专题07 多边形的内角和与外角和的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题07 多边形的内角和与外角和的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、多边形内角和问题 类型二、多边形对角线的条数问题 类型三、多边形截角后的边数问题 类型四、多边形截角后的内角和问题 类型五、多边形外角和的实际应用 类型六、多边形内角和与外角和综合 类型七、平面镶嵌 压轴专练 类型一、多边形内角和问题 方法总结 1. 公式法：n边形内角和= (n-2)×180°。 2. 转化法：将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和推导。 解题技巧 1. 边数确定：已知内角和求边数时，用公式(n-2)×180°内角和，解出n。 2. 外角辅助：正多边形每个外角= ，可辅助求内角。 例1．（25-26八年级上·云南临沧·期末）一个六边形的内角和等于 度． 【答案】720 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式； 根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：六边形的内角和为， 故答案为：720． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【知识点】多边形内角和问题 【分析】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：．根据多边形内角和定理：可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设多边形边数有条，由题意得： 解得：， 故答案为：8． 【变式1-2】（2025·重庆·一模）若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 【答案】/度 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和性质，根据算出六边形的内角和，再减去，即可得出其余五个内角之和，即可作答． 【详解】解：依题意，六边形的内角和：， 则其余五个内角之和， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：． 类型二、多边形对角线的条数问题 方法总结 1. 公式法：n 边形对角线条数= 。 2. 推导理解：每个顶点可作(n-3)条对角线（除去自身及相邻两点），总数为（每条重复一次）。 解题技巧 1. 边数代入：已知边数直接代入公式求对角线数。 2. 反求边数：已知对角线数，设方程 = m,解正整数n。 例2．八边形的内角和是 ，它共有条 对角线． 【答案】 /1080度 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，对角线，熟练掌握各个运算公式是解题的关键． 根据多边形的内角和公式，对角线条数计算公式即可得到结果． 【详解】八边形的内角和是，它共有条对角线． 故答案为：，20 【变式2-1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）小宇用计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线． 【答案】9 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查多边形内角与外角、多边形的对角线，熟记以上知识点是解题的关键．根据求多边形的对角线公式进行作答即可． 【详解】解： （条）． 故答案为：9． 【变式2-2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，从一个边形的一个顶点出发，最多能引出条对角线，据此可求出，再根据边形的内角和是进行求解即可． 【详解】解：∵从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线， ∴， ∴， ∴这个边形的内角和是， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形共有 条对角线，九边形的内角和为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查九边形的对角线规律、九边形内角和等知识，根据多边形对角线定义，分析出一个顶点引出的对角线，再由九边形每个顶点均满足同样的性质即可得到答案；再有多边形内角和定理即可求出九边形内角和，熟记九边形对角线定义及对角线数量规律、多边形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：对于九边形，共有9个顶点，由对角线定义可知，从九边形的一个顶点出发，除去这个点本身及这个点左右相邻的两个顶点（共计3个顶点）不能构成对角线以外，剩余的6个顶点均可以与选中的顶点连线构成对角线，则从九边形的一个顶点出发，可以引6条对角线； 从九边形的一个顶点出发，可以引出6条对角线，当不考虑重复情况时，9个顶点可以引出条对角线，若是九边形的两个顶点，则从顶点引出的一条对角线必定与从顶点引出的一条对角线重合，从而确定九边形共有条对角线； 由多边形内角和定理可知，九边形的内角和为， 故答案为：． 类型三、多边形截角后的边数问题 方法总结 1.截角方式与边数变化规律 过顶点截：截线经过多边形的 1 个顶点，与对边相交，新边数 = 原边数（边数不变）。 过两边截（不过顶点截）：截线不经过任何顶点，与两条相邻边相交，新边数 = 原边数 + 1（边数加 1）。 特殊截法（过两个顶点截）：截线经过多边形的 2 个顶点（即沿对角线截取），新边数 = 原边数 - 1（边数减 1）。 2.分类讨论 根据截线经过顶点的数量，确定新多边形边数的变化规律： 经过 1 个顶点：边数不变； 不经过顶点：边数 + 1； 经过 2 个顶点：边数 - 1。 解题技巧 画图辅助：画出原多边形和截线，直观判断新图形边数。 记忆口诀：“过顶点不变，过两边加 1，过两点减 1”。 例3．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【变式3-1】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【答案】、、 【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 【变式3-3】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【答案】15，16或17 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案为：15，16或17． 类型四、多边形截角后的内角和问题 方法总结 1. 边数定内角：先确定截角后新多边形的边数n'，再用公式 (n'-2)×180° 求内角和。 2. 分类讨论：截角方式不同（过顶点、过两边、不过顶点），新边数不同，内角和随之变化。 解题技巧 1. 画图定边数：画出原多边形和截线，直观得出新图形边数。 2. 公式直接算：边数确定后，直接代入内角和公式计算，无需复杂推导。 例4．（24-25八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 【变式4-1】将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】如图所示： 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形； 另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形； 新的多边形的内角和可能是，或，或． 故选：D． 【变式4-2】把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 【答案】或或 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由边形的内角和为，分别计算求解即可． 【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 【变式4-3】从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 【答案】或或 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据剪去一个角后的多边形的边数有：增加1、减少1、不变三种情况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， ∴新多边形的内角和为， ， ， 故答案为：或或． 类型五、多边形外角和的实际应用 方法总结 1. 外角和定值：任意多边形的外角和恒为360°，与边数无关。 2. 应用场景：常用于求正多边形边数（每个外角 = ）、求内角（内角+外角=180°）或解决行走路径问题。 解题技巧 1. 正多边形优先：已知外角度数，直接用n = 求边数。 2. 内外角转化：已知内角，先求外角 = 180读 - 内角，再求边数。 例5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ． 【答案】/360度 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查多边形的外角和，根据n边形的外角和为即可求解． 【详解】解：八边形的外角和为． 故答案为： 【变式5-1】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，小明从点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米． 【答案】60 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为360度，而每次转60度，那么可以求出转的次数，再根据每次转60米即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴一共走了60米， 故答案为：60． 【变式5-2】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 【答案】300 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，解题关键是理解小明每前进15米后向左转18°，当他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形． 根据题意判断小明每前进15米后向左转，当他回到出发地A地时，走过的路程形成正多边形，然后根据正多边形的外角和是，求出多边形的边数，从而求出答案即可． 【详解】解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为，每个外角的度数是， ∴多边形的边数为：， ∴一共走的路程为：（米）， 故答案为：300． 【变式5-3】（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具，通常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的五个度数有，则未标度数的角处应填 ． 【答案】 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查的是多边形的外角和的应用，根据多边形的外角和为，直接列式计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴未标度数的角处应填：； 故答案为： 类型六、多边形内角和与外角和综合 方法总结 1. 内外角关系：一个内角与相邻外角互补（和为180°），所有外角和为360°。 2. 列式求边数：设边数为n，利用内角和公式(n-2) ×180°与已知条件（如内角是外角几倍）建立方程求解。 解题技巧 1. 设外角为x：已知内角与外角倍数关系时，设外角为x，则内角为kx，由kx + x = 180°求出x，再用n = 求边数。 2. 方程法：若已知内角和，直接代入公式求n。 例6．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 【变式6-1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了正多边形的内角与周角、等腰三角形的性质，熟练掌握正八边形的内角和正五边形的内角求法是解题的关键．根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， 故， ， ． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． 由多边形内角和定理得，整理得，则，即可得出结论． 【详解】解：由图2可知，， 整理得：， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知，，则 ． 【答案】/80度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角与外角．根据任意多边形的外角和是进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 类型七、平面镶嵌 方法总结 1. 单个正多边形镶嵌：内角能整除360°，即 360，解得n=3,4,6。 2. 组合多边形镶嵌：拼接点处各内角之和为 360°，列方程求可能的边数组合。 解题技巧 1. 先算单个：判断一种多边形能否镶嵌，看其内角是否为 360°的约数。 2. 组合凑360°：多种多边形组合时，设各用a,b个，列方程a1 + b2 = 360°求整数解。 例7．（2025·陕西榆林·三模）如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长相等的正方形、正三角形和正n（）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内角的度数为 °． 【答案】150 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了镶嵌和正多边形的内角， 根据正方形的每一个内角为，正三角形的每一个内角为，可知正n边形的一个内角的度数为，可得答案． 【详解】解：正n边形的一个内角的度数． 故答案为：150． 【变式7-1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度． 【答案】12 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键．先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查正多边形的镶嵌，根据“半正密铺”图案的定义结合正三角形和正六边形的一个内角度数，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形的一个内角的度数为：，正六边形的一个度数为：， ∵， ∴每个顶点上和为的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角， ∴用记号表示为：； 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为 ． 【答案】/144度 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键；根据图形可知构成完整一个图形是一个正十边形，进而根据正十边形的内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：多边形是正十边形，且即为所用平行四边形中最大内角， ∴； 故答案为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可；本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵多边形的外角和为， ∴一个外角的度数为． 故选：B． 2．（25-26七年级上·四川成都·期末）从一个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】解：∵从n边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成个三角形， 又∵该多边形被分成6个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形， 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（    ） A．内角和不变，外角和增加 B．外角和不变，内角和增加 C．内角和不变，外角和增加 D．外角和不变，内角和增加 【答案】D 【分析】多边形的外角和恒为与边数无关；内角和公式为边数增加2时内角和增加． 本题主要考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和与外角和的计算公式是解题关键． 【详解】解：∵多边形的外角和恒为 ∴边数增加2后外角和不变； 设原边数为则原内角和为 新内角和为 ∴内角和增加． 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和的知识，首先确定五边形的内角和为，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，图中建筑可近似地看成一个五边形， 则其内角和为， ∵，， ∴ ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）与三角形类似，多条线段首尾依次相连就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形都能分割成三角形，其中的一种方法是连接多边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段就可以将多边形分割成三角形．如连接四边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把四边形分成2个三角形；连接五边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把五边形分成3个三角形；连接六边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把六边形分成4个三角形……按照这种分割方法，连接边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把边形分成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形，掌握从n边形的一个顶点所画的对角线将n边形分成个三角形是正确解答的关键．根据三角剖分的定义解答即可． 【详解】解：n边形有n个顶点，从一个顶点可以画条对角线，这条对角线将n边形分成个三角形． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26七年级上·广东佛山·月考）六边形从某一个顶点出发可以引 条对角线． 【答案】3 【分析】本题考查了多边形对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，即可得出答案． 【详解】解：六边形有6个顶点，从一个顶点出发可引出的对角线数量为条． 故答案为：3． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，n边形的内角和为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数是8， 故答案为：8． 9．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 10．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】2028 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、一元一次方程的应用等知识点，掌握从n边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形是解题的关键． 设多边形的边数为n，再根据多边形对角线的特点列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据多边形性质，从一个顶点出发作对角线，最多分成个三角形． 由题意可得，，解得：． 故答案为：2028． 11．（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】5，6，7 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故答案为：5，6，7． 三、解答题 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中的值． 【答案】36；40 【分析】本题考查了四边形内角和，解题的关键是结合四边形的内角和寻求等量关系，构建方程． 先根据四边形内角和为，用建立方程，对每个逐一求解即可． 【详解】解：图①：四边形的内角和等于， ， 解得． 图②：四边形的内角和等于， ， 解得． 14．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握边形内角和公式为． （1）直接根据多边形内角和公式求解即可； （2）由多边形内角和公式得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 15．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 16．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 【答案】（1）4个．三角形的个数与边数相等．（2）4个．三角形的个数比边数小1．（3）4个．三角形的个数比边数小2． 【分析】（1）数出四边形内点连接各顶点后得到的三角形个数，对比四边形的边数，找出两者的关系； （2）数出五边形边上的点连接其他顶点后得到的三角形个数，对比五边形的边数，找出关系； （3）数出六边形过顶点A作对角线后得到的三角形个数，对比六边形的边数，找出关系． 【详解】解：（1）连接后，得到，共4个三角形； ∵四边形边数为， ∴三角形个数等于边数． （2）连接后，得到，共个三角形； ∵五边形边数为， ∴三角形个数等于边数少． （3）过点作对角线，连接后，得到，共个三角形； ∵六边形边数为， ∴三角形个数等于边数少． 【点睛】本题考查多边形与三角形的个数关系，掌握根据点的位置分类分析三角形个数与多边形边数的对应关系是解题的关键． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 多边形的内角和与外角和的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、多边形内角和问题 类型二、多边形对角线的条数问题 类型三、多边形截角后的边数问题 类型四、多边形截角后的内角和问题 类型五、多边形外角和的实际应用 类型六、多边形内角和与外角和综合 类型七、平面镶嵌 压轴专练 类型一、多边形内角和问题 方法总结 1. 公式法：n边形内角和= (n-2)×180°。 2. 转化法：将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和推导。 解题技巧 1. 边数确定：已知内角和求边数时，用公式(n-2)×180°内角和，解出n。 2. 外角辅助：正多边形每个外角= ，可辅助求内角。 例1．（25-26八年级上·云南临沧·期末）一个六边形的内角和等于 度． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 【变式1-2】（2025·重庆·一模）若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 【变式1-3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 类型二、多边形对角线的条数问题 方法总结 1. 公式法：n 边形对角线条数= 。 2. 推导理解：每个顶点可作(n-3)条对角线（除去自身及相邻两点），总数为（每条重复一次）。 解题技巧 1. 边数代入：已知边数直接代入公式求对角线数。 2. 反求边数：已知对角线数，设方程 = m,解正整数n。 例2．八边形的内角和是 ，它共有条 对角线． 【变式2-1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）小宇用计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线． 【变式2-2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形共有 条对角线，九边形的内角和为 ． 类型三、多边形截角后的边数问题 方法总结 1.截角方式与边数变化规律 过顶点截：截线经过多边形的 1 个顶点，与对边相交，新边数 = 原边数（边数不变）。 过两边截（不过顶点截）：截线不经过任何顶点，与两条相邻边相交，新边数 = 原边数 + 1（边数加 1）。 特殊截法（过两个顶点截）：截线经过多边形的 2 个顶点（即沿对角线截取），新边数 = 原边数 - 1（边数减 1）。 2.分类讨论 根据截线经过顶点的数量，确定新多边形边数的变化规律： 经过 1 个顶点：边数不变； 不经过顶点：边数 + 1； 经过 2 个顶点：边数 - 1。 解题技巧 画图辅助：画出原多边形和截线，直观判断新图形边数。 记忆口诀：“过顶点不变，过两边加 1，过两点减 1”。 例3．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式3-1】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【变式3-2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【变式3-3】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 类型四、多边形截角后的内角和问题 方法总结 1. 边数定内角：先确定截角后新多边形的边数n'，再用公式 (n'-2)×180° 求内角和。 2. 分类讨论：截角方式不同（过顶点、过两边、不过顶点），新边数不同，内角和随之变化。 解题技巧 1. 画图定边数：画出原多边形和截线，直观得出新图形边数。 2. 公式直接算：边数确定后，直接代入内角和公式计算，无需复杂推导。 例4．（24-25八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【变式4-1】将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 【变式4-2】把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 【变式4-3】从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 类型五、多边形外角和的实际应用 方法总结 1. 外角和定值：任意多边形的外角和恒为360°，与边数无关。 2. 应用场景：常用于求正多边形边数（每个外角 = ）、求内角（内角+外角=180°）或解决行走路径问题。 解题技巧 1. 正多边形优先：已知外角度数，直接用n = 求边数。 2. 内外角转化：已知内角，先求外角 = 180读 - 内角，再求边数。 例5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ． 【变式5-1】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，小明从点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米． 【变式5-2】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 【变式5-3】（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具，通常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的五个度数有，则未标度数的角处应填 ． 类型六、多边形内角和与外角和综合 方法总结 1. 内外角关系：一个内角与相邻外角互补（和为180°），所有外角和为360°。 2. 列式求边数：设边数为n，利用内角和公式(n-2) ×180°与已知条件（如内角是外角几倍）建立方程求解。 解题技巧 1. 设外角为x：已知内角与外角倍数关系时，设外角为x，则内角为kx，由kx + x = 180°求出x，再用n = 求边数。 2. 方程法：若已知内角和，直接代入公式求n。 例6．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【变式6-1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 【变式6-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知，，则 ． 类型七、平面镶嵌 方法总结 1. 单个正多边形镶嵌：内角能整除360°，即 360，解得n=3,4,6。 2. 组合多边形镶嵌：拼接点处各内角之和为 360°，列方程求可能的边数组合。 解题技巧 1. 先算单个：判断一种多边形能否镶嵌，看其内角是否为 360°的约数。 2. 组合凑360°：多种多边形组合时，设各用a,b个，列方程a1 + b2 = 360°求整数解。 例7．（2025·陕西榆林·三模）如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长相等的正方形、正三角形和正n（）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内角的度数为 °． 【变式7-1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度． 【变式7-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可） 【变式7-3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为 ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川成都·期末）从一个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 3．（25-26八年级下·全国·周测）如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（    ） A．内角和不变，外角和增加 B．外角和不变，内角和增加 C．内角和不变，外角和增加 D．外角和不变，内角和增加 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）与三角形类似，多条线段首尾依次相连就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形都能分割成三角形，其中的一种方法是连接多边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段就可以将多边形分割成三角形．如连接四边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把四边形分成2个三角形；连接五边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把五边形分成3个三角形；连接六边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把六边形分成4个三角形……按照这种分割方法，连接边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把边形分成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·广东佛山·月考）六边形从某一个顶点出发可以引 条对角线． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ． 9．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 ． 10．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是 ． 11．（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为 ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 三、解答题 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中的值． 14．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 15．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 16．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $