分式为，验证过程见解析． 【解析】 【分析】本题考查了分式的规律探索、分式的乘除运算，掌握分式分子、分母的变化规律及分式乘除运算的运算法则是解题关键． (1)由第二个分式除以第一个分式得出结果，再由第三个分式除以第二个分式得出结果，进而可归纳出一般恒等式； (2)根据给出一列分式可发现：从第一个分式依次向后，分式的分母依次为，，，，故第2021个分式的分母为，分式的分子中的指数依次为3，5，7，9，，故第2021个分式的分子为，再根据式子按顺序的符号为奇正偶负，即可得出结论； (3)由(2)中发现规律进行归纳可得出第n个分式，然后，再验证即可． 【小问1详解】 解：由，，可知任意一个分式除以它前面与之相邻的分式恒等于； 【小问2详解】 解：根据给出一列分式可发现：从第一个分式依次向后，分式的符号规律为，分式的分母依次为，，，，故分母的规律为，则第2021个分式的分母为，分式的分子中的指数依次为3，5，7，9，，故分子的规律为，则第2021个分式的分子为，可知这列分式中的第2021个分式为； 【小问3详解】 解：根据(2)中发现的规律可得出第n个分式为； 验证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清河实验学校2025-2026学年度上学期 八年级数学质量测评试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3． 总分150分，时间90分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列变号不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 计算，结果是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（ ） A. B. C. D. 7. 若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（　　） A 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 8. 下列说法错误是（ ） A. 当时，分式无意义 B. 当时，分式的值为正数 C. 当分式时， D. 无论x取何值，的值总为正数 9. 如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大6倍 D. 不变 10. 已知实数满足，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 11. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（　　） A. B. C. D. 12. 248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A. 61和63 B. 63和65 C. 65和67 D. 64和67 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 13. 因式分解：_______． 14. 已知，则的值是________． 15. 若，则值是_______． 16. 甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解结果为，那么分解因式正确的结果为______． 17. 如果多项式因式分解后有一个因式为，则＝_______． 18. 若可以用完全平方式来分解因式，则m的值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 分解因式： （1） （2） （3） （4） 20. 计算： （1） （2） （3） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，求的值． 23. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 24. 阅读材料：形如式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做“配方法”．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． （1）用配方法因式分解：． 解：原式 ， （2）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ， 因为，所以， 所以最小值为． （1）因式分解：； （2）当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． 25. 先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解： ， ， 参照以上解答过程解决以下问题： （1）若，求的值． （2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 26. 给定下面一列分式：（其中） （1）把任意一个分式除以它前面与之相邻的一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的这列分式中的第2021个分式； （3）表示出第n个分式，并验证第一问的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $