周周练04 8.1～8.2平方根、立方根（数学新教材人教版七年级下册）

2025-2026学年七年级下学期数学周周练04 8.1-8.2平方根、立方根 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C B C C D D D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11． 12．5 13． 14．/ 15． 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． 【详解】（1）解：；.........3分 （2）解：， ， ， 解得：．.........6分 17． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；.........4分 （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根为．.........8分 18． 【详解】（1）解：，，，；.........2分 （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； 用数学式子表示为：；.........4分 （3）解：①当时，， ∴； 故答案为：；.........6分 ②； 故答案为：．.........8分 19． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ．.........3分 （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴；.........5分 ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴．.........7分 （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位．.........10分 20． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一）.........2分 （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0.........5分 （3）由（2）知， ， 解得， ， ．.........11分 21． 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为；.........4分 （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为；.........8分 （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ．.........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学周周练04 8.1-8.2平方根、立方根 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在(   ) A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．下列结论①是9的平方根；②27的立方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 4．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 5．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 7．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 8．已知，，，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D．或 9．小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 10．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．0.512的立方根是 ，的平方根是 ． 12．若为整数，且，则整数的值为 ． 13．古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是 ． 14．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果 ． 15．某计算器上的三个按键的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，若第次按键后，显示的结果是，则输入的数是 ． 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（1）计算：；     （2）求的值：． 17．已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 18．【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 19．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 20．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 21．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学周周练04 8.1-8.2平方根、立方根 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在(   ) A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，利用算术平方根的性质，通过计算选项中各小数的平方，与2比较大小，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 故的值在和之间， 故选：C． 2．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根及有理数乘方的计算，根据各运算的定义与性质逐项判断选项正误即可． 【详解】对于A，表示16的平方根，16的平方根为，故A正确，不符合题意； 对于B，，故B错误，符合题意； 对于C，，故C正确，不符合题意； 对于D，，故D正确，不符合题意． 故选：B． 3．下列结论①是9的平方根；②27的立方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，解题关键是理解立方根的意义，平方根的意义，算术平方根的意义． 根据一个正数有两个平方根，非负数有一个算术平方根，任何实数都有一个立方根，可得答案． 【详解】解：平方根有正负两个，立方根只有一个实数根，算术平方根为非负根； ①正确，是9的平方根； ②错误，27的立方根是3，不是； ③错误，表示4的算术平方根，不是平方根； ④正确，2的平方根是； ⑤正确，16的算术平方根是4. 故正确的结论是①④⑤. 故选：B． 4．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 5．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 6．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 7．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 8．已知，，，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质和平方根的性质，有理数的加减法，掌握相关性质是解题的关键．由绝对值和平方根的性质确定和的可能值，再根据筛选符合条件的情况，最后计算的值． 【详解】解：，， ，， ， ，或，， 当，时，； 当，时，， 的值为或， 故选：D． 9．小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 10．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．0.512的立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的求解，平方根的求解．根据立方根，平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， 则的平方根是， 故答案为：，． 12．若为整数，且，则整数的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查无理数的大小估算，熟练记忆常用的完全平方数是解题关键． 通过比较完全平方数，估算的范围，从而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用．根据题意求作的这个正方体的体积为2，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵已知正方体的棱长是1， ∴已知正方体的体积是， ∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍， ∴求作的这个正方体的体积为， ∴求作的这个正方体的棱长为． 故答案为：． 14．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，符号确定，绝对值的化简，有理数的大小比较，立方根，熟练掌握绝对值的化简，有理数的大小比较是解题的关键．根据数轴上有理数的位置，有理数的运算法则，有理数的大小比较法则，立方根，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且， ∴，， ∴， ， 故答案为：． 15．某计算器上的三个按键的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，若第次按键后，显示的结果是，则输入的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方、倒数、算术平方根、规律探索，通过列举发现：答案按照，，，，，六个数循环，这是解题的关键． 根据题意分别计算出第、、、、、步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【详解】解：由题意知第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步计算结果为， 第7步计算结果为， …… 运算的结果以，，，，，六个数为周期循环， ∵， ∴第步之后显示的结果为，即， ∴输入的数是． 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（1）计算：；     （2）求的值：． 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题考查了求算术平方根，求立方根，根据立方根解方程． （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算加法即可； （2）先移项，再根据立方根得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 解得：． 17．已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合的算术平方根是，得，解得，因为的立方根是，得，解得，即可作答． （2）直接把，代入计算，得出平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 18．【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 【答案】（1）3，0.5，0，6；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； 用数学式子表示为：； （3）解：①当时，， ∴； 故答案为：； ②； 故答案为：． 19．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 20．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 21．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $