1.4整式的除法同步培优讲义（3知识点+5题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（新教材北师大版）

本讲义聚焦整式除法核心知识点，系统梳理单项式除以单项式、多项式除以单项式法则及整式混合运算，以前置的幂的运算法则、单项式乘法为基础，通过逆运算与转化思想推导除法法则，构建从基础到应用的完整知识支架。 该资料亮点在于注重法则推导的逻辑推理过程，题型覆盖基础计算、科学计数法应用及混合运算，易错点汇总助力规范运算。课中辅助教师授课，课后通过典例、训练与检测帮助学生查漏补缺，提升运算能力与推理意识，培养严谨的数学思维。

1.4整式的除法同步讲义 （3知识点+5题型+过关检测） 【题型1 单项式除以单项式】 4 【题型2 多项式除以单项式】 4 【题型3 用科学计数法表示数的除法】 5 【题型4 整式的四则混合运算】 5 【题型5 整式的混合运算】 5 · 理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的核心法则，能结合同底数幂的除法、单项式与单项式相乘法则，说明法则的推导逻辑。 · 牢记两个整式除法法则的结构特征，能准确区分法则的适用场景，杜绝法则混淆。 · 能熟练运用两个除法法则进行简单的计算，规范解题步骤，杜绝符号、指数运算、漏项等基础错误。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接前节知识，推导法则的基础） 1. 幂的核心运算法则（整式除法的核心基础）： 同底数幂的除法：（a≠0，m、n为正整数，且m>n）； 幂的乘方：（m、n为正整数）； 积的乘方：（n为正整数）； 零次幂：（a≠0）；负整数指数幂：（a≠0，p为正整数）。 2. 单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 3. 易错提醒：同底数幂相除时，底数不能为0；单项式相乘时，注意系数符号和同底数幂的指数运算，避免漏项。 4. 引入：整式的除法是整式乘法的逆运算，与整式乘法对应，分为单项式除以单项式、多项式除以单项式两类，我们结合乘法逆运算推导其法则，简化计算。 知识点1：单项式除以单项式（重点，整式除法的基础） 1. 法则推导（基于同底数幂的除法、单项式相乘的逆运算） 探究：计算下列各式，观察结果的规律（类比乘法逆运算，已知积和一个因式，求另一个因式） （1） 分析：已知，结合单项式相乘法则，系数：2×3=6，同底数幂：，故结果为； 规范推导：； （2） 推导：； （3） 推导：。 归纳法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 补充说明：法则的核心是“对应相除”——系数对应相除、同底数幂对应相除，单独字母保留，与单项式相乘法则对应（相乘变相除）。 2. 关键注意事项 · 系数相除：注意符号（同号得正，异号得负），再计算绝对值的商；若系数能整除，直接得整数商；若不能整除，结果保留最简分数形式（如）。 · 同底数幂相除：严格遵循“底数不变，指数相减”的法则，注意前提（a≠0，m>n）；不同底数的幂不能直接相除（如，无法再化简）。 · 单独字母处理：只在被除式中出现的字母，要连同它的指数一起写在商中，不能遗漏；只在除式中出现的字母，不能作为商的因式（因为除式是除数，不能含单独字母在商中）。 · 易错点：① 系数相除时符号出错；② 同底数幂相除时指数相减出错（如≠）；③ 遗漏被除式中单独出现的字母；④ 除式中单独字母误写入商中。 知识点2：多项式除以单项式（重点+难点，核心是转化为单项式除以单项式） 1. 法则推导（基于乘法分配律的逆运算、单项式除以单项式法则） 探究：计算下列各式，类比多项式乘以单项式的思路，转化为单项式除以单项式 （1） 分析：类比，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加； 推导：； （2） 推导：原式=； （3） 推导：原式=。 归纳法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。（口诀：多除以单，分项来相除，符号跟着走，商后再相加） 补充说明：法则的核心是“转化思想”——将多项式除以单项式，转化为我们已经掌握的单项式除以单项式，与多项式乘以单项式的转化思路一致。 2. 关键注意事项 · 分项相除：必须用多项式的每一项，分别除以单项式，不能漏乘任何一项（尤其是常数项、符号为负的项）。 · 符号处理：多项式的每一项除以单项式时，要注意该项的符号与单项式的符号，遵循“同号得正，异号得负”；尤其注意多项式中负项的符号，避免出错。 · 后续运算：每一项相除后得到的商，若有同类项，要及时合并同类项（北师大版教材要求，化简至最简形式）；若某项除以单项式的结果为1或-1，不能省略（如）。 · 易错点：① 漏除多项式中的某一项（尤其是常数项，如，不能漏除-4）；② 符号出错（如负项除以负单项式，结果符号出错）；③ 同类项合并不彻底；④ 结果中1或-1省略不写。 知识点3：整式除法的混合运算（重点，整合所有整式运算知识点） 运算顺序（衔接整式乘法混合运算，前后一致） 先算幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除），再算整式乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式、乘法公式），接着算整式除法（单项式÷单项式、多项式÷单项式），最后合并同类项；有括号的先算括号里面的。 核心原则：① 先乘方，再乘除，最后加减；② 乘除同级运算，从左到右依次进行；③ 能套用公式、法则简化计算的，优先简化。 易错点汇总（高频考点，重点突破，衔接前3节课易错点） · 1. 单项式除以单项式易错：① 系数相除符号出错；② 同底数幂相除指数相减出错（混淆乘除，误算成相加）；③ 遗漏被除式中单独出现的字母；④ 除式中单独字母误写入商中；⑤ 系数不能整除时，结果未保留最简分数。 · 2. 多项式除以单项式易错：① 漏除多项式中的某一项（尤其是常数项、负项）；② 分项相除时符号出错；③ 结果中1或-1省略不写；④ 同类项合并不彻底。 · 3. 混合运算易错：① 运算顺序混乱（如先算除法再算乘法，或先算加减再算乘除）；② 去括号时符号出错；③ 幂的运算法则与整式乘除法法则混淆；④ 结合乘法公式时，公式套用出错。 · 4. 特殊易错：① 忽略同底数幂相除的前提（a≠0）；② 零次幂、负整数指数幂与除法结合时出错（如）；③ 整式除法结果不是整式（如，不是整式，需注意题干要求）。 总结与方法技巧 1. 核心法则口诀（便于记忆，区分易错点，衔接前3节课） 单项式除以单项式：系数相除，同底幂相减，单独字母不遗漏，除式字母不加入； 多项式除以单项式：分项相除，符号跟着走，商后再相加，1和-1不遗漏； 混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，括号优先算，同级运算从左到右。 2. 解题思路 （1）先判断运算类型，选择对应法则：单项式相除找单项式除法法则，多项式相除转化为单项式相除； （2）先处理符号，再计算系数和指数：每一步运算先确定符号，再算系数的乘除、同底数幂的指数运算； （3）每一步运算后，检查是否有漏项、符号错误、指数错误，确保步骤规范； （4）化简求值分两步：先化简（套用法则、合并同类项），再代入（代入数值计算，注意符号和分母不为0）。 3. 核心素养提升：通过整式除法法则的推导，体会“转化”“逆运算”的数学思想（将多项式除法转化为单项式除法，将除法转化为乘法逆运算）；通过整式运算的综合应用，培养代数运算能力、逻辑推理能力；通过规范解题步骤，养成严谨细致的学习习惯，完善整式运算的知识体系，为后续因式分解、分式、二次函数等知识的学习奠定基础。 04 题型•汇总 【题型1 单项式除以单项式】 【典例1】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．计算的正确结果是（     ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．计算：． 【题型2 多项式除以单项式】 【典例2】．化简的结果是 ． 跟随训练2-1．科技小组的小明和小红在进行整式运算探究活动，两人各写一个整式，若把小明写的整式当作除式，小红写的整式当作被除式，规定商必须是，若小红写的整式是，则小明应写的整式是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．一个长方形的面积是．若它的长是，则它的宽是（   ） A． B． C． D． 【题型3 用科学计数法表示数的除法】 【典例3】．科学家研究发现，与我们日常生活密不可分的水的一个分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？ 跟随训练3-1．中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【题型4 整式的四则混合运算】 【典例4】．计算： (1)． (2)． 跟随训练4-1．先化简，再求值：，其中，． 跟随训练4-2．计算 (1)； (2)． 【题型5 整式的混合运算】 【典例5】．化简： (1) (2) 跟随训练5-1．（1）计算：； （2）化简：． 跟随训练5-2．先化简再求值，已知，求代数式且的值． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 3．代数式的值（    ） A．只与x、y有关 B．只与y、z有关 C．与x、y、z都无关 D．与x、y、z都有关 4．定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A．①③ B．①② C．②③ D．①④ 5．对于有理数，定义，则将化简后得（    ） A．0 B． C． D． 6．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则另一边长是（　　） A． B． C． D． 7．计算： ． 8．若，代数式的值是 ． 9．定义运算：，例如：，则的运算结果是 ． 10．已知实数x满足，则的值是 ． 11．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是 ． 12．如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为 ． 13．计算： (1) (2) 14．先化简，再求值：，其中，． 15．先化简，再求值：，其中，满足． 16．小军同学在计算时，解答过程如下： 计算． 解 第一步 第二步 第三步 (1)小军同学是从第______步开始出错的． (2)请写出正确的解答过程．并求出当时代数式的值． 17．某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）． (2)若，，求宣传版画的总面积． 18．阅读下面材料，并完成相应的任务． 关于两个特殊两位数相乘运算的探索在学习“整式的乘除”时，同学们针对一类特殊的两位数乘两位数的运算展开探究，发现如下规律：十位数字相同、个位数字之和等于的两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位．特例分析：例如，；；_____________；_____________； 一般推理：勤思小组发现，上述规律可以用整式运算进行证明．他们的证明过程如下：设这个两位数的十位数字为，其中一个数个位数字为，这个两位数用代数式表示为；另一个两位数用代数式表示为．上述规律即表示为：． 因为，等式左边…… 又因为，等式右边…… 所以，左边右边，等式成立，即上述规律正确． 图形解释：博学小组发现，利用几何图形的面积也可以解释其中的道理．他们画出了计算的图形（相关数据在下图中进行了标注），并通过用不同方法计算这个图形的面积，验证了结论，过程如下： 四边形的面积， ， ， …… 任务：根据材料中的规律，①直接写出运算结果：___________，___________； ②再写出一个符合规律的两位数乘法算式和其运算结果：_____________； 任务：①补全材料中一般推理证明结论的过程； ②根据博学小组的方法，画出解释材料中规律的图形，并在图中标注相应数据（数据用字母，或含，的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4整式的除法同步讲义 （3知识点+5题型+过关检测） 【题型1 单项式除以单项式】 1 【题型2 多项式除以单项式】 2 【题型3 用科学计数法表示数的除法】 3 【题型4 整式的四则混合运算】 4 【题型5 整式的混合运算】 6 · 理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的核心法则，能结合同底数幂的除法、单项式与单项式相乘法则，说明法则的推导逻辑。 · 牢记两个整式除法法则的结构特征，能准确区分法则的适用场景，杜绝法则混淆。 · 能熟练运用两个除法法则进行简单的计算，规范解题步骤，杜绝符号、指数运算、漏项等基础错误。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接前节知识，推导法则的基础） 1. 幂的核心运算法则（整式除法的核心基础）： 同底数幂的除法：（a≠0，m、n为正整数，且m>n）； 幂的乘方：（m、n为正整数）； 积的乘方：（n为正整数）； 零次幂：（a≠0）；负整数指数幂：（a≠0，p为正整数）。 2. 单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 3. 易错提醒：同底数幂相除时，底数不能为0；单项式相乘时，注意系数符号和同底数幂的指数运算，避免漏项。 4. 引入：整式的除法是整式乘法的逆运算，与整式乘法对应，分为单项式除以单项式、多项式除以单项式两类，我们结合乘法逆运算推导其法则，简化计算。 知识点1：单项式除以单项式（重点，整式除法的基础） 1. 法则推导（基于同底数幂的除法、单项式相乘的逆运算） 探究：计算下列各式，观察结果的规律（类比乘法逆运算，已知积和一个因式，求另一个因式） （1） 分析：已知，结合单项式相乘法则，系数：2×3=6，同底数幂：，故结果为； 规范推导：； （2） 推导：； （3） 推导：。 归纳法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 补充说明：法则的核心是“对应相除”——系数对应相除、同底数幂对应相除，单独字母保留，与单项式相乘法则对应（相乘变相除）。 2. 关键注意事项 · 系数相除：注意符号（同号得正，异号得负），再计算绝对值的商；若系数能整除，直接得整数商；若不能整除，结果保留最简分数形式（如）。 · 同底数幂相除：严格遵循“底数不变，指数相减”的法则，注意前提（a≠0，m>n）；不同底数的幂不能直接相除（如，无法再化简）。 · 单独字母处理：只在被除式中出现的字母，要连同它的指数一起写在商中，不能遗漏；只在除式中出现的字母，不能作为商的因式（因为除式是除数，不能含单独字母在商中）。 · 易错点：① 系数相除时符号出错；② 同底数幂相除时指数相减出错（如≠）；③ 遗漏被除式中单独出现的字母；④ 除式中单独字母误写入商中。 知识点2：多项式除以单项式（重点+难点，核心是转化为单项式除以单项式） 1. 法则推导（基于乘法分配律的逆运算、单项式除以单项式法则） 探究：计算下列各式，类比多项式乘以单项式的思路，转化为单项式除以单项式 （1） 分析：类比，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加； 推导：； （2） 推导：原式=； （3） 推导：原式=。 归纳法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。（口诀：多除以单，分项来相除，符号跟着走，商后再相加） 补充说明：法则的核心是“转化思想”——将多项式除以单项式，转化为我们已经掌握的单项式除以单项式，与多项式乘以单项式的转化思路一致。 2. 关键注意事项 · 分项相除：必须用多项式的每一项，分别除以单项式，不能漏乘任何一项（尤其是常数项、符号为负的项）。 · 符号处理：多项式的每一项除以单项式时，要注意该项的符号与单项式的符号，遵循“同号得正，异号得负”；尤其注意多项式中负项的符号，避免出错。 · 后续运算：每一项相除后得到的商，若有同类项，要及时合并同类项（北师大版教材要求，化简至最简形式）；若某项除以单项式的结果为1或-1，不能省略（如）。 · 易错点：① 漏除多项式中的某一项（尤其是常数项，如，不能漏除-4）；② 符号出错（如负项除以负单项式，结果符号出错）；③ 同类项合并不彻底；④ 结果中1或-1省略不写。 知识点3：整式除法的混合运算（重点，整合所有整式运算知识点） 运算顺序（衔接整式乘法混合运算，前后一致） 先算幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除），再算整式乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式、乘法公式），接着算整式除法（单项式÷单项式、多项式÷单项式），最后合并同类项；有括号的先算括号里面的。 核心原则：① 先乘方，再乘除，最后加减；② 乘除同级运算，从左到右依次进行；③ 能套用公式、法则简化计算的，优先简化。 易错点汇总（高频考点，重点突破，衔接前3节课易错点） · 1. 单项式除以单项式易错：① 系数相除符号出错；② 同底数幂相除指数相减出错（混淆乘除，误算成相加）；③ 遗漏被除式中单独出现的字母；④ 除式中单独字母误写入商中；⑤ 系数不能整除时，结果未保留最简分数。 · 2. 多项式除以单项式易错：① 漏除多项式中的某一项（尤其是常数项、负项）；② 分项相除时符号出错；③ 结果中1或-1省略不写；④ 同类项合并不彻底。 · 3. 混合运算易错：① 运算顺序混乱（如先算除法再算乘法，或先算加减再算乘除）；② 去括号时符号出错；③ 幂的运算法则与整式乘除法法则混淆；④ 结合乘法公式时，公式套用出错。 · 4. 特殊易错：① 忽略同底数幂相除的前提（a≠0）；② 零次幂、负整数指数幂与除法结合时出错（如）；③ 整式除法结果不是整式（如，不是整式，需注意题干要求）。 总结与方法技巧 1. 核心法则口诀（便于记忆，区分易错点，衔接前3节课） 单项式除以单项式：系数相除，同底幂相减，单独字母不遗漏，除式字母不加入； 多项式除以单项式：分项相除，符号跟着走，商后再相加，1和-1不遗漏； 混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，括号优先算，同级运算从左到右。 2. 解题思路 （1）先判断运算类型，选择对应法则：单项式相除找单项式除法法则，多项式相除转化为单项式相除； （2）先处理符号，再计算系数和指数：每一步运算先确定符号，再算系数的乘除、同底数幂的指数运算； （3）每一步运算后，检查是否有漏项、符号错误、指数错误，确保步骤规范； （4）化简求值分两步：先化简（套用法则、合并同类项），再代入（代入数值计算，注意符号和分母不为0）。 3. 核心素养提升：通过整式除法法则的推导，体会“转化”“逆运算”的数学思想（将多项式除法转化为单项式除法，将除法转化为乘法逆运算）；通过整式运算的综合应用，培养代数运算能力、逻辑推理能力；通过规范解题步骤，养成严谨细致的学习习惯，完善整式运算的知识体系，为后续因式分解、分式、二次函数等知识的学习奠定基础。 04 题型•汇总 【题型1 单项式除以单项式】 【典例1】．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的混合运算，解题的关键是掌握幂的混合运算法则． 依次运用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法及除法法则计算． 【详解】解：∵ 先分别计算乘方部分， ， ∴ 原式， 故选：C． 跟随训练1-1．计算的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握单项式除以单项式的运算法则． 需运用单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂分别相除，再将结果相乘． 【详解】解：∵ 单项式除以单项式，系数与系数相除，同底数幂分别相除， ∴ 故选：A． 跟随训练1-2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式，先进行乘方运算，再根据单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 【题型2 多项式除以单项式】 【典例2】．化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，掌握好整式除法的法则是关键． 按照多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 跟随训练2-1．科技小组的小明和小红在进行整式运算探究活动，两人各写一个整式，若把小明写的整式当作除式，小红写的整式当作被除式，规定商必须是，若小红写的整式是，则小明应写的整式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式除以单项式的整式运算，根据除法各部分关系“除式=被除式÷商”，利用多项式除以单项式的法则计算即可 【详解】解：小明应写的整式为 ∴答案选：B 跟随训练2-2．一个长方形的面积是．若它的长是，则它的宽是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查长方形面积公式及多项式除以单项式的运算，根据“宽长方形面积长”，利用多项式除以单项式的法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 【题型3 用科学计数法表示数的除法】 【典例3】．科学家研究发现，与我们日常生活密不可分的水的一个分子的质量大约是，水中大约有多少个水分子？ 【答案】水中大约有个水分子 【分析】本题考查了用科学记数法表示数的除法的应用，由题意得，即可求解． 【详解】解：因为一个水分子的质量为， 所以水中水分子的个数是（个）， 所以水中大约有个水分子． 跟随训练3-1．中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法、单项式除法，先把14亿用科学记数法表示，再根据总面积除以总人口计算即可． 【详解】解：14亿 故选：B 跟随训练3-2．计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型4 整式的四则混合运算】 【典例4】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 跟随训练4-1．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，14 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 跟随训练4-2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘除及零指数幂以及负指数幂，熟练掌握整式的乘除零指数幂以及负指数幂的运算是解题的关键． （1）先去括号，然后再进行整式的混合运算即可； （2）先算乘方，零指数幂与负整数指数幂，再计算乘法最后计算减法，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 【题型5 整式的混合运算】 【典例5】．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式及合并同类项，熟练掌握整式乘法法则和乘法公式，并能准确合并同类项是解题的关键． （1）先利用单项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简． （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 跟随训练5-1．（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含负整数指数幂、零指数幂的运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算有理数的乘方，负整数指数幂、零指数幂，绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算完全平方公式和平方差公式，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 跟随训练5-2．先化简再求值，已知，求代数式且的值． 【答案】；2 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的顺序和运算法则来计算． 根据运算法则先对整式进行化简，再由得到． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴． ∴原式． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂乘法、积的乘方、单项式乘多项式以及平方差公式的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：选项A： ，故A错误； 选项B： ，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D： ，故D正确． 故选：D． 2．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 3．代数式的值（    ） A．只与x、y有关 B．只与y、z有关 C．与x、y、z都无关 D．与x、y、z都有关 【答案】A 【分析】本题考查整式的化简，通过展开和合并同类项得到最简形式，从而确定变量依赖关系． 通过展开并合并同类项，简化代数式，判断其值依赖的变量即可． 【详解】解：原式 因此，代数式的值只与x和y有关， 故选：A． 4．定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A．①③ B．①② C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、整式的混合运算，解题的关键是理解新定义运算． 通过逐一验证每个结论的正确性：结论①由绝对值的非负性推导；结论②通过反例证明不成立；结论③考虑a的符号情况；结论④根据a、b异号时分情况讨论即可． 【详解】解：①若，则， ∵， ∴且， ∴且， 解得，故①正确； ②取， 左边： ， 右边： ， ∴左边≠右边，故②错误； ③ ， 当时，，故③错误； ④若a、b异号，设， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故或，故④正确． 综上所述，①④正确， 故选D． 5．对于有理数，定义，则将化简后得（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据新定义的运算规则，先计算内层的，再将结果与进行新定义运算，逐步化简得出最终结果． 【详解】原式， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算和整式的化简，掌握新定义的运算规则并按照运算顺序逐步计算是解题的关键． 6．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则另一边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式混合运算的实际应用，用大正方形的面积减去小正方形的面积求出长方形的面积，再除以即可求解，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解： ， ∴另一边长是， 故选：． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 先利用同底数幂的除法法则计算除法部分，化简后再进行多项式乘法，最后应用平方差公式简化． 【详解】解： = 故答案为：． 8．若，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，掌握整体代入的方法，通过已知方程变形直接代入代数式，避免了复杂的解方程过程，是解题的关键． 由已知方程 变形得到 ，代入代数式化简，利用 求值． 【详解】解：由 ，得 ． 代入代数式 ． 又∵ ，即 ， ∴ ． 故答案为：． 9．定义运算：，例如：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据定义运算规则，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 10．已知实数x满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 通过换元法简化计算，利用完全平方公式展开并合并同类项求解． 【详解】解：设 ，则 ，， 代入原方程得： ∴． 故答案为：． 11．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，理解新定义并熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据新运算的规则，可得：，再根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据新运算的规则，可得： ． 故答案为：． 12．如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的应用，解题关键是能根据图形得到正确的数量关系并列式计算．设正方形的边长，进而表示出，再根据长方形面积为可得到，根据劳动实践基地的面积列式，利用完全平方公式、提公因式等将式子进行变形，最后将整体代入计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长，则， 长方形面积为． ， 劳动实践基地的面积为： ． 故答案为：． 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算： （1）根据多项式除以单项式运算法则计算； （2）先根据完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后合并同类项，再进行多项式除以单项式．最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 15．先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】； 【分析】本题考查完全平方公式的运用，平方数的非负性以及整式的混合计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由，进行变形得，求出、的值，再对原式进行化简，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， 解得，， 将，代入， 原式 16．小军同学在计算时，解答过程如下： 计算． 解 第一步 第二步 第三步 (1)小军同学是从第______步开始出错的． (2)请写出正确的解答过程．并求出当时代数式的值． 【答案】(1)一 (2)计算过程见解析；9 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据完全平方公式展开错误，得到第一步开始出错； （2）先计算单项式乘以多项式以及展开完全平方公式，再去括号，合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：小军同学是从第一步开始出错的，因为完全平方公式展开错误， 故答案为：一； （2）解： ， 当时，原式． 17．某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）． (2)若，，求宣传版画的总面积． 【答案】(1) (2)72 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据宣传版画的总面积为上面的三角形的面积+中间梯形的面积+下面梯形的面积，列式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式得出，再整体代入即可得解． 【详解】（1）解：（1）由图可得， 宣传版画的总面积为 ． （2）解：，， ， ∴宣传版画的总面积为 ． 18．阅读下面材料，并完成相应的任务． 关于两个特殊两位数相乘运算的探索在学习“整式的乘除”时，同学们针对一类特殊的两位数乘两位数的运算展开探究，发现如下规律：十位数字相同、个位数字之和等于的两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位．特例分析：例如，；；_____________；_____________； 一般推理：勤思小组发现，上述规律可以用整式运算进行证明．他们的证明过程如下：设这个两位数的十位数字为，其中一个数个位数字为，这个两位数用代数式表示为；另一个两位数用代数式表示为．上述规律即表示为：． 因为，等式左边…… 又因为，等式右边…… 所以，左边右边，等式成立，即上述规律正确． 图形解释：博学小组发现，利用几何图形的面积也可以解释其中的道理．他们画出了计算的图形（相关数据在下图中进行了标注），并通过用不同方法计算这个图形的面积，验证了结论，过程如下： 四边形的面积， ， ， …… 任务：根据材料中的规律，①直接写出运算结果：___________，___________； ②再写出一个符合规律的两位数乘法算式和其运算结果：_____________； 任务：①补全材料中一般推理证明结论的过程； ②根据博学小组的方法，画出解释材料中规律的图形，并在图中标注相应数据（数据用字母，或含，的式子表示）． 【答案】任务：①，②答案不唯一，只要正确即可得分，例如； 任务：①见解析；②图见解析． 【分析】本题考查的知识点是整式规律、整式的混合运算法则，解题关键是正确理解题意． 任务：①根据题中所给速算方法进行求解即可； ②符合题中所给的规律即可； 任务：①根据题中所给的证明步骤进行计算即可； ②结合题意画出图形． 【详解】解：任务：①由题意得：，； ②（答案不唯一）； 任务：①设这个两位数的十位数字为，其中一个数个位数字为，这个两位数用代数式表示为；另一个两位数用代数式表示为． 规律即表示为：． 等式左边， ， ， 等式右边， ， 等式左边等式右边，等式成立，即上述规律正确． ②如下图： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $