专题04 二元一次方程组解法的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题04 二元一次方程组解法的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、解二元一次方程组 类型二、二元一次方程组错解复原问题 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 类型四、整体代入法解二元一次方程组 类型五、换元法解二元一次方程组 类型六、新定义型二元一次方程组 压轴专练 类型一、解二元一次方程组 方法总结 1. 代入消元：将一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一方程消元。 2. 加减消元：将两个方程适当变形后相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程。 解题技巧 1. 先观系数：优先选择系数简单或成倍数关系的未知数消元，使计算简便。 2. 检验代回：求出解后，代入原方程组检验，避免符号或计算失误。 例1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程组即可得； （2）先将方程组中的第一个方程的两边同乘以6去分母进行化简，再利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】（1）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． （2）解：方程组可化为， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）利用代入消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 由②得： 把③代入①得 解得 把代入③得 原方程组的解为 （2）解： 得： 解得： 把代入①得 解得 原方程组的解为 【变式1-2】（25-26七年级上·山东泰安·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握方程组的求解方法为解题关键． （1）利用代入消元法求解方程组的解即可； （2）利用加减消元法求解方程组的解即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 方程组的解为； （2）解：， 得③， 得④， 得：， 解得：， 将代入①，得， 原方程组的解是． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程； （2）先化简，再利用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解： 把代入，得 解得 把代入，得 解得 方程组的解为； （2）解： 方程整理为 ，得 解得 把代入，得 解得． 方程组的解为 类型二、二元一次方程组错解复原问题 方法总结 1. 错解代入法：将看错方程后得到的解，代入看错系数所在的方程（或未看错的其他方程），求出正确系数。 2. 还原方程组：由求出的正确系数和原方程组形式，重新解出正确解。 解题技巧 1. 区分错因：明确甲看错的是哪个方程中的哪个系数，代入对应方程建立方程。 2. 利用公共解：未看错方程的解是两方程组公共解，优先利用此条件求出正确系数。 例2．（25-26八年级上·河北保定·月考）有一道数学习题及其错误的解答过程如下： 解方程组： 解：，得……第一步 将代入①，得……第二步 解得……第三步 所以原方程组的解为……第四步 (1)该解答过程在第___________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析． 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组．①加②消去未知数，把二元一次方程组化成一元一次方程，求出，再把值代入①求出即可． 【详解】（1）解：该解答过程在第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：正确的解答过程如下： ， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南郴州·期末）小明解方程组时，给出两种解法的部分过程： 解法一：由，得．③ ，得， 解得． … 解法二：将方程①移项，得，③ 将③式代入方程②，得， 解得． … (1)上述两种解法中，解法一称为________，解法二称为________；（填“代入消元法”或“加减消元法”） (2)判断：解法________（填“一”或“二”）的解答过程有错误； (3)请将错误解答过程改正，并运用此方法解此二元一次方程组． 【答案】(1)加减消元法，代入消元法 (2)一 (3)改正见解析， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）解法一通过求出，运用了加减消元法，解法二通过将③式代入方程②求出运用了代入消元法； （2）解法一中的结果应为，解法二正确； （3）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：解法一通过求出，运用了加减消元法，解法二通过将③式代入方程②求出运用了代入消元法， 故答案为：加减消元法，代入消元法； （2）解：解法一中的结果应为，解法二正确； 故答案为：一； （3）解：由，得．③ ，得， 解得． 将代入得， 解得． ∴． 【变式2-2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③        第一步 得：            第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是        第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________． (2)第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________． (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 【答案】(1)①加减消元法，②等式的基本性质2 (2)②，计算减法时没有把负号转变为正号 (3)见解析 【分析】（1）根据二元一次方程组的定义即可解答； （2）根据二元一次方程组的运算即可解答． （3）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． （2）第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号； （3）解：②得： ③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是 【变式2-3】（25-26八年级上·山西运城·月考）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 方法总结 1. 观察结构：分析所求代数式与方程组中两个方程在系数、常数项上的对应关系。 2. 整体构造：将两个方程进行适当的加减乘除组合（如相加、相减、倍数后组合），整体得出代数式的值。 解题技巧 1. 配凑系数：根据需要求值的代数式系数，将原方程分别乘以适当常数再相加减。 2. 不求未知数：始终以方程组整体为操作对象，不单独求出x、y的值。 例3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，且，则为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将两个方程相加得出，再结合得出，求解即可得出结果，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）若方程组的解中，则等于 ． 【答案】2027 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组解的情况求参数，将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，然后利用已知条件求解即可． 【详解】解：， 将①和②相加，得： ， ， 两边同时除以5，得： ， ∵， ∴ ． 故答案为：2027． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，关键是观察方程组用恰当的方法求解；通过将两个方程相加，可直接得到 的值． 【详解】解：给定方程组： 将方程(1)和方程(2)相加，得： ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知x，y满足方程组，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过将方程组中的两个方程相减，直接得到的值． 【详解】解： 得， 故答案为：1． 类型四、整体代入法解二元一次方程组 方法总结 1. 识别整体：观察方程组中是否有某代数式重复出现（如x+y、x-y等）。 2. 整体替换：将该代数式视为一个整体，用新字母替换或直接代入另一方程，实现消元求解。 解题技巧 1. 构造整体：若未直接给出重复代数式，可先通过方程变形（如移项）构造出相同整体结构。 2. 代回还原：求出整体值后，需代入原方程或整体关系式，再求每个未知数的具体值。 例4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小敏还想到了一种新的解法： 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．请你利用“整体代入消元法”解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 把看成一个整体代入①中求出，再将求出的代入②求出即可. 【详解】解：将方程组变形为 将②代入①，得，解得． 将代入②，得， 所以原方程组的解是 【变式4-1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 【变式4-3】（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 类型五、换元法解二元一次方程组 方法总结 1. 引入新元：观察方程组中重复出现的复杂整体结构，设其为新未知数。 2. 简化求解：将原方程组转化为关于新元的简单方程组，解出新元后再代回求原未知数。 解题技巧 1. 注意取值范围：换元时需注意原式中分母不为零等隐含条件，避免产生增根。 2. 回代还原：求出新元的值后，必须建立关于原未知数的方程（组）继续求解。 例5．（24-25七年级下·吉林长春·月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等． （1）根据题意列式，计算出来即可； （2）根据题意利用换元法解方程即可； （3）先求出的值，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， 故答案为：； （2）解：， 设，， ∴， 得：，即：， 将代入①得：，即：， ∴，解得：； （3）解：， 得：，即：， 将代入②得：，即：， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 【变式5-2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： (1)方程组的解是，则方程组的解是______； (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可． 【详解】（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 【变式5-3】（24-25八年级上·山东青岛·月考）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______． (3)请你用上述方法解方程组 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”． （1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可； （3）令则原方程组为，再解出这个方程组即可求解． 【详解】（1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． （3）解：依题意，令则原方程组为， 即 得， 解得：， 得，， 解得： ∴ 得，， 解得： 得，， 解得：， ∴原方程组的解为． 类型六、新定义型二元一次方程组 方法总结 1. 理解新定义：仔细阅读题目，准确理解新定义的运算规则（如新符号的代数意义）。 2. 转化为常规：严格按照新定义的规则，将新定义型方程组转化为常规二元一次方程组求解。 解题技巧 1. 举例验证：先用简单数值代入新定义试算，确保理解无误后再进行转化。 2. 耐心套用：每一步都严格按定义操作，避免凭经验随意替换或跳步。 例6．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）对x，y定义一种新运算“※”，规定：，（其中x，y均为非零常数），若，，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，有理数的混合运算，根据新定义，得出方程组，利用加减消元法解方程组，得出m，n的值，然后再根据新定义，可得，把m，n的值代入即可得出答案． 【详解】解：由新定义，可得方程组为： ，得， 把代入①，得， 解得：． ． 【变式6-1】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 【变式6-2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体思想，掌握通过方程组中方程的直接相减，快速得到目标式子的值是解题的关键． 通过两方程相减可直接得到的值． 【详解】解：∵方程组， ∴， 即． 故选：D． 2．（25-26七年级上·安徽淮南·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组中两方程相减求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·江西九江·月考）已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新定义，列出二元一次方程组，进行求解即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选A． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解答的关键是结合方程的特点，看出可整体求出其值． 将方程组中的两个方程相加，即可直接求出的值. 【详解】解：给定方程组： 将两个方程相加，得：， 化简，得：， 两边同时除以，得：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）若关于，的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解的关系求参数，掌握整体的思想是解题的关键； 方程组中的两个方程相减并整理可得，结合可得，进一步求解即可. 【详解】解：方程组中的两个方程相减可得：， 即， ∵， ∴， 解得； 故答案为：. 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·周测）对于数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数．已知，则 ． 【答案】 【分析】先根据新运算中的规则得到方程组，求出与的值，再按新运算求1*1的值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 得：，解得：， 把代入得：， 则*=， 故答案为：． 【点睛】此题是一道定义新运算的题型，考查了解二元一次方程组，理解新运算规则并掌握解方程组的步骤是解题的关键． 10．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，分析阅读数学材料的能力，能够读懂阅读材料，分析清楚示范材料是解题的关键． 根据示例运用换元思想和整体思想可列出简易方程，再解方程即可解答． 【详解】方程组的解是， 由方程组得，， 解得，， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）先整理方程组为，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： 把代入，得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为； （2）解：∵， 整理得， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为． 12．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得：， 得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴原方程组的解为． 13．（24-25七年级下·河北唐山·月考）解方程组：甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①．得． 乙：由②得，把①代入③． (1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_______（填“甲”或“乙”）．请将这个方法改正并解出该方程组的解； (2)请你参照甲、乙的解题范例，再写出一种解题思路，并完成解答． 【答案】(1)甲，解题过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）根据甲二元一次方程组的方法验证甲、乙同学的计算方法即可求解； （2）运用代入法计算即可求解． 【详解】（1）解：②①得，， ∴出错的是甲同学， 正确解题过程：②①得，， 解得，， 把代入①得，， 整理得，， 解得，， ∴原方程组的解为， 故答案为：甲； （2）解：， 由①得，③， 把③代入②得，， 整理得，， 解得，， 把代入③得，， ∴原方程组的解为． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． (1)当时， ． (2)若，则 ． ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据条件列出方程组即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 故． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法化繁为简． 解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得，所以方程组的解为 请用此方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查整体代入法解二元一次方程组，掌握观察方程组的结构，将已知的代数式整体代入另一个方程以简化计算是解题的关键． 观察方程组，发现方程②直接给出了的值，因此可以将整体代入方程①，先求出的值，再代入②求出的值． 【详解】解： 把②代入①，得，解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为 16．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）依题意得， ， ，即， 解得． 17．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，，方程组的解为 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 18．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二元一次方程组解法的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、解二元一次方程组 类型二、二元一次方程组错解复原问题 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 类型四、整体代入法解二元一次方程组 类型五、换元法解二元一次方程组 类型六、新定义型二元一次方程组 压轴专练 典例详解 类型一、解二元一次方程组 方法总结 1.代入消元：将一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一方程消元。 2.加减消元：将两个方程适当变形后相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程。 解题技巧 1.先观系数：优先选择系数简单或成倍数关系的未知数消元，使计算简便。 2.检验代回：求出解后，代入原方程组检验，避免符号或计算失误。 例1.（25-26八年级上陕西西安期末)解二元一次方程组： 2x+y=4 (1) x-y=5 x y+2_ 2=-1 (2)23 3x+2y=14 【变式1-1】(25-26八年级上山西晋中期末)解下列方程组. 「4x+5y=11 2x-y=-5 [2x-5y=-21 (24x+3y=23 【变式1-2】(25-26七年级上山东泰安·期末)解下列方程组： 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3x-2y=46① y=3-5x② [7x+3y=4① (2) 5x-4y=9②' 【变式1-3】(25-26八年级上陕西西安期末)解方程组： x=2y 03x-2y=8 xy+1=1 (2)23 3x+2y=10 类型二、二元一次方程组错解复原问题 方法总结 1.错解代入法：将看错方程后得到的解，代入看错系数所在的方程（或未看错的其他方程），求出正确 系数。 2.还原方程组：由求出的正确系数和原方程组形式，重新解出正确解。 解题技巧 1.区分错因：明确甲看错的是哪个方程中的哪个系数，代入对应方程建立方程。 2.利用公共解：未看错方程的解是两方程组公共解，优先利用此条件求出正确系数。 例2.(25-26八年级上·河北保定·月考)有一道数学习题及其错误的解答过程如下： x-y=2① 解方程组： 2x+y=4② 解：①+②，得x=6.第一步 将x=6代入①，得6-y=2.第二步 解得y=4.…第三步 x=6 所以原方程组的解为 y=4第四步 (1)该解答过程在第 步开始出现错误. (2)请写出正确的解答过程. x-2y=3① 【变式2-1】(25-26七年级上湖南郴州期末)小明解方程组 时，给出两种解法的部分过程： 5x-13y=21② 解法一：由①×5，得5x-10y=15.③ 解法二：将方程①移项，得x=3+2y,③ 2/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③-②，得-10y-13y=-6, 将③式代入方程②，得5(3+2y)-13y=21, 6 解得y= 23 解得y=-2. ()上述两种解法中，解法一称为 解法二称为 ;(填“代入消元法”或“加减消元法”) (2)判断：解法 (填“一”或“二”)的解答过程有错误； (3)请将错误解答过程改正，并运用此方法解此二元一次方程组. 4x+3y=5① 【变式2-2】(24-25八年级上山西晋中·期末)下面是小华同学解方程组 2x-y=-5② 的过程，请你观察计 算过程，回答下面问题， 解：②×2得：4x-2y=-10③ 第一步 ①-③得：y=15 第二步 将y=15代入②得：x=5. 第三步 x=5 所以该方程的解是 y=15 第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 ；其中第一步这样做的依据是 (2)第 步开始出现了错误，错误的原因是： (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤， 【变式2-3】(25-26八年级上山西运城月考)下面是小林同学解二元一次方程 2x+3r16的过程，请 x-y=3 认真阅读并完成相应任务. 解： x-y=3,① 2x+3y=16.②0得，x=3+以③ 第一步 把③代入②，得2(3+y)+3y=16. 第二步 整理，得6+y+3y=16. 第三步 11 解得y= 2 第四步 17 x= 起)号代入@，得号.所以该方程组的解为 2 第五步 11 y= 2 任务一： 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①以上求解过程中，小林用了 消元法.（填“代入”或“加减”） ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解. 类型三、不解二元一次方程组整体求代数式的值 方法总结 1. 观察结构：分析所求代数式与方程组中两个方程在系数、常数项上的对应关系。 2.整体构造：将两个方程进行适当的加减乘除组合（如相加、相减、倍数后组合），整体得出代数式的值 解题技巧 1,配凑系数：根据需要求值的代数式系数，将原方程分别乘以适当常数再相加减。 2.不求未知数：始终以方程组整体为操作对象，不单独求出x、y的值。 x-2y=3m 例3.（25-26八年级上四川巴中·期末)已知关于x,y的二元一次方程组 2x+y=9，且3x-y=15,则 m为__ 2x+6y=k的解中x+y=2026,则k等 3x-y=4k-5 【变式3-1】(25-26八年级上·四川达州期末)若方程组 于 2x+y=-1 【变式3-2】(25-26八年级上山东青岛期末)己知x,y满足方程组 3x-8y=9,则5x-7y的值为」 2026x+2025y=5 【变式3-3】(25-26七年级上湖南怀化期末)已知x,y满足方程组 2025x+2026y=4'则x-y的值 为 类型四、整体代入法解二元一次方程组 方法总结 1.识别整体：观察方程组中是否有某代数式重复出现（如x+y、xy等）。 2.整体替换：将该代数式视为一个整体，用新字母替换或直接代入另一方程，实现消元求解。 解题技巧 1.构造整体：若未直接给出重复代数式，可先通过方程变形（如移项）构造出相同整体结构。 2.代回还原：求出整体值后，需代入原方程或整体关系式，再求每个未知数的具体值。 例4.(25-26八年级上·全国课后作业)在利用代入消元法”解完二元一次方程组5x+x=30 后，小 x+y=1② 4/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 敏还想到了一种新的解法： 解：把x+y=1看作整体代入①，得5x1-x=3,解得x=2.将x=2代入②，得y=-1,所以原方程组的 x=2 解为 y=-1 这种把x+y=1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”.请你利用“整体代入消元 6x-8y-2x=8 法解方程组5 3x-1=4y+9 【变式4-1】(25-26八年级上山西晋中期末)阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真 阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组 5(x+y)-x=3① x+y=1② 后，小宣还想到了一种新的解法： 解：把x+y=1看作整体代入①，得5x1-x=3,解得x=2.将x=2代入②，得y=-1,所以原方程组的解 x=2 为 y=-11 这种把x+y=1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”. 6x-8y-2x=8 请你利用“整体代入消元法”解方程组 5 3x-1=4y+9 【变式4-2】(25-26八年级上·安徽宿州月考)观察发现： x+y=4① 解方程组： 7(x+y)+y=14② 将①整体代入②得7×4+y=14. 解得y=-14 把y=-14代入①，x=18. x=18 故原方程组的解为 y=-14 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答. (1)实践运用： 2x-3y-2=0① 请用“整体代入法”解方程组 2x-3y+5+2y=921 7 (2)拓展提升： 5/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025x+2024y=2023① 请你仿照上面的解法解方程组， 2023.x+2022y=2021②· (提示，将x+y看作一个整体) 【变式4-3】(25-26七年级上·广西贵港期末)【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种 x+y-1=0 (① 解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”.例：解方程组 6(x+y)-y=3② 解：将方程①移项，得x+y=1③ 把方程③代入②，得6×1-y=3. 解得y=3. 把y=3代入③，得x+3=1. 解得x=-2. x=-2 “原方程组的解为 (y=3· 上面的解法中，将x+y看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想. 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： x--3=0 ① 2(x-y)+5x=1② 3x+4y-5=0 ① (2)3x+4y-2 -2x=-3② 3 类型五、换元法解二元一次方程组 方法总结 1.引入新元：观察方程组中重复出现的复杂整体结构，设其为新未知数。 2.简化求解：将原方程组转化为关于新元的简单方程组，解出新元后再代回求原未知数。 解题技巧 1. 注意取值范围：换元时需注意原式中分母不为零等隐含条件，避免产生增根。 2.回代还原：求出新元的值后，必须建立关于原未知数的方程（组）继续求解。 例5.（2425七年级下·吉林长春月考)阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 3m+5-2(n+3=-1, 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法.具体过程如下：解：把m+5, 3m+5)+2(n+3=7 n+3看成一个整体，设m+5=x,a+3=y, 则原方程组可化为 [3x-2y=-1 x=1 3x+2y=7 解得 y=2 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m+5=1 m=-4 n+3=2 解得 n=-1 3x+2y=5 x=I (1)己知方程组 的解为 3(a-2)+2(b+1)=5 则方程组 的解为_ 5x+y=6 y=1 5(a-2)+(b+1)=6 3m+n-2(m-n)=-2 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 3m+n+2(m-n=26 [5a+4b+c=13 (3)若 3a+2b+c=8则2a+b+e的值为- 【变式5-1】(24-25七年级下·河南南阳月考)阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组 2a-)十6+2)=6时，采用了一种整体换元的解法.把a-L,b+2看成一个整体，设a-1=xb+2=y,原 (a-1)+2(b+2)=6 x+2y=6 方程组可变为 2x+y=6 解得 x=2 a-1=2 b+2=2’ 解得 a=3 b=0 (1)模仿贝贝同学的“整体换元的方法，解方程组： x=10 (2)已知关于xy的方程组 ax+by=c 的解为 求关于m,n的方程组 f5a,(m+3)+3b,(m-2)=6的 ax+by=c2 y=6, 5a2(m+3)+3b(n-2)=c2 解。 【变式5-2】(24-25七年级下山西晋城期中)阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务， 2 2m+2)+3m- =1 善于思考的李同学在解方程组 ，采用了一种“整体换元”的解法. 2 3/2 7(m+2)+6n- 看成一个整体，设m+2=x, 2 解：把m+2,n- =y. x=0m+2=0 2x+3y=1 m=-2 原方程组可化为 (7x+6y=2'解得 1,. 21,∴.原方程组的解为 y=- n- -333 n=1 任务： 3x-2y=1 x=3 3(a+b)-2(a-b)=1 (1)方程组 9x-2y=1 的解是=4 则方程组 9a+b)-2a-b)=19的解是 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3(x+y)-4(x-y)=4 (2②仿照上述解题方法，用“整体换元“法解方程组x+y+x-y-1 2 6 【变式5-3】(24-25八年级上·山东青岛·月考)阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组 3m+5列+2口+3)=7时，采用了一种整体换元的解法.把m+5m+3看成一个整体，设 3(m+5)-2(n+3)=-1 3x-2y=-1 n+3=2,解得 1m=-4 m+5=x,n+3=y,则原方程组可化为 3x+2y=7，解得 n=-1 (x+y+x-y=4 (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元的方法，解方程组 3 5 x+y_x-y=-2 35 x=3 (2)拓展提升，已知关于x,y的方程组 ax-by=c ax-bay=c2 的解为少=4，请直接写出关于m、n的方程组 a,(m+2）-b,n=c 的解是 a2m+2)-b2n=c2 x+y_x-y (3)请你用上述方法解方程组 2 3 2(x+y)-3x+3y=25 类型六、新定义型二元一次方程组 方法总结 1.理解新定义：仔细阅读题目，准确理解新定义的运算规则（如新符号的代数意义）。 2.转化为常规：严格按照新定义的规则，将新定义型方程组转化为常规二元一次方程组求解。 解题技巧 1.举例验证：先用简单数值代入新定义试算，确保理解无误后再进行转化。 2.耐心套用：每一步都严格按定义操作，避免凭经验随意替换或跳步。 例6.(25-26八年级上·四川绵阳·开学考试)对x,y定义一种新运算“※”，规定：x※y=mx+y,（其中x, y均为非零常数)，若1※1=4,1※2=3，求2※1的值， 【变式6-1】(24-25七年级下·浙江杭州月考)对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ax+by, x田y=ax-by,其中a,b是常数.已知1#1=1,3⊕2=8. (I)求a,b的值： 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 xHty =4-m (2)若关于x,y的方程组 x⊕y=5m 的解也满足方程x+y=3,求m的值； 【变式6-2】(24-25七年级下山西吕梁期末)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by, x⑧y=ax-by,其中a,b是常数.例如：3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b，,已知3*2=-1,2⑧1=4，则根 3a+2b=-1 据定义可以得到 2a-b=4 回答下列问题： (1)a= ,b=」 (2)若(x*2y)+(x⑧y)=10,求x-y的值； x*y=8+m (3)若关于x,y的方程组 x⑧y=5m 的解也满足方程x-y=9,求m的值 【变式6-3】(24-25七年级下广东广州期中)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by, x⑧y=ax-by,其中a,b是常数.例如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b, 3a+2b=-1 已知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (1)a=,b=; (2)若x*2y+x⑧y=10,求x-y的值； x*y=8+m (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=9,求m的值； x☒y=5m (4)若关于x,y的方程组 a,x*hy=G的解为 a2x⑧b2y=c2 =5,则关于x,y的方程组 x=12 4a,(x+y月*5h(x-y)=G的 4a2x+y)⑧5b2x-y)=c2 解为 压轴专练 一、单选题 2x+y=10 1.(25-26七年级下·全国·课后作业)已知方程组 则x-y等于() x+2y=8 A.1 B.0 C.-1 D.2 4x+3y=k+3 2.(25-26七年级上·安徽淮南期末)已知关于x,y的二元一次方程组的解 3x+4y=-2 满足x-y=4, 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则k的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 ax+by=3 x=2 3.(25-26八年级上江西九江·月考)己知方程组 (5r-gw=1’ 小明同学正确解得 (y=3' 而小红同学因粗 x=3 心把c看错了，解得 y=6’ 由此可判断a,b,c的值为() A.a=3,b=-1,c=-3 B.a=3,b=-1,c=3 7 C.a=3,b=-1,c=3 D.a=-3,b=1,c=3 4.（24-25七年级下·重庆期中)对有理数x,y定义一种新运算“*”：x*y=ax+by-1,其中a,b为常数， 等式右边是通常的加法和乘法运算，已知3*2=21,3*(-2)=4，那么a+b的值为() A B.-3 D￥ 2a-3b=13 5.(24-25七年级上·安徽滁州·期末)若方程组 3a+5b=30.g的解是 a=8.3 =1.2’则方程组 2(x+2)-3y-1)=13 3(x+2)+5y-)=30.g的解是() x=8.3 x=10.3 x=10.3 A. D.{ y=1.2 B. y=1.2 C.6.3 y=2.2 y=0.2 二、填空题 [2x+y=17 6.(25-26七年级下全国·课后作业)已知方程组 x+2y=10 则x+y的值为 3x+y=5+m 7.(24-25七年级下·重庆渝北期中)若关于x,y的方程组 x+3y=-1 的解满足x-y=4,则 1m= cr+7少=8时，甲同学正确解 ax+by =22 8.(25-26八年级上陕西西安月考)在解关于x、y的方程组 x=3 (y=2’乙 同学把c看错了，得到的解为 x=-2 y=6,那么a-b+c的值为」 9.(25-26八年级上全国·周测)对于数x,y,定义一种新的运算“*”：x*y=ax+by,其中a,b为常数.己知 3*5=15,4*7=28,则1*1= 10.(25-26八年级上·全国假期作业)已知方程组{ ax+by=G的解是 x=3 ax+bay=c2 少=4，老师让同学们解方程组 10/13