专题08 二元一次方程组的应用的十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题08 二元一次方程组的应用的十类综合题型 目录 典例详解 类型一、二元一次方程组的应用之方案问题 类型二、二元一次方程组的应用之行程问题 类型三、二元一次方程组的应用之工程问题 类型四、二元一次方程组的应用之数字问题 类型五、二元一次方程组的应用之年龄问题 类型六、二元一次方程组的应用之分配问题 类型七、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 类型八、二元一次方程组的应用之和差倍分问题 类型九、二元一次方程组的应用之几何问题 类型十、二元一次方程组的应用之古代问题 压轴专练 类型一、二元一次方程组的应用之方案问题 方法总结 1. 设列模型：设未知数，根据题意中的两个等量关系列出二元一次方程组。 2. 解验方案：解方程组求整数解，结合实际问题（如车辆数、人数、物品件数为非负整数）筛选可行方案。 解题技巧 1. 列表辅助：复杂问题可列表整理不同方案的未知量与等量关系，使条件清晰。 2. 逐组检验：求出多组整数解后，逐组代入实际问题条件（如总费用最低、刚好运完）进行取舍。 例1．（25-26七年级上·河南·期末）学校捐资购买了一批物资吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 汽车运费（元辆） (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆? (2)若学校决定用甲、乙、丙三种车共辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完?哪种方案运费最省? 【变式1-1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． (1)满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ (2)若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）综合与实践 问题 如何设计购买奶茶方案？ 背景 为了庆祝“元旦节”，某班级开展知识竞赛活动，对在竞赛活动中取得优异成绩的学生给予奖励，准备去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元． 解决问题 任务1：问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2：如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花100元，请问有哪些购买方案？ 【变式1-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获利润12万元．[利润（售价进价）销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 (1)该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进，两种设备，且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 类型二、二元一次方程组的应用之行程问题 方法总结 1. 理清类型：分清相遇问题（路程和=总路程）或追及问题（路程差=初始距离）。 2. 设速列式：常设速度未知数，根据时间、路程的两个等量关系列二元一次方程组求解。 解题技巧 1. 画线段图：画出运动过程示意图，标注已知路程、时间，直观呈现等量关系。 2. 统一单位：速度、时间、路程单位务必统一（如km与h，m与min），避免计算错误。 例2．（25-26七年级上·重庆·自主招生）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 【变式2-2】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【变式2-3】（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 类型三、二元一次方程组的应用之工程问题 方法总结 1. 设效列式：设工作效率为未知数，根据“工作量=工作效率×工作时间”及合作、先后完成方式列方程组。 2. 总量归一：常将工作总量设为1，分别用未知数表示各自效率，根据工作过程建立两个等量关系。 解题技巧 1. 效率可加：多人合作时，总效率等于各人效率之和，是列方程的关键依据。 2. 分段求和：若工作分阶段完成，将各阶段工作量相加等于总工作量（或1）列方程。 例3．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【变式3-1】（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【变式3-2】（2025八年级上·全国·专题练习）某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元． (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组商店所付费用较少？ 【变式3-3】（24-25七年级下·云南昆明·期中）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 类型四、二元一次方程组的应用之数字问题 方法总结 1. 设位表示：设十位数字为x，个位数字为y，则两位数为10x+y，三位数为100x+10y+z。 2. 翻译条件：将数字变换（如对调、加数）转化为代数式，根据题中两个等量关系列方程组。 解题技巧 1. 数位分离：多位数的各数位数字独立设元，避免混淆。 2. 整体代换：对调、加减后所得新数直接按位展开表示，不必单独求数字再组合。 例4．（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【变式4-1】（25-26九年级上·山西晋中·月考）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【变式4-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【变式4-3】（25-26七年级上·北京西城·期中）对于数轴上的点和正数，给出如下定义：点在数轴上移动，沿负方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，沿正方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，与这两个数叫做“点的对称数”，记作，其中． 例如：原点表示0，原点的1对称数是． (1)若点表示3，点的4对称数，则______； (2)若，则点表示的数为______，______； (3)已知，，若点，点从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点的速度是点速度的3倍，当时，求点表示的数． 类型五、二元一次方程组的应用之年龄问题 方法总结 1. 设现年龄：设所求人物当前年龄为未知数，直接表示现在年龄关系。 2. 时间平移：过去或将来年龄 = 现在年龄 ± 年差，根据年龄差不变列两个等量关系方程组。 解题技巧 1. 年龄差定值：两人年龄差永远不变，是隐含的核心等量关系。 2. 列表清晰：列表呈现“现在、过去、将来”不同时间点的人物年龄，直观列式。 例5．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【变式5-2】（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 【变式5-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 类型六、二元一次方程组的应用之分配问题 方法总结 1. 设元列表：设分配对象数量为未知数，根据“总量相等”或“倍数关系”建立方程组。 2. 两种分配：常见“若…则…；若…则…”两种分配方案，每种方案对应一个等量关系。 解题技巧 1. 抓不变量：分配过程中物品总数、总人数等往往不变，是列方程的关键。 2. 统一对象：明确以“人”或“物”为设元对象，避免设元混乱导致方程错误。 例6．（25-26八年级上·山西运城·期末）国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 【变式6-1】（25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【变式6-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【变式6-3】（24-25七年级下·陕西延安·期中）某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体容器与所需铁片的数量关系如下表： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 3张 正方形铁片的数量 1张 2张 (1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 类型七、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 方法总结 1. 设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立方程组。 2. 双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。 解题技巧 1. 理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。 2. 单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如八折=0.8倍）。 例7．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）某天，一水果经营户用280元从水果批发市场批发了苹果和梨共到市场销售，苹果和梨这天每千克的批发价与零售价如表所示． 品名 苹果 梨 批发价（元/千克） 6 5 零售价（元/千克） 10 8 (1)这天批发的苹果和梨各多少千克？ (2)卖出这些苹果和梨，一共能赚多少钱？ 【变式7-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）为了参加学校举办的“校长杯”足球联赛，某中学七（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费220元，七（2）班学生购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费260元． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ (2)为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1200元全部购买A、B两种品牌的足球供学生使用，要求A、B两种品牌的足球都要有，那么学校有多少种购买足球的方案？请你帮助学校分别设计出来． 【变式7-2】（25-26八年级上·四川巴中·期末）我市某中学举行了“爱心助残”跳蚤市场活动，小明同学负责帮助本班售卖捐赠的文具．活动第一天，卖出本课外书和本笔记本，共收入元；第二天，他以同样的定价卖出本课外书和本笔记本，共收入元．所有收入全部捐赠． (1)请问每本课外书和每本笔记本的单价分别是多少？ (2)为了尽快筹集更多善款，第三天小明决定对课外书打折售卖．打折后，课外书的销量比第一天增加了，笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了．请问第三天课外书是几折出售的？ 【变式7-3】（25-26八年级上·广东梅州·期末）甲、乙两家超市出售同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价相同．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买3个保温壶和2个水杯要花费170元． (1)一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解） (2)为了迎接“新春佳节”，两家超市都在搞促销活动，甲超市规定：这两种商品都打九折；乙超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，且只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由． (3)在（2）中最省钱的超市用所省的钱（与不优惠时比较所省的钱），买2元一小包和5元一小包的茶叶（两种都买），有哪几种购买方案？ 类型八、二元一次方程组的应用之和差倍分问题 方法总结 1. 译条件为式：将“和”“差”“倍”“分”关键词直接转化为加减乘除代数式。 2. 设元列方程：设所求量为未知数，根据两个不同角度描述的数量关系列出二元一次方程组。 解题技巧 1. 关键句圈画：圈出“比…多/少”“是…倍”“占几分之几”等关键词，明确等量关系。 2. 统一基准：涉及“倍”“分”时，先确定以哪个量为基准（1倍或单位1），再表示其他量。 例8．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【变式8-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【变式8-3】（25-26七年级上·重庆合川·期末）“杀年猪，吃刨汤”是合川人民岁末的传统习俗．为了接待全国各地游客前来体验该活动，合川某生态园计划采购白猪和黑猪共650头，由于游客人数大大超过预期，该生态园实际采购两种猪共900头，其中白猪和黑猪的采购数量分别比原计划增长和． (1)该生态园实际采购白猪和黑猪分别为多少头？ (2)若白猪采购价格为每头3000元，黑猪采购价格为每头4000元，每头白猪的加工费是它价格的，每头黑猪的加工费是它价格的．一热心网友赠送了一批白猪，数量为白猪实际采购数量的，且赠送的白猪与采购的白猪均全部运输到位；而黑猪受到天气的影响，运输到位的数量比实际采购数量减少了，若所有运输到位的猪均被加工完毕，该生态园这些猪的加工费共花了81850元，求a的值． 类型九、二元一次方程组的应用之几何问题 方法总结 1. 设元表量：设几何图形中未知的边长、角度等为未知数。 2. 等量关系：利用几何性质（周长、面积公式；边角关系）与题目条件建立两个方程组成方程组。 解题技巧 1. 数形结合：在图形上直接标注未知数和已知数量，直观发现隐含等量关系（如图形拼接、重叠部分）。 2. 勾股为桥：涉及直角三角形时，优先考虑用勾股定理建立方程。 例9．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 【变式9-1】（25-26八年级上·贵州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【变式9-2】（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【变式9-3】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 类型十、二元一次方程组的应用之古代问题 方法总结 1. 古文翻译：将古代文言题意转化为现代汉语，明确已知量与未知量。 2. 设元列式：根据译文中的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解。 解题技巧 1. 关键词对应：抓住“盈、不足、相与、和、倍”等古汉语关键词，对应现代数学运算。 2. 还原检验：求出解后，代入古文情境验证合理性（如人数、物品数为正整数）。 例10．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 【变式10-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）列方程组求解古算题： 《算法统宗》中有一道“折绳测井”问题，大意为：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等分入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等分放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 【变式10-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【变式10-3】（2026七年级下·全国·专题练习）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组 ． 6．（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为 万元． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有 个． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． x 1 y 5 三、解答题 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 10．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 11．（25-26八年级上·福建三明·期末）踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 13．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）春节临近，某干果店老板购进甲，乙两种坚果，若每次进价不变，第一次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元；第二次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元． (1)求甲，乙两种坚果的进价分别是多少元/袋？ (2)若该干果店老板计划再用元购进甲，乙两种坚果（两种坚果都购买），只能购进整数袋，请问这次进货有哪几种方案？说明理由． 14．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）某学校计划采购60副乒乓球拍与盒乒乓球．调查了解的情况如下： 信息1：甲、乙两家商店中，同一品牌的每幅乒乓球拍的销售价格相同，同一品牌的每盒乒乓球的销售价格也相同． 信息2：已知每副乒乓球拍的单价比每盒乒乓球的单价多30元，且购买2副乒乓球拍的费用，恰好与购买5盒乒乓球的费用相等． 【信息运用】 （1）根据调查信息，求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是多少？ 【方案优化】 经过与甲、乙两家商店洽谈后，两商店分别给出了优惠方案： 甲商店：每购买3副乒乓球拍，就赠送2盒乒乓球； 乙商店：购买乒乓球拍和乒乓球均享受八折优惠． （2）请用含的式子分别表示在甲、乙两商店采购所需的费用． （3）当为何值时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同？ 15．（25-26八年级上·山西晋中·期末）根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 16．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨． (1)求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？ (2)现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案； (3)若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二元一次方程组的应用的十类综合题型 目录 典例详解 类型一、二元一次方程组的应用之方案问题 类型二、二元一次方程组的应用之行程问题 类型三、二元一次方程组的应用之工程问题 类型四、二元一次方程组的应用之数字问题 类型五、二元一次方程组的应用之年龄问题 类型六、二元一次方程组的应用之分配问题 类型七、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 类型八、二元一次方程组的应用之和差倍分问题 类型九、二元一次方程组的应用之几何问题 类型十、二元一次方程组的应用之古代问题 压轴专练 类型一、二元一次方程组的应用之方案问题 方法总结 1. 设列模型：设未知数，根据题意中的两个等量关系列出二元一次方程组。 2. 解验方案：解方程组求整数解，结合实际问题（如车辆数、人数、物品件数为非负整数）筛选可行方案。 解题技巧 1. 列表辅助：复杂问题可列表整理不同方案的未知量与等量关系，使条件清晰。 2. 逐组检验：求出多组整数解后，逐组代入实际问题条件（如总费用最低、刚好运完）进行取舍。 例1．（25-26七年级上·河南·期末）学校捐资购买了一批物资吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 汽车运费（元辆） (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆? (2)若学校决定用甲、乙、丙三种车共辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完?哪种方案运费最省? 【答案】(1)需要辆甲型车，辆乙型车； (2)共有种运输方案，方案：使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车， 方案：使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车；其中方案运费最省． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，读懂题意列出方程组是解题的关键． （）设需要辆甲型车，辆乙型车，根据题意得，然后解方程组即可； （）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据题意得，所以，然后求出正整数解或，再分别求出运输方案的所需运费，最后比较即可． 【详解】（1）解：设需要辆甲型车，辆乙型车， 根据题意得：， 解得：， 答：需要辆甲型车，辆乙型车； （2）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ∴， 又∵，，均为正整数， ∴或， ∴共有种运输方案， 方案：使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车，所需运费为（元）； 方案：使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车，所需运费为（元）． ∵， ∴使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车时，运费最省， 答：共有种运输方案：使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车；或使用辆甲型车，辆乙型车，辆丙型车时，此时运费最省． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． (1)满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ (2)若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 【答案】(1)每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设满载时1辆A型货车一次可以运x吨柑橘，1辆B型货车一次可以运y吨柑橘，根据“用1辆A型车和1辆B型车一次可运柑橘5t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）设租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，根据柑橘24吨，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设每辆型车满载时一次可运柑橘吨，每辆型车满载时一次可运柑橘吨，由题意可得： ， 解得：， 答：每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨． （2）解：设租用型车辆，型车辆，由题意可得： ， ∴ 均为正整数， ， 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； ∴最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）综合与实践 问题 如何设计购买奶茶方案？ 背景 为了庆祝“元旦节”，某班级开展知识竞赛活动，对在竞赛活动中取得优异成绩的学生给予奖励，准备去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元． 解决问题 任务1：问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2：如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花100元，请问有哪些购买方案？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价为12元，B款奶茶的销售单价为8元；任务2：一共有4种购买方案：方案一，购买A款奶茶1杯，购买B款奶茶11杯；方案二，购买A款奶茶3杯，购买B款奶茶8杯；方案三，购买A款奶茶5杯，购买B款奶茶5杯；方案四，购买A款奶茶7杯，购买B款奶茶2杯． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． （1）设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元，根据买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元建立方程组求解即可； （2）设购买A款奶茶a杯，购买B款奶茶b杯，根据刚好花100元建立方程，解方程求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：任务1：设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元， 由题意得， ， 解得， 答：A款奶茶的销售单价为12元，B款奶茶的销售单价为8元； 任务2：设购买A款奶茶a杯，购买B款奶茶b杯， 由题意得，， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴必须是大于0的偶数， ∴a必须是奇数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不符合题意； 答：一共有4种购买方案：方案一，购买A款奶茶1杯，购买B款奶茶11杯；方案二，购买A款奶茶3杯，购买B款奶茶8杯；方案三，购买A款奶茶5杯，购买B款奶茶5杯；方案四，购买A款奶茶7杯，购买B款奶茶2杯． 【变式1-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获利润12万元．[利润（售价进价）销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 (1)该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进，两种设备，且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 【答案】(1)该商场计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套 (2)①购进A品牌的教学设备2套，购进B品牌的教学设备10套；②购进A品牌的教学设备6套，购进B品牌的教学设备5套；获利最高的方案是方案② 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． （1）设该商场计划购进种品牌的教学设备套，购进种品牌的教学设备套，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设种品牌的教学设备购进数量套，种品牌的教学设备购进数量套，根据题意可得，由于、都为正整数，则有2种方案，①购进品牌的教学设备2套，购进品牌的教学设备10套或②购进品牌的教学设备6套，购进品牌的教学设备5套，比较哪种方案获利最高即可． 【详解】（1）解：设该商场计划购进种品牌的教学设备套，购进种品牌的教学设备套， 根据题意得： 解得： 答：该商场计划购进种品牌的教学设备20套，购进种品牌的教学设备30套； （2）解：设种品牌的教学设备购进数量套，种品牌的教学设备购进数量套，根据题意得： 、都为正整数， 或 有2种方案 ①购进品牌的教学设备2套，购进品牌的教学设备10套， 获利：万元； ②购进品牌的教学设备6套，购进品牌的教学设备5套， 获利：万元， ， 获利最高的方案是购进品牌6套，品牌5套． 类型二、二元一次方程组的应用之行程问题 方法总结 1. 理清类型：分清相遇问题（路程和=总路程）或追及问题（路程差=初始距离）。 2. 设速列式：常设速度未知数，根据时间、路程的两个等量关系列二元一次方程组求解。 解题技巧 1. 画线段图：画出运动过程示意图，标注已知路程、时间，直观呈现等量关系。 2. 统一单位：速度、时间、路程单位务必统一（如km与h，m与min），避免计算错误。 例2．（25-26七年级上·重庆·自主招生）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【答案】336千米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，再根据题意，列出方程组，进而解方程组即可解答． 【详解】解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米， （千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时， 则根据题意得，， 整理得，， 解得，， 所以，、两市之间的公路长为（千米）． 答：、两市之间的公路全长为336千米． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 【答案】该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米，利用该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，再进一步建立方程组解题即可. 【详解】解：设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米， 根据题意，得， 解得， 答：该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【答案】(1)起步价5元，每千米1.5元 (2)31千米 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析等量关系． （1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，根据题意得到关于x、y的方程组，解方程组即可得； （2）设他这次乘车走了m千米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得： ， 解得：， 答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元； （2）设他这次乘车走了m千米 根据题意得， 解得 答：他这次乘车走了31千米． 【变式2-3】（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1) (2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组： （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元． 类型三、二元一次方程组的应用之工程问题 方法总结 1. 设效列式：设工作效率为未知数，根据“工作量=工作效率×工作时间”及合作、先后完成方式列方程组。 2. 总量归一：常将工作总量设为1，分别用未知数表示各自效率，根据工作过程建立两个等量关系。 解题技巧 1. 效率可加：多人合作时，总效率等于各人效率之和，是列方程的关键依据。 2. 分段求和：若工作分阶段完成，将各阶段工作量相加等于总工作量（或1）列方程。 例3．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】(1) (2)原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 【变式3-1】（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 【变式3-2】（2025八年级上·全国·专题练习）某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元． (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组商店所付费用较少？ 【答案】(1)甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1天，商店应付140元． (2)单独请乙组商店所付费用较少． 【分析】（1）根据甲、乙同时施工和甲先做、乙后做的费用情况，列方程组求解甲、乙单独做1天的费用； （2）先根据工作时间和工作总量的关系列方程组求出甲、乙的工作效率，进而求出各自单独完成工作的时间，再计算单独请的费用并比较． 【详解】（1）解：设甲组单独做1天，商店应付元，乙组单独做1天，商店应付元． 由题意，得 解得 因此，甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1天，商店应付140元． （2）解：设甲组每天的工作效率为，乙组每天的工作效率为． 由题意，得 解得 甲组单独完成装修需（天），乙组单独完成装修需（天）， 单独请甲组需付（元），单独请乙组需付（元）． ， 单独请乙组商店所付费用较少． 【变式3-3】（24-25七年级下·云南昆明·期中）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 【答案】(1)时间上考虑选择甲公司 (2)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （2）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 类型四、二元一次方程组的应用之数字问题 方法总结 1. 设位表示：设十位数字为x，个位数字为y，则两位数为10x+y，三位数为100x+10y+z。 2. 翻译条件：将数字变换（如对调、加数）转化为代数式，根据题中两个等量关系列方程组。 解题技巧 1. 数位分离：多位数的各数位数字独立设元，避免混淆。 2. 整体代换：对调、加减后所得新数直接按位展开表示，不必单独求数字再组合。 例4．（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 【变式4-1】（25-26九年级上·山西晋中·月考）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【答案】25或52 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程并求解． 设原来两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，表示出原两位数和新两位数，根据它们的积为1300列方程求解． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，原来的两位数为25； 当时，，原来的两位数为52． 答：原来的两位数为25或52． 【变式4-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【答案】516． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义和解三元一次方程组，运用加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 根据题干条件设个位数字为，十位数字为，百位数字为，由数量关系列三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为． 根据题意，得 解得故这个三位数是516． 【变式4-3】（25-26七年级上·北京西城·期中）对于数轴上的点和正数，给出如下定义：点在数轴上移动，沿负方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，沿正方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，与这两个数叫做“点的对称数”，记作，其中． 例如：原点表示0，原点的1对称数是． (1)若点表示3，点的4对称数，则______； (2)若，则点表示的数为______，______； (3)已知，，若点，点从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点的速度是点速度的3倍，当时，求点表示的数． 【答案】(1) (2)5，8 (3) 【分析】本题考查数轴上的动点问题，二元一次方程组，一元一次方程的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出的值，进行求解即可； （2）根据新定义，列出方程组进行求解即可； （3）设点表示的数为，点表示的数为，根据新定义结合点的速度是点速度的3倍，以及，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）设点表示的数为，则：， 解得； 故点表示的数为，； （3）设点表示的数为，点表示的数为， 则：，， 由题意，， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴； 故点表示的数为． 类型五、二元一次方程组的应用之年龄问题 方法总结 1. 设现年龄：设所求人物当前年龄为未知数，直接表示现在年龄关系。 2. 时间平移：过去或将来年龄 = 现在年龄 ± 年差，根据年龄差不变列两个等量关系方程组。 解题技巧 1. 年龄差定值：两人年龄差永远不变，是隐含的核心等量关系。 2. 列表清晰：列表呈现“现在、过去、将来”不同时间点的人物年龄，直观列式。 例5．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【变式5-2】（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 【变式5-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 类型六、二元一次方程组的应用之分配问题 方法总结 1. 设元列表：设分配对象数量为未知数，根据“总量相等”或“倍数关系”建立方程组。 2. 两种分配：常见“若…则…；若…则…”两种分配方案，每种方案对应一个等量关系。 解题技巧 1. 抓不变量：分配过程中物品总数、总人数等往往不变，是列方程的关键。 2. 统一对象：明确以“人”或“物”为设元对象，避免设元混乱导致方程错误。 例6．（25-26八年级上·山西运城·期末）国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 【答案】该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间， 由题意可得， 解得：， 故该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间． 【变式6-1】（25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 【变式6-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒 (2)分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． （1）设能做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出方程组； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由一个竖式纸盒与一个横式纸盒需要正方形纸板3个，长方形纸板7个，也就是正方形纸板的数量是长方形纸板数量的，由此列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设能做成个竖式纸盒，个横式纸盒， 根据题意，得， 解得， 答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒． （2）解：设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由题意得， ， 解得， ， 答：分配60个工人生产长方形纸板，则18个工人生产正方形纸板． 【变式6-3】（24-25七年级下·陕西延安·期中）某铁件加工厂用图①的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图②的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．两种长方体容器与所需铁片的数量关系如下表： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 3张 正方形铁片的数量 1张 2张 (1)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图②的竖式容器和横式容器，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (2)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (2)共有2种方案可供选择，方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设采购m个竖式容器，n个横式容器，由题意可知，列出所有情况即可． 【详解】（1）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得， 解得． 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （2）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得， ． 又，n均为正整数， 或． 共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 类型七、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 方法总结 1. 设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立方程组。 2. 双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。 解题技巧 1. 理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。 2. 单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如八折=0.8倍）。 例7．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）某天，一水果经营户用280元从水果批发市场批发了苹果和梨共到市场销售，苹果和梨这天每千克的批发价与零售价如表所示． 品名 苹果 梨 批发价（元/千克） 6 5 零售价（元/千克） 10 8 (1)这天批发的苹果和梨各多少千克？ (2)卖出这些苹果和梨，一共能赚多少钱？ 【答案】(1)这天批发苹果30千克，梨20千克 (2)一共能赚180元钱 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数混合运算应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，总利润与每千克利润和千克数的关系，是解题的关键． （1）设这天批发苹果x千克，梨y千克，则有等量关系：①苹果的重量+梨的重量；②批发苹果的总价+批发梨的总价元，由此列方程组求出x，y即可求解； （2）每千克苹果的利润乘苹果千克数加每千克梨的利润乘梨的千克数，计算即得 【详解】（1）解：设这天批发苹果x千克，梨y千克， 由题意得， 解方程组，得， 答：这天批发苹果30千克，梨20千克． （2）（元）． 答：卖出这些苹果和梨，一共能赚180元钱． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）为了参加学校举办的“校长杯”足球联赛，某中学七（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费220元，七（2）班学生购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费260元． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ (2)为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1200元全部购买A、B两种品牌的足球供学生使用，要求A、B两种品牌的足球都要有，那么学校有多少种购买足球的方案？请你帮助学校分别设计出来． 【答案】(1)购买一个A品牌足球需要60元，一个B品牌足球需要80元 (2)学校有4种购买足球的方案，方案一：购买A品牌足球16个、B品牌足球3个；方案二：购买A品牌足球12个、B品牌足球6个；方案三：购买A品牌足球8个、B品牌足球9个；方案四：购买A品牌足球4个、B品牌足球12个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设购买一个A品牌足球需要元，一个B品牌足球需要元，根据“七（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费220元，七（2）班学生购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费260元”列方程组求解即可； （2）设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得到，即 ，进而求出所有符合要求的情况即可． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌足球需要元，一个B品牌足球需要元， 解得 答：购买一个A品牌足球需要60元，一个B品牌足球需要80元； （2）解：设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个， 根据题意得：， 即 ， 因为、均为正整数， 所以． 答：学校有4种购买足球的方案， 方案一：购买A品牌足球16个、B品牌足球3个； 方案二：购买A品牌足球12个、B品牌足球6个； 方案三：购买A品牌足球8个、B品牌足球9个； 方案四：购买A品牌足球4个、B品牌足球12个． 【变式7-2】（25-26八年级上·四川巴中·期末）我市某中学举行了“爱心助残”跳蚤市场活动，小明同学负责帮助本班售卖捐赠的文具．活动第一天，卖出本课外书和本笔记本，共收入元；第二天，他以同样的定价卖出本课外书和本笔记本，共收入元．所有收入全部捐赠． (1)请问每本课外书和每本笔记本的单价分别是多少？ (2)为了尽快筹集更多善款，第三天小明决定对课外书打折售卖．打折后，课外书的销量比第一天增加了，笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了．请问第三天课外书是几折出售的？ 【答案】(1)每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元． (2)九折 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用． (1)设每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元，根据卖出本课外书和本笔记本，共收入元；卖出本课外书和本笔记本，共收入元，列方程组求解； (2)设第三天打折，根据打折后，课外书的销量比第一天增加了，笔记本销量与第一天相同，当天总收入比第一天增加了．列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每本课外书的单价为元，每本笔记本单价为元； （2）解：设第三天打折， 由题意得：， 解得：， 答：打折． 【变式7-3】（25-26八年级上·广东梅州·期末）甲、乙两家超市出售同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价相同．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买3个保温壶和2个水杯要花费170元． (1)一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解） (2)为了迎接“新春佳节”，两家超市都在搞促销活动，甲超市规定：这两种商品都打九折；乙超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，且只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由． (3)在（2）中最省钱的超市用所省的钱（与不优惠时比较所省的钱），买2元一小包和5元一小包的茶叶（两种都买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)一个保温壶售价是50元，一个水杯售价是10元 (2)乙超市更合算，见解析 (3)购买方案有三种：买2元一小包的茶叶15包，5元一小包的茶叶2包；买2元一小包的茶叶10包，5元一小包的茶叶4包；买2元一小包的茶叶5包，5元一小包的茶叶6包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解；利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． （1）设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元，根据买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买3个保温壶和2个水杯要花费170元，列出方程组，求解即可． （2）根据题意先分别计算出在甲超市购买所需费用和在乙超市购买所需费用，然后进行比较即可得出答案． （3）设买2元一小包的茶叶a包，和5元一小包的茶叶b包，根据题意列出二元一次方程，根据a，b为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元．由题意，得： ． 解得：． 答：一个保温壶售价为50元，一个水杯售价为10元． （2）解：选择在乙超市购买更合算． 理由：在甲超市购买所需费用为：（元）， 在乙超市购买所需费用为：（元）， ∵， ∴选择在乙超市购买更合算． （3）解：设买2元一小包的茶叶a包，和5元一小包的茶叶b包， 则， 即， 整理得：， ∵a，b为正整数， ∴或或， 故有三个方案：方案一：买2元一小包的茶叶15包，和5元一小包的茶叶2包； 方案二：买2元一小包的茶叶10包，和5元一小包的茶叶4包； 方案三：买2元一小包的茶叶5包，和5元一小包的茶叶6包． 类型八、二元一次方程组的应用之和差倍分问题 方法总结 1. 译条件为式：将“和”“差”“倍”“分”关键词直接转化为加减乘除代数式。 2. 设元列方程：设所求量为未知数，根据两个不同角度描述的数量关系列出二元一次方程组。 解题技巧 1. 关键句圈画：圈出“比…多/少”“是…倍”“占几分之几”等关键词，明确等量关系。 2. 统一基准：涉及“倍”“分”时，先确定以哪个量为基准（1倍或单位1），再表示其他量。 例8．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【答案】小型车位200个，车位100个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出其中的等量关系是解答本题的关键． 设小型车位有x个，车位有y个，根据共设小型车位和车位300个、全部满位1小时，总收费700元各列一个方程，组成二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小型车位有x个，车位有y个，由题意，得 ， 解得． 所以小型车位有200个，车位有100个． 【变式8-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意列二元一次方程组计算即可． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为y赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （2）设A配件要买m个，B配件要买n个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得， 解得， 答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， 因为和都为正整数， 所以符合条件的解为或， 答：有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个． 【变式8-3】（25-26七年级上·重庆合川·期末）“杀年猪，吃刨汤”是合川人民岁末的传统习俗．为了接待全国各地游客前来体验该活动，合川某生态园计划采购白猪和黑猪共650头，由于游客人数大大超过预期，该生态园实际采购两种猪共900头，其中白猪和黑猪的采购数量分别比原计划增长和． (1)该生态园实际采购白猪和黑猪分别为多少头？ (2)若白猪采购价格为每头3000元，黑猪采购价格为每头4000元，每头白猪的加工费是它价格的，每头黑猪的加工费是它价格的．一热心网友赠送了一批白猪，数量为白猪实际采购数量的，且赠送的白猪与采购的白猪均全部运输到位；而黑猪受到天气的影响，运输到位的数量比实际采购数量减少了，若所有运输到位的猪均被加工完毕，该生态园这些猪的加工费共花了81850元，求a的值． 【答案】(1)实际采购白猪500头，黑猪400头 (2)5 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）通过设原计划白猪和黑猪数量，根据增长百分比和总数量列方程组求解； （2）根据实际运输到位的猪数量及加工费列方程求解a的值． 【详解】（1）解：设原计划采购白猪x头，黑猪y头， 由题意得：， 解得， （头）， （头）， 答：实际采购白猪500头，黑猪400头． （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 答：a的值为5． 类型九、二元一次方程组的应用之几何问题 方法总结 1. 设元表量：设几何图形中未知的边长、角度等为未知数。 2. 等量关系：利用几何性质（周长、面积公式；边角关系）与题目条件建立两个方程组成方程组。 解题技巧 1. 数形结合：在图形上直接标注未知数和已知数量，直观发现隐含等量关系（如图形拼接、重叠部分）。 2. 勾股为桥：涉及直角三角形时，优先考虑用勾股定理建立方程。 例9．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 【答案】一个小长方形的长与宽分别是16，5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解决本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，再根据图象列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图象可得，， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴原方程组的解为， ∴一个小长方形的长与宽分别是16，5． 【变式9-1】（25-26八年级上·贵州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】(1) (2)长为，宽为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系． （）直接列出代数式即可； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 大长方形的宽为：， 故答案为：； （2）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为，宽为． 【变式9-2】（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 【变式9-3】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（）设每个长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组解答即可求解； （）根据（）解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， 答：每个小长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴图（）正方形的边长为． 类型十、二元一次方程组的应用之古代问题 方法总结 1. 古文翻译：将古代文言题意转化为现代汉语，明确已知量与未知量。 2. 设元列式：根据译文中的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解。 解题技巧 1. 关键词对应：抓住“盈、不足、相与、和、倍”等古汉语关键词，对应现代数学运算。 2. 还原检验：求出解后，代入古文情境验证合理性（如人数、物品数为正整数）。 例10．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 【答案】甜果买了657个，苦果买了343个 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设甜果买x个，苦果买y个根据数量和钱数，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甜果买x个，苦果买y个． 列方程组得，， 解得， 答：甜果买了657个，苦果买了343个． 【变式10-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）列方程组求解古算题： 《算法统宗》中有一道“折绳测井”问题，大意为：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等分入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等分放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 【答案】绳长为36尺，井深为8尺 【分析】本题主要考查了列方程组解应用题，根据题意找等量关系是解题的关键．设绳长尺，井深尺，根据“先将绳子折成三等分放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等分放入井中，一份绳长比井深多1尺” 列方程组求解即可． 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意列方程组， 得， 解得， ∴绳长为36尺，井深为8尺． 【变式10-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【详解】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 【变式10-3】（2026七年级下·全国·专题练习）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【答案】(1)牛每头值金两，羊每头值金两 (2)①消元；②数据如图 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛每头值金两，羊每头值金两，根据有牛头、羊头，共值金10两；牛头、羊头，共值金两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论； ②根据“方程术”推算即可． 【详解】（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得， ， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两． （2）解：① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想． 故答案为：消元． ②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数， 左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10）， 然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍． 牛：；羊：；金： ． 所以最终图填写如下： 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设绳尺，竿尺，根据题意列出方程组即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设绳尺，竿尺， 由题意得，， 故选：． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出代数式，正确列出方程是解题的关键．根据利润关系建立方程：按定价销售时每件利润为；按八折销售8件利润与降价35元销售12件利润相等． 【详解】解：∵按定价销售，每件获利45元， ∴. ∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为. ∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为. ∵两者利润相同， ∴. ∴方程组为， 故选：C. 4．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 二、填空题 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设人数为人，货物总价为钱．每人出7钱时，总出资金额为，多出2钱，因此货物总价比少2钱，即．每人出6钱时，总出资金额为，差3钱，因此货物总价比多3钱，即．据此即可得到方程组． 【详解】解：设人数为人，货物总价为钱， 由题意可列方程组． 故答案为： 6．（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为 万元． 【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东青岛·期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有 个． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出方程组即可求解，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯（除去增高部分）的高度为， 由题意得：， 解得：， ∴设个纸杯叠放在一起的高度为， 则， 解得：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． x 1 y 5 【答案】20 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程的应用，通过幻方的性质，利用行、列和对角线的和相等建立方程，求解出和的值，再计算，正确求出和的值是解此题的关键． 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴由第一行和主对角线之和相等得：， 化简得：， 解得：． 由第三列和第一行之和相等得：， 代入得：， 解得：． ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【答案】平路的长为，山路的长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设平路的长为，山路的长为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设平路的长为，山路的长为． 由题意，得， 解得， 答：平路的长为，山路的长为． 10．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，读懂题意，由等量关系列出方程是解决问题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图形中长宽建立方程组求解即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意可得， 解得， 答：小长方形的长为，宽为． 11．（25-26八年级上·福建三明·期末）踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度． 【答案】演员的实际身高为，高跷的高度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设演员的实际身高为，高跷的高度为，等量关系：高跷高度为表演者实际身高的一半；演员的实际身高加上高跷的高度再减去等于；据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设演员的实际身高为，高跷的高度为， 则， 解得， 答：演员的实际身高为，高跷的高度为． 12．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 13．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）春节临近，某干果店老板购进甲，乙两种坚果，若每次进价不变，第一次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元；第二次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元． (1)求甲，乙两种坚果的进价分别是多少元/袋？ (2)若该干果店老板计划再用元购进甲，乙两种坚果（两种坚果都购买），只能购进整数袋，请问这次进货有哪几种方案？说明理由． 【答案】(1)甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋 (2)这次进货有种方案，分别是：①购进甲坚果袋，乙坚果袋；②购进甲坚果袋，乙坚果袋；③购进甲坚果袋，乙坚果袋 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题、二元一次方程与实际问题，关键是找到恰当的相等关系列方程； （1）根据两次购买所花费用列方程组即可解出结果； （2）根据计划费用列二元一次方程，并求其正整数解确定购买方案． 【详解】（1）解：设甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋， 根据题意，得         解得 答：甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋． （2）解：这次进货有种方案，理由如下： 设购进甲坚果袋，乙坚果袋， 根据题意，得，            整理，得， 、均为正整数， 或或 答：这次进货有种方案，分别是： ①购进甲坚果袋，乙坚果袋； ②购进甲坚果袋，乙坚果袋； ③购进甲坚果袋，乙坚果袋． 14．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）某学校计划采购60副乒乓球拍与盒乒乓球．调查了解的情况如下： 信息1：甲、乙两家商店中，同一品牌的每幅乒乓球拍的销售价格相同，同一品牌的每盒乒乓球的销售价格也相同． 信息2：已知每副乒乓球拍的单价比每盒乒乓球的单价多30元，且购买2副乒乓球拍的费用，恰好与购买5盒乒乓球的费用相等． 【信息运用】 （1）根据调查信息，求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是多少？ 【方案优化】 经过与甲、乙两家商店洽谈后，两商店分别给出了优惠方案： 甲商店：每购买3副乒乓球拍，就赠送2盒乒乓球； 乙商店：购买乒乓球拍和乒乓球均享受八折优惠． （2）请用含的式子分别表示在甲、乙两商店采购所需的费用． （3）当为何值时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同？ 【答案】（1）每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是50元和20元； （2），； （3） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次方程的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键． （1）设每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别为x元、y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据两商店的优惠方案列代数式即可； （3）根据（2）的得到甲、乙两商店采购所需的费用，再根据甲、乙两家商店采购所需费用相同列关于a的方程求解即可． 【详解】解：（1）设每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别为x元、y元， 由题意可得：，解得：， 答：每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是50元和20元． （2）甲商店采购所需的费用：； 乙商店采购所需的费用：； （3）当，解得：． 所以当时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同． 15．（25-26八年级上·山西晋中·期末）根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；任务二：抽调熟练工4名，招聘新工人2名，此方案应付工资较低 【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组解答即可求解； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意可得，即得，进而求出的值，再算出每种方案每月应付工资，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 根据题意得，， 解得， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得，， 整理得，， ∵为正整数，且， ∴或， ∴工厂有种方案： ①抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ②抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ∵， ∴抽调熟练工名，招聘新工人名，此方案应付工资较低． 16．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨． (1)求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？ (2)现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案； (3)若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用． 【答案】(1)辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货4吨 (2)共有种租车方案，方案：租用辆甲型车，辆乙型车；方案：租用辆甲型车，辆乙型车 (3)最省钱的租车方案为：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，列方程组求解即可； （2）根据共需要运送吨施工材料，可列二元一次方程，整理可得：，根据，均为正整数且，得到共有种方案； （3）分别计算两种方案所需费用，通过比较选择费用较少的方案． 【详解】（1）解：设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 解得：， 答：辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨； （2）解：由（1）可知辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 整理得：， ，均为正整数， 解得：或或或， 又， 共有种租车方案， 方案1：租用4辆甲型车，12辆乙型车， 方案2：租用8辆甲型车，9辆乙型车； （3）解：方案所需租金为（元）， 方案所需租金为（元）， ， 最省钱的租车方案是：租甲型车辆，乙型车辆， 答：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $