23.1 一次函数的概念 知识点专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第23章 一次函数 23.1 一次函数的概念 知识点专项训练答案解析 一、单选题 1．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 （、为常数，且）的函数是一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：①化简得，是一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤是一次函数，符合题意． 综上，一次函数有①③⑤，共3个． 故选：C． 2．下列各点，在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将各选项的横坐标代入函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中的纵坐标对比即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：∵对于函数 A、当时，，∴点不在函数图象上． B、当时，，∴点不在函数图象上． C、当时，，∴点不在函数图象上． D、当时，，∴点在函数图象上． 故选：D． 3．下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数． 根据正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； B．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； C．，符合正比例函数的定义，是正比例函数； D．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； 故选：C． 4．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，其中的次数是2，不是一次函数，不符合题意； B、，符合一次函数的一般形式，是一次函数，符合题意； C、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意． 故选：B． 5．已知一次函数，则下列各点中可能在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将各点坐标代入函数解析式，求出k的值，判断是否满足即可得出答案. 【详解】解：∵点在一次函数图象上时，其坐标满足函数解析式， ∴对各选项逐一验证： A、将代入，得，解得，满足，故该点可能在函数图象上； B、将代入，得，解得，不满足，故该点不在函数图象上； C、将代入，得，即，等式不成立，故该点不在函数图象上； D、将代入，得，解得，不满足，故该点不在函数图象上． 故选：A． 6．若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，列出关于m的方程与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 由得，或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 7．下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时， 叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 8．小明同学利用”描点法“画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： 0 1 2 9 5 1 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（    ） A．9 B．5 C．1 D． 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，由表格可得增加，减少，再验证各点即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得：当时，，当时，，则增加，减少； 当时，，满足增加，减少的要求； 当时，，不满足增加，减少的要求； ∴这个错误的函数值是， 故选：D． 9．已知在正比例函数上，则k的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，熟练掌握正比例函数解析式的求法是解题的关键． 将点P的坐标代入正比例函数解析式，即可求解k的值． 【详解】解：∵在正比例函数上， ∴， ∴． 故选：A． 10．下列语句中，与是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系 （2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系； （4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义，需熟悉其一般形式并正确应用．根据一次函数的定义判断每个语句是否满足． 【详解】解：（1）行驶路程与时间的关系为，符合形式，是一次函数； （2）圆的面积与半径的关系为，是二次函数，不是一次函数； （3）树高与月数的关系为，符合形式，是一次函数； （4）花费与购买量的关系为，符合形式，是一次函数； 满足一次函数关系的有（1）、（3）、（4），共个． 故选：C． 11．若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】此题考查了正比例函数，正比例函数的形式为，即一次项系数不为零且常数项为零，据此求解即可． 【详解】∵函数是正比例函数， ∴且 解得且 ∴． 故选：C． 12．在我国东汉时期的经学家和教育家郑玄在为《考工记·弓人》一文中“量其力，有三钧”一句做注解时，提到“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺．”揭示了在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系．假设一轻弹簧原长为，竖直悬挂重为的重物时，弹簧伸长了，则该弹簧的劲度系数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的应用，当竖直悬挂重为的重物时，弹簧的弹力为，弹簧伸长的长度为，再结合正比例函数的相关知识点计算即可得解，熟练掌握正比例函数的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：当竖直悬挂重为的重物时，弹簧的弹力为， 弹簧伸长的长度为， ∵在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系， ∴该弹簧的劲度系数为， 故选：C． 13．点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．9 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值， 将点的坐标代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 故选：C． 二、填空题 14．当 时，函数是正比例函数． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键．根据正比例函数的定义，函数需满足指数为1且系数不为零． 【详解】解：由正比例函数的定义得：且， 由得， 解得：或， 当时，，不符合系数不为零的条件； 当时，，符合条件； 故． 故答案为：． 15．若点在函数的图象上，则 ． 【答案】2022 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查的是一次函数的性质及代数式求值，利用点在函数图象上的条件，将n用m表示，代入所求式子进行化简计算． 【详解】解：因为点在函数的图象上， 所以． 代入，得． 故答案为：2022． 16．点在一次函数的图象上，则 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，点在一次函数图象上，则其坐标满足函数解析式． 将代入求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．已知直线经过点，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质． 将点的坐标代入直线解析式即可求得a的值． 【详解】解：∵直线经过点， ∴． 故答案为：6． 18．已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，使用待定系数法，设正比例函数为，将点代入求解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设正比例函数表达式为， 将代入表达式可得， 解得：， ∴这个正比例函数的表达式是， 故答案为：． 19．函数是关于的正比例函数，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】正比例函数的定义 【分析】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．正比例函数的形式为，，因此函数表达式中的常数项必须为零，据此解答即可． 【详解】解：由正比例函数的定义，得， 解得，． 故答案为：1． 20．已知一次函数．当时， ． 【答案】8 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求函数值，解题的关键是掌握一次函数的定义． 将代入一次函数解析式求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：8． 21．已知函数，当 时，是的正比例函数． 【答案】3 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且），即常数项为零且一次项系数不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：3． 22．若与成正比例，且当时，，则与的函数关系式是 ． 【答案】/ 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题求正比例函数解析式，设，将和代入，求出k的值即可． 【详解】解：设， 将和代入，得：， 解得， 所以与的函数关系式是， 故答案为：． 23．声音在空气中传播时，声音速度与空气温度满足一次函数关系．部分数据如下表所示，则的值为 ． 0 10 20 30 324 330 336 348 【答案】342 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，利用表格数据找到规律，再计算即可． 【详解】解：由表格发现，空气温度每增加，声音速度增加， ∴， 故答案为：． 24．按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是，则输出y的值是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查函数值，直接利用已知代入得出的值，进而求出输入时，得出的值，解题的关键是正确运算． 【详解】解：把，代入，得， 解得：， 则当时， 把，代入， 得． 故答案为：. 三、解答题 25．已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】该题考查了轴上的点的特征，一次函数的性质． （1）根据轴上的点纵坐标为0，得出，解答即可． （2）根据点在一次函数的图象上，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， ． （2）解：∵点在一次函数的图象上， ， 解得：． 26．已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)当时，求的值 (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式，求一次函数的函数值和自变量的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求的函数解析式中，求出y的值即可得到答案； （3）把代入（1）所求的函数解析式中，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，； （3）解：在中，当时，， 解得． 27．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)与x之间的函数关系式为 (2) 【知识点】正比例函数的定义、函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式． （1）根据与成正比例函数关系，设出函数的解析式，再把当时，代入函数解析式即可求出k的值，进而求出与之间的函数表达式． （2）根据（1）中所求函数解析式，将代入其中，求得的值． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得，解得． 与x之间的函数关系式为； （2）由（1）知，， 则当时，， ． 28．已知x与y的关系如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 6 9 … (1)根据上表写出y与x之间的一个关系式，并判断y是否为x的正比例函数； (2)由该关系式，当时，求y的值． 【答案】(1)，y是x的正比例函数 (2)27 【知识点】正比例函数的定义、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据正比例函数的定义，计算验证中的k值，是否是相同的定值，不同，则不是； （2）根据解析式求函数值即可．熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解∶∵， ∴，y是x的正比例函数； （2）解∶ 当时，． 29．兴平辣椒在漫长的栽种过程中，经过不断选择培育，形成了色泽鲜红、椒身细长、肉厚籽多的特征．一种兴平辣椒的单价是元，当购买兴平辣椒时，需要花费元． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，是的正比例函数； (2)144． 【知识点】正比例函数的定义、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合一种兴平辣椒的单价是元，故，即可作答． （2）理解题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵一种兴平辣椒的单价是元，当购买兴平辣椒时，需要花费元． ∴，即是的正比例函数； （2）解：由（1）得， 依题意，当时，， 即的值为144． 30．某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【知识点】不等式组的方案选择问题、列一次函数解析式并求值 【分析】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． （1）设购进A商品件，则购进B商品件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x的范围，然后确定进货方案即可． 【详解】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件， 由题意可得：总利润，即． （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，， 所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 31．在平面直角坐标系中，若点与点满足，，且点与点不重合，则称点与点为一对“对偶点”，例如点与点即为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函 数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)点与点_____是一对“对偶点”． (2)判断：点的对偶点__________函数的图象上（填写“在”或“不在”）； (3)当点在直线上运动时，求点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系； (4)若关于的一次函数是“对偶函数”，请求出满足的条件． 【答案】(1) (2)不在 (3)点B的横坐标等于点B的纵坐标的两倍加3 (4) 【知识点】点坐标规律探索、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据对偶点的定义求解即可； （2）求出点的对偶点坐标，再看该点是否在对应的函数图象即可得到答案； （3）设，则，据此求出点B的横纵坐标的关系即可得到答案； （4）设点是一次函数的图象上一对“对偶点”，则点是一次函数的图象上一点，利用待定系数法推出，再根据对偶点不重合得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得点与点是一对“对偶点”， 故答案为：； （2）解：由题意得，点的对偶点为， 在中，当时，， ∴点不在直线上， 故答案为：不在； （3）解：∵点在直线上运动， ∴设， ∴的对偶点的坐标为， ∴点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系为点B的横坐标等于点B的纵坐标的两倍加3； （4）解：设点在一次函数的图象， ∵关于的一次函数是“对偶函数”， ∴点的对偶点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点和点不重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第23章 一次函数 23.1 一次函数的概念 知识点专项训练 一、单选题 1．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各点，在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知一次函数，则下列各点中可能在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 6．若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 7．下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 8．小明同学利用”描点法“画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： 0 1 2 9 5 1 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（    ） A．9 B．5 C．1 D． 9．已知在正比例函数上，则k的值为（    ） A． B．2 C． D． 10．下列语句中，与是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系 （2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系； （4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系． A． B． C． D． 11．若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 12．在我国东汉时期的经学家和教育家郑玄在为《考工记·弓人》一文中“量其力，有三钧”一句做注解时，提到“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺．”揭示了在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系．假设一轻弹簧原长为，竖直悬挂重为的重物时，弹簧伸长了，则该弹簧的劲度系数为（　　）． A． B． C． D． 13．点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．9 B．1 C． D． 二、填空题 14．当 时，函数是正比例函数． 15．若点在函数的图象上，则 ． 16．点在一次函数的图象上，则 ． 17．已知直线经过点，则的值为 ． 18．已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是 ． 19．函数是关于的正比例函数，则的值为 ． 20．已知一次函数．当时， ． 21．已知函数，当 时，是的正比例函数． 22．若与成正比例，且当时，，则与的函数关系式是 ． 23．声音在空气中传播时，声音速度与空气温度满足一次函数关系．部分数据如下表所示，则的值为 ． 0 10 20 30 324 330 336 348 24．按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是，则输出y的值是 ． 三、解答题 25．已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在一次函数的图象上，求的值． 26．已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)当时，求的值 (3)当时，求的值． 27．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 28．已知x与y的关系如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 6 9 … (1)根据上表写出y与x之间的一个关系式，并判断y是否为x的正比例函数； (2)由该关系式，当时，求y的值． 29．兴平辣椒在漫长的栽种过程中，经过不断选择培育，形成了色泽鲜红、椒身细长、肉厚籽多的特征．一种兴平辣椒的单价是元，当购买兴平辣椒时，需要花费元． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求的值． 30．某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 31．在平面直角坐标系中，若点与点满足，，且点与点不重合，则称点与点为一对“对偶点”，例如点与点即为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函 数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)点与点_____是一对“对偶点”． (2)判断：点的对偶点__________函数的图象上（填写“在”或“不在”）； (3)当点在直线上运动时，求点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系； (4)若关于的一次函数是“对偶函数”，请求出满足的条件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $