6.2.3～6.2.4 组合与组合数 第2课时 组合数计算及性质（分层作业，4基础+能力&拓展提升题型）高二数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第2课时 组合数计算及性质 题型一 组合数的计算 1.(24-25高二下·广东江门·期末)计算的值是( ) A．41 B．61 C．62 D．82 2．（24-25高二下·广东清远·阶段练习）计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 3. (24-25高二下·广西南宁·期中)计算 ．(用数字作答) 4．求值： (1)3C－2C； (2)C＋C. 题型二 组合数性质的应用 1．（24-25高二下·广西来宾·阶段练习）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 2．(多选)（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正整数m满足，则 ． 4．（24-25高二下·河南·月考）若，则 . 5．（24-25高二下·广东东莞·月考）计算： ．  （用数字作答） 6．（24-25高二下·山西大同·月考） ． 题型三 解组合数方程或不等式 1．（25-26高三上·北京·月考）满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 3.（24-25高二下·山东临沂·期中）若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 4.(24-25高二下·上海宝山·期中)若 为正整数，则不等式 的解集是 5．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）若，则= . 题型四 证明组合数恒等式 1．证明：C＝C. 2．（24-25高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）等于（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25高二下·河南郑州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 4.(多选)(24-25高二下·广东广州·期中)已知m，且，则下列结论正确的是( ) A． B．若，则 C． D． 5．(多选)(2025高二·全国·专题练习)(多选题)下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是(    )． A． B． C． D．是一个常数 6．（多选）（25-26高二上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·浙江宁波·月考）（1）若，则x= . （2）不等式的解集为 . 8．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知，则满足的所有的和为 . 9．（23-24高三下·全国·课后作业）设，求证：． 10．（23-24高三下·全国·课后作业）求证： 11．（24-25高二下·山东济宁·月考）解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 1．(多选)（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）下列选项正确的是（    ） A．若 ，，则 B．若 ，则 C． D．若 且 ，则 2．(多选)（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）数列满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐波那契数列．若的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．存在实数，使得成等比数列 C． D． 3．（25-26高二上·上海·月考）从个男生和个女生（）中任选2个人当队长，假设事件表示选出的2人性别相同，事件表示选出的2人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，则的可能值组成的集合为 ． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第2课时 组合数计算及性质 题型一 组合数的计算 1.(24-25高二下·广东江门·期末)计算的值是( ) A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【解析】，，, 因此.故选：B. 2．（24-25高二下·广东清远·阶段练习）计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 【答案】B 【解析】． 故选：B． 3. (24-25高二下·广西南宁·期中)计算 ．(用数字作答) 【答案】 【解析】,故答案为： 4．求值： (1)3C－2C； (2)C＋C. 【解析】(1)3C－2C＝3×－2×＝148. (2)∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466. 题型二 组合数性质的应用 1．（24-25高二下·广西来宾·阶段练习）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【答案】B 【解析】由，得或，且， 解得或， 当时，， 当时，. 故选：B． 2．(多选)（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】已知，根据组合数的性质，可得， 根据组合数公式，则， 即，展开得，因式分解为， 解得或． 因为为正整数，所以，故A正确，B错误． 根据二项式定理， 令，可得， 即． 当时，，而， 所以， 故C错误． 当时，． 根据组合数的性质，可得， 故D正确． 故答案：AD． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正整数m满足，则 ． 【答案】5 【解析】因为，所以． 故答案为：5. 4．（24-25高二下·河南·月考）若，则 . 【答案】8 【解析】由组合数的性质，得， 所以， 所以，所以， 5．（24-25高二下·广东东莞·月考）计算： ．  （用数字作答） 【答案】35 【解析】方法一：； 方法二：. 6．（24-25高二下·山西大同·月考） ． 【答案】69 【解析】 ． 题型三 解组合数方程或不等式 1．（25-26高三上·北京·月考）满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由可得， 整理得，解得，且， 所以，又，所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由可得， 整理得，解得，且， 所以，又，所以. 故选：C. 3.（24-25高二下·山东临沂·期中）若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】由得，解得. 故选：D. 4.(24-25高二下·上海宝山·期中)若 为正整数，则不等式 的解集是 【答案】 【解析】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为.故答案为：. 5．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）若，则= . 【答案】3 【解析】由，可得， 即，整理得， 解之得或（舍） 题型四 证明组合数恒等式 1．证明：C＝C. 【证明】 ＝. 2．（24-25高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【解析】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】根据二项式系数和分子的值为，分母的值为代入原式得 故选：A. 2．（24-25高二下·河南郑州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得（舍去）或， 故. 3．（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【解析】由，得，解得， 所以 . 故选：B 4.(多选)(24-25高二下·广东广州·期中)已知m，且，则下列结论正确的是( ) A． B．若，则 C． D． 【答案】ABC 【解析】因为m，且，对于选项A：由排列与组合的含义可以推出，故A正确； 对于选项B：因为，整理得，解得或(舍去)，故B正确； 对于选项C：因为， 即，故C正确； 对于选项D：例如，则，可知，故D错误； 故选：ABC. 5．(多选)(2025高二·全国·专题练习)(多选题)下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是(    )． A． B． C． D．是一个常数 【答案】BD 【解析】由排列数公式知A不正确， ，B正确， 由组合数的性质可知，，故C不正确， D选项中，n应该满足，且，，解得， 因此，D正确．故选：BD． 6．（多选）（25-26高二上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A选项：，，两边相等，故A选项正确； B选项：，， ，，，不成立，B选项错误 C选项：，取，：， 因为，移项得：成立，C选项正确； D选项：， 由二项式定理：，取：成立，D选项正确； 故选：ACD 7．（22-23高二下·浙江宁波·月考）（1）若，则x= . （2）不等式的解集为 . 【答案】 5 【解析】（1）且， ，化简得， 解得（不合题意，舍去），； （2）∵，∴，即，解得. ∵，∴.∴的取值集合为. 故答案为：5；. 8．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知，则满足的所有的和为 . 【答案】5 【解析】由组合数的性质可得，解得， 又，则或，解得或， 故满足的所有的和为. 故答案为：5 9．（23-24高三下·全国·课后作业）设，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明： 故原式成立． 10．（23-24高三下·全国·课后作业）求证： 【解析】证法一： 若记，， 则由典例11知道， 所以 又有 ⑥和⑦相加，即得 ，这就是要证明的恒等式． 证法二： 根据组合数的计算公式直接可得 于是 ； 由此即得 11．（24-25高二下·山东济宁·月考）解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 【解析】（1）由题意得， 则， 则同除得， 同乘得到， 则，又，故解得. （2）因为，所以， 又因为，所以，解得. （3）由题意得， 即，因为，所以， 得到，则， 化简可得，解得或， 又，即，所以解得. 1．(多选)（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）下列选项正确的是（    ） A．若 ，，则 B．若 ，则 C． D．若 且 ，则 【答案】ABD 【解析】对A：， 又，所以，故A正确. 对B：因为， 所以，故B正确； 对C：因为，，…，，故C正确； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD 2．(多选)（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）数列满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐波那契数列．若的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．存在实数，使得成等比数列 C． D． 【答案】BC 【解析】由题意，． 对于，因为，，， 所以，，所以，故A错误． 对于B，若为等比数列，则设， 将代入得，， 即，则有解得或 所以存在实数，使得数列为等比数列，故B正确． 对于C，，则，即，所以，故C正确． 对于D，，又因为，，即， 所以，故D错误． 故选：BC． 3．（25-26高二上·上海·月考）从个男生和个女生（）中任选2个人当队长，假设事件表示选出的2人性别相同，事件表示选出的2人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，则的可能值组成的集合为 ． 【答案】 【解析】由事件的概率和事件的概率相等，即， 所以，可得， 所以为完全平方数，其中，且， 当时，所以，此时， 当时，所以，此时， 所以的可能值组成的集合为. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 【解析】（1）． （2）性质①不能推广，例如当时有意义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数． 证明：当时，有， 当时， ． （3）当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以， 因为时，，所以，即时，． 综上，当，m是正整数时，． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $