第6章 6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教A版2019）

第六章 <<< 第2课时 二项式定理的综合应用 1.熟练掌握二项式定理. 2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题. 3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题. 4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题. 学习目标 假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？ 82 024天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？ 导 语 一、两个二项式积与三项展开式问题 二、整除和余数问题及近似值问题 课时对点练 三、二项展开式中的系数最值问题 随堂演练 内容索引 一 两个二项式积与三项展开式问题 (1)已知(2x-a)的展开式中x2的系数为-240，则该二项展开式中的常数项为　　　　.  例 1 -640 6 的展开式的通项公式为Tk+1=x6-k=2kx6-2k(k=0，1，2，3，4，5，6)， 令6-2k=1，得k=(舍去)； 令6-2k=2，得k=2. 故(2x-a)的展开式中x2的系数为-a22=-240，解得a=4. 令6-2k=-1，得k=(舍去)；令6-2k=0，得k=3. 故(2x-4)的展开式中的常数项为-4×23=-640. 7 (2)的展开式中的常数项是　　　　.  8 方法一　原式=， ∴展开式的通项为=(k1=0，1，2，…，5). 当k1=5时，T6=()5=4， 当0≤k1<5时，的展开式的通项为T = =(k2=0，1，2，…，5-k1). 9 令5-k1-2k2=0，即k1+2k2=5. ∵0≤k1<5且k1∈Z， ∴ ∴常数项为4+××+××()3 =4++20=. 10 方法二　原式==·[(x+)2]5=·(x+)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x+)10的展开式中含x5项的系数，即)5. ∴所求的常数项为=. 11 求解两个二项式积的问题时，分别对每个二项展开式进行分析，找到构成展开式中特定项的组成部分，分别求解再相乘，求和即得；求解三项展开式时，应根据式子的特点，转化为二项式(或二项式积)来解决. 反 思 感 悟 12 　 (1)已知的展开式中常数项为80，则 a=　　　.  跟踪训练 1 - 展开式的通项公式为Tk+1=(2x)5-k=25-kx5-2k，令5-2k=0，无整数解；令5-2k=-1，解得k=3，T4=；令5-2k=1，解得k=2，T3=80x； ∴展开式中的常数项为40-80a=80，解得a=-. 13 (2)在(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为　　　.  方法一　(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5， 含y2的项为T3=(x2+x)3y2， 而(x2+x)3中含x5的项为x4x=x5， 所以x5y2的系数为=30. 方法二　(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为=30. 30 14 二 整除和余数问题及近似值问题 (1)实数1.9965的近似值为　　　　.(精确到0.001)  例 2 1.9965=(2-0.004)5=×25-×24×0.0041+×23×0.0042-×22×0.0043 +×2×0.0044-×0.0045 ≈32-0.32+0.001 28=31.681 28， 将1.9965精确到0.001，故近似值为31.681. 31.681 16 (2)求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除. 32n+2-8n-9 =(8+1)n+1-8n-9 =8n+1+8n+…+82+8+-8n-9 =8n+1+8n+…+82+8(n+1)+1-8n-9 =8n+1+8n+…+82. 上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除. 17 反 思 感 悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了. (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式. (3)(1+a)n的近似计算的处理方法 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1+a)n≈1+na，因为这时展开式的后面部分a2+a3+…+an很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求.若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1+a)n≈1+na+a2等. 　(1)1.026的近似值(精确到0.01)为　　　　.  跟踪训练 2 由二项式定理得，1.026=(1+0.02)6=1+×0.02+×0.022+×0.023 +…+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13. 1.13 19 (2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 024+a能被13整除，则a=　　.  因为512 024+a=(52-1)2 024+a=522 024-522 023+522 022-… -×521+1+a能被13整除，故1+a能被13整除，又0≤a<13，故a=12. 12 20 三 二项展开式中的系数最值问题 　 (1)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为 A.-126 B.-70 C.-56 D.-28 例 3 √ 22 因为只有第5项的二项式系数最大，所以n=8，的展开式的通项为Tk+1=(-1)k(k=0，1，2，…，8)， 所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(-1)3=-56. 23 (2)(2024·全国甲卷)二项式的展开式中，各项系数的最大值是　　.  5 24 二项展开式的通项为Tk+1=xk， 0≤k≤10且k∈Z， 设展开式中第k+1项系数最大， 则⇒ 即≤k≤，又k∈Z，故k=8， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5. 25 反 思 感 悟 (1)求二项式系数的最大值，依据(a+b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解. (2)求展开式中项的系数的最大值，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组 求解二项展开式中系数的最值策略 即得结果. 　 (多选)已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是 A.二项展开式中各项系数之和为36 B.二项展开式中二项式系数最大的项为160 C.二项展开式中无常数项 D.二项展开式中系数最大的项为90x3 跟踪训练 3 √ √ 27 因为的二项展开式中二项式系数之和为64，所以2n=64，得n=6， 二项式的展开式的通项为 Tk+1=(2x)6-k=26-k， 对于A，令x=1，可得二项展开式中各项系数之和为36，所以选项A正确； 对于B，第4项的二项式系数最大，此时k=3， 则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3=160，所以选项B正确； 28 对于C，令6-k=0，得k=4，所以二项展开式中的常数项为26-4 =60，所以选项C错误； 对于D，令第k+1项的系数最大，则≤k≤， 因为k∈N*，所以当k=2时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为 T3=24x3=240x3，所以选项D错误. 29 1.知识清单： (1)两个二项式积与三项展开式问题. (2)整除和余数问题及近似值问题. (3)二项展开式中的系数最值问题. 2.方法归纳：分类讨论、方程思想等. 3.常见误区：分类不当，重复或遗漏. 课堂小结 30 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在x(1+x)6的展开式中，含x3项的系数为 A.30 B.20 C.15 D.10 √ 因为(1+x)6的展开式的通项为Tk+1=xk，所以x(1+x)6的展开式中含x3的项为x3=15x3，所以含x3项的系数为15. 2.9192被100除所得的余数为 A.1 B.81 C.-81 D.-1 1 2 3 4 √ 9192=(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+. 前91项均能被100整除，剩下两项为92×90+1=8 281，显然8 281除以100所得的余数为81. 故9192被100除所得的余数为81. 3.(x+y+3)5展开式中不含y的各项系数之和为 A.25 B.35 C.45 D.55 1 2 3 4 √ 由(x+y+3)5=[(x+3)+y]5，则展开式的通项为Tk+1=(x+3)5-kyk， 当k=0时，不含y的项， T1=(x+3)5=(x+3)5， 令x=1，可得不含y的各项系数之和为45. 4.在的展开式中，x3的系数等于-5，则该展开式各项的系数中最大值为　　　.  1 2 3 4 的展开式的通项 Tk+1=x5-k=(-a)kx5-2k， 令5-2k=3，得k=1，所以-a×5=-5，即a=1， 展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数， 故各项的系数中最大值为=10. 10 课时对点练 五 1.(x2+2)的展开式的常数项是 A.-3 B.-2 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 的展开式的通项为 Tk+1=(-1)k=(-1)k. 令10-2k=2或10-2k=0， 解得k=4或k=5. 故(x2+2)的展开式的常数项是 (-1)4×+2×(-1)5×=3. 2.设n∈N*，则×1n×80+×1n-1×81+×1n-2×82+×1n-3×83+… +×11×8n-1+×10×8n除以9的余数为 A.0 B.8 C.7 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为×1n×80+×1n-1×81+×1n-2×82+×1n-3×83+…+× 11×8n-1+×10×8n=(1+8)n=9n，所以除以9的余数为0. 3.(x3-2x2+x)3的展开式中x6的系数为 A.-1 B.1 C.-20 D.20 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (x3-2x2+x)3=x3(x-1)6，因此所求x6的系数即为(x-1)6的展开式中x3的系数， 由二项式定理知系数为(-1)3=-20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m'，则下列各数中与最接近的是 A.70% B.65% C.60% D.55% √ 由题意可知m'=m0(1-5%)10，则=(1-5%)10=1-×0.05+×0.052-×0.053+…+×0.0510≈1-0.5+45×0.052=61.25%. 5.已知(3x-1)(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为 A.25 B.3 C.5 D.33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 令x=1可得展开式中所有项的系数之和为2n+1=64，故n=5， 又(x+1)5的展开式的通项为Tk+1=·x5-k，则展开式中含x2的项的系数为3-=5. 6.(x-1)3(1-2x)4的展开式中x3的系数为 A.-15 B.65 C.81 D.129 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ (x-1)3的展开式的通项为Tr+1=(-1)rx3-r，0≤r≤3，r∈Z， (1-2x)4的展开式的通项为Tk+1=(-2)kxk，0≤k≤4，k∈Z， 则(x-1)3(1-2x)4的展开式中x3的系数为(-1)3·(-2)3+(-1)2·(-2)2+ (-1)1·(-2)1+(-1)0·(-2)0=32+72+24+1=129. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.的展开式中的常数项是　　　　.  == =-20，所以的展开式中的常数项为-20. -20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知(2x+my)(x-y)5的展开式中x2y4的系数为-20，则m的值为　　.  3 (2x+my)(x-y)5=2x(x-y)5+my(x-y)5， 因为(x-y)5的展开式中xy4的系数为，x2y3的系数为-， 所以(2x+my)(x-y)5的展开式中x2y4的系数为2-m=-20， 解得m=3. 45 9.用二项式定理证明1110-1能被100整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1110-1=(10+1)10-1 =1010+109+108+…+10+-1 =1010+109+108+…+10 =100(108+107+106+…+1)， 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110-1能被100整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在二项式的展开式中，第3项和第4项的二项式系数之比为. (1)求n的值及展开式中的常数项； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二项式的展开式的通项为Tk+1=xn-k=， 因为第3项和第4项的二项式系数之比为， 所以=，整理得10=3，解得n=12， 所以Tk+1=， 令12-k=0，得k=9， 所以常数项为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)展开式中系数最大的项是第几项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设展开式中系数最大的项是第k+1项，则 即≤k≤， 因为k∈N*，所以k=4， 所以展开式中系数最大的项是第5项. 11.若二项式(1+ax+x2)(1-x)8的展开式中含x2的项的系数为21，则a等于 A.3 B.2 C.1 D.-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 由题意得x2的系数为1××(-1)2+a××(-1)+1×=21，解得a=1. 12.若(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为 A.(2，3) B. C.[2，3] D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于二项式(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512， 所以2n=512，n=9，即(2+ax)9(a≠0)， 其展开式的通项为 Tk+1=·29-k·(ax)k=ak·29-k··xk， 依题意可知 解得2≤a≤3. 13.(多选)已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则 A.n=9 B.的展开式中的有理项有5项 C.的展开式中偶数项的二项式系数和为512 D.(7-a)n除以9余8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以=，由组合数的性质 知n=9，故A正确； 因为的展开式的各项系数之和为0，令x=1，得(1+a)9=0， 所以a=-1， 所以的展开式的通项为 Tk+1=(-1)k. 令18-k为整数，得k=0，2，4，6，8， 所以展开式中的有理项有5项，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 展开式中偶数项的二项式系数和为++…+=28=256，故C错误； 因为n=9，a=-1，则(7-a)n=(7+1)9=89=(9-1)9=99-98+…+9-1=9(98-97+…+-1)+8， 所以(7-a)n除以9余8，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若(2-x)(x+a)6的展开式中x5的系数为-3，则实数a=　　　　.  -或1 因为(x+a)6的展开式的通项为Tk+1=x6-kak(0≤k≤6)且k∈Z， 所以(2-x)(x+a)6的展开式中x5的系数为 2a-a2=12a-15a2=-3， 所以5a2-4a-1=0，即(5a+1)(a-1)=0， 所以a=-或a=1. 15.(多选)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有 A.存在n∈N*，使展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 的展开式的通项为 Tr+1=·3r·，r=0，1，2，…，n， 的展开式的通项为Tk+1=·x4k-n，k=0，1，2，…，n. 则二项式(n∈N*)的展开式的通项为·3r·· ·x4k-n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 未知数x的次数为+4k-n=--+4k， 令--+4k=0，即3r+n=8k，r=1，k=1，n=5是其中一组解，此时，·3r···x4k-n=×3×=75，故展开式中有常数项，且常数项不为0，故A正确，B错误； 令--+4k=1，即3r+n+2=8k，r=0，k=1，n=6是其中一组解，此时，·3r···x4k-n=×30×x3××x-2=6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知二项式=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥3且n∈N*).若|an-2|，|an-1|，|an|成等差数列. (1)求的展开式的中间项； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二项式的通项为 Tk+1=(-x)k=(-1)kxk，k=0，1，2，…，n， 则an=(-1)n=(-1)n， an-1=(-1)n-1=(-1)n-1， an-2=(-1)n-2=(-1)n-2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知2|an-1|=|an-2|+|an|， 即2×=1+，即n2-9n+8=0， 解得n=1(舍去)或n=8. 则的展开式的中间项是 T5=(-1)4x4=x4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求|ai|(i=0，1，2，…，n)的最大值. 设|ar|最大，则有 即解得5≤r≤6， 又r∈N*，则r=5或6. 所以|ai|(i=0，1，2，…，n)的最大值为|a5|=|a6|==7. 第六章 <<< $$ 第2课时　二项式定理的综合应用 [学习目标]　1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题. 导语　假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？ 82 024天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？ 一、两个二项式积与三项展开式问题 例1　(1)已知(2x-a)的展开式中x2的系数为-240，则该二项展开式中的常数项为　　　　.  答案　-640 解析　的展开式的通项公式为Tk+1=x6-k=2kx6-2k(k=0，1，2，3，4，5，6)， 令6-2k=1，得k=(舍去)； 令6-2k=2，得k=2. 故(2x-a)的展开式中x2的系数为 -a22=-240，解得a=4. 令6-2k=-1，得k=(舍去)； 令6-2k=0，得k=3. 故(2x-4)的展开式中的常数项为-4×23=-640. (2)的展开式中的常数项是　　　　.  答案　 解析　方法一　原式=， ∴展开式的通项为=(k1=0，1，2，…，5). 当k1=5时，T6=()5=4， 当0≤k1<5时，的展开式的通项为 T = =(k2=0，1，2，…，5-k1). 令5-k1-2k2=0，即k1+2k2=5. ∵0≤k1<5且k1∈Z， ∴或 ∴常数项为4+××+××()3=4++20=. 方法二　原式==·[(x+)2]5=·(x+)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x+)10的展开式中含x5项的系数，即)5. ∴所求的常数项为=. 反思感悟　求解两个二项式积的问题时，分别对每个二项展开式进行分析，找到构成展开式中特定项的组成部分，分别求解再相乘，求和即得；求解三项展开式时，应根据式子的特点，转化为二项式(或二项式积)来解决. 跟踪训练1　(1)已知的展开式中常数项为80，则a=　　　　.  答案　- 解析　展开式的通项公式为Tk+1=(2x)5-k=25-kx5-2k，令5-2k=0，无整数解；令5-2k=-1，解得k=3，T4=；令5-2k=1，解得k=2，T3=80x； ∴展开式中的常数项为40-80a=80，解得a=-. (2)在(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为　　　　.  答案　30 解析　方法一　(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5， 含y2的项为T3=(x2+x)3y2， 而(x2+x)3中含x5的项为x4x=x5， 所以x5y2的系数为=30. 方法二　(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为=30. 二、整除和余数问题及近似值问题 例2　(1)实数1.9965的近似值为　　　　.(精确到0.001)  答案　31.681 解析　1.9965=(2-0.004)5=×25-×24×0.0041+×23×0.0042-×22×0.0043+×2×0.0044-×0.0045 ≈32-0.32+0.001 28=31.681 28， 将1.9965精确到0.001，故近似值为31.681. (2)求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除. 证明　32n+2-8n-9 =(8+1)n+1-8n-9 =8n+1+8n+…+82+8+-8n-9 =8n+1+8n+…+82+8(n+1)+1-8n-9 =8n+1+8n+…+82. 上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除. 反思感悟　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了. (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式. (3)(1+a)n的近似计算的处理方法 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1+a)n≈1+na，因为这时展开式的后面部分a2+a3+…+an很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求.若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1+a)n≈1+na+a2等. 跟踪训练2　(1)1.026的近似值(精确到0.01)为　　　　.  答案　1.13 解析　由二项式定理得，1.026=(1+0.02)6=1+×0.02+×0.022+×0.023+…+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13. (2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 024+a能被13整除，则a=　　　　.  答案　12 解析　因为512 024+a=(52-1)2 024+a=522 024-522 023+522 022-…-×521+1+a能被13整除，故1+a能被13整除，又0≤a<13，故a=12. 三、二项展开式中的系数最值问题 例3　(1)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　) A.-126 B.-70 C.-56 D.-28 答案　C 解析　因为只有第5项的二项式系数最大，所以n=8，的展开式的通项为Tk+1=(-1)k(k=0，1，2，…，8)， 所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(-1)3=-56. (2)(2024·全国甲卷)二项式的展开式中，各项系数的最大值是　　　　.  答案　5 解析　二项展开式的通项为 Tk+1=xk， 0≤k≤10且k∈Z， 设展开式中第k+1项系数最大， 则⇒ 即≤k≤，又k∈Z，故k=8， 所以展开式中系数最大的项是第9项， 且该项系数为=5. 反思感悟　求解二项展开式中系数的最值策略 (1)求二项式系数的最大值，依据(a+b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解. (2)求展开式中项的系数的最大值，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果. 跟踪训练3　(多选)已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是(　　) A.二项展开式中各项系数之和为36 B.二项展开式中二项式系数最大的项为160 C.二项展开式中无常数项 D.二项展开式中系数最大的项为90x3 答案　AB 解析　因为的二项展开式中二项式系数之和为64，所以2n=64，得n=6， 二项式的展开式的通项为 Tk+1=(2x)6-k=26-k， 对于A，令x=1，可得二项展开式中各项系数之和为36，所以选项A正确； 对于B，第4项的二项式系数最大，此时k=3， 则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3=160，所以选项B正确； 对于C，令6-k=0，得k=4，所以二项展开式中的常数项为26-4=60，所以选项C错误； 对于D，令第k+1项的系数最大，则解得≤k≤， 因为k∈N*，所以当k=2时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为 T3=24x3=240x3，所以选项D错误. 1.知识清单： (1)两个二项式积与三项展开式问题. (2)整除和余数问题及近似值问题. (3)二项展开式中的系数最值问题. 2.方法归纳：分类讨论、方程思想等. 3.常见误区：分类不当，重复或遗漏. 1.在x(1+x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　) A.30 B.20 C.15 D.10 答案　C 解析　因为(1+x)6的展开式的通项为Tk+1=xk，所以x(1+x)6的展开式中含x3的项为x3=15x3，所以含x3项的系数为15. 2.9192被100除所得的余数为(　　) A.1 B.81 C.-81 D.-1 答案　B 解析　9192=(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+. 前91项均能被100整除，剩下两项为92×90+1=8 281，显然8 281除以100所得的余数为81. 故9192被100除所得的余数为81. 3.(x+y+3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　　) A.25 B.35 C.45 D.55 答案　C 解析　由(x+y+3)5=[(x+3)+y]5，则展开式的通项为Tk+1=(x+3)5-kyk， 当k=0时，不含y的项， T1=(x+3)5=(x+3)5， 令x=1，可得不含y的各项系数之和为45. 4.在的展开式中，x3的系数等于-5，则该展开式各项的系数中最大值为　　　　.  答案　10 解析　的展开式的通项 Tk+1=x5-k=(-a)kx5-2k， 令5-2k=3，得k=1，所以-a×5=-5，即a=1， 展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数， 故各项的系数中最大值为=10. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.(x2+2)的展开式的常数项是(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案　D 解析　的展开式的通项为 Tk+1=(-1)k=(-1)k. 令10-2k=2或10-2k=0， 解得k=4或k=5. 故(x2+2)的展开式的常数项是 (-1)4×+2×(-1)5×=3. 2.设n∈N*，则×1n×80+×1n-1×81+×1n-2×82+×1n-3×83+…+×11×8n-1+×10×8n除以9的余数为(　　) A.0 B.8 C.7 D.2 答案　A 解析　因为×1n×80+×1n-1×81+×1n-2×82+×1n-3×83+…+×11×8n-1+×10×8n=(1+8)n=9n，所以除以9的余数为0. 3.(x3-2x2+x)3的展开式中x6的系数为(　　) A.-1 B.1 C.-20 D.20 答案　C 解析　(x3-2x2+x)3=x3(x-1)6，因此所求x6的系数即为(x-1)6的展开式中x3的系数， 由二项式定理知系数为(-1)3=-20. 4.某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m'，则下列各数中与最接近的是(　　) A.70% B.65% C.60% D.55% 答案　C 解析　由题意可知m'=m0(1-5%)10，则=(1-5%)10=1-×0.05+×0.052-×0.053+…+×0.0510≈1-0.5+45×0.052=61.25%. 5.已知(3x-1)(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为(　　) A.25 B.3 C.5 D.33 答案　C 解析　令x=1可得展开式中所有项的系数之和为2n+1=64，故n=5， 又(x+1)5的展开式的通项为Tk+1=·x5-k，则展开式中含x2的项的系数为3-=5. 6.(x-1)3(1-2x)4的展开式中x3的系数为(　　) A.-15 B.65 C.81 D.129 答案　D 解析　(x-1)3的展开式的通项为Tr+1=(-1)rx3-r，0≤r≤3，r∈Z， (1-2x)4的展开式的通项为Tk+1=(-2)kxk，0≤k≤4，k∈Z， 则(x-1)3(1-2x)4的展开式中x3的系数为 (-1)3·(-2)3+(-1)2·(-2)2+(-1)1·(-2)1+(-1)0·(-2)0=32+72+24+1=129. 7.(5分)的展开式中的常数项是　　　　.  答案　-20 解析　==，上述式子展开式中的常数项只有一项，为=-20，所以的展开式中的常数项为-20. 8.(5分)已知(2x+my)(x-y)5的展开式中x2y4的系数为-20，则m的值为　　　　.  答案　3 解析　(2x+my)(x-y)5=2x(x-y)5+my(x-y)5， 因为(x-y)5的展开式中xy4的系数为，x2y3的系数为-， 所以(2x+my)(x-y)5的展开式中x2y4的系数为2-m=-20， 解得m=3. 9.(10分)用二项式定理证明1110-1能被100整除. 证明　1110-1=(10+1)10-1 =1010+109+108+…+10+-1 =1010+109+108+…+10 =100(108+107+106+…+1)， 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110-1能被100整除. 10.(11分)在二项式的展开式中，第3项和第4项的二项式系数之比为. (1)求n的值及展开式中的常数项；(6分) (2)展开式中系数最大的项是第几项.(5分) 解　(1)二项式的展开式的通项为Tk+1=xn-k=， 因为第3项和第4项的二项式系数之比为， 所以=，整理得10=3，解得n=12， 所以Tk+1=， 令12-k=0，得k=9， 所以常数项为=. (2)设展开式中系数最大的项是第k+1项，则 即解得≤k≤， 因为k∈N*，所以k=4， 所以展开式中系数最大的项是第5项. 11.若二项式(1+ax+x2)(1-x)8的展开式中含x2的项的系数为21，则a等于(　　) A.3 B.2 C.1 D.-1 答案　C 解析　由题意得x2的系数为1××(-1)2+a××(-1)+1×=21，解得a=1. 12.若(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为(　　) A.(2，3) B. C.[2，3] D. 答案　C 解析　由于二项式(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512， 所以2n=512，n=9，即(2+ax)9(a≠0)， 其展开式的通项为 Tk+1=·29-k·(ax)k=ak·29-k··xk， 依题意可知 解得2≤a≤3. 13.(多选)已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则(　　) A.n=9 B.的展开式中的有理项有5项 C.的展开式中偶数项的二项式系数和为512 D.(7-a)n除以9余8 答案　ABD 解析　因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以=，由组合数的性质知n=9，故A正确； 因为的展开式的各项系数之和为0，令x=1，得(1+a)9=0，所以a=-1， 所以的展开式的通项为 Tk+1=(-1)k. 令18-k为整数，得k=0，2，4，6，8， 所以展开式中的有理项有5项，故B正确； 展开式中偶数项的二项式系数和为++…+=28=256，故C错误； 因为n=9，a=-1，则(7-a)n=(7+1)9=89=(9-1)9=99-98+…+9-1=9(98-97+…+-1)+8， 所以(7-a)n除以9余8，故D正确. 14.(5分)若(2-x)(x+a)6的展开式中x5的系数为-3，则实数a=　　　　.  答案　-或1 解析　因为(x+a)6的展开式的通项为Tk+1=x6-kak(0≤k≤6)且k∈Z， 所以(2-x)(x+a)6的展开式中x5的系数为 2a-a2=12a-15a2=-3， 所以5a2-4a-1=0，即(5a+1)(a-1)=0， 所以a=-或a=1. 15.(多选)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有(　　) A.存在n∈N*，使展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 答案　AD 解析　的展开式的通项为 Tr+1=·3r·，r=0，1，2，…，n， 的展开式的通项为Tk+1=·x4k-n，k=0，1，2，…，n. 则二项式(n∈N*)的展开式的通项为·3r···x4k-n， 未知数x的次数为+4k-n=--+4k， 令--+4k=0，即3r+n=8k，r=1，k=1，n=5是其中一组解，此时，·3r···x4k-n=×3×=75，故展开式中有常数项，且常数项不为0，故A正确，B错误； 令--+4k=1，即3r+n+2=8k，r=0，k=1，n=6是其中一组解，此时，·3r···x4k-n=×30×x3××x-2=6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 16.(12分)已知二项式=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥3且n∈N*).若|an-2|，|an-1|，|an|成等差数列. (1)求的展开式的中间项；(6分) (2)求|ai|(i=0，1，2，…，n)的最大值.(6分) 解　(1)二项式的通项为 Tk+1=(-x)k=(-1)kxk，k=0，1，2，…，n， 则an=(-1)n=(-1)n， an-1=(-1)n-1=(-1)n-1， an-2=(-1)n-2=(-1)n-2， 由题意知2|an-1|=|an-2|+|an|， 即2×=1+，即n2-9n+8=0， 解得n=1(舍去)或n=8. 则的展开式的中间项是 T5=(-1)4x4=x4. (2)设|ar|最大，则有 即解得5≤r≤6， 又r∈N*，则r=5或6. 所以|ai|(i=0，1，2，…，n)的最大值为 |a5|=|a6|==7. 学科网（北京）股份有限公司 $$