6.3.2 二项式系数的性质（分层作业，6基础+能力&拓展提升题型）高二数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 题型一 二项式系数的增减性与最值 1．（25-26高二上·江西景德镇·期末）的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【解析】的二项展开式中二项系数最大为， 所以二项展开式中二项系数最大的项是和. 故选：C. 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 3．（24-25高二下·天津西青·月考）在的二项展开式中，第3､4项的二项式系数最大，则含项的系数为 . 【答案】 【解析】由题意可知，展开式共项，则， 则通项为， 令，得，则， 故含项的系数为. 题型二 展开式的二项式系数和问题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（   ） A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【解析】的展开式中二项式系数和为，，， 设为常数项，则， 故，解得，则. 故选：C. 2．（2025高二·全国·专题练习）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】1120 【解析】奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，则的展开式中二项式系数之和为256， 即，解得，二项式系数最大的项为， 故二项式系数最大的项的系数为1120． 3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在的展开式中，二项式系数的和为64. (1)求展开式中的含有项的系数； (2)展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因二项式系数和为，则. 则展开式通项为， 令，则含项的系数为； （2）由（1）令，但由题设可得， 则不满足题设，即展开式中不存在常数项. 题型三 展开式的系数和问题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的展开式系数和为729，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为的展开式系数和为729， 所以令，则，则，所以或， 因为，所以. 故选：C 2．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中的系数为（    ） A．10 B．32 C．40 D．80 【答案】C 【解析】根据题意，在中，令，可得，解得， 则二项式的展开式的通项为，其中， 令，则展开式中的系数为. 故选：C. 3．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【解析】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式的常数项为. 故选：B 题型四 展开式的奇（偶）项系数和问题 1．（25-26高三上·北京通州·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 令，得 ①，再令，得 ②. 得，，所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，当时，， 即①， 当时，， 即② ①②得， 所以， 故选：D. 3．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知，各项系数中若只有最大，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题中只有最大可知，是唯一的最大的二项式系数，因此展开式的中间项为第六项，可得，故A正确； 令，代入等式中可得，故B正确； 由，故C正确； 令，代入可得， 移项可得， 两边同乘，故，故D错误. 故选：ABC. 4．（25-26高二上·广西·月考）已知二项式展开式. (1)和的值； (2)求的值. 【解析】（1），. （2）令，得， 令，得， . 5．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）设，求下面各式的值． (1)求； (2)求； (3)求． 【解析】（1）； （2）令， 则， 两式相减得，； （3）因为， 两边分别求导，得2025， 令，得． 题型五 展开式系数绝对值的和问题 1．（24-25高二下·四川广元·期末）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 【解析】（1）令，得， 令，得， 所以． （2）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． （3）对两边同时求导， 可得， 令，可得． 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【解析】（1）因为的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共项，其中第6项是唯一中间项， 所以. （2）由， 可令，得， 再令，可得， 所以. （3）二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. 题型六 杨辉三角 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）观察图中的数所成的规律，则所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以，即． 故选：B 2．（20-21高二下·浙江·期末）杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《解析九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式． 借助上面的表示形式，判断与的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点： 1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为1， 2.从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·河北·期中）“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一．如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（    ） A．35 B．36 C．56 D．70 【答案】C 【解析】杨辉三角第8行的数据为：1  7  21  35  35  21  7  1， 第9行的数据为：1  8  28  56  70  56  28  8  1， 第10行的数据为：1  9  36  84  126  126  84  36  9  1， 第11行的部分数据为：1  10  45  ……， 第12条斜线上的数为：1 10 36 56 35 6，所以最大的数是56. 故选：C. 4．（24-25高二下·北京朝阳·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是 . 【答案】28 【解析】依题意，第8行的第7个数是. 1．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．1 B．2 C．20 D．24 【答案】C 【解析】由的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以项数为11项，所以，解得， 所以展开式的通项公式为， 令，所以. 故选：C. 2．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【解析】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故选：C 3．（25-26高二上·北京西城·期末）已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 令，则， 作差可得. 故选：A. 4．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则， 可得的二项展开式的通项， 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以当时，分别为是整数，即有理项有3项，可得. 故选：A. 5．（多选）（25-26高三上·湖南常德·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 6．（多选）（25-26高三上·河北邯郸·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A选项，，所以，A选项正确； 对于B选项，令，可得，B选项正确； 对于C选项，令，可得，与B选项分析中的式子相加，可得，所以，C选项错误； 对于D选项，设， 则， 令，可得，D选项正确． 故选：ABD. 7．（多选）（25-26高二上·江西鹰潭·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 【答案】AB 【解析】对于，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第15行，第4个数为， 倒数第4个数为，即，故D错误. 故选：AB. 8．（25-26高二上·北京·期末）若，则 ； ． 【答案】 【解析】令，代入得， 令，代入得， 代入，代入可得. 故答案为：①；② 9．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，若存在使得，则的最大值为 ． 【答案】49 【解析】展开式的通项为. 展开式的通项为. 已知， 所以是的系数，由上述两个展开式可知. 当为偶数时，； 当为奇数时，. 若，则，即. 因为指数函数在上单调递增，所以， 解得，又因为是奇数，所以. 故答案为：49. 10．（25-26高三上·江西抚州·期末）若，则 【答案】1 【解析】令，得； 令，得 ， 所以 ， 所以， 所以. 11．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）已知， 令，可得， 令，可得， 所以． （2）展开式的通项为． 当r为偶数时，； 当r为奇数时，． 所以． 令，则， 即． 12．（25-26高二上·浙江宁波·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数之和为． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数绝对值的和； (3)求展开式中系数最大的项． 【解析】（1）所有项的系数之和可以通过令 来得到： ， 根据题意：， 解得：. 二项式的展开式通项公式为 令指数 ，解得 ， 常数项系数为 所以展开式中的常数项为 . （2）对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，其绝对值为 ， 所有项的系数绝对值的和为： 构造二项式 ，其展开式为： 代入 ，得： ， 因此，. 所以展开式中所有项的系数绝对值的和为 . （3）对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，由于负系数小于正系数，系数最大的项必为正系数， 因此只需考虑偶数 ，记 （ 为偶数）， 设展开式中系数最大的项的系数为（ 为偶数）， 则，即， 化简得：， 整理得：， 又因为 为偶数， 所以只有满足上式， 所以 最大值出现在 处。计算： 对应项为： 1．（24-25高二下·湖北·月考）南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的展开式通项为， 又因为， 所以，， 当为奇数时，；当为偶数时，. 令，则， 所以，， 所以， 又， 故被除余，而被除余数为，被整除，被除余数为， 被除余数为， 故选：A. 2．(多选)（23-24高二下·江苏南通·期中）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（    ） A．第10行所有数字的和为1024 B． C．第6行所有数字的平方和等于 D．若第行第个数记为，则 【答案】ACD 【解析】A：第10行所有数字是二项式系数，因此第10行所有数字的和为，因此本选项正确； B： ，所以本选项不正确； C：所求的和表达式为：， 因为 ， 所以展开式中的系数为，即， 而， 因此有， 于是有，所以本选项正确； D：因为，所以本选项正确， 故选：ACD 3．（多选）（山东省/（济南市,青岛市,烟台市,德州市）2025-2026学年高二上学期创新班期末考试数学试题）杨辉三角第行，第1行为1的元素为组合数，满足，且具有对称性、递推性.下列关于杨辉三角与组合数的结论中，正确的有（    ） A．对任意正整数 B．对任意非负整数 C．第2026行中，奇数的个数为16 D．对任意正整数 【答案】ABD 【解析】对于A项，根据二项式定理，令， 得到，有正整数满足题意，故A正确； 对于B项，把个元素分成两组，每组个元素， 从第一组中选取个元素，有种选法； 从第二组中选取个元素，有种选法， 所以选法种数为，故B正确； 对于C项，根据题干定义，第2026行的元素为， 在杨辉三角中，与组合数对应的行中奇数个数为， 其中为的二进制表示中1的个数，2025的二进制表示为， 其中的个数，因此奇数个数为，故C错误； 对于D项，因为，又， 所以， 又， 可得，故D正确. 故选：ABD 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2 二项式系数的性质 题型一 二项式系数的增减性与最值 1．（25-26高二上·江西景德镇·期末）的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（24-25高二下·天津西青·月考）在的二项展开式中，第3､4项的二项式系数最大，则含项的系数为 . 题型二 展开式的二项式系数和问题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（   ） A．12 B．15 C．20 D．30 2．（2025高二·全国·专题练习）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为 ． 3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在的展开式中，二项式系数的和为64. (1)求展开式中的含有项的系数； (2)展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由. 题型三 展开式的系数和问题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的展开式系数和为729，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中的系数为（    ） A．10 B．32 C．40 D．80 3．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 题型四 展开式的奇（偶）项系数和问题 1．（25-26高三上·北京通州·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知，各项系数中若只有最大，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西·月考）已知二项式展开式. (1)和的值； (2)求的值. 5．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）设，求下面各式的值． (1)求； (2)求； (3)求． 题型五 展开式系数绝对值的和问题 1．（24-25高二下·四川广元·期末）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 题型六 杨辉三角 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）观察图中的数所成的规律，则所表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二下·浙江·期末）杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《解析九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式． 借助上面的表示形式，判断与的值分别是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河北·期中）“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一．如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（    ） A．35 B．36 C．56 D．70 4．（24-25高二下·北京朝阳·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是 . 1．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．1 B．2 C．20 D．24 2．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 3．（25-26高二上·北京西城·期末）已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高三上·湖南常德·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高三上·河北邯郸·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高二上·江西鹰潭·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 8．（25-26高二上·北京·期末）若，则 ； ． 9．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，若存在使得，则的最大值为 ． 10．（25-26高三上·江西抚州·期末）若，则 11．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 12．（25-26高二上·浙江宁波·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数之和为． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数绝对值的和； (3)求展开式中系数最大的项． 1．（24-25高二下·湖北·月考）南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 2．(多选)（23-24高二下·江苏南通·期中）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（    ） A．第10行所有数字的和为1024 B． C．第6行所有数字的平方和等于 D．若第行第个数记为，则 3．（多选）（山东省/（济南市,青岛市,烟台市,德州市）2025-2026学年高二上学期创新班期末考试数学试题）杨辉三角第行，第1行为1的元素为组合数，满足，且具有对称性、递推性.下列关于杨辉三角与组合数的结论中，正确的有（    ） A．对任意正整数 B．对任意非负整数 C．第2026行中，奇数的个数为16 D．对任意正整数 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $