6.2 平面向量的运算讲义（知识梳理+题型突破）-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量的运算核心知识点，系统梳理向量加法（三角形法则、平行四边形法则）、减法（相反向量、三角形法则）、数乘（定义、运算律）及数量积（定义、几何意义）的定义、法则与运算律，构建从基础到应用的递进学习支架。 资料以表格化呈现知识对比（如加法法则适用场景），模块化解题（如平行四边形向量表示、三角形重心问题），结合核心技巧与易错提醒，培养几何直观与推理能力。课中辅助教师引导探究，课后助力学生通过典例变式与练习查漏补缺，提升数学语言表达的精确性。

6.2 平面向量的运算 讲义 基础知识梳理 6.2.1 向量的加法运算 1. 向量加法的法则 法则 适用场景 操作方法 图形表示 公式表示 三角形法则 任意两个向量（首尾相接） 已知、，将的起点与的终点重合，以的起点为起点、的终点为终点的向量即为 平行四边形法则 不共线的两个向量（起点相同） 已知、（起点重合），以、为邻边作平行四边形，以公共起点为起点的对角线向量即为 若，，则（为对角线） 2. 向量加法的运算律 交换律： 结合律： 零向量性质： 6.2.2 向量的减法运算 1. 相反向量 与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。 性质：；；。 2. 向量减法的法则 定义法：（减法转化为加法）。 三角形法则（核心）：起点重合，指向被减向量。 已知、（起点重合），以的终点为起点、的终点为终点的向量即为，即。 3. 减法运算律 6.2.3 向量的数乘运算 1. 数乘的定义 实数与向量的积是一个向量，记作，满足： 长度：； 方向：当时，与同向；当时，与反向；当时，。 2. 数乘的运算律（） 结合律： 分配律1： 分配律2： 3. 向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算，运算结果仍为向量。 6.2.4 向量的数量积 1. 定义及辨析 已知两个非零向量、，它们的夹角为（），则数量叫做与的数量积（内积），记作，即： 特殊情况：零向量与任一向量的数量积为，即； 本质：数量积的结果是实数，而非向量。 2. 几何意义 等于与在方向上的投影的乘积（或与在方向上的投影的乘积）。 3. 运算律 交换律： 数乘结合律： 分配律： 易错提醒：数量积不满足结合律，即。 4. 已知数量积求模 由数量积定义推导模长公式： 典例精讲 模块一：向量的加法运算 典例1（加法法则的基础应用） 题目：在平行四边形中，，，用、表示和。 变式1在正六边形中，是中心，，，用、表示。 典例2（加法的几何应用） 题目：已知点是的边中点，求证：。 变式2已知点是线段的中点，点是平面内任意一点，求证：。 模块二：向量的减法运算 典例3（减法法则的基础应用） 题目：化简：。 变式3化简：。 典例4（减法的几何应用） 题目：在中，是重心，若，，用、表示。 变式4在四边形中，，，对角线、交于点，且是中点，用、表示。 模块三：向量的数乘运算 典例5（数乘的基本计算） 题目：计算：。 变式5计算：。 典例6（线性运算的几何应用——三角形的心） 题目：已知点是的重心，若，求、的值。 变式6已知点是的内心，若，且，，求的值。 模块四：向量的数量积 典例7（用定义求数量积） 题目：已知，，与的夹角为，求和。 变式7已知，，与的夹角为，求。 典例8（已知数量积求模） 题目：已知，，，求和。 变式8已知与的夹角为，，，求。 【核心技巧】 （1）向量加减运算 · 三角形法则：“首尾相接，起点到终点”；减法法则：“起点重合，指向被减”。 · 化简多向量运算时，优先分组（同起点或首尾相接），再用法则转化。 · 中点性质：若是中点，则，此结论可直接用于解题。 （2）向量数乘运算 · 数乘计算：按“先去括号，再合并同类向量”的步骤，系数相加减，向量不变。 · 三角形的心的向量表示： · 重心：，； · 垂心：。 （3）向量数量积运算 · 定义法：明确、和夹角，直接代入。 · 求模技巧：“遇模平方”，将模长问题转化为数量积问题，再利用运算律展开。 · 投影计算：在方向上的投影为。 【易错提醒】 1. 加法法则混淆：平行四边形法则仅适用于不共线且起点相同的向量，共线向量只能用三角形法则。 2. 数乘方向错误：当时，与反向，计算时易忽略符号。 3. 数量积本质误解：数量积的结果是实数，不是向量，切勿写成的形式。 4. 数量积结合律误区：与一般不相等，前者与共线，后者与共线。 5. 求模时漏平方：直接由得，忽略向量夹角的影响（仅当与同向时等号成立）。 1．化简：（    ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，是边上中点，则（    ） A． B． C． D． 3．四边形是梯形，，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 5．如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，则这个人由A地到C地位移的结果为（    ）    A． B． C． D． 6．设，而是一非零向量，则下列各结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 7．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则等于（    ） A． B． C． D． 8．在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 9．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（    ） A．向东北方向航行 B．向北偏东方向航行 C．向正北方向航行 D．向正东方向航行 10．已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ） A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心 11．已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C． D．4 12．已知为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 13．在中，若，则点（    ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．为的外心 14．在中，，E为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 15．在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 16．在中，点为中点，点在上且.记，则（    ） A． B． C． D． 17．如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D．9 18．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 19．（多选题）下列结论中不正确的是（    ） A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同 B．在中，必有 C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则的长度与的长度加的长度的和一定相等 20．（多选题）给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ） A．若线段，则向量 B．若向量，则线段 C．若向量与共线，则线段 D．若向量与反向共线，则 21．（多选题）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 22．（多选题）如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 23．（多选题）已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 24．化简：=______． 25．若，则的取值范围为 . 26．化简 (1)； (2)． . 27．如图，已知向量，，不共线，求作向量．    28．如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：. 29．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    30．如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若图表中小正方形边长为1，求、． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 平面向量的运算 讲义 基础知识梳理 6.2.1 向量的加法运算 1. 向量加法的法则 法则 适用场景 操作方法 图形表示 公式表示 三角形法则 任意两个向量（首尾相接） 已知、，将的起点与的终点重合，以的起点为起点、的终点为终点的向量即为 平行四边形法则 不共线的两个向量（起点相同） 已知、（起点重合），以、为邻边作平行四边形，以公共起点为起点的对角线向量即为 若，，则（为对角线） 2. 向量加法的运算律 交换律： 结合律： 零向量性质： 6.2.2 向量的减法运算 1. 相反向量 与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。 性质：；；。 2. 向量减法的法则 定义法：（减法转化为加法）。 三角形法则（核心）：起点重合，指向被减向量。 已知、（起点重合），以的终点为起点、的终点为终点的向量即为，即。 3. 减法运算律 6.2.3 向量的数乘运算 1. 数乘的定义 实数与向量的积是一个向量，记作，满足： 长度：； 方向：当时，与同向；当时，与反向；当时，。 2. 数乘的运算律（） 结合律： 分配律1： 分配律2： 3. 向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算，运算结果仍为向量。 6.2.4 向量的数量积 1. 定义及辨析 已知两个非零向量、，它们的夹角为（），则数量叫做与的数量积（内积），记作，即： 特殊情况：零向量与任一向量的数量积为，即； 本质：数量积的结果是实数，而非向量。 2. 几何意义 等于与在方向上的投影的乘积（或与在方向上的投影的乘积）。 3. 运算律 交换律： 数乘结合律： 分配律： 易错提醒：数量积不满足结合律，即。 4. 已知数量积求模 由数量积定义推导模长公式： 典例精讲 模块一：向量的加法运算 典例1（加法法则的基础应用） 题目：在平行四边形中，，，用、表示和。 【解析】求：根据平行四边形法则，是以、为邻边的平行四边形对角线，故； 求：先转化为减法，（也可通过验证）。 【答案】，。 变式1在正六边形中，是中心，，，用、表示。 【解析】正六边形中且，且，结合平行四边形法则： （或由验证，需结合正六边形对称性）。 【答案】。 典例2（加法的几何应用） 题目：已知点是的边中点，求证：。 【解析】利用向量加法的三角形法则拆分向量： ，； 两式相加：； 因是中点，故，即； 化简得：。 变式2已知点是线段的中点，点是平面内任意一点，求证：。 【解析】，； 两式相加得； 因是中点，，故； 化简得。 模块二：向量的减法运算 典例3（减法法则的基础应用） 题目：化简：。 【解析】利用减法法则（起点重合）和加法交换律、结合律重组： 原式= 【答案】。 变式3化简：。 【解析】分组利用减法法则： 原式= 【答案】。 典例4（减法的几何应用） 题目：在中，是重心，若，，用、表示。 【解析】重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，核心性质： ； 因此：。 【答案】。 变式4在四边形中，，，对角线、交于点，且是中点，用、表示。 【解析】是、中点，故四边形是平行四边形，； 。 【答案】。 模块三：向量的数乘运算 典例5（数乘的基本计算） 题目：计算：。 【解析】按照数乘分配律、结合律展开，再合并同类向量： 原式= 【答案】。 变式5计算：。 【解析】展开并合并同类向量： 【答案】。 典例6（线性运算的几何应用——三角形的心） 题目：已知点是的重心，若，求、的值。 【解析】取中点，由重心性质得； 由典例2结论，； 代入得：； 故，。 【答案】，。 变式6已知点是的内心，若，且，，求的值。 【解析】内心是角平分线交点，取中点，平分，由角平分线定理得（，内心分中线比为）； 又，故； 因此，，。 【答案】。 模块四：向量的数量积 典例7（用定义求数量积） 题目：已知，，与的夹角为，求和。 【解析】求：直接代入数量积定义公式： 求：利用分配律展开： 【答案】，。 变式7已知，，与的夹角为，求。 【解析】先展开再代入定义计算： 原式= 【答案】。 典例8（已知数量积求模） 题目：已知，，，求和。 【解析】代入模长公式： ； 。 【答案】，。 变式8已知与的夹角为，，，求。 【解析】对两边平方： 代入，： 整理得，解得（负根舍去）。 【答案】。 【核心技巧】 （1）向量加减运算 · 三角形法则：“首尾相接，起点到终点”；减法法则：“起点重合，指向被减”。 · 化简多向量运算时，优先分组（同起点或首尾相接），再用法则转化。 · 中点性质：若是中点，则，此结论可直接用于解题。 （2）向量数乘运算 · 数乘计算：按“先去括号，再合并同类向量”的步骤，系数相加减，向量不变。 · 三角形的心的向量表示： · 重心：，； · 垂心：。 （3）向量数量积运算 · 定义法：明确、和夹角，直接代入。 · 求模技巧：“遇模平方”，将模长问题转化为数量积问题，再利用运算律展开。 · 投影计算：在方向上的投影为。 【易错提醒】 1. 加法法则混淆：平行四边形法则仅适用于不共线且起点相同的向量，共线向量只能用三角形法则。 2. 数乘方向错误：当时，与反向，计算时易忽略符号。 3. 数量积本质误解：数量积的结果是实数，不是向量，切勿写成的形式。 4. 数量积结合律误区：与一般不相等，前者与共线，后者与共线。 5. 求模时漏平方：直接由得，忽略向量夹角的影响（仅当与同向时等号成立）。 1．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选C. 2．在平行四边形中，是边上中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算进行求解. 【详解】因为是平行四边形的边上中点，所以， 所以， 所以. 故选：C. 3．四边形是梯形，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,故选B 4．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【解析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.故选A. 5．如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，则这个人由A地到C地位移的结果为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意,故这个人由A地到C地位移的结果为，故选C 6．设，而是一非零向量，则下列各结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【解析】因为， 又是一非零向量，所以，故①正确； ，故②错误，③正确； 又，所以，故④错误. 故选D. 7．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用平行四边形法则作出向量，如图所示， 由图可知.故选C. 8．在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】在矩形中，由，可得， 又因为，故，故．故选A. 9．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（    ） A．向东北方向航行 B．向北偏东方向航行 C．向正北方向航行 D．向正东方向航行 【答案】B 【解析】如图，    易知，所以．故的方向是北偏东．又.故选B． 10．已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ） A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心 【答案】A 【解析】因为，所以， 即，所以点是的中点.故选A． 11．已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C． D．4 【答案】C 【解析】， 因为正方形的边长为1，所以， 故.故选C. 12．已知为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解. 【详解】如图， 因为，所以是线段的四等分点，且, 所以, 故A,B错误； 由，可得，故C正确，D错误， 故选:C. 13．在中，若，则点（    ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．为的外心 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以和共线， 因为和有公共端点， 所以三点共线， 所以点在直线上，故选A. 14．在中，，E为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的减法法则和平行四边形法则对向量进行分解转化即可. 【详解】因为，E为AD中点， 所以. 故选：B. 15．在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为，，，， 所以，所以是等边三角形．故选A． 16．在中，点为中点，点在上且.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法、减法法则线性表示即可. 【详解】如图所示：    由， 所以， 又， ， 又因为为中点， ， 则， 故选：B. 17．如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以， 又，，所以， 又三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 18．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 【答案】ABD 【解析】数轴上零向量的坐标为正确. 若与都是单位向量，当方向相反时， 的最小值为正确. 若，则，错误. 若，则线段的中点坐标为，正确. 故选ABD. 19．（多选题）下列结论中不正确的是（    ） A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同 B．在中，必有 C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则的长度与的长度加的长度的和一定相等 【答案】ACD 【解析】对于A：当与为相反向量时，，方向任意，故A错误； 对于B：在中，，故B正确； 对于C：当A、B、C三点共线时，满足，但不能构成三角形，故C错误； 对于D：若，均为非零向量，则，当且仅当与同向时等号成立，故D错误. 故选ACD 20．（多选题）给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ） A．若线段，则向量 B．若向量，则线段 C．若向量与共线，则线段 D．若向量与反向共线，则 【答案】AD 【解析】对于A项，∵线段AC=AB+BC， ∴点B在线段AC上， ，故选项A正确； 对于B项，在△ABC中，， 但由三角形的性质可知，AC≠AB+BC，故选项B不成立； 对于C项，若向量与反向共线，则AC≠AB+BC，故选项C不成立； 对于D项，∵向量与反向共线， 故选项D正确. 故选AD. 21．（多选题）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算分别判断即可． 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D不合题意； 故选：ABC． 22．（多选题）如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用向量的加减法则进行判断. 【详解】根据向量减法可得，故A正确； 因为是的中点，所以，故B正确； 由题意知是的重心， 则，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 23．（多选题）已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可. 【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得，故A正确； 由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以， 又，所以，故B正确； ，故C正确； ，，又，所以，故D错误.    故选：ABC 24．化简：=______． 【答案】 【分析】由向量的加减法法则计算． 【详解】． 故答案为：． 25．若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为， 所以，当且仅当与共线时取等号， 其中左端的等号是与反向时取得，右端的等号是与同向时取得， 所以. 故答案为： 26．化简 (1)； (2)． 【解析】（1） . （2） . 27．如图，已知向量，，不共线，求作向量．    【解析】如图，作，则即为， 再作，则向量即为．    28．如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：. 【解析】因为， ， 所以. 又因为，所以. 29．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    【解析】因为E，F分别是AD，BC中点， 所以，，. 因为，， 所以，. 30．如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若图表中小正方形边长为1，求、． 【解析】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示： （2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再平移向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示： （3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知， ；                                    由共线向量的加法运算可知. 学科网（北京）股份有限公司 $