6.2.3～6.2.4 组合与组合数 第1课时 组合与组合数的定义（分层作业，3基础+能力&拓展提升题型）高二数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合及组合数的定义 题型一 组合概念的理解 1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是(　　) A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d 2．（2025高二下·全国·专题练习）下列问题不是组合问题的是（　　） A．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B．平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 3．（多选）（25-26高二·全国·课堂例题）从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（   ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 4．（多选）（2026高二·全国·专题练习）下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合. 题型二 枚举法写组合 1．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________． 2．（25-26高二上·上海·课后作业）（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 3．（1981·全国·高考真题）在A、B、C、D四位候选人中， (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． 题型三 简单的组合问题 1．（25-26高二上·广西桂林·月考）某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）昆明马拉松活动中，将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为（   ） A．12 B．36 C．48 D．72 3．（25-26高三上·四川自贡·期末）四川火锅以麻、辣、鲜、香著称，是四川的美食代表.某四川火锅店的一桌食客选择了麻辣汤底，食材需由食客自行挑选，这桌食客要从牛肉、鸭肠、羊肉、毛肚、黄喉、耗儿鱼、虾滑、鸭血、黄腊丁中选6种，从菠菜、娃娃菜、豆芽、土豆、藕片、莴笋、冬瓜、蘑菇、豆腐皮、山药中选8种，则这桌食客的食材选择共有 种. 4．（25-26高二上·上海浦东新·月考）某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有 种．（用数字作答）． 5.有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 6.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 7．（24-25高二下·湖南衡阳·月考）某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种的选法？ 1．（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为(　　) A．224 B．112 C．56 D．28 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（   ） A．24种 B．15种 C．12种 D．6种 4．（25-26高二上·北京顺义·期末）唐宋古文运动中有八位核心人物，被后人统称为“唐宋八大家”．他们分别是唐代的韩愈、柳宗元；宋代的欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩，其中苏洵、苏轼、苏辙并称“三苏”．小明计划从唐代、宋代各选取一位人物进行研究．则小明选择的两位人物中包含“三苏”中某一位的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高二下·北京·学业考试）北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北·月考）袋中装有红色小球1个、黄色小球2个、绿色小球3个，小球除了颜色外完全相同，现从中取出5个小球排成一行，相同颜色的小球不能相邻，则不同的排法种数为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 7．（多选）（2026高三·全国·专题练习）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为－ D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 8．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________. 9．（22-23高二·全国·课后作业）“双减”政策落地，很多学校为响应国家政策实行了课后延时服务，旨在破解学校放学后、家长下班前学生无人看管的社会性难题.某学校在周一到周五依次安排篮球、美术、象棋、编程、美术延时课服务.某学生计划每周上两天不同的延时课，则该学生的选取方案有 种.(用数字作答) 10．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）为了提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，贵阳一中校团委将安排该校的三个年级志愿服务团队在暑假期间开展“环境保护、社区服务、博物馆讲解、支教活动、寻找非遗文化、AI智能便民活动”六项活动，并对活动开展提出了如下要求，每个年级开展2项活动，每项活动只安排一个年级，则这六项活动开展的不同安排方案种数是 .（用数字作答） 11．（24-25高二下·陕西汉中·期末）1679年，莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，其中，令，若，且，则n有 种情况.（用数字作答） 12．（2025·上海·三模）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为 . 13．（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目. (1)若任意选择三门课程，求不同的选法总数； (2)若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数. 14．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名； (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者； (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负． 1．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取2个数，则选取的2个数之和为偶数的方法数有（    ）种. A．6 B．10 C．16 D．36 2．(多选)（2025·河南·模拟预测）已知任何大于1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次序，则这种分解式是唯一的．例如，其中素数2和3称为24的素因数，且24的不同正因数个数为．完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子为1，2，3，且，则6为完全数，则（    ） A．97200的素因数为2，3，5 B．97200不同的正因数有96个 C．在小于30的非负偶数中有3个完全数 D．在小于30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为 3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将四张标有1､2､3､4的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按4-3-2-1取走卡片的顺序是“和谐序”，按1-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这4张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 . 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合及组合数的定义 题型一 组合概念的理解 1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是(　　) A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d 【答案】ABC 2．（2025高二下·全国·专题练习）下列问题不是组合问题的是（　　） A．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B．平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【解析】易知组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关， 在D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱， 乙参加独舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，与顺序有关， 因此是排列问题，不是组合问题，故D正确． 故选：D 3．（多选）（25-26高二·全国·课堂例题）从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（   ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 【答案】AB 【解析】因为减法与除法不满足交换律，取出的两个数与顺序有关， 所以C，D中问题不是组合问题． 因为加法与乘法满足交换律，取出的两个数与顺序无关， 所以相加问题是组合问题，相乘问题是组合问题． 故选：AB． 4．（多选）（2026高二·全国·专题练习）下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合. 【答案】BCD 【解析】选项A，组成三位数时，数字顺序会影响结果（如 123 和 321 是不同的数），属于排列问题； 选项 B，选 5 人组成篮球队，只需确定人员，无需考虑队员的顺序，属于组合问题； 选项 C，抽样调查只需确定 2 人，无需考虑这 2 人的顺序，属于组合问题； 选项 D，集合中的元素具有无序性，选 2 个数组成集合不考虑顺序，属于组合问题； 故选：BCD 题型二 枚举法写组合 1．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________． 【答案】ab，ac，ad，bc，bd，cd 【解析】可按a→b→c→d顺序写出，即 所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd. 2．（25-26高二上·上海·课后作业）（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【解析】（1）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有组合有： ，，，，，，，，，； （2）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有排列有： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，. 3．（1981·全国·高考真题）在A、B、C、D四位候选人中， (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． 【解析】（1）选举种数 (种)，所有可能的选举结果： AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC. （2）选举种数 (种)，所有可能的选举结果： ABC、ABD、ACD、BCD. 题型三 简单的组合问题 1．（25-26高二上·广西桂林·月考）某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【答案】D 【解析】从5个景点中选3个，有种不同的选法. 故选：D 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）昆明马拉松活动中，将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为（   ） A．12 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【解析】将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点， 每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为. 故选：B. 3．（25-26高三上·四川自贡·期末）四川火锅以麻、辣、鲜、香著称，是四川的美食代表.某四川火锅店的一桌食客选择了麻辣汤底，食材需由食客自行挑选，这桌食客要从牛肉、鸭肠、羊肉、毛肚、黄喉、耗儿鱼、虾滑、鸭血、黄腊丁中选6种，从菠菜、娃娃菜、豆芽、土豆、藕片、莴笋、冬瓜、蘑菇、豆腐皮、山药中选8种，则这桌食客的食材选择共有 种. 【答案】3780 【解析】依题意，得这桌食客的食材选择共有. 故答案为：3780 4．（25-26高二上·上海浦东新·月考）某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有 种．（用数字作答）． 【答案】20 【解析】从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有种. 故答案为：20 5.有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 【答案】(1)45　(2)21　(3)90 【解析】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数， 即C＝＝＝45. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C种方法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝＋＝＋＝15＋6＝21(种)不同的选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝×＝×＝90(种)． 6.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 【解析】(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C＝＝＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝＝35. 7．（24-25高二下·湖南衡阳·月考）某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种的选法？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，在甲乙外的剩下的18人中再选3人，即可求解； （2）根据题意，在甲乙外的剩下的18人中选5人，即可求解； 【解析】（1）根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加， 在剩下的18人中再选3人即可，有种选法； （2）甲乙均不能参加，在剩下的18人中选5人即可，有种选法； 1．（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【解析】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为(　　) A．224 B．112 C．56 D．28 【答案】B 【解析】由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为CC＝·＝112. 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（   ） A．24种 B．15种 C．12种 D．6种 【答案】A 【解析】第一步，从四层书架中选一层空着，有种方法； 第二步，将3本不同的书放入剩下的3层书架中，每层一本，有种方法； 则不同的放法总数有种. 故选：A. 4．（25-26高二上·北京顺义·期末）唐宋古文运动中有八位核心人物，被后人统称为“唐宋八大家”．他们分别是唐代的韩愈、柳宗元；宋代的欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩，其中苏洵、苏轼、苏辙并称“三苏”．小明计划从唐代、宋代各选取一位人物进行研究．则小明选择的两位人物中包含“三苏”中某一位的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】小明选择的两位人物总的选法有种， 设事件“小明选择的两位人物中包含“三苏”中某一位”， 事件的选法有，所以. 故选：C 5．（2025高二下·北京·学业考试）北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在4个著名景点中随机选择2个景点，总的选法有：， 其中包含故宫的有：， 则概率． 故选：C． 6．（24-25高二下·湖北·月考）袋中装有红色小球1个、黄色小球2个、绿色小球3个，小球除了颜色外完全相同，现从中取出5个小球排成一行，相同颜色的小球不能相邻，则不同的排法种数为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】D 【解析】不取红色小球时，排法种数为1； 剩下一个小球是黄色小球时，排法种数为2； 剩下一个小球是绿色小球时，当红色小球在两个黄色小球之间时，有种排法； 当红色小球不在两个黄色小球之间时，有种排法， 所以不同排法种数是. 故选：D 7．（多选）（2026高三·全国·专题练习）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为－ D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD 【解析】由题意得： 对于选项A：若任意选择三门课程，选法总数为，A错误； 对于选项B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法； 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，故B错误； 对于选项C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确； 对于选项D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法； ②选化学，不选物理，有种选法； ③物理与化学都选，有种选法. 故总数，故D错误. 故选：ABD 8．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________. 【答案】1∶2 【解析】∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝1∶2. 9．（22-23高二·全国·课后作业）“双减”政策落地，很多学校为响应国家政策实行了课后延时服务，旨在破解学校放学后、家长下班前学生无人看管的社会性难题.某学校在周一到周五依次安排篮球、美术、象棋、编程、美术延时课服务.某学生计划每周上两天不同的延时课，则该学生的选取方案有 种.(用数字作答) 【答案】 【解析】若该学生选择美术课，则可从周二、周五中随机选一天， 再从剩下的三天中随机选一天，有种不同的选取方案； 若该学生不选择美术课，则从剩下的三天中随机选两天即可， 有种不同的选取方案. 综上，该学生的选取方案的种数为. 故答案为： 10．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）为了提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，贵阳一中校团委将安排该校的三个年级志愿服务团队在暑假期间开展“环境保护、社区服务、博物馆讲解、支教活动、寻找非遗文化、AI智能便民活动”六项活动，并对活动开展提出了如下要求，每个年级开展2项活动，每项活动只安排一个年级，则这六项活动开展的不同安排方案种数是 .（用数字作答） 【答案】90 【解析】先从6项活动中选2项安排给高一年级，有种安排方案； 再从剩余的4项选2项安排给高二年级，有种安排方案，最后余2项安排给高三年级； 故安排方案有种. 11．（24-25高二下·陕西汉中·期末）1679年，莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，其中，令，若，且，则n有 种情况.（用数字作答） 【答案】120 【解析】因为，且， 所以这10个数中恰有3个1，其余为0， 故n有种情况. 12．（2025·上海·三模）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为 . 【答案】31 【解析】由题设，7个点任选3个减去从4个共线的点任选3个的情况，即为构成三角形的情况， 所以不同三角形的个数为个. 13．（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目. (1)若任意选择三门课程，求不同的选法总数； (2)若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数. 【解析】（1）在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目， 若任意选择三门课程，则不同的选法总数有种； （2）在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目， 若物理和历史不能同时选，则不同的选法总数有种. 14．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名； (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者； (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负． 问：全部赛程共需比赛多少场？ 【解析】(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝2×＝30(场)． (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)． (3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)． 1．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取2个数，则选取的2个数之和为偶数的方法数有（    ）种. A．6 B．10 C．16 D．36 【答案】C 【解析】根据题意，四个阴数即4个偶数：2､4､6､8，五个阳数即5即奇数：， 从中任选2个，使选出的2个数和为偶数，有2种情况， ①选出的2个数是2个偶数，有种选法， ②选出的2个数是2个奇数，有种选法， 一共有种选法. 故选：C. 2．(多选)（2025·河南·模拟预测）已知任何大于1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次序，则这种分解式是唯一的．例如，其中素数2和3称为24的素因数，且24的不同正因数个数为．完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子为1，2，3，且，则6为完全数，则（    ） A．97200的素因数为2，3，5 B．97200不同的正因数有96个 C．在小于30的非负偶数中有3个完全数 D．在小于30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为 【答案】AD 【解析】由，即97200的素因数为2，3，5，A对； 由题设，97200不同的正因数有个，B错； 由，，，，，，， ，，，，， ，，， 综上，只有是完全数，共2个，C错； 由C分析知，15个数中有2个完全数，故随机选两个数中至少有一个完全数的概率为，D对. 故选：AD 3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将四张标有1､2､3､4的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按4-3-2-1取走卡片的顺序是“和谐序”，按1-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这4张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 . 【答案】/ 【解析】只有当2号卡片是第一个或者第二个被取走时才不是“和谐序”， 当2号卡片被第一个取走时共有种取法， 当2号卡片被第二个取走时共有种取法， 而总共有种取法，所以取卡顺序是“和谐序”的概率为. 故答案为： 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $