专题02 用坐标表示平移（5大题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02用坐标表示平移 目录 A题型建模·专项突破 题型一、求点沿x轴，y轴平移后的坐标… 题型二、己知平移后的坐标，求原坐标… .2 题型三、已知图形的平移，求点的坐标 题型四、平面直角坐标系中的平移作图… .4 .6 题型五、平面直角坐标系中平移综合问题 ..10 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、求点沿x轴，y轴平移后的坐标 1.(25-26八年级上·重庆期末)在平面直角坐标系中，将点P(3,向下平移2个单位，再向左平移3个单位， 得到的对应点P的坐标是」 2.(25-26八年级上浙江金华期末)将点A(1,-2)先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得 到点，则点的坐标为 3.(25-26八年级上浙江杭州期中)在平面直角坐标系中，把点P(3,-2)先向左移动3个单位，再向上移 动3个单位后得到的点的坐标是 4.(25-26八年级上·江苏苏州期末)将点P(2,-1)先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得 到点P,则点P的坐标为 题型二、己知平移后的坐标，求原坐标 5.(25-26八年级下·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，将点m,n先向左平移2个单位长度，再向上平 移1个单位长度，最后所得点的坐标是(-4,3)，则m,n的值分别是」 6.(2025八年级上江苏南京·专题练习)在平面直角坐标系中，线段AB是由线段AB经过平移得到的，已 知点A-3,2)的对应点为A'1,-3),点B的对应点B的坐标为(6,1)，则点B的坐标为 7.(25-26八年级上浙江宁波期中)在平面直角坐标系中，将点Ax,y)向左平移个4单位长度，再向下平 移3个单位长度后与点B1,-2)重合，则点A的坐标是一 8.(24-25八年级下·广西桂林·期中)平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 后坐标是-1，-2)，那它原来的位置坐标是 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三、己知图形的平移，求点的坐标 9.(25-26八年级下·全国周测)如图，点A,B的坐标分别为2,0)，(0,1.若将线段AB平移至AB,则 a+b的值为 B1(a,2) B(0,1) A1(3,b) 0 A2,0)x 10.(24-25七年级下·湖北黄石期末)如图，已知点A(1,2),点B(3,4),连接AB,将线段AB平移至线段 CD,点A的对应点C的坐标为-3，)，则点B的对应点D的坐标为 11.(2025辽宁沈阳·二模)如图，在平面直角坐标系中，将正方形ABCD平移得到正方形ABC,D,若 A-2,-1,C(-1,0),A,(1,1,则点C的坐标为 D C A B 12.(2025陕西咸阳一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形AB0C的顶点B(-2,0),C(0,1.现将矩形 AB0C平移到矩形AB0C'位置，使0点平移到点0'(4,2)位置，则A点的坐标为一 B 题型四、平面直角坐标系中的平移作图 13.(25-26八年级上山东东营期末)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.格点三角形 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A、B坐标分别是(-4,5)，-2,1. ----十----1 (1)根据已知条件在网格平面内画出平面直角坐标系； (②)将ABC平移至△DEF,使得A,B,C的对应点依次是D,E,F,若D(1,3,请在网格中画出△DEF; (3)若(a,b)是ABC内一点.则点P在△DEF内的对应点坐标P的坐标是 14.(24-25七年级下河南郑州期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3). A 4 3 2 B -5-4-3-2-19 1 2345 -3 5 (1)在图中画出ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位的△A,B,C; (2)写出点A,B,C的坐标：A ,B (3)在△A,B,C外部能否找到一点P,使A,P∥AB且AP=AB,如果能，请直接写出点P的坐标，如果不能 请说明理由 15.(24-25七年级下·全国·课后作业)ABC与aA'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示，△A'B'C'是由 ABC平移得到的， 3/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Y (I)分别写出点4、B、C的坐标； (2)说明△A'B'C'是由ABC经过怎样的平移得到的： (3)若点P(a,b)是ABC边上的一点，则平移后△A'B'C'边上的对应点为P,写出点P的坐标. 16.(24-25七年级下·辽宁大连·月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，ABC三个顶点都在网格点上. 6 5 3 2 6-5-4392.345.6 ()写出点A的坐标为一，点B的坐标为一，点C的坐标为一； (2)点C到x轴的距离为-； (3)将ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A'B'C',其中点，B,C分别为 点A,B,C的对应点.请在所给坐标系中画出△A'B'C'; (4)若AB边上一点P经过上述平移后的对应点为P'(x,y),用含x,y的式子表示点P的坐标为-： (⑤)求△A'B'C'的面积. 题型五、平面直角坐标系中平移综合问题 17.(25-26七年级上全国·课后作业)如图，已知点A(a,0)、B(b,0)满足(3a+b)+b-3=0.将线段AB先 向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD,并连接AC、BD. 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C AO 备用图 (I)请求出点A和点B的坐标； (②)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动.设运动时间为t秒，问：是否存在这样的，使 得四边形OMDB的面积等于9？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，点M从0点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动， 设射线DN交y轴于点E.设运动时间为t秒，问：SSEMD-SSOEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它 的值：若变化，请说明理由 18.(24-25七年级下湖北武汉·期中)如图①，在平面直角坐标系中，Aa,b),B(-b,0),且满足 a+2+Vb-5=0,将线段AB平移得线段DC,点A对应点D,点B对应点C,点A的对应点D在x轴上， 点B的对应点C在y轴上. B C C 图① 图② 图③ (I)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是y轴上的一个动点，当三角形CPD面积是三角形APD的面积的一半时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是1： 2,运动过程中直线DF和CE交于点N,若三角形DCN的面积等于9，求出点N的坐标. 19.(24-25七年级下·重庆江北期末)如图，在平面直角坐标系中，己知点A(-4,0),B(0,-2),线段AB平 移到线段CD,D(a+3,a+2)且点D在x轴上. D 图1 图2 图3 (1)a= ,点C的坐标为 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如图2，过点B作直线BE⊥y轴，直线BE上有一动点P,以每秒2个单位长度从点B向BE方向运动，运 动时间为t秒，连接CP与线段AB交于点Q,连接AC，当t为何值时S△Aco=S△BPe; (3)如图3，点S是射线DC上的一点，DC向x轴正方向移动，在直线AB上取两点M、N(点M在点N左 侧)，满足DM=5,SN=3,当DC运动到某一位置时，四边形DSMN的面积有最大值，请直接写出面积 的最大值， 20.(24-25七年级下·吉林·月考)在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 在平面直角坐标系中有不重合的两点，点P(x,,)和点Q(x2,y),当x=x时，PQ∥y轴，且PQ的长为 y-y2;当=2时，PQ∥x轴，且PQ的长为x-x, 【实践操作】 (1)①若点P(-2,1),点9的横坐标为2，PQ∥x轴，则P2的长为_· ②若点P(1,2,PQ‖y轴，PQ=2,则点Q的坐标为_ 【初步运用】 (2)如图①，正方形ABCD的边长为4，顶点D的坐标是(-1,5)，AB‖x轴，则顶点A的坐标为_，顶点B的 坐标为一 【问题解决】 (3)如图②，点A的坐标为3,2)；将线段OA向上平移6个单位长度，得到线段CB,连接AB.点P,分 别是线段OC,AB上的动点（不与端点重合），点P从点O出发，以1cm/s的速度向终点C运动，点Q从点 B出发，以0.5cm/s的速度向终点A运动，若两点同时出发，运动时间为s,当P?∥x轴时，求t的值. 图① 图② B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上江苏连云港期末)在平面直角坐标系x0y中，点P(-2,3先向下平移2个单位长度，再 向左平移1个单位长度后的坐标为() A.（-3,-1 B.（-1,-1 C.-3,1 D.-1,1 2.(25-26八年级上江苏镇江·期末)已知点P(m-1,n+1),若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 移3个单位长度，得到点P'(2,-1,则m,n的值分别为() A.6,2 B.0,2 C.6,-6 D.0,-6 3.(25-26八年级上山东·期末)ABC的顶点坐标分别为A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1),将ABC沿AB平 移，使点A到达点B处，则平移后点C的坐标为() A.-4,-2 B.（-4,-4 C.-2,-4 D.-2,-2 4.(25-26八年级上·安徽安庆月考)如图，在平面直角坐标系中，ABC内部有一点M(m,n),若将 ABC先向右平移，再向下平移，平移后点M对应点M'的坐标是(m+2,n-4).若点A的坐标是(-3,2)， 则平移后点A对应的点的坐标是() 3 4-39 2.3.4x B ---2 A.（-3,2 B.（-3,-3 C.(-1,-2) D.-4,-2 二、填空题 5.(25-26八年级上四川成都期中)点P(3,-1)先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点 P,则点P的坐标是一 6.(24-25八年级下陕西西安·月考)如图，己知点A-4,2)、点B(2,-1),将线段AB平移得到线段 DC·若点A的对应点是D(-L,4,则点B的对应点C的坐标是一· D 7.(24-25七年级下·吉林·期末)如图，点A,B的坐标分别为-4,0)，（-2,0).将线段AB平移后得到线段 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DC,点D在y轴上，连接AD,BC,若△AOD的面积为6，则点C的坐标为 8.(24-25七年级下.四川凉山期末)ABC在经过某次平移后，顶点2(-1，m+2)的对应点为22，m-3), 若此三角形内任意一点P(a,b)经过此次平移后对应点P(c,d),则a+b-c-d的值为一 三、解答题 9.(25-26七年级下全国·单元测试)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为3,5，(3,0).将 线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD,连接AC,BD. D (1)点C的坐标为 ,点D的坐标为； (2)M,N分别是线段AB,CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N 从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度.若两点同时出发，则几秒后MN∥x轴？ 10.(24-25七年级下北京·期末)已知，在平面直角坐标系x0y中，点A-5,m+1),B(-5,m-2), C-3,0). 3 4 2 6-5-4-3-2-10 123456 -1 -2 3 4 (1)若点A在x轴上，在坐标系中画出ABC并直接写出m的值； 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)将线段AB先向右平移n个单位长度，再向上平移n个单位长度得到线段A'B'(n>0),其中点A,B的对 应点分别是点A,B. ①若点A在y轴上，求n的值和△A'B'C的面积； ②若∠C0A'=135°，且△A'B'C的面积为9，求m的值 11.(24-25七年级下·福建厦门期中)在平面直角坐标系中，对于点M(x,y),若点N的坐标为 (nx-yx+y),则称点N是点M的n阶智慧点”（其中n为常数).例如：点M(2,3)的“1阶智慧点”为点 N(1×2-3,2-1×3,即点N的坐标为-1,5). (1)已知点M的坐标为(3,2)，求点M的“2阶智慧点”的坐标： (2)将点M(d-1,3d+2)先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点M1,若点M1的-2阶 智慧点”M2在坐标轴上，求点M2的坐标； (3)已知C1,0),D(0,1,在第一象限内是否存在横坐标为整数的点M(a,2),它的k阶智慧点(k为正整数)” N,使得四边形CODN的面积为4？如果存在，请你求出k的值；如果不存在，请说明理由 12.(24-25七年级下·辽宁抚顺·期中)在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 在平面直角坐标系中有不重合的两点P(x,,)和点Q(x2,y2),当x=x2时，PQy轴，且线段PQ的长为 y-9;当y=y2时，则PQ‖x轴，且线段P的长为x-x9. 【实践操作】 (1)若点P(-1,1),Q(2,1,且PQ川x轴，则PQ的长为；若点P(1,0),PQIy轴，当PQ=2时，则 点Q的坐标为 B 图① 图② 【初步运用】 (2)点A的坐标为3,2)，将线段OA向上平移6个单位长度，得到线段CB,连接AB. ①如图，点M,N分别是线段OC,AB上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度的 速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的时 间为t秒，当MN‖x轴时，求t的值； 【问题解决】 ②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在AB的左侧，连接AM,CM,CM交OA于点D,当 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S.AcW=,S边形OAC时，求S四边形ABcD-SoDM的值.（说明：三角形ACM记作△ACM,aACM的面积记作S.4CM ) 13.(24-25七年级下·辽宁葫芦岛期中)在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点P(x,y)先向右平 移2个单位，再向上平移4个单位得到点0，则称点Q为点P的“双移点” 6 .5 2 -76-5-4-3-2-10 1234567 -2 -3 -4 -5 -6 -7 根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点A(1,-3,则它的“双移点”为 若点B的“双移点”为点B'(-3,5),则点B的坐标为 (2)对于任意点P(x,y),其“双移点”0的坐标可以表示为 (3)若点C是点O(0,0)的“双移点”，且在y轴上存在一点D,使△OCD的面积为4，请求出点D的坐标； (4若点N是点M(0,-3)的双移点”，且在x轴上有一点K,使△MNK的面积为9，请直接写出K点的坐标. 14.(24-25七年级下·广西南宁期末)如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB1x轴于B, AC⊥y轴于C,A(a,b,且a,b满足a-4+(b-3)=0 C C D B B 图1 图2 图3 (I)如图1，求点A的坐标： (2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的 速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t,当S。4oD<S。4oE时，求t的取值范围； (3)如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N(N在第三象 10/11 专题02 用坐标表示平移 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求点沿x轴，y轴平移后的坐标 1 题型二、已知平移后的坐标，求原坐标 2 题型三、已知图形的平移，求点的坐标 4 题型四、平面直角坐标系中的平移作图 6 题型五、平面直角坐标系中平移综合问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求点沿x轴，y轴平移后的坐标 1．（25-26八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位，再向左平移个单位，得到的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据点的平移规则：向左平移减坐标，向下平移减坐标，依次计算点平移后的坐标． 【详解】解：点向下平移个单位，坐标减少，得到点， 再向左平移个单位，坐标减少，得到点． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加． 【详解】解：点向左平移4个单位长度，横坐标变为； 再向上平移5个单位长度，纵坐标变为； 故点的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据点的平移规则，向左平移横坐标减少，向上平移纵坐标增加，计算即可． 【详解】解：点向左平移3个单位，得到点，即； 再向上平移3个单位，得到点，即； 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据平移变换的规则，向右平移使横坐标增加，向下平移使纵坐标减少作答即可． 【详解】解：将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为即． 故答案为：． 题型二、已知平移后的坐标，求原坐标 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解 【详解】解：∵点 先向左平移个单位长度，横坐标减少，变为 ；再向上平移个单位长度，纵坐标增加，变为， ∴平移后点坐标为， ∵与给定点相等， ， 解得 ， 故答案为：，． 6．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广西桂林·期中）平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解． 【详解】解：设原来的位置坐标是， ∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是， ∴，， 解得：，， ∴原来的位置坐标是． 故答案为：． 题型三、已知图形的平移，求点的坐标 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置， 又∵点，的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点平移的坐标变化规律，掌握点的坐标变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”成为解题的关键． 先根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，然后再确定点的对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴将线段向左平移4个单位，向下平移1个单位得到线段， ∴点的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形平移得到正方形，若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移．根据A和的坐标得出正方形先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到正方形，则点C的平移方法与A点相同，即可得到答案． 【详解】解：由，可知正方形先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到正方形， ∵， ∴的坐标为即， 故答案为：． 12．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标，图形的平移变换及其性质，先根据矩形性质得点A的坐标为，再根据平移后点O的对应点的坐标为，得点A的对应点的横坐标为，纵坐标为，据此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵矩形的顶点， ∴点A的坐标为， ∵平移后点O的对应点的坐标为， ∴点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 题型四、平面直角坐标系中的平移作图 13．（25-26八年级上·山东东营·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形的顶点、坐标分别是． (1)根据已知条件在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将平移至，使得A，B，C的对应点依次是D，E，F，若，请在网格中画出； (3)若是内一点．则点在内的对应点坐标的坐标是___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键： （1）根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系即可； （2）根据对应点的坐标，确定平移规则，画图即可； （3）根据平移规则确定对应点的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，画图如下； （2）解：∵点的对应点为， ∴平移规则为先向右平移5个单位，再向下平移2个单位； 画图如下： （3）解：由（2）可知：的坐标为． 14．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的； (2)写出点的坐标：___________，___________，___________； (3)在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，解题的关键是得到平移后对应点的坐标． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点，，的坐标，描出，，并顺次连接，，即可； （2）根据解析（1）中的作图，写出点，，的坐标即可； （3）由，，，可知点的横坐标，再由可知点的纵坐标，即可得解． 【详解】（1）解：作出三个顶点向右平移5个单位，再向下平移4个单位的，，，顺次连接，则即为所求，如图所示： （2）解：由（1）图可得，，；， 故答案为：；；． （3）解：∵，，，， ∴点的横坐标为4， 又∵， ∴点的纵坐标为6或（不符合题意）， ∴点的坐标为． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）与在平面直角坐标系中的位置如图所示，是由平移得到的． (1)分别写出点、、的坐标； (2)说明是由经过怎样的平移得到的； (3)若点是边上的一点，则平移后边上的对应点为，写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)向左平移4个单位，向下平移2个单位得到 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，准确识图是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系分别写出各点的坐标即可； （2）根据图形，从点A、的变化写出平移规律； （3）根据平移规律写出点的坐标． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：由图可知：，， ∴点A向左平移4个单位，向下平移2个单位得到， ∴向左平移4个单位，向下平移2个单位得到； （3）解：根据平移的性质可得，点的坐标为． 16．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点C到x轴的距离为 ； (3)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出； (4)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标为 ； (5)求的面积． 【答案】(1)，， (2)1 (3)见解析 (4) (5)7 【分析】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解答本题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可； （2）根据“点到轴的距离为纵坐标的绝对值”求解即可； （3）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可； （4）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减解答； （5）利用所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由图知，，， 故答案为：，， （2）解： 到轴的距离为 故答案为： （3）解：如图，即为所求； （4）解：根据题意，点P的坐标为； 故答案为：； （5）解：的面积， ， ， ． 题型五、平面直角坐标系中平移综合问题 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的，使得四边形的面积等于，理由见解析 (3)为定值，故其值不会变化，理由见解析 【分析】（）利用绝对值与平方的非负性求出的值，即可求解； （）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （）分点在线段上，点在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点和点的坐标分别为和； （2）存在． 理由：过作的延长线，垂足为，如图所示： 由题意得点和点的坐标分别为和， ∴ ， 设点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， 存在这样的，使得四边形的面积等于； （3）不变．理由如下： 当点在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过作的延长线，垂足为 ，连接， ∵，， ∴ ， 当点运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ∴为定值，故其值不会变化． 18．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， ； （2）解：，，， ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 当或时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或； （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 19．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意点在轴上，解出值，利用点坐标得到平移向上平移1个单位，向右平移2个单位到线段，进而求出点的坐标； （2）连接，通过割补法计算出的面积，通过等式的性质得到，，进而求值； （3）通过平移至，将四边形面积转化为求面积，当时，可得面积面积最大，进而得到四边形面积最大值． 【详解】（1） 且点在轴上， ， ， 从平移到，即平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段， ， 即， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作的垂线交于点，连接， ，，，， ， ， ， ， 即， 根据题意， ， ； （3）四边形面积最大值为，理由如下： 平移至，交延长线于，过点作， 则，， ， 当四边形面积最大时，的面积也是最大， 当时，的面积最大， 最大值为， 四边形面积最大值为． 20．（24-25七年级下·吉林·月考）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． （1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可． 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴， ∴的长为， 故答案为：4； ②∵轴，点， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4， ∴， ∵的坐标是轴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为； ∵正方形， ∴， ∵轴， ∴顶点B的坐标为，即； 故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中，点先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的平移，依据“横坐标左移减、右移加；纵坐标上移加、下移减”的平移规律即可求解． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点平移时，横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减． ∴点先向下平移2个单位长度，纵坐标变为，此时点的坐标为． 再向左平移1个单位长度，横坐标变为． ∴平移后点的坐标为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（    ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东·期末）的顶点坐标分别为，，，将沿平移，使点A到达点B处，则平移后点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可得点A向左平移了3个单位，向下平移了5个单位，进行求解即可． 【详解】解：∵点平移到， ∴点A向左平移了3个单位，向下平移了5个单位， ∵点， ∴平移后点C的坐标为． 故选C． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标是， ∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵点的坐标是， ∴平移后点对应的点的坐标是，即； 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移的规律左减右加，上加下减是解题的关键． 根据平移点的变化规律，左减右加，上加下减求解即可． 【详解】点先向左平移4个单位长度，横坐标变为； 再向上平移2个单位，纵坐标变为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知点 、点 ，将线段 平移得到线段 ． 若点 的对应点是 ，则点 的对应点 的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下减．根据点到点的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案． 【详解】解：点平移后对应点， 点的平移规律是先向右平移个单位，再向上平移个单位， 点的对应点的坐标为， 即， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，点的坐标分别为，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，若的面积为6，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形与坐标的变化-平移． 先根据，的面积为6，求出的长，再根据平移规律即可求出点C的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，的面积为6， ∴， ∴， ∵线段平移后得到线段，， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川凉山·期末）在经过某次平移后，顶点的对应点为，若此三角形内任意一点经过此次平移后对应点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，求代数式的值，由在经过此次平移后对应点，可得的平移规律为：向右平移个单位，向下平移个单位，由此得到结论．解题的关键是掌握平面直角坐标系内点坐标的平移规律：上加下减、左减右加． 【详解】解：∵在经过此次平移后对应点， ∴的平移规律为：向右平移个单位，向下平移个单位， ∵点经过平移后对应点， ∴，， ∴，， ∴， 即的值为． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移的性质求解即可； （2）设秒后轴，根据轴，得到点与点的纵坐标相同，据此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：，． ∵线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，，， ∴，． （2）解：设秒后轴， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同， 则有， 解得， 时，轴． 10．（24-25七年级下·北京·期末）已知， 在平面直角坐标系中， 点，，． (1)若点A在x轴上，在坐标系中画出并直接写出m的值； (2)将线段先向右平移n个单位长度，再向上平移n个单位长度得到线段，其中点A，B的对应点分别是点，． ①若点在y轴上， 求n的值和的面积； ②若， 且的面积为9， 求m的值． 【答案】(1)，作图见解析 (2)①，  ②或 【分析】本题考查点的坐标，平移的性质，三角形的面积； （1）根据x轴上点的特征得到，求出值，然后描点作三角形即可； （2）①根据平移得到点和的坐标，然后根据y轴上点的特征求出n的值，然后利用三角形的面积公式计算解答； ②根据三角形的面积求出n的值，然后根据角的度数得到点的横纵坐标相等或互为相反数，求出m值即可． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， 解得， ∴，，； 如图所示； （2）①解：点A平移后的点坐标为，点B平移后的点坐标为， ∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴； 解：∵， ∴点在点C的右侧 ∵， 解得：， ∴点坐标为， ∵， ∴点坐标为或， 即或， 解得或． 11．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点N的坐标为，则称点N是点M的“n阶智慧点”（其中n为常数）．例如：点的“1阶智慧点”为点，即点N的坐标为． (1)已知点M的坐标为，求点M的“2阶智慧点”的坐标； (2)将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点，若点的“阶智慧点”在坐标轴上，求点的坐标； (3)已知，，在第一象限内是否存在横坐标为整数的点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形的面积为4？如果存在，请你求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在 ，或2或3 【分析】本题考查的是点的坐标，解题的关键是理解“I阶智慧点”的定义． （1）根据“2阶智慧点”的定义求解即可； （2）根据“阶智慧点”的定义列式求解即可； （3）根据四边形的面积为4，点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，M的“2阶智慧点”的坐标，即 故答案为： （2）解：由题可知，即， 的“阶智慧点”， 即， ∵在坐标轴上， 或， 或， ∴或； （3）解：理由；存在： 为的阶智慧点，， ， 连结， ， ， ， ∵a为正整数，k是正整数 当时，； 当时，； 当时，（舍去） 当时，； 综上所述，或2或3 ． 12．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，当时，轴，且线段的长为；当时，则轴，且线段的长为． 【实践操作】 （1）若点，且轴，则的长为______；若点，轴，当时，则点Q的坐标为______； 【初步运用】 （2）点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接． ①如图，点M，N分别是线段上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的时间为t秒，当轴时，求t的值； 【问题解决】 ②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在的左侧，连接交于点D，当时，求的值．（说明：三角形记作的面积记作） 【答案】（1）3，或；（2）①， 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质，点到坐标轴的距离． （1）根据题意列式计算即可； （2）①由平移的性质得到，由题意得 ，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可；②过点A作 轴于点 G，由题意，得 ， 求出， 设点，由，求出；再根据，求出；最后利用即可求解． 【详解】解：（1）∵，轴， ∴； ∵，轴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或； （2）①如图， ∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得 ， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴； ②过点A作 轴于点 G， 由题意，得 ， ∴， 设点， ∵， ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 13．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为_____________； (2)对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为____________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在轴上有一点，使的面积为9，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 (4)或 【分析】此题考查了坐标系中点的平移、坐标与图形等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）根据“双移点”的定义进行解答即可； （2）根据“双移点”写出答案即可； （3）求出点，设点D的坐标为，根据面积得到，即可求出答案； （4）求出，设点的坐标为，分两种情况，当点在线段的右侧时，当点在线段的左侧时，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， 即点的“双移点”为， 把先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点， 即点的坐标为； 故答案为：， （2）∵先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， ∴对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为， 故答案为： （3）∵点是点的“双移点”， ∴点， 设点D的坐标为， ∵的面积为4， ∴ 解得或， ∴点的坐标为或； （4）∵点是点的“双移点”， ∴， 设点的坐标为， 当点在线段的右侧时， ∵的面积为9， ∴ 解得， ∴点的坐标为， 当点在线段的左侧时， ∵的面积为9， 当点点在原点时，的面积为， ∴点在原点的左侧， ∴ 解得， ∴点的坐标为， 综上可知，点的坐标为或 14．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）由题意得，，再分点在上和点在的延长线上两种情况解答即可； （）设点，由平移的性质得，过点作轴于，可得，，进而得到，即得到，再根据得，解方程即可求解； 本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，轴于，轴于， ∴，， 由题意得，，， 当点在上，即时，则， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在的延长线上，即时，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的取值范围为或； （3）解：设点，则， ∵，， ∴由平移的性质得，， 过点作轴于，如图， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $