周周练05 第八章 实数综合训练含实数及其简单运算（数学新教材人教版七年级下册）

2025-2026学年七年级下学期数学周周练05 第八章 实数综合训练含实数及其简单运算 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在实数：，，，，（小数点后每个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列命题真命题的个数有（    ） ①无理数是无限小数；②不带根号的数一定是有理数；③实数与数轴上的点一一对应；④0.1的平方根是；⑤平方根等于本身的数是0和1． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 5．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 6．若，求的值（   ） A． B． C．7 D．5 7．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 8．数轴是一种重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，面积为13的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴原点右侧于点P，则点P表示的数为（   ） A． B． C． D． 9．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的结果是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 10．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11． ； 12．比较大小： 1（填“>”“<”或“=”）． 13．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是 ． 14．对于任意两个不相等且乘积为非负的实数，，定义一种新运算：．如，则 ． 15．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为 ． 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（1）计算：； （2）求下列等式中的值：． 17．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 18．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 19．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 20．我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 21．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学周周练05 第八章 实数综合训练含实数及其简单运算 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在实数：，，，，（小数点后每个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，掌握无理数的判定方法是解题关键． 根据无理数的定义依次判断所给实数是否为无理数，统计个数后选出答案． 【详解】解：无理数指无限不循环小数， 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； （小数点后每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数． 则无理数有个． 故选：． 2．下列命题真命题的个数有（    ） ①无理数是无限小数；②不带根号的数一定是有理数；③实数与数轴上的点一一对应；④0.1的平方根是；⑤平方根等于本身的数是0和1． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，掌握实数与数轴的关系是关键． 根据无理数、有理数的定义、实数与数轴、平方根逐个判断即可． 【详解】①无理数是无限不循环小数，故是无限小数，真命题； ②不带根号的数不一定是有理数，如π是无理数，假命题； ③实数与数轴上的点一一对应，是真命题； ④的平方根是，而，假命题； ⑤平方根等于本身的数：解，得或，但1的平方根是，不都等于1，故只有0满足，假命题． 真命题有2个：①和③． 故选C． 3．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方根和平方的和为零，则每个部分均为零，从而求出 和 的值，再代入计算即可． 【详解】解：因为，且 ，， 所以 且 ， ，即 ， ，即 ， ， ． 故选B． 4．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 5．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与立方根．根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出的值，再求出这个正数，最后求其立方根． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 即 ， 解得 ． ∴ 平方根分别为 和， ∴ 这个正数为， ∴ 64 的立方根为（因为 ）． 故选：C． 6．若，求的值（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根的非负性，代数式求值， 根据被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y，最后计算． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 7．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义． 先计算的值，再求其算术平方根得到；计算的值，再求其立方根得到；最后求． 【详解】解：∵， ∴， ∵的算术平方根是， ∴． ∵的立方根是，， ∴． ∴． 故选B． 8．数轴是一种重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，面积为13的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴原点右侧于点P，则点P表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键． 根据正方形的面积为13得到，再结合，点A表示的数为，点P在点A的右侧，然后确定点P表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为13， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为，点P在点A的右侧， ∴表示的数为：， 故选： C． 9．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的结果是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：当输入的值为8时，，取算术平方根为，有理数则输出的结果为， 当输入的值为27时，，取算术平方根为，有理数则输出的结果为， 故选：B 10．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，无理数的估算，利用非负数的性质可得，，即得，进而根据即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴的“共同体区间”是， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11． ； 【答案】 3 【分析】本题考查立方根运算和算术平方根运算，分别根据立方根的定义和算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：； ． 故答案为：；3． 12．比较大小： 1（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】此题考查了实数的大小比较，掌握是解决问题的关键． 通过比较分子的大小，由于分母相同，将问题转化为比较与3的大小，进一步比较与2的大小，利用平方比较法得出结论． 【详解】∵与1比较大小，且， ∴比较分子与3的大小， ∵（理由：）， ∴， ∴． 故答案为：． 13．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，根据“最美实数”的定义，非零实数的算术平方根等于它的立方根，解得该实数为，代入表达式求． 【详解】解：设最美实数为，则，且， 两边六次方得， 即， 解得：或， 由于为非零实数， ， ， 解得：． 故答案为：． 14．对于任意两个不相等且乘积为非负的实数，，定义一种新运算：．如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的新定义运算，掌握题意，列出算式，准确计算是关键． 根据新运算的定义，将 ， 代入公式 ，计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为 ． 【答案】1014 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． 根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ． 原式． 故答案为：1014． 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（1）计算：； （2）求下列等式中的值：． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了实数混合运算，利用平方根的定义解方程，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据算术平方根的定义，立方根的定义进行求解即可； （2）根据平方根的定义，直接开平方进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 开平方得：， 解得：或． 17．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）∵， ∴的平方根为，的立方根为． 18．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 19．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和算术平方根非负性，求一个数的平方根和立方根，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据数轴上点的移动，左减右加，求出的值即可； （）根据点的位置，确定，，进而化简即可； （）根据绝对值和算术平方根非负性求出的值，进而求出代数式的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意知：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为：． 20．我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 【答案】(1)0 (2)5 (3)是关于7的对称数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，实数的运算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，根据x、y都是有理数，得到，据此求出x、y的值，进而计算与的值，再根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵与8是关于4的对称数， ∴， 解得； （2）解：∵与是关于的对称数， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是有理数， ∴都是有理数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与是关于7的对称数． 21．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学周周练05 第八章 实数综合训练含实数及其简单运算 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C C B C B C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11． 3 12．> 13． 14． 15．1014 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． 【详解】（1）解： ；............3分 （2）解：， 开平方得：， 解得：或．............6分 17． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴；............4分 （2）∵， ∴的平方根为，的立方根为．............8分 18． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，．............4分 （2）猜想：． 证明如下： ．............8分 19． 【详解】（1）解：由题意知：， 故答案为：；............2分 （2）解：∵， ∴，， ∴ ；............6分 （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为：．............10分 20． 【详解】（1）解：∵与8是关于4的对称数， ∴， 解得；............3分 （2）解：∵与是关于的对称数， ∴， ∴， 解得；............6分 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是有理数， ∴都是有理数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与是关于7的对称数．............11分 21． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，；............4分 （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，；............8分 （3）解： ．............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $