专题05 二元一次方程（组）中含参数问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题05 二元一次方程（组）中含参数问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 压轴专练 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 方法总结 1. 紧扣定义：二元一次方程必须满足①含两个未知数；②含未知数项的次数为1；③是整式方程。 2. 列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程（组）并求解。 解题技巧 1. 系数排查：务必确保含未知数项的系数（含参数）不等于0，常为易忽略点。 2. 化简先行：若方程含括号或分母，先化为最简整式形式，再对照定义列条件。 例1．（2025八年级上·全国·专题练习）如果方程是一个二元一次方程，那么 ， ． 【答案】 1 0 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义列出方程求出m、n的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得：，． 故答案为：，． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如果是一个关于x，y的二元一次方程，那么的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，解题的关键是正确解方程组． 根据二元一次方程的定义列出关于a、b的方程，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若是关于，的二元一次方程，则的值 ． 【答案】0 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且，且， ∴， ∴； 故答案为：0． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程是关于的二元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义可得且，且，再进一步即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：且，且， 解得． 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 方法总结 1. 代入法：将已知解代入原方程，将二元方程转化为关于参数的一元方程（组）。 2. 整体构造：若求代数式值，不需单独求各参数，直接将代入后的等式组合变形整体得出。 解题技巧 1. 符号细心：代入时注意符号及系数，避免移项、合并时出现运算错误。 2. 整体代换：若求参数对称式（如m+n、mn），优先考虑两解代入后的方程整体相加减。 例2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知是方程的一个解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，属于基础题，熟知二元一次方程的解的概念是关键．把代入已知方程可得关于a的方程，解方程即得答案． 【详解】解：把代入方程，得，解得：； 故答案为． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】根据二元一次方程的解的定义,得出,整体代入代数式求值即可求解． 【详解】解：将和代入方程,得： 即 ∵ ∴原式= 故答案为：2 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键． 把代入可得，再把所求代数式化成含有的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入可得， ， 故答案为：11． 【变式2-3】（24-25七年级下·山东东营·开学考试）如果是方程的一组解，那么代数式的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．将代入方程得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， ∴． 故答案为：8 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 方法总结 1. 代入转化：将已知解代入原方程组，将方程组转化为关于参数的方程（组）。 2. 整体构造：若求关于参数的对称式（如m+n、mn），将代入后的等式进行加减组合整体求解。 解题技巧 1. 解参分离：将代入后得到的方程先化简，再将参数项与常数项分离。 2. 视而不求：不必先求每个参数的具体值，通过整体恒等变形直接导出所求代数式的值。 例3．（25-26七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，则 ， 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将代入中，进而利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 得，， 解得：， 将代入，可得， 解得：， 故答案为：；． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建南平·期末）若是方程组的解，则＝ ． 【答案】3 【分析】本题考查了方程组的解，求整式的值；将代入方程组，再将两个方程相加，即可求解；理解方程组的解，能用整体思想求解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 由得：， 解得：． 故答案为：3 【变式3-2】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如果是方程组的解，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确的计算是解题的关键． 将方程组的解代入方程组得到关于、的方程组，然后整体代入即可． 【详解】解：将代入方程组得：， ∴． 故答案为：5． 【变式3-3】（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，先把代入原方程组得到，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 方法总结 1. 情况对应：根据方程组解的情况（唯一解、无解、无数解），转化为系数比或常数比的关系。 2. 列式求解：利用 ≠ （唯一解）、 = ≠（无解）、三者相等（无数解）列方程（组）求参数。 解题技巧 1. 化为标准式：先将方程组整理成a1x+b1y=c1、 a2x+b2y=c2的标准形式。 2. 验证分母零：比例式求解时，注意分母含参数可能为零的情况，需分类讨论避免漏解。 例4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于的方程组，如果它的解与互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据方程组整理得到，再结合它的解与互为相反数，推出，解之，即可解题． 【详解】解：关于的方程组， 由①②得， 它的解与互为相反数， ， 解得； 故答案为：． 【变式4-1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查含参数的二元一次方程组，关键在于利用已知条件构造关于参数的方程，先把②①，得．再利用代入法可得新的方程，再解方程可得答案． 【详解】解：令， ②①，得． 方程组的解满足， ． ． 解得． 故答案为：4 【变式4-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足与的值之和等于6，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 先求出的值，再根据与的值之和等于6求解即可． 【详解】解：， 得， ∵与的值之和等于6， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4-3】关于x，y的方程组只有唯一的一组解，那么a的取值为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了含字母系数的二元一次方程组， 先根据方程组有唯一的解可知，进而得出答案. 【详解】解：∵关于x，y的方程组只有唯一的一组解， ∴， 解得. 把代入方程组得：， 解得：， 所以a的取值为：. 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 联立无关：若两个方程组有相同解，先解不含参的两个方程联立，求出公共解。 2. 代入含参：将公共解代入含参数的方程中，转化为关于参数的一元方程求解。 解题技巧 1. 优选无参：优先选择两个不含参数的方程联立，直接求出x、y的具体数值。 2. 整体代值：若求参数代数式，求出公共解后整体代入含参方程，避免重复解方程。 例5．（24-25八年级上·陕西西安·月考）已知方程组和方程组有相同的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同解方程组问题，根据方程组同解得出，解之求得x、y的值，代入另外两个方程得出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 将此代入得： ∴， 故答案为：1． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组与方程组的解相同，则 ． 【答案】3 【分析】考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值就是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系． 首先求出不含、的方程组的解，然后代入另外一个含有、的方程组从而得到一个关于、的方程组求解即可． 【详解】解：解方程组得 将代入二元一次方程组得 解得： 当，时，原式， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，根据题意可先组合得到解后再代入两外两个方程求出，进而求解即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得 ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组，熟练掌握是解题关键． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ①②，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； （2）把代入得， 解得， ． 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 解表参数：将方程组解用含参数的代数式表示。 2. 整数条件：根据x、y均为整数，结合整除性（倍数、因数）或范围讨论参数k的可能取值。 解题技巧 1. 分离整数：将解表达式分离为“整数部分 + 真分数部分”，将问题转化为分母整除分子。 2. 枚举验证：当参数为整数且在有限范围内时，可枚举所有可能值并回代检验x、y是否为整数。 例6．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案． 【详解】解：对方程组， ②－①×2，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：C． 【变式6-1】要使方程组有正整数解，求整数a的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，正确表示出y的值是解题关键．根据题意用a表示出y的值，进而得出符合题意的值． 【详解】解：， 由②得：， 故， 则， ∵方程组有正整数解，且a是整数 ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； 综上：满足题意的整数a的值是， 故答案为： 【变式6-2】已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数m的值是 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解，先解方程组，再根据非负整数解及正整数m求解． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组有非负整数解， ∴的值为：1或2或4， ∴m的值为0或1或3， ∴正整数m的值为：1或3． 故答案为：1或3． 【变式6-3】（2025七年级下·河南洛阳·竞赛）已知，关于x、y的二元一次方程组的解是正整数，求整数p的值． 【答案】5或7 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，通过加减消元法用p表示出x、y成为解题的关键． 先用含p的式子表示x和y，再根据题意得出整数p的值即可． 【详解】解： ②×3，得．③ ①-③，得，解得：， ②×5，得④ ④-①，得，解得：． ∵x，y是正整数， ∴，解得：． ∵p是整数， ∴p=5，6，7． 又∵x，y都是正整数， ∴当时，不合题意，舍去， ∴或7． 【变式6-4】关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【答案】(1)， (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． （1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解； （2）先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （3）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； （2）∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （3）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组有整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 【详解】解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解的应用，解题的关键是掌握解的定义． 将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将，代入方程得：， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 4．（2023七年级下·全国·专题练习）若关于，的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，相反数的定义，掌握方程的解法和相反数的定义是解题的关键． 由与互为相反数，可得，代入到方程组中得到、的值，进而可得的值． 【详解】解： 与互为相反数， ， 将代入中得：， 解得， ， 将，代入中得：， 解得， 故选：A． 5．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 6．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数，根据二元一次方程的定义，方程含有两个未知数x和y，且未知数的次数均为1，同时y的系数不能为零，由此可解． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， ，且， ，且， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于、的方程组，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：， 得， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知是方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于，的方程组与方程组同解，则 ， ． 【答案】 1 8 【分析】本题考查两个方程组同解求参数，先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 ，得， 解得 故答案为 1，8． 11．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程组的解求参数，先求出方程组的解，根据方程组的解为整数，为整数可得或或或或或，进而求出的值即可得到满足条件的所有整数，据此即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴或，，，，， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，通过解方程组，用参数a表示 x 和 y，再代入代数式，令其含a的系数为零，从而求出k的值． 【详解】解： 得，解得 把代入①得，解得 ∴ ， ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， 解得 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·吉林·月考）已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得，． ． 14．（25-26八年级上·全国·周测）已知是关于x，y的二元一次方程组，求的值． 【答案】2 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义由 求出答案后验证，代入求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的概念可知，． 由 ，解得或． 当时，； 当时，（不符合题意，舍去）． 把代入中，解得，所以． 15．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 16．（25-26八年级上·河南郑州·月考）已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) ① ② (2) 的值为． 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数． （1）①当时，该方程组为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由题意可得，即可得的值． 【详解】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得． 17．（24-25七年级上·湖南永州·月考）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05二元一次方程（组）中含参数问题的六类综合题型 月录 典例详解 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 压轴专练 典例详解 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 方法总结 1. 紧扣定义：二元一次方程必须满足①含两个未知数；②含未知数项的次数为1；③是整式方程。 2.列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程（组）并求解。 解题技巧 1.系数排查：务必确保含未知数项的系数（含参数）不等于0，常为易忽略点。 2.化简先行：若方程含括号或分母，先化为最简整式形式，再对照定义列条件。 例1.(2025八年级上·全国专题练习)如果方程2x2m--3y1=10是一个二元一次方程，那么 m= ，n= 【变式1-1】(25-26八年级上全国课后作业)如果2x2-1-3y26-15=10是一个关于x,y的二元一次方程， 那么ab的值是 【变式1-2】(25-26七年级下江苏扬州期中)若(m+4)xm3-(n-2)y-3=0是关于x,y的二元一次方程， 则m-n的值」 【变式1-3】(24-25七年级下全国课后作业)已知方程(m-2)xm3+(n+4)y3=5是关于x,y的二元一次 方程，求m,n的值. 1/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 方法总结 1.代入法：将已知解代入原方程，将二元方程转化为关于参数的一元方程（组）。 2.整体构造：若求代数式值，不需单独求各参数，直接将代入后的等式组合变形整体得出。 解题技巧 1.符号细心：代入时注意符号及系数，避免移项、合并时出现运算错误。 2. 整体代换：若求参数对称式（如m+n、mm),优先考虑两解代入后的方程整体相加减。 =2是方程r+y=-4的一个解，则a的值为 x=1 例2.(2025八年级上·全国·专题练习)已知 x=1 【变式2-1】(25-26八年级上全国·课后作业)已知 是方程ax+by=3的解，则代数式3a+6b-7的值 y=2 为 【变式2-2】(24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习)已知 =3是关于y的二元一次方程m+m=7的解， x=2 则4m+6n-3= x=a 【变式2-3】(24-25七年级下山东东营开学考试)如果 =b是方程x-3)=-3的一组解，那么代数式 5-a+3b的值是 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 方法总结 1.代入转化：将已知解代入原方程组，将方程组转化为关于参数的方程（组）。 2.整体构造：若求关于参数的对称式（如+n、mm),将代入后的等式进行加减组合整体求解。 解题技巧 1.解参分离：将代入后得到的方程先化简，再将参数项与常数项分离。 2.视而不求：不必先求每个参数的具体值，通过整体恒等变形直接导出所求代数式的值。 mx+。y=1 x=3 例3.（25-26七年级下·全国期末)己知方程组 2 的解是 y=-2'则m= ，n= 3mx+ny =5 y=2是方程组 x=1 v-bx=5的解，则a-b= ax-by=4 【变式3-1】(24-25七年级下福建南平期末)若 x=3 【变式3-2】(24-25七年级下·浙江杭州阶段练习)如果 y=2是方程组 ax+by=-1 r-y=-5的解，则 (3a-2b)3a+2b)=_ 2ax-by=2 (ar-bys-1的解为 x=1 【变式3-3】(23-24七年级下·吉林长春期中)若关于x、y的二元一次方程组 y=-1 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则代数式6a+4b-5的值是 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 方法总结 1.情况对应：根据方程组解的情况（唯一解、无解、无数解），转化为系数比或常数比的关系。 2. 列式求解：利用酷≠品（唯一解）、是：品≠号（无解）、三者相等（无数解）列方程（组）求 参数。 解题技巧 1.化为标准式：先将方程组整理成a+by=c1、a2x+b2y=c2的标准形式。 2.验证分母零：比例式求解时，注意分母含参数可能为零的情况，需分类讨论避免漏解。 例4.(2425七年级下.河北石家庄期中)已知关于x,y的方程组 x-y=4+3”如果它的解x与y互为相 3x+y=k 反数，那么k= 【变式4-1】(2025八年级上·全国.专题练习)己知关于x,y的二元一次方程组 3x-4y=2m+3 的解满足 5x+2y=5-m x+3y=-5,则m的值为 【变式4-2】(2025八年级上·全国.专题练习)已知关于，y的二元一次方程组 3x+5y=k+2 的解满足x与 2x+3v=k y的值之和等于6，则k的值为 -x+y=a 【变式4-3】关于x,y的方程组 只有唯一的一组解，那么a的取值为多少？ x-y=1 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 联立无关：若两个方程组有相同解，先解不含参的两个方程联立，求出公共解。 2.代入含参：将公共解代入含参数的方程中，转化为关于参数的一元方程求解。 解题技巧 1.优选无参：优先选择两个不含参数的方程联立，直接求出x、y的具体数值。 2. 整体代值：若求参数代数式，求出公共解后整体代入含参方程，避免重复解方程。 r-y=1和方程组 4x+y=3 例5.(24-25八年级上陕西西安·月考)已知方程组 x+b二1有相同的解，则 3x+2y=1 a-b= 【变式5-1】(2025八年级上·全国.专题练习)已知关于x,y的二元一次方程组 ar+2hy=14与方程组 2ax+by=16, 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x-y=-1, 的解相同，则2a-b=_ 4x-y=8 【变式5-2】(24-25七年级下·江苏连云港期末)如果方程组 x+y=3 x-y=1 my+x=1x-y=4049的解相同，则 和 m”= [3x+4y=7,「2x-3y=16 【变式5-3】(25-26八年级上江西鹰潭·月考)已知关于x,y的二元一次方程组 hx+w=1与ax-y=12 有相同的解. (1)求这两个方程组的相同解： (2)求(a-b)2025的值. 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 方法总结 1.解表参数：将方程组解用含参数的代数式表示。 2.整数条件：根据x、y均为整数，结合整除性（倍数、因数）或范围讨论参数k的可能取值。 解题技巧 1.分离整数：将解表达式分离为“整数部分+真分数部分”，将问题转化为分母整除分子。 2.枚举验证：当参数为整数且在有限范围内时，可枚举所有可能值并回代检验x、y是否为整数 x+y=3 例6.(24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习)二元一次方程组 ax+2y=4 的解为整数，则满足条件的所有整 数a的值的和为() A.-6 B.-8 C.8 D.10 【变式6-1】要使方程组 x-2y=0有正整数解，求整数a的值是 2x+ay=16 x-y=2 【变式6-2】已知方程组 +y=6若方程组有非负整数解，则正整数m的值是」 5x+3y=23 【变式6-3】(2025七年级下·河南洛阳竞赛)己知，关于x、y的二元一次方程组 的解是正整 x+y=p 数，求整数p的值. 【变式6-4】关于x,y的方程组 nx+(n+1y=n+2 (n是常数). x-2y+mx=-5 (1)当n=1时，直接写出第一个方程x+2y=3的所有非负整数解； (2)当n=1时，该方程组的解也满足x+y=2,求m: (3)当n=3时，如果方程组也有整数解，求整数m. 4/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上山东菏泽·期末)若方程mx-2y=3x+4是关于x,y的二元一次方程，则m满足() A.m≠-2 B.m≠0 C. D.m≠4 x=2 2.（25-26八年级上·陕西汉中.期末)若 =-3是关于“y的二元一次方程ax+2y=-2的一个解，则a的 值为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 2是元一次方程组物的解则+26的值为() x=1 3.(25-26八年级上·安徽宿州期末)若 ax+y=3 A.3 B.4 C.5 D.6 x+2y=2a-1 4.(2023七年级下·全国.专题练习)若关于x,y的方程组 的解满足x与y互为相反数，则a x-y=6 的值是() A.-1 B.1 C.2 D.4 x+y=5 5.(25-26七年级上·安徽毫州期末)已知关于x,y的二元一次方程组 2x-y=0有正整数解，其中k为整 数，则-k2+1的值为() A.-8或0 B.-8或-4 C.-4 D.0 6.(25-26七年级上·安徽宣城期末)已知关于x,y的二元一次方程组 (x-y=3a ，给出下列结论： x+3y=4-a ①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时，a=-2; ②当a=2时，方程组的解也是方程x+y=3a-2的解： ③无论a取什么数，x+2y的值始终不变其中正确的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题 7.(25-26八年级上陕西咸阳·期末)已知xa-3+(a-2)y=5是关于x,y的二元一次方程，则a的值是 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4x-3y=4k 8.(25-26八年级上陕西西安期末)已知关于x、y的方程组 2x+y=1-k,若x-2y=1,则k的值为」 x=1 9.(25-26八年级上·陕西西安·月考)已知 是方程组 ax+by=2025 y=-1 的解，则(a+b)(a-b)的值 bx-ay=1 是 10.(25-26七年级上湖南邵阳·期末)已知关于x,y的方程组 x-a=y 。与方程组 2x+y=5 同解，则 3x+2y= x+by=10 a=,b= 3x-2y=5的解为整数，则满足条件的所有整数m的 x-2y=9 11.(24-25八年级上·重庆期中)若关于x,y的方程组 和为一 x+3y=-a+2 12.(25-26八年级上·广东佛山期末)已知关于x,y的二元一次方程组 (a是常数)，若不论 x-4y=5a+7 a取什么实数，代数式x-y(k是常数)的值始终不变，则k的值为 三、解答题 13.(24-25七年级下·吉林月考)已知 x=2 是关于x,y的二元一次方程组 2x+(m-y=2 的解，求 y=1 nx+y=1 (m+n)25的值. 14.(25-26八年级上·全国·周测)已 3x-少：=1，是关于，y的二元一次方程组，求2m+如的值. (m+1)x2m+m=-2 x+2y=5 15.(25-26七年级上贵州铜仁月考)已知关于x、y的方程组 x-y=2 和 的解相同，求 ax+by=-1' 2ax+3by =3 (3a+b)2025的值. x-2y=m 16.(25-26八年级上河南郑州月考)已知 是关于x、y的二元一次方程组. x+y=4m-6 (1)①当m=3时，该方程组的解为； ②该方程组的解为 (用含m的式子表示). (2)若方程组的解也满足方程2x+3y=4,求m的值. 3x+y-9=0 17.(24-25七年级上湖南永州月考)已知关于x,y的方程组 3x-y+my-6=0 (1)请直接写出方程3x+y-9=0的所有正整数解： 6/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)无论数m取何值，方程3x-y+my-6=0总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中y恰为整数，m也为整数，求m的值 18.(24-25七年级下江苏扬州期中)换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通 常把未知数或变数称为元.所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使得复杂问题简单化.换元的实质是转化，关键是构造元和设元. 2x+3y+2x-3y=7 m,n=7 4 3 例如解方程组 ,令m=2x+3y,n=2x-3y.原方程组化为 43 2x+3y+2x-3y=8 m+”=8 ,解得 3 2 32 m=60 m=60 2x+3y=60 x=9 (n=-24' 把 =24代入-2+，”=2r-3,得29架 y=14··原方程组的解为 x=9 y=14 x+y+-y=马 (1)解方程组 3 26 4(x+y)+3y=-5+3x 3×2x+2-31=111 (2)解方程组 2+1+2×3y=86 [ax+by=G的解是 x=9 (3)已知关于x、y的方程组 ax2-4ax-2b,y=9-4a1的 ax+bay=c2 二5关于y的方程组 a,x2-4a2x-2by=c2-4a2 解是 7/7