专题06 二元一次方程组解法的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题06 二元一次方程组解法的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、解二元一次方程组 类型二、二元一次方程组错解复原问题 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 类型四、整体代入法解二元一次方程组 类型五、换元法解二元一次方程组 类型六、新定义型二元一次方程组 压轴专练 类型一、解二元一次方程组 方法总结 1. 代入消元：将一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一方程消元。 2. 加减消元：将两个方程适当变形后相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程。 解题技巧 1. 先观系数：优先选择系数简单或成倍数关系的未知数消元，使计算简便。 2. 检验代回：求出解后，代入原方程组检验，避免符号或计算失误。 例1．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）将原方程组化简整理可得：，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 由①得：③， 将③代入②得：，解得：， 将代入③得：， 故原方程组的解为． （2）解：将方程两边同乘以，得，整理得， 故原方程组化简整理可得： 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 故原方程组的解为． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据代入消元法可进行求解方程； （2）先将②变形，再根据加减消元法可进行求解方程． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）解： 将②变形得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， ∴方程组的解为． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东深圳·月考）解方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）采用加减消元法求解即可． （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ∴， 将代入中，即， 解得：， ∴． （2）解：， ，即， ，即， 解得：， 将代入①，即， 解得：， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)方程组的解为 (2)方程组的解为 【分析】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）根据加减消元法解方程组即可； 【详解】（1）， ①﹣②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． （2） 方程①化简为， 将和组成方程组得， ， ， 解出， 将代入得， 解出， 方程组的解为． 类型二、二元一次方程组错解复原问题 方法总结 1. 错解代入法：将看错方程后得到的解，代入看错系数所在的方程（或未看错的其他方程），求出正确系数。 2. 还原方程组：由求出的正确系数和原方程组形式，重新解出正确解。 解题技巧 1. 区分错因：明确甲看错的是哪个方程中的哪个系数，代入对应方程建立方程。 2. 利用公共解：未看错方程的解是两方程组公共解，优先利用此条件求出正确系数。 例2．（25-26八年级上·河北保定·月考）有一道数学习题及其错误的解答过程如下： 解方程组： 解：，得……第一步 将代入①，得……第二步 解得……第三步 所以原方程组的解为……第四步 (1)该解答过程在第___________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析． 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组．①加②消去未知数，把二元一次方程组化成一元一次方程，求出，再把值代入①求出即可． 【详解】（1）解：该解答过程在第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：正确的解答过程如下： ， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南郴州·期末）小明解方程组时，给出两种解法的部分过程： 解法一：由，得．③ ，得， 解得． … 解法二：将方程①移项，得，③ 将③式代入方程②，得， 解得． … (1)上述两种解法中，解法一称为________，解法二称为________；（填“代入消元法”或“加减消元法”） (2)判断：解法________（填“一”或“二”）的解答过程有错误； (3)请将错误解答过程改正，并运用此方法解此二元一次方程组． 【答案】(1)加减消元法，代入消元法 (2)一 (3)改正见解析， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）解法一通过求出，运用了加减消元法，解法二通过将③式代入方程②求出运用了代入消元法； （2）解法一中的结果应为，解法二正确； （3）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：解法一通过求出，运用了加减消元法，解法二通过将③式代入方程②求出运用了代入消元法， 故答案为：加减消元法，代入消元法； （2）解：解法一中的结果应为，解法二正确； 故答案为：一； （3）解：由，得．③ ，得， 解得． 将代入得， 解得． ∴． 【变式2-2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③        第一步 得：            第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是        第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________． (2)第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________． (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 【答案】(1)①加减消元法，②等式的基本性质2 (2)②，计算减法时没有把负号转变为正号 (3)见解析 【分析】（1）根据二元一次方程组的定义即可解答； （2）根据二元一次方程组的运算即可解答． （3）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． （2）第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号； （3）解：②得： ③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是 【变式2-3】（25-26八年级上·山西运城·月考）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 方法总结 1. 观察结构：分析所求代数式与方程组中两个方程在系数、常数项上的对应关系。 2. 整体构造：将两个方程进行适当的加减乘除组合（如相加、相减、倍数后组合），整体得出代数式的值。 解题技巧 1. 配凑系数：根据需要求值的代数式系数，将原方程分别乘以适当常数再相加减。 2. 不求未知数：始终以方程组整体为操作对象，不单独求出x、y的值。 例3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，且，则为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将两个方程相加得出，再结合得出，求解即可得出结果，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）若方程组的解中，则等于 ． 【答案】2027 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组解的情况求参数，将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，然后利用已知条件求解即可． 【详解】解：， 将①和②相加，得： ， ， 两边同时除以5，得： ， ∵， ∴ ． 故答案为：2027． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，关键是观察方程组用恰当的方法求解；通过将两个方程相加，可直接得到 的值． 【详解】解：给定方程组： 将方程(1)和方程(2)相加，得： ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知x，y满足方程组，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过将方程组中的两个方程相减，直接得到的值． 【详解】解： 得， 故答案为：1． 类型四、整体代入法解二元一次方程组 方法总结 1. 识别整体：观察方程组中是否有某代数式重复出现（如x+y、x-y等）。 2. 整体替换：将该代数式视为一个整体，用新字母替换或直接代入另一方程，实现消元求解。 解题技巧 1. 构造整体：若未直接给出重复代数式，可先通过方程变形（如移项）构造出相同整体结构。 2. 代回还原：求出整体值后，需代入原方程或整体关系式，再求每个未知数的具体值。 例4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小敏还想到了一种新的解法： 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．请你利用“整体代入消元法”解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 把看成一个整体代入①中求出，再将求出的代入②求出即可. 【详解】解：将方程组变形为 将②代入①，得，解得． 将代入②，得， 所以原方程组的解是 【变式4-1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 【变式4-3】（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 类型五、换元法解二元一次方程组 方法总结 1. 引入新元：观察方程组中重复出现的复杂整体结构，设其为新未知数。 2. 简化求解：将原方程组转化为关于新元的简单方程组，解出新元后再代回求原未知数。 解题技巧 1. 注意取值范围：换元时需注意原式中分母不为零等隐含条件，避免产生增根。 2. 回代还原：求出新元的值后，必须建立关于原未知数的方程（组）继续求解。 例5．（24-25七年级下·吉林长春·月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等． （1）根据题意列式，计算出来即可； （2）根据题意利用换元法解方程即可； （3）先求出的值，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， 故答案为：； （2）解：， 设，， ∴， 得：，即：， 将代入①得：，即：， ∴，解得：； （3）解：， 得：，即：， 将代入②得：，即：， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 【变式5-2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： (1)方程组的解是，则方程组的解是______； (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可． 【详解】（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 【变式5-3】（24-25八年级上·山东青岛·月考）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______． (3)请你用上述方法解方程组 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”． （1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可； （3）令则原方程组为，再解出这个方程组即可求解． 【详解】（1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． （3）解：依题意，令则原方程组为， 即 得， 解得：， 得，， 解得： ∴ 得，， 解得： 得，， 解得：， ∴原方程组的解为． 类型六、新定义型二元一次方程组 方法总结 1. 理解新定义：仔细阅读题目，准确理解新定义的运算规则（如新符号的代数意义）。 2. 转化为常规：严格按照新定义的规则，将新定义型方程组转化为常规二元一次方程组求解。 解题技巧 1. 举例验证：先用简单数值代入新定义试算，确保理解无误后再进行转化。 2. 耐心套用：每一步都严格按定义操作，避免凭经验随意替换或跳步。 例6．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）对x，y定义一种新运算“※”，规定：，（其中x，y均为非零常数），若，，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，有理数的混合运算，根据新定义，得出方程组，利用加减消元法解方程组，得出m，n的值，然后再根据新定义，可得，把m，n的值代入即可得出答案． 【详解】解：由新定义，可得方程组为： ，得， 把代入①，得， 解得：． ． 【变式6-1】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 【变式6-2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·周测）把方程改写成用含的式子表示的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组则的值是（   ） A．3 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体代入解法，解题关键是观察方程的结构特征，利用整体相加的方法直接得到 的值，避免了繁琐的代入消元或加减消元步骤． 通过将两个方程直接相加，整体求出的值． 【详解】解：∵ 方程组为： ①+②： ． ∴ 的值为． 故选：A． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组有以下过程： （1）由①，得．③ （2）将③代入②，得． （3）去括号，得． （4）解得．将代入③，得．所以这个方程组的解是 以上解题过程中，开始出错的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：∵ 由①得 ③，正确； 将③代入②得 ，正确； 去括号时，，但过程写为 ，错误； ∴ 开始出错的一步是（3） 故选：C． 4．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽·月考）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 二、填空题 6．（25-26七年级上·湖南永州·期末）若，满足方程组，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过将方程组中的两个方程相加，得到，进而求出的值． 【详解】解：给定方程组 将①和②相加，得 ∴． 故答案为：2． 7．（25-26七年级下·全国·周测）若与互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】根据非负数的性质求出即可. 【详解】解：由题意可得： 解得： 故答案为：0. 【点睛】本题考查了二元一次方程组以及绝对值非负数性质，解决本题的关键是熟练掌握对应的知识点. 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的公共解问题，掌握先求公共解，再代入求参数的方法是解题的关键． 通过解不含参数的方程得到公共解，再代入含参数的方程求出的值，最后计算乘方． 【详解】解：联立方程， 解得 将代入 得 两式相加得，即． ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，通过解方程组，用参数a表示 x 和 y，再代入代数式，令其含a的系数为零，从而求出k的值． 【详解】解： 得，解得 把代入①得，解得 ∴ ， ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， 解得 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，分析阅读数学材料的能力，能够读懂阅读材料，分析清楚示范材料是解题的关键． 根据示例运用换元思想和整体思想可列出简易方程，再解方程即可解答． 【详解】方程组的解是， 由方程组得，， 解得，， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·周测）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组中第一个方程已经用含的代数式表示出，适合用代入消元法，将①代入②消去，先求出的值，再求 的值； （2）先将第二个方程去分母化简，再用加减消元法，将两个方程相减消去，先求出的值，再求的值． 【详解】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解为 （2）解：整理化简②，得．③ ①，得．④ ③④，得． 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为 12．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)二 (3) 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键； （1）观察小乐同学解二元一次方程组的过程，即可解答； （2）等式③减去②得到左边为即可解答； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：观察小乐同学解二元一次方程组的过程，可知是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质； （2）解：第二步开始出现错误，应为； （3）解： ①，得③， ③-②，得， 将代入①，得 ， 所以，原方程组的解为． 13．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)具有； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及新定义“友好关系”的应用，关键是理解“友好关系”的本质为，通过解方程组或结合该关系式求解未知量． （1）先求解给定的二元一次方程组，得到、的具体值后，验证是否等于1，即可判断是否具有“友好关系”； （2）将代入方程组，先求出、的值，再代入含的方程计算即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， ，满足“友好关系”的定义， 故答案为：具有； （2）解：方程组的解与具有“友好关系”， ， 联立，解得， 将代入方程， 得，解得． 14．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）【课本回顾】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径．以下是课本页中的一道习题： 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用“换元法”解二元一次方程组． （1）设，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，求出方程组的解，进一步求解即可； （2）令，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，进一步求解即可． 【详解】解：（1）设， 则方程组变为：， ∵的解是， 解得， 解得； （2）整理方程组得， 令， ∵关于的二元一次方程组的解是， ∴， 解得． 15．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 16．（25-26七年级上·福建厦门·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以， ，， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 【答案】(1) 原方程组的解是； (2) 原方程组的解是； (3) 原方程组的解是． 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （2），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （3），得，由，可得，从而可得，，可得，代入，可得，即可得原方程的解． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （2）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （3）解：， ，得， ∵， ∴， ∴， ，得， ，得， 将代入，得， ∴原方程组的解是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二元一次方程组解法的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、解二元一次方程组 类型二、二元一次方程组错解复原问题 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 类型四、整体代入法解二元一次方程组 类型五、换元法解二元一次方程组 类型六、新定义型二元一次方程组 压轴专练 典例详解 类型一、解二元一次方程组 方法总结 1. 代入消元：将一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一方程消元。 2.加减消元：将两个方程适当变形后相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程。 解题技巧 1.先观系数：优先选择系数简单或成倍数关系的未知数消元，使计算简便。 2.检验代回：求出解后，代入原方程组检验，避免符号或计算失误。 例1.(2026七年级下，全国.专题练习)解下列方程组： 0)/2r+y=7 x+2y=8 x+4y=14 (2)x-3y-3_1 4-3=12 【变式1-1】(25-26八年级上广东揭阳期末)解方程组： 「x=3-y① (1) 2x-3y=1② x-3y=5① (②)x+3+y-1=2② 34 【变式1-2】(25-26八年级上广东深圳月考)解方程组： 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [2x+3y=1 (1) (y-2x=3 [4x+y=18 2{x-1_y=-1 23 【变式1-3】(25-26八年级上山东枣庄期末)解方程组： 、「2x-y=2 (2x-6y=3 x+1y-1 =-1 (2)52 x+y=2 类型二、二元一次方程组错解复原问题 方法总结 1.错解代入法：将看错方程后得到的解，代入看错系数所在的方程（或未看错的其他方程），求出正确 系数。 2.还原方程组：由求出的正确系数和原方程组形式，重新解出正确解。 解题技巧 1.区分错因：明确甲看错的是哪个方程中的哪个系数，代入对应方程建立方程。 2.利用公共解：未看错方程的解是两方程组公共解，优先利用此条件求出正确系数。 例2.(25-26八年级上·河北保定·月考)有一道数学习题及其错误的解答过程如下： x-y=2① 解方程组： 12x+y=4② 解：①+②，得x=6第一步 将x=6代入①，得6-y=2第二步 解得y=4..第三步 x=6 所以原方程组的解为 y=4第四步 (①)该解答过程在第 步开始出现错误. (2)请写出正确的解答过程. 【变式2-1】(25-26七年级上·湖南郴州期末)小明解方程组 x-2y=3① 5x-13y=21@时，给出两种解法的部分过程： 解法一：由①×5，得5x-10y=15.③ 解法二：将方程①移项，得x=3+2y,③ ③-②，得-10y-13y=-6, 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 解得y= 将③式代入方程②，得5(3+2y)-13y=21, 23 解得y=-2. ()上述两种解法中，解法一称为 解法二称为 ;(填“代入消元法”或“加减消元法”) (2)判断：解法 (填“一”或“二”)的解答过程有错误； (3)请将错误解答过程改正，并运用此方法解此二元一次方程组. 4x+3y=5① 【变式2-2】(24-25八年级上山西晋中·期末)下面是小华同学解方程组 2x-y=-5② 的过程，请你观察计 算过程，回答下面问题， 解：②×2得：4x-2y=-10③ 第一步 ①-③得：y=15 第二步 将y=15代入②得：x=5. 第三步 x=5 所以该方程的解是 y=15 第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 其中第一步这样做的依据是 (2)第 步开始出现了错误，错误的原因是： (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤， 2x+3r16的过程，请 x-y=3 【变式2-3】(25-26八年级上山西运城月考)下面是小林同学解二元一次方程 认真阅读并完成相应任务. 解： x-y=3,① 2x+3y=16.②0得，x=3+以③ 第一步 把③代入②，得2(3+y)+3y=16. 第二步 整理，得6+y+3y=16. 第三步 11 解得y= 2 第四步 17 x= 起)号代入@，得号.所以该方程组的解为 2 第五步 11 y= 任务一： 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①以上求解过程中，小林用了 消元法.（填“代入”或“加减”） ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解. 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 方法总结 1. 观察结构：分析所求代数式与方程组中两个方程在系数、常数项上的对应关系。 2.整体构造：将两个方程进行适当的加减乘除组合（如相加、相减、倍数后组合），整体得出代数式的值 解题技巧 1,配凑系数：根据需要求值的代数式系数，将原方程分别乘以适当常数再相加减。 2.不求未知数：始终以方程组整体为操作对象，不单独求出x、y的值。 x-2y=3m 例3.（25-26八年级上四川巴中·期末)已知关于x,y的二元一次方程组 2x+y=9，且3x-y=15,则 m为__ 2x+6y=k的解中x+y=2026,则k等 3x-y=4k-5 【变式3-1】(25-26八年级上·四川达州期末)若方程组 于 2x+y=-1 【变式3-2】(25-26八年级上山东青岛期末)己知x,y满足方程组 3x-8y=9,则5x-7y的值为」 2026x+2025y=5 【变式3-3】(25-26七年级上湖南怀化期末)已知x,y满足方程组 2025x+2026y=4'则x-y的值 为 类型四、整体代入法解二元一次方程组 方法总结 1.识别整体：观察方程组中是否有某代数式重复出现（如x+y、xy等）。 2.整体替换：将该代数式视为一个整体，用新字母替换或直接代入另一方程，实现消元求解。 解题技巧 1.构造整体：若未直接给出重复代数式，可先通过方程变形（如移项）构造出相同整体结构。 2.代回还原：求出整体值后，需代入原方程或整体关系式，再求每个未知数的具体值。 例4.(25-26八年级上·全国课后作业)在利用代入消元法”解完二元一次方程组5x+x=30 后，小 x+y=1② 4/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 敏还想到了一种新的解法： 解：把x+y=1看作整体代入①，得5x1-x=3,解得x=2.将x=2代入②，得y=-1,所以原方程组的 x=2 解为 y=-1 这种把x+y=1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”.请你利用“整体代入消元 6x-8y-2x=8 法解方程组5 3x-1=4y+9 【变式4-1】(25-26八年级上山西晋中期末)阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真 阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组 5(x+y)-x=3① x+y=1② 后，小宣还想到了一种新的解法： 解：把x+y=1看作整体代入①，得5x1-x=3,解得x=2.将x=2代入②，得y=-1,所以原方程组的解 x=2 为 y=-11 这种把x+y=1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”. 6x-8y-2x=8 请你利用“整体代入消元法”解方程组 5 3x-1=4y+9 【变式4-2】(25-26八年级上·安徽宿州月考)观察发现： x+y=4① 解方程组： 7(x+y)+y=14② 将①整体代入②得7×4+y=14. 解得y=-14 把y=-14代入①，x=18. x=18 故原方程组的解为 y=-14 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答. (1)实践运用： 2x-3y-2=0① 请用“整体代入法”解方程组 2x-3y+5+2y=921 7 (2)拓展提升： 5/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025x+2024y=2023① 请你仿照上面的解法解方程组， 2023.x+2022y=2021②· (提示，将x+y看作一个整体) 【变式4-3】(25-26七年级上·广西贵港期末)【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种 x+y-1=0 (① 解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”.例：解方程组 6(x+y)-y=3② 解：将方程①移项，得x+y=1③ 把方程③代入②，得6×1-y=3. 解得y=3. 把y=3代入③，得x+3=1. 解得x=-2. x=-2 “原方程组的解为 (y=3· 上面的解法中，将x+y看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想. 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： x--3=0 ① 2(x-y)+5x=1② 3x+4y-5=0 ① (2)3x+4y-2 -2x=-3② 3 类型五、换元法解二元一次方程组 方法总结 1.引入新元：观察方程组中重复出现的复杂整体结构，设其为新未知数。 2.简化求解：将原方程组转化为关于新元的简单方程组，解出新元后再代回求原未知数。 解题技巧 1. 注意取值范围：换元时需注意原式中分母不为零等隐含条件，避免产生增根。 2.回代还原：求出新元的值后，必须建立关于原未知数的方程（组）继续求解。 例5.（2425七年级下·吉林长春月考)阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 3m+5-2(n+3=-1, 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法.具体过程如下：解：把m+5, 3m+5)+2(n+3=7 n+3看成一个整体，设m+5=x,a+3=y, 则原方程组可化为 [3x-2y=-1 x=1 3x+2y=7 解得 y=2 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m+5=1 m=-4 n+3=2 解得 n=-1 3x+2y=5 x=I (1)己知方程组 的解为 3(a-2)+2(b+1)=5 则方程组 的解为_ 5x+y=6 y=1 5(a-2)+(b+1)=6 3m+n-2(m-n)=-2 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 3m+n+2(m-n=26 [5a+4b+c=13 (3)若 3a+2b+c=8则2a+b+e的值为- 【变式5-1】(24-25七年级下·河南南阳月考)阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组 2a-)十6+2)=6时，采用了一种整体换元的解法.把a-L,b+2看成一个整体，设a-1=xb+2=y,原 (a-1)+2(b+2)=6 x+2y=6 方程组可变为 2x+y=6 解得 x=2 a-1=2 b+2=2’ 解得 a=3 b=0 (1)模仿贝贝同学的“整体换元的方法，解方程组： x=10 (2)已知关于xy的方程组 ax+by=c 的解为 求关于m,n的方程组 f5a,(m+3)+3b,(m-2)=6的 ax+by=c2 y=6, 5a2(m+3)+3b(n-2)=c2 解。 【变式5-2】(24-25七年级下山西晋城期中)阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务， 2 2m+2)+3m- =1 善于思考的李同学在解方程组 ，采用了一种“整体换元”的解法. 2 3/2 7(m+2)+6n- 看成一个整体，设m+2=x, 2 解：把m+2,n- =y. x=0m+2=0 2x+3y=1 m=-2 原方程组可化为 (7x+6y=2'解得 1,. 21,∴.原方程组的解为 y=- n- -333 n=1 任务： 3x-2y=1 x=3 3(a+b)-2(a-b)=1 (1)方程组 9x-2y=1 的解是=4 则方程组 9a+b)-2a-b)=19的解是 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3(x+y)-4(x-y)=4 (2②仿照上述解题方法，用“整体换元“法解方程组x+y+x-y-1 2 6 【变式5-3】(24-25八年级上·山东青岛·月考)阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组 3m+5列+2口+3)=7时，采用了一种整体换元的解法.把m+5m+3看成一个整体，设 3(m+5)-2(n+3)=-1 3x-2y=-1 n+3=2,解得 1m=-4 m+5=x,n+3=y,则原方程组可化为 3x+2y=7，解得 n=-1 (x+y+x-y=4 (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元的方法，解方程组 3 5 x+y_x-y=-2 35 x=3 (2)拓展提升，已知关于x,y的方程组 ax-by=c ax-bay=c2 的解为少=4，请直接写出关于m、n的方程组 a,(m+2）-b,n=c 的解是 a2m+2)-b2n=c2 x+y_x-y (3)请你用上述方法解方程组 2 3 2(x+y)-3x+3y=25 类型六、新定义型二元一次方程组 方法总结 1.理解新定义：仔细阅读题目，准确理解新定义的运算规则（如新符号的代数意义）。 2.转化为常规：严格按照新定义的规则，将新定义型方程组转化为常规二元一次方程组求解。 解题技巧 1.举例验证：先用简单数值代入新定义试算，确保理解无误后再进行转化。 2.耐心套用：每一步都严格按定义操作，避免凭经验随意替换或跳步。 例6.(25-26八年级上·四川绵阳·开学考试)对x,y定义一种新运算“※”，规定：x※y=mx+y,（其中x, y均为非零常数)，若1※1=4,1※2=3，求2※1的值， 【变式6-1】(24-25七年级下·浙江杭州月考)对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ax+by, x田y=ax-by,其中a,b是常数.已知1#1=1,3⊕2=8. (I)求a,b的值： 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 xHty =4-m (2)若关于x,y的方程组 x⊕y=5m 的解也满足方程x+y=3,求m的值； 【变式6-2】(24-25七年级下山西吕梁期末)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by, x⑧y=ax-by,其中a,b是常数.例如：3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b,已知3*2=-1,2⑧1=4，则根 3a+2b=-1 据定义可以得到 2a-b=4· 回答下列问题： (1)a= ,b=」 (2)若(x*2y)+(x⑧y)=10,求x-y的值； x*y=8+m (3)若关于x,y的方程组 x⑧y=5m 的解也满足方程x-y=9,求m的值 【变式6-3】(24-25七年级下广东广州期中)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by, x⑧y=ax-by,其中a,b是常数.例如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b, 3a+2b=-1 已知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (I)a=,b=; (2)若x*2y+x⑧y=10,求x-y的值； x*y=8+m (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=9,求m的值； x⑧y=5m x=12 (4)若关于x,y的方程组 a,x*hy=G的解为 y=5,则关于x,y的方程组 4a,(x+y月*5h(x-y)=G的 a2x⑧b2y=c2 a2x+y)⑧5b2x-y)=c2 解为 压轴专练 一、单选题 1.(25-26七年级下·全国·周测)把方程3x+y=2改写成用含y的式子表示x的形式为() A.x=Y-2 3 B.x=2- C.y=3x-2 D.y=2-3x 3 x+2y=4 2.(25-26七年级下·全国·课后作业)已知二元一次方程组 则x+y的值是() 2x+y=5 9/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3 B.-1 C.0 D.-2 2x+y=4① 3.(2026七年级下·全国.专题练习)用代入法解方程组 (3x-2y=-1②有以下过程： (1)由①，得y=4-2x.③ (2)将③代入②，得3x-24-2x=-1. (3)去括号，得3x-8-2x=-1. x=7 (4)解得x=7.将x=7代入③，得y=-10.所以这个方程组的解是 y=-10 以上解题过程中，开始出错的一步是() A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 3x-y=4m+1 4.(25-26八年级上·广东揭阳期末)已知关于x,y的二元一次方程组 x+y=2m-5 的解满足x-y=4,则 m的值为() A.-1 B.7 C.1 D.2 5.(25-26八年级上·安徽·月考)规定：关于x,y的两个方程x+y=b与x+y=b互为共轭二元一次方程， x+ky= 其中k≠1.由这两个方程组成的方程组 ,叫作共轭方程组.若关于x,y的方程组 kx+v= x+(2a-b)y=2b-a (a+6)x+y=b-2a 为共轭方程组，则a,b的值分别为() A.3,-3 B.4,3 C.5,-5 D.3,2 二、填空题 x+2y=7 6.(25-26七年级上·湖南永州期末)若x,y满足方程组 2x+少=-1'则x+y的值为 7.(25-26七年级下全国·周测)若a-b+1与(a+2b+4)2互为相反数，则a-2b= 2x+3y=3「3x-2y=11 8.(25-26七年级下·全国·课后作业)若关于x,y的方程组 和 有相同的解，则 ax-by=-5bx-ay=1 (a+b)2025的值为一 x-4y=5a+7（a是常数)，若不论 x+3y=-a+2 9.(25-26八年级上广东佛山期末)已知关于x,y的二元一次方程组 a取什么实数，代数式kx-y(k是常数)的值始终不变，则k的值为 10/13