专题10探索三角形全等的条件（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题10探索三角形全等的条件 【题型01 用SSS证三角形全等】.........................................3 【题型02 用SSS间接证全等】..........................................4 【题型03 SSS性质与判定综合】........................................5 【题型04 尺规作图:作三角形】.........................................6 【题型05 三角形稳定性及应用】........................................7 【题型06 四边形的不稳定性】..........................................8 【题型07 用ASA(AAS)证全等】.........................................8 【题型08 ASA(AAS)性质与判定综合】....................................9 【题型09 用SAS证三角形全等】.......................................11 【题型10 用SAS间接证全等 】........................................11 【题型11 SAS性质与判定综合】.......................................13 【题型12 灵活选用判定证全等】.......................................14 【题型13 尺规作图与全等问题】.......................................15 【题型14 全等图形求网格角度和】.....................................16 【题型15 解答题7题】...............................................17 知识梳理 知识点01:全等三角形的定义与性质 全等三角形：能够完全重合的两个三角形。 对应关系： 重合的顶点叫对应顶点 重合的边叫对应边 重合的角叫对应角 性质： 对应边相等 对应角相等 知识点02:判定三角形全等的5 个基本事实（定理） （重点：只需要 3 个条件，就能判定全等） 1. SSS（边边边） 内容：三边分别相等的两个三角形全等。 简写：SSS 2. SAS（边角边） 内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 关键：必须是夹角！ 简写：SAS 3. ASA（角边角） 内容：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 关键：边是两角之间的夹边 简写：ASA 4. AAS（角角边） 内容：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 简写：AAS 5. HL（斜边、直角边） 适用：只用于直角三角形 内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 简写：HL 知识点03:不能判定全等的情况（易错点） 1.AAA（三角相等）只能说明形状相同，大小不一定相同，不能判定全等。 2.SSA（两边及其中一边的对角）可能画出两个不同三角形，不能判定全等。 知识点04:证明三角形全等的基本思路 先找已知条件（题目直接给的相等边、角） 找隐含条件： 公共边相等 公共角相等 对顶角相等 选判定方法： 已知三边 → SSS 已知两边 → 找夹角（SAS） 已知两角 → 找任意一边（ASA 或 AAS） 直角三角形 → 优先考虑 HL 【题型1.用SSS证三角形全等】 【典例】如图，中，已知，要根据“”判定，还需添加条件 ． 【跟踪专练1】“油纸伞”承载着千年匠心与东方美学，其伞架结构精巧，蕴含着丰富的几何智慧．如图是油纸伞的展开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点三点在同一直线上，且；若，则的度数为（  ）    A．49° B．47° C．45° D．43° 【跟踪专练3】数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是 ． 【题型2.用SSS间接证全等】 【典例】小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是 （填“正确”或“错误”）． 【跟踪专练1】如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） . A． B． C． D．以上都对 【跟踪专练2】数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【跟踪专练3】如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【题型3.SSS性质与判定综合】 【典例】如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，BC＝BD，则能说明△ABC≌△ABD的依据是 ．（填字母简写） 【跟踪专练1】如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型4.尺规作图:作三角形】 【典例】已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为 （填序号） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，为所求作的三角形． 【跟踪专练1】如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【跟踪专练2】为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【跟踪专练3】如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【题型5.三角形稳定性及应用】 【典例】贵州花江峡谷大桥全长2890米，大桥多采用三角形结构（如图），使其不易变形，其蕴含的数学道理是 ．（填序号） ①三角形具有稳定性；②三角形的内角和为；③三角形任意两边之和大于第三边． 【跟踪专练1】下列图形中，没有运用三角形稳定性的是（   ） A．自动伸缩门 B．自行车车架 C．房屋屋顶 D．钢架桥 【跟踪专练2】如图，乐山致江路大桥于2024年12月25日顺利通车，许多市民前往游观，桥上斜拉索的作用在物理方面可以平衡大桥主梁的重量和荷载，那么在数学上体现的知识是 ． 【跟踪专练3】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【题型6.四边形的不稳定性】 【典例】我校大门口的电子伸缩门是利用了数学的 原理． 【跟踪专练1】2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【跟踪专练2】2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【跟踪专练3】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型7.用ASA(AAS)证全等】 【典例】在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ． 【跟踪专练1】如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点和，在岸边标记目标点、，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________． 【跟踪专练3】如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【题型8.ASA(AAS)性质与判定综合】 【典例】如图，要测量水池宽，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是 m． 【跟踪专练1】如图，王明同学画了两个不同形状的三角形，并将有关数据在图中进行了标注，两个三角形的面积分别记为和，则和的大小关系为（    ） A．不能确定 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，． 【跟踪专练3】如图，在和中，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【题型9.用SAS证三角形全等】 【典例】如图，，，则，理由是 ． 【跟踪专练1】几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，，，则证明运用的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ． 【跟踪专练3】如图所示的的正方形网格中，的值是（   ） A． B． C． D． 【题型10.用SAS间接证全等】 【典例】如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．    【跟踪专练1】如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【跟踪专练2】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 【题型11.SAS性质与判定综合】 【典例】如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °． 【跟踪专练1】在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，和均为等腰三角形，，，点在线段上（与不重合），连接，若，，则的长为 ． 【跟踪专练3】要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【题型12.灵活选用判定证全等】 【典例】如图，已知线段AB与CD相交于点E，AC＝AD，CE＝ED，则图中全等三角形有 对． 【跟踪专练1】下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【跟踪专练3】如图，点在以点为圆心，半径长为8的半圆上运动，点在直线上运动，连接，，有以下结论： ①当，时，能得到形状唯一的． ②当，时，不能得到形状唯一的． ③当，时，不能得到形状唯一的． ④当，时，能得到形状唯一的． 其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【题型13.尺规作图与全等问题】 【典例】如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【跟踪专练3】如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是 cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是 ． 【题型14.全等图形求网格角度和】 【典例】如图，在的正方形网格中，求 度． 【跟踪专练1】如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 ；度数为 ． 【跟踪专练2】在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【跟踪专练3】如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 解答题 1．如图，已知，，． 求证： (1)； (2)． 2．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 3．我们知道，四边形不稳定，易变形．工人师傅现做了一个正方形窗框（如图），为了防止它在安装前变形，你有什么办法？请画图说明． 4．如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 5．如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 6．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：、均为锐角三角形，，，． 求证：． （请你将下列证明过程补充完整． 证明：分别过点，作于，于，…（请同学们接着向下证） 7．【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10探索三角形全等的条件 【题型01 用SSS证三角形全等】.........................................3 【题型02 用SSS间接证全等】..........................................5 【题型03 SSS性质与判定综合】........................................7 【题型04 尺规作图:作三角形】........................................11 【题型05 三角形稳定性及应用】.......................................13 【题型06 四边形的不稳定性】.........................................15 【题型07 用ASA(AAS)证全等】.........................................17 【题型08 ASA(AAS)性质与判定综合】...................................19 【题型09 用SAS证三角形全等】.......................................23 【题型10 用SAS间接证全等 】........................................26 【题型11 SAS性质与判定综合】.......................................31 【题型12 灵活选用判定证全等】.......................................34 【题型13 尺规作图与全等问题】.......................................37 【题型14 全等图形求网格角度和】.....................................40 【题型15 解答题7题】...............................................44 知识梳理 知识点01:全等三角形的定义与性质 全等三角形：能够完全重合的两个三角形。 对应关系： 重合的顶点叫对应顶点 重合的边叫对应边 重合的角叫对应角 性质： 对应边相等 对应角相等 知识点02:判定三角形全等的5 个基本事实（定理） （重点：只需要 3 个条件，就能判定全等） 1. SSS（边边边） 内容：三边分别相等的两个三角形全等。 简写：SSS 2. SAS（边角边） 内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 关键：必须是夹角！ 简写：SAS 3. ASA（角边角） 内容：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 关键：边是两角之间的夹边 简写：ASA 4. AAS（角角边） 内容：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 简写：AAS 5. HL（斜边、直角边） 适用：只用于直角三角形 内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 简写：HL 知识点03:不能判定全等的情况（易错点） 1.AAA（三角相等）只能说明形状相同，大小不一定相同，不能判定全等。 2.SSA（两边及其中一边的对角）可能画出两个不同三角形，不能判定全等。 知识点04:证明三角形全等的基本思路 先找已知条件（题目直接给的相等边、角） 找隐含条件： 公共边相等 公共角相等 对顶角相等 选判定方法： 已知三边 → SSS 已知两边 → 找夹角（SAS） 已知两角 → 找任意一边（ASA 或 AAS） 直角三角形 → 优先考虑 HL ..【题型1.用SSS证三角形全等】 【典例】如图，中，已知，要根据“”判定，还需添加条件 ． 【答案】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据已知条件结合是公共边，得到当时，利用“”可以判定，即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，利用“”可以判定； 故答案为： 【跟踪专练1】“油纸伞”承载着千年匠心与东方美学，其伞架结构精巧，蕴含着丰富的几何智慧．如图是油纸伞的展开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理以及图形，分析求解，即可解题． 【详解】解：，， 的依据是“”， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，点三点在同一直线上，且；若，则的度数为（  ）    A．49° B．47° C．45° D．43° 【答案】B 【分析】利用“边边边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠1，∠BAC=∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3=∠1+∠2，然后求解即可． 【详解】在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SSS)， ∴∠ABC=∠1，∠BAC=∠2， 在△ABC中，由三角形的外角性质得，∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2， ∵∠1+∠2+∠3=94°， ∴2∠3=94°， ∴∠3=47°. 故选B. 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的性质与运用. 【跟踪专练3】数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是 ． 【答案】SSS 【分析】根据SSS证明三角形全等即可解答． 【详解】解：在和△中， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，读懂图形信息得到证明三角形全等的条件是解题的关键． 【题型2.用SSS间接证全等】 【典例】小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是 （填“正确”或“错误”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟知三角形全等判定的相关定理是解题的关键． 根据“边边边”定理即可判断小明的说法是正确的． 【详解】根据“两个三角形的三条边分别对应相等，则两个三角形全等”可知，小明的判断是正确的． 故答案为：正确． 【跟踪专练1】如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） . A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】根据已知条件，，要利用“”推理得，只需再得到一组边相等即可，再结合选项中所给的条件，运用线段之间的关系进一步分析即可得出答案． 【详解】解：当时，， 理由：∵， 又，， ∴（） 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【跟踪专练2】数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意，可利用判定两个三角形全等，从而判断两个三角形的对应角相等，对应边上的中线相等，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等， 则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等． 故两人的说法都正确， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 【题型3.SSS性质与判定综合】 【典例】如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，BC＝BD，则能说明△ABC≌△ABD的依据是 ．（填字母简写） 【答案】SSS 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判定． 【详解】解：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SSS）． 故答案为SSS． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 【跟踪专练1】如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定与性质，根据题意先整理得，再证明，即可作答． 【详解】解：点E，F分别为，中点， ，， ， ， 在和中 ， ∴ 故答案：B． 【跟踪专练2】如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键；由作图可得：，，可证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定，即可求解． 【详解】解：连接，由作图可得：，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 利用“”证，依据全等三角形对应角相等，得．分析线段关系，判断不成立．由全等得，进而推出．根据全等三角形面积相等，得，统计正确结论个数． 【详解】∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴①正确． ∵， ∴， ∴②正确． 由前面已证，仅根据已知条件无法得出， ∴③错误． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴④正确． 由于，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等， ∴， ∴⑤正确． 综上，①②④⑤正确，正确的个数是4个， 故选：B． 【题型4.尺规作图:作三角形】 【典例】已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为 （填序号） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，为所求作的三角形． 【答案】②①③ 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：做三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是②作直线，在上截取；①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A； ③连接，为所求作的三角形． 故答案为：②①③． 【跟踪专练1】如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．由图可知已知线段，，，由此即可判断解答． 【详解】解：由图可知：已知线段，，， 故选：C． 【跟踪专练2】为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 【跟踪专练3】如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】此题考查作图能力：作一角等于已知角，截取线段长度等于已知线段长，掌握简单的作图方法是解题的关键．先作，再在角的两边分别截取，，，则，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为所求作的三角形； 【题型5.三角形稳定性及应用】 【典例】贵州花江峡谷大桥全长2890米，大桥多采用三角形结构（如图），使其不易变形，其蕴含的数学道理是 ．（填序号） ①三角形具有稳定性；②三角形的内角和为；③三角形任意两边之和大于第三边． 【答案】① 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性回答． 【详解】解：大桥多采用三角形结构（如图），使其不易变形，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 故答案为：①． 【跟踪专练1】下列图形中，没有运用三角形稳定性的是（   ） A．自动伸缩门 B．自行车车架 C．房屋屋顶 D．钢架桥 【答案】A 【分析】本题主要考查的是三角形稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性是解题关键． 根据三角形的特性：三角形具有稳定性，逐一判断即可． 【详解】解：A．伸缩门，没有利用三角形稳定性，故符合题意； B．自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性，故不符合题意； C．屋顶三角形钢架，利用了三角形的稳定性，故不符合题意； D．钢架桥，利用了三角形的稳定性，故不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，乐山致江路大桥于2024年12月25日顺利通车，许多市民前往游观，桥上斜拉索的作用在物理方面可以平衡大桥主梁的重量和荷载，那么在数学上体现的知识是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解释即可． 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得三角形的稳定性是解释依据， 故答案为：三角形的稳定性． 【跟踪专练3】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 【题型6.四边形的不稳定性】 【典例】我校大门口的电子伸缩门是利用了数学的 原理． 【答案】四边形的不稳定性． 【分析】根据四边形的不稳定性进行分析，即可得到答案． 【详解】解：我校大门口的电子伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性． 故答案为：四边形的不稳定性． 【点睛】本题主要考查了四边形不稳定性的是实际应用，正确理解三角形稳定形和四边形不稳定性是解题关键． 【跟踪专练1】2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 【跟踪专练2】2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 【跟踪专练3】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 【题型7.用ASA(AAS)证全等】 【典例】在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据图形可知图中三角形纸片两角及其夹边已知，则可根据解答． 【详解】解：∵图中三角形纸片两角及其夹边已知， ∴可以根据画出了一个与原三角形完全重合的三角形， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点和，在岸边标记目标点、，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，关键是识别两个三角形中相等的角和边，匹配对应的判定条件．根据题目所给条件结合三角形的判定方法即可得答案． 【详解】解：在和中： ∵（已知），（已知），（对顶角相等）， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________． 【答案】海岛在观测点B的正北方，理由见解析． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质等知识点，证明得出，即可得解，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】由题意得：，， ∵海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴海岛在观测点B的正北方， 故答案为：海岛在观测点B的正北方． 【跟踪专练3】如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：由图形知，中，边长为的对角为，邻角为，甲中，边长为的对角为， ∴甲中三角形与不一定全等； 乙中，，则边长为的对角为，邻角为， ∴乙中三角形与全等； 丙中，边长为的对角为，邻角为， ∴丙中三角形与全等； 综上可知：能和全等的是乙、丙． 故选：B． 【题型8.ASA(AAS)性质与判定综合】 【典例】如图，要测量水池宽，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是 m． 【答案】120 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】， ， ，， ， ， 故答案为120． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 【跟踪专练1】如图，王明同学画了两个不同形状的三角形，并将有关数据在图中进行了标注，两个三角形的面积分别记为和，则和的大小关系为（    ） A．不能确定 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 根据题意先分别作的高，交于点，作的高，根据，得出，证明得出，最后根据三角形的面积公式得出和，即可求解． 【详解】解：作的高，交于点，作的高，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，． 【答案】7或3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．由为边上的高，得到，再结合，证明，得到，再根据的位置分情况讨论，分别求出的长，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：在中，为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴有以下两种情况： 当点E在的延长线上时，如图1所示： ， ∴点E运动的时间为：， 当点E在的延长线上时，如图2所示： ， ∴点E运动的时间为：， 综上所述：当点E运动7或时，． 故答案为：7或3． 【跟踪专练3】如图，在和中，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的几种判定方法是解题的关键；易证，则有，，从而可判断①③正确；由即可证明，从而可判断④正确；条件不足，无法判断②正确，最后即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故①③正确． 又∵，，， ∴； 故④正确； 由于条件不足，无法证得，故②错误； 故正确的结论有：①③④； 故选：A． 【题型9.用SAS证三角形全等】 【典例】如图，，，则，理由是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握证明两三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，，，则证明运用的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将已知边和所求线段转化到同一个三角形中． 延长到，使，证明，得到，再利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：延长到，使， ∵是的中线 在和中， ， ， 在中，， ∴，即， 则． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示的的正方形网格中，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，根据全等三角形的判定与性质得到，则有，同理可证，，，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证：，， ∴， 故选：B． 【题型10.用SAS间接证全等】 【典例】如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．    【答案】/边角边 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 【跟踪专练2】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴，故①正确， ∵， ∴，故⑤正确， ∴，故③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 【答案】(1)见解析 (2)点的速度为 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握三角形全等的判定定理． （1）先求得，，则可判断； （2）由得，求出点的运动时间，进而可求出点运动的速度． 【详解】（1）解：点的速度与点的速度相等，都是， 经1s后，， ， ， ， 点为的中点，， ， ， 在和中，， ∴； （2）解：， ， 点是的中点，， ， 点的运动时间为：， 点运动的时间为， 点运动的速度是：， 当点的速度为时，能够使； 【题型11.SAS性质与判定综合】 【典例】如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °． 【答案】90 【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ， ， ， ， ， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 【跟踪专练1】在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至，使得，即得，可证，得到，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴长度可以是， 故选：． 【跟踪专练2】如图，和均为等腰三角形，，，点在线段上（与不重合），连接，若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再证明得出，最后根据已知条件得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 【跟踪专练3】要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，方案Ⅰ中利用证明即可；方案Ⅱ中利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 【题型12.灵活选用判定证全等】 【典例】如图，已知线段AB与CD相交于点E，AC＝AD，CE＝ED，则图中全等三角形有 对． 【答案】3 【分析】根据全等三角形的判定定理可得出答案． 【详解】解：在△ACE和△ADE中， ， ∴△ACE≌△ADE（SSS）， ∴∠CAE＝∠DAE， 在△CAB和△DAB中， ∴△CAB≌△DAB（SAS）， ∴BC＝BD， 在△BCE和△BDE中，     ∴△BCE≌△BDE（SSS）． ∴图中全等三角形有3对． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法的应用，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练1】下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，根据、、、等判定唯一三角形，同时考虑情况可能不唯一即可解答． 【详解】解：选项A：（两角及夹边，），能唯一画出； 选项B：（两角及一边，），能唯一画出； 选项C：（两边及非夹角，），有两个交点，不能唯一画出； 选项D：（三边，），满足三角形三边关系，能唯一画出； 故选C． 【跟踪专练2】按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理还有． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：①根据、、，不能画出三角形，不符合题意； ②根据，，可得，符合能画出唯一三角形，符合题意； ③根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意； ④根据，，符合能画出唯一三角形，符合题意； ⑤根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意． 故答案为：②④． 【跟踪专练3】如图，点在以点为圆心，半径长为8的半圆上运动，点在直线上运动，连接，，有以下结论： ①当，时，能得到形状唯一的． ②当，时，不能得到形状唯一的． ③当，时，不能得到形状唯一的． ④当，时，能得到形状唯一的． 其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定方法的探究，直角三角形的性质，关键是确定以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线的交点个数． 分别在以上四种情况下以为圆心，的长度为半径画弧，观察弧与直线的交点即为点，作出后可得答案． 【详解】解：如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有一个交点，作出，故唯一，故①正确，符合题意； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，故不唯一，故②正确，符合题意； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③错误，不符合题意； 如图，当时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意； . 综上所述，结论正确的是①②④， 故选：C． 【题型13.尺规作图与全等问题】 【典例】如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 【跟踪专练1】如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为 ． 【答案】52° 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE， ∴△ODE≌△OFE（SSS）， ∴∠EOD=∠EOF=26°， ∴∠BOD=2∠AOB=52°， 故答案为：52°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【跟踪专练2】如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是 cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意；当BC=BN=1时，三角形是唯一的；当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的． 【详解】如图，当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意， 此时； 故答案为：； 当BC=BN=1时，三角形是唯一的； 当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的存在个数，熟练掌握三角形的基本作图是解题的关键． 【题型14.全等图形求网格角度和】 【典例】如图，在的正方形网格中，求 度． 【答案】45 【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解． 【详解】解：如图所示，连接     ∵图中是的正方形网格 ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：45． 【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征． 【跟踪专练1】如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 ；度数为 ． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 【跟踪专练2】在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 解答题 1．如图，已知，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据已知由等式的性质得到三角形的边相等，这样条件符合了，可得三角形全等； （2）根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 即． 在和中， ； （2）（2） ， ， ． 2．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 【详解】证明：， 则，即， 在和中， ， ． 3．我们知道，四边形不稳定，易变形．工人师傅现做了一个正方形窗框（如图），为了防止它在安装前变形，你有什么办法？请画图说明． 【答案】见解析 【详解】如图，用木板连接任一对角线，利用“三角形的稳定性”加固防止窗框变形． 4．如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， （1）用直接证明全等即可； （2）根据全等得出，再根据线段和差计算得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ． 5．如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1)图见解析，答案不唯一 (2)图见解析，答案不唯一 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）解：即为所求作（答案不唯一）； （2）解：即为所求作（答案不唯一）． 6．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：、均为锐角三角形，，，． 求证：． （请你将下列证明过程补充完整． 证明：分别过点，作于，于，…（请同学们接着向下证） 【答案】见解析 【分析】考查三角形全等的判定的综合应用，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用证明，可证，进而利用证明，得到，再利用可证原两个三角形全等． 【详解】证明：分别过点，作于，于， 则， 在和中， ， ， ． ，． ， ， 又，， 在与中， ， 7．【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $