第六章 计数原理（单元自测·培优卷）高二数学人教A版2019选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第六章 计数原理·培优卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 3．设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得3．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 4．【创新题·社会热点题】某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 5．已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．【创新题·数学文化题】苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 7．已知等比数列的前项和为，其中为展开式中的常数项，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D．不存在 8．【创新题·新定义题】定义“摆动数列”如下：存在正整数t，满足，且存在正整数s，满足．已知“摆动数列”共4项，若，则这样的数列共有（    ） A．52个 B．54个 C．56个 D．60个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面几个问题中是组合问题的有（　　） A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成无重复数字的两位数 D．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关） 10．从含有3件次品的20件产品中，任意抽出5件进行检验（    ） A．抽出的产品都是合格品的抽法种数为 B．抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法种数为 C．抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为 D．抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为 11．【创新题·数学文化题】在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．多项式的展开式中项的系数为 ． 13.某高中高一举行演讲比赛，共有10名学生参加，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率是 ． 14．装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有 种不同的铺设方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在二项式的展开式中，.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②所有奇数项的二项式系数和为256；③若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的常数项.(备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分) 16．(15分) 已知， (1)求； (2)求； (3)求． 17．(15分) 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个四位数； (2)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； (3)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 18．(17分) 【创新题·社会热点题】21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 (1)若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ (2)车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ (3)参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 19．(17分) 已知函数． (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第六章 计数原理·培优卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 3．设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得3．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 4．【创新题·社会热点题】某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 5．已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．【创新题·数学文化题】苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 7．已知等比数列的前项和为，其中为展开式中的常数项，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D．不存在 8．【创新题·新定义题】定义“摆动数列”如下：存在正整数t，满足，且存在正整数s，满足．已知“摆动数列”共4项，若，则这样的数列共有（    ） A．52个 B．54个 C．56个 D．60个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面几个问题中是组合问题的有（　　） A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成无重复数字的两位数 D．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关） 10．从含有3件次品的20件产品中，任意抽出5件进行检验（    ） A．抽出的产品都是合格品的抽法种数为 B．抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法种数为 C．抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为 D．抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为 11．【创新题·数学文化题】在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．多项式的展开式中项的系数为 ． 13.某高中高一举行演讲比赛，共有10名学生参加，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率是 ． 14．装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有 种不同的铺设方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在二项式的展开式中，.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②所有奇数项的二项式系数和为256；③若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的常数项.(备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分) 16．(15分) 已知， (1)求； (2)求； (3)求． 17．(15分) 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个四位数； (2)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； (3)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 18．(17分) 【创新题·社会热点题】21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 (1)若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ (2)车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ (3)参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 19．(17分) 已知函数． (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第六章 计数原理·培优卷（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D C D D A B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD AD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14．10 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【解析】（1）选择①：因为展开式前三项的二项式系数和等于46， 所以，即， 即，即， 解得或（舍去）.(7分) 选择②：因为所有奇数项的二项式系数和为256， 所以，即， 解得.（7分） 选择③：通项公式为， 则有，所以 因为展开式中第7项为常数项，即， 所以.（5分） 所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项， ，.(7分) （2）展开式通项为：，(10分) 令，， 展开式中常数项为第7项，常数项为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）令，得， 令，得， 所以．（5分） （2）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ．（10分） （3）对两边同时求导， 可得， 令，可得．（15分） 17．(15分) 【解析】（1）四位数的千位不能为，从数字中选不重复的四位数个数， 千位从中选，有种选法， 剩余三位从剩下的个数字中选个排列： 总数：.（4分） （2）用组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻 先排奇数，排列数：, 三个奇数从左到右形成个空隙， 个空隙中选个放入偶数（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）： 若空隙未被选：只能选空隙，偶数全排列种， 若空隙被选：空隙不能放，故从中选个放在空隙（种），剩余两个偶数放入另两个选中的空隙（种）， 包含空隙的空隙选择有种，每种对应种偶数排法，共种， 偶数排法总数：， 六位数总数：.（10分） （3）从小到大排列这些四位数，求第个数， 千位为时：后三位从剩余个数中选个排列，有个（第个）， 千位为时：也有个（第个）， 第个在千位为中排第个， 千位为时： 百位为：个（第个）， 百位为：个（第个）， 第个是，第个是.(15分) 18．(17分) 【解析】（1）若小明抽到红色外观的模型，则分橙色内饰个，米色内饰个，则对应的概率， 若小明抽到橙色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率． 抽到红色外观的模型同时是橙色内饰的有个，即， ，， 所以事件和事件独立．（5分） （2）依题意外观和内饰均为相同的概率， 外观和内饰都不同的概率， 仅外观相同或仅内饰相同的概率， 因为，即 所以一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都不同， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均相同， 三等奖为两个汽车模型仅外观相同或仅内饰相同． 所以抽到外观和内饰都不同的可以获得一等奖元，即小张能获得元奖金.（10分） （3）设车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型个（且）， 记事件“首位参观者恰好抽到一个外观是红色的且恰好抽到一个橙色内饰的汽车模型”为事件， 则， 依题意，即，即，解得或（舍去）， 又，所以， 即车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要个.(17分) 19．(17分) 【解析】（1）因为二项式展开式的通项为：， 又在中，唯一的最大的数是，由于， 所以，即，解得，即， 又，所以或.(6分) （2）， 原式；（10分） （3）①， ②， 在①、②添加，则得 ③， ④， ③+④得：， .（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第六章 计数原理·培优卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，可得：,且， 解得：. 2．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 【答案】A 【解析】由4名学生来自高一、高二各2名， 则随机选2名学生来自不同年级的选择有种，故选A 3．设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得3．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 【答案】D 【解析】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面）， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个. 故选：D 4．【创新题·社会热点题】某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【解析】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 5．已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为， 由的展开式通项为，含的项包含了和两项， 所以含的项为， 所以，可得. 故选：D. 6．【创新题·数学文化题】苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【解析】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 7．已知等比数列的前项和为，其中为展开式中的常数项，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D．不存在 【答案】A 【解析】展开式为， 令，解得，所以， 设等比数列的首项为，公比为， 则，， 因为，所以，解得， 所以， ， 则， 当为奇数时，，当为偶数时，， 因为随着的增大而减小， 所以当为奇数时，随着的增大而减小，且， 当为偶数时，随着的增大而增大，且， 所以当时，有最小值为. 故选：A 8．【创新题·新定义题】定义“摆动数列”如下：存在正整数t，满足，且存在正整数s，满足．已知“摆动数列”共4项，若，则这样的数列共有（    ） A．52个 B．54个 C．56个 D．60个 【答案】B 【解析】当四个数中只有两个数相同，先确定重复的数，有种情况，再排序有种情况（排除单调不减和不增的排列各1种），故有 当四个数中只有两对数时，先选2个不同的数，有种情况，再对两对数排序，有种情况（排除单调不减和不增的排列各1种），故有种情况； 当四个数中有三个数相同时，先选出两个数，再从选出的两个数中选出重复的数，有种情况，再排序，有种情况（排除单调排列2种），故有种情况； 所以总方法数有． 故选：B 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．下面几个问题中是组合问题的有（　　） A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成无重复数字的两位数 D．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关） 【答案】ABD 【解析】对A：选项中集合的元素可以是无序的，故A选项为组合问题； 对B：选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，故B选项为组合问题； 对C：如与为不同的数字，故需要考虑顺序，故C选项为排列问题； 对D：由甲到乙或乙到甲的距离是相同的，故此时票价相同，故D选项为组合问题. 故选：ABD. 10．从含有3件次品的20件产品中，任意抽出5件进行检验（    ） A．抽出的产品都是合格品的抽法种数为 B．抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法种数为 C．抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为 D．抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为 【答案】AD 【解析】对于A，20件产品中合格品有17件，则抽出的产品都是合格品的抽法种数为，A正确； 对于B，抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法种数为，B错误； 对于C，抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为，C错误； 对于D，抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为，D正确. 故选：AD. 11．【创新题·数学文化题】在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 【答案】AC 【解析】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为， 第行最后一项位于原数列第项， 对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确； 对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．多项式的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【解析】根据二项式定理可得： ， 由上可得含只能是这一项展开得到， 所以含项的系数为：， 即展开式中项的系数为. 13．某高中高一举行演讲比赛，共有10名学生参加，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率是 ． 【答案】 【解析】10名学生任意排有种，一班的3名学生恰好被排在一起， 所以一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率为. 14．装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有 种不同的铺设方法． 【答案】 【解析】设使用红色地砖块，黄色地砖块，绿色地砖块， 由题意得，，解得 ， 即使用红色地砖3块，黄色地砖2块，绿色地砖1块． 下面分四种情形讨论： ①3块红色地砖使用在第1，3，5块地砖的位置时，1块绿色地砖有种方式铺设， 剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有3种不同的铺设方法； ②3块红色地砖使用在第2，4，6块地砖的位置时，1块绿色地砖有种方式铺设， 剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有3种不同的铺设方法； ③3块红色地砖使用在第1，3，6块地砖的位置时，1块绿色地砖只能在第4，5块地砖的位置铺设， 有种方法，剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有2种不同的铺设方法； ④3块红色地砖使用在第1，4，6块地砖的位置时，1块绿色地砖只能在第2，3块地砖的位置铺设， 有种方法，剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有2种不同的铺设方法. 综上，共有 种不同的铺设方法． 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分） 在二项式的展开式中，.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②所有奇数项的二项式系数和为256；③若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的常数项.(备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分) 【解析】（1）选择①：因为展开式前三项的二项式系数和等于46， 所以，即， 即，即， 解得或（舍去）.(7分) 选择②：因为所有奇数项的二项式系数和为256， 所以，即， 解得.（7分） 选择③：通项公式为， 则有，所以 因为展开式中第7项为常数项，即， 所以.（5分） 所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项， ，.(7分) （2）展开式通项为：，(10分) 令，， 展开式中常数项为第7项，常数项为.（13分） 16．（15分） 已知， (1)求； (2)求； (3)求． 【解析】（1）令，得， 令，得， 所以．（5分） （2）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ．（10分） （3）对两边同时求导， 可得， 令，可得．（15分） 17．(15分) 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个四位数； (2)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； (3)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 【解析】（1）四位数的千位不能为，从数字中选不重复的四位数个数， 千位从中选，有种选法， 剩余三位从剩下的个数字中选个排列： 总数：.（4分） （2）用组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻 先排奇数，排列数：, 三个奇数从左到右形成个空隙， 个空隙中选个放入偶数（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）： 若空隙未被选：只能选空隙，偶数全排列种， 若空隙被选：空隙不能放，故从中选个放在空隙（种），剩余两个偶数放入另两个选中的空隙（种）， 包含空隙的空隙选择有种，每种对应种偶数排法，共种， 偶数排法总数：， 六位数总数：.（10分） （3）从小到大排列这些四位数，求第个数， 千位为时：后三位从剩余个数中选个排列，有个（第个）， 千位为时：也有个（第个）， 第个在千位为中排第个， 千位为时： 百位为：个（第个）， 百位为：个（第个）， 第个是，第个是.(15分) 18．(17分) 【创新题·社会热点题】21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 (1)若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ (2)车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ (3)参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 【解析】（1）若小明抽到红色外观的模型，则分橙色内饰个，米色内饰个，则对应的概率， 若小明抽到橙色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率． 抽到红色外观的模型同时是橙色内饰的有个，即， ，， 所以事件和事件独立．（5分） （2）依题意外观和内饰均为相同的概率， 外观和内饰都不同的概率， 仅外观相同或仅内饰相同的概率， 因为，即 所以一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都不同， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均相同， 三等奖为两个汽车模型仅外观相同或仅内饰相同． 所以抽到外观和内饰都不同的可以获得一等奖元，即小张能获得元奖金.（10分） （3）设车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型个（且）， 记事件“首位参观者恰好抽到一个外观是红色的且恰好抽到一个橙色内饰的汽车模型”为事件， 则， 依题意，即，即，解得或（舍去）， 又，所以， 即车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要个.(17分) 19．(17分) 已知函数． (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 【解析】（1）因为二项式展开式的通项为：， 又在中，唯一的最大的数是，由于， 所以，即，解得，即， 又，所以或.(6分) （2）， 原式；（10分） （3）①， ②， 在①、②添加，则得 ③， ④， ③+④得：， .（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $