6.2.3～6.2.4 组合与组合数 第3课时 组合的综合应用（分层作业，9基础+能力&拓展提升题型）高二数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第3课时 组合的综合应用 题型一 无限制条件的组合问题 1．（24-25高二下·广西南宁·期中）学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（   ） A．12 B．20 C．24 D．120 2.（24-25高三下·广西·期中）某货架放有7包不同的薯片，6瓶不同的饮料，从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，不同的取法有（    ） A．19种 B．20种 C．126种 D．294种 3.（25-26高三上·河南·开学考试）某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有 种. 【答案】 【解析】恰好有个女生被选中时，共有种方法. 4.现有10名学生，男生6人，女生4人． (1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？ (2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？ (3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？ 题型二 代数中的组合问题 1．（24-25高二下·广东东莞·月考）从数字1，2，3，4，5，6中取两个数相加，所得的和共有（   ）个不同的偶数 A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二下·新疆克拉玛依·期中）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（    ）个 A．44 B．45 C．54 D．55 3.(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·江苏徐州·阶段练习)用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(   ) A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 5.(多选)(24-25高二下·山东济宁·期中)下列说法正确的是(   ) A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是 B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是 C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是 D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是 6.(24-25高二下·陕西安康·期末)从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为 ． 题型三 几何中的组合问题 1．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（    ）． A．60对 B．62对 C．72对 D．124对 2．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成的图形中，平行四边形共有（    ） A．25个 B．36个 C．100个 D．225个 3.(多选)(24-25高二下·广东江门·期末)在正方体中，下列说法正确的是(    ) A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个 4.(24-25高二下·安徽六安·期中)以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 ； 5.如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 题型四 “至少“与“至多”问题 1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A．C·C种 B．CC＋CC种 C．C－C种 D．C－CC种 2．（25-26高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480 3.（25-26高二上·广东清远·阶段练习）某医院有内科医生10名，外科医生6名，现选派5名参加某医疗队. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲､乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲､乙2人至少有1人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 4.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 题型五 相同元素的分组分配问题 1.（2026·高二·江苏苏州·期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 2.（2026·高二·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份， 即：种. 故选：A. 3.（2025·高二·新疆和田·阶段练习）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 4.(24-25高二下·江苏南京·期中)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有(    ) A．120 B．240 C．300 D．360 5.(2025高三·全国·专题练习)从3个箱子(每个箱子里的球足够多)里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种. 6.（2025高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ 题型六 不同元素的分组分配问题 1．（25-26高三上·河南·期末）某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（    ） A．120种 B．144种 C．240种 D．288种 2．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川泸州·一模）要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 4.(多选)(2025高三·全国·专题练习)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有( ) A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 5．(多选)（25-26高二上·江西景德镇·期末）五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（   ） A．所有可能的方法有125种 B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 6．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有 种．（用数字作答） （2）将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1，2，3，4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为 ． 7．（2025高三·全国·专题练习）将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数． (1)平均分成三堆； (2)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (3)平均分给甲、乙、丙三人； (4)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (5)一人得1本，一人得2本，一人得3本． 题型七 方程的解的个数问题 1．(25-26高二上·广东东莞·阶段练习)方程的正整数解的个数为(   ) A．15 B．35 C．40 D．20 2．(25-26高二上·安徽安庆·阶段练习)已知，，，则关于，，的方程共有(    )组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 题型八 其他组合模型 1．(25-26高二上·江西南昌·期末)在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有(    ) A．15个 B．20个 C．35个 D．56个 2．（24-25高二下·河北沧州·月考）已知集合为从到函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为 . 3．（25-26高二上·安徽芜湖·月考）甲、乙两人进行羽毛球比赛，先赢四局者获胜，决出胜负为止，则“甲获胜”所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有 种.（结果用数值表示） 4．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图) (1)图中有________个矩形； (2)从A点走向B点最短的走法有________种． 5．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名； (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者； (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负． 问：全部赛程共需比赛多少场？ 题型九 组合与概率的综合 1．（2024·青海·一模）从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁·期末）某地开展志愿服务，小蓝，小黄等人充当志愿者，现将他们均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（    ） A． B． C． D． 1．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．2400 B．1800 C．1500 D．2100 2．（2024·广西·三模）已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（    ） A．55个 B．70个 C．40个 D．35个 3．（25-26高二上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（   ） A．110种 B．140种 C．220种 D．280种 4．（2025·全国·模拟预测）2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（    ） A．1800 B．16800 C．14280 D．25200 5．（24-25高二下·江西景德镇·期中）总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球．则标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的概率为（   ） A． B． C． D． 7.(多选)(24-25高二下·广东深圳·阶段练习)用数字组成无重复数字的四位数，则( ) A．可组成个四位数 B．可组成个是的倍数的四位数 C．可组成各位数字之和为偶数的四位数有个 D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第个数为 8.(多选)(2026·重庆·模拟预测)如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)(    ) A．可以围成20个不同的正方形 B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等) C．可以围成516个不同的三角形 D．可以围成16个不同的等边三角形 9．（24-25高二下·陕西·月考）已知集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，集合C满足：①；②；③C中含有3个元素，则同时满足上面条件的集合C的个数为 . 10（2025·安徽安庆·二模）将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的概率为 . 11．（25-26高二上·江苏淮安·月考）将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共 种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共 种放法.（结果用数字作答） 12．（25-26高二上·福建·期中）泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥.北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家､文学家､茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史.现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有 种(用数字作答). 13．（2025高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ （4）把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？ 14．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图，从左到右有5个空格． (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答） (2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答） (3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）． 1.(25-26高二上·山东·阶段练习)方程的正整数解共有(   ) A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 2．（20-21高三·江苏·强基计划）如图所示，在等边三角形中，D，E，F是三边中点，在图中可以数出三角形中，任选一对三角形（不计顺序），如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“和谐三角形”，那么，图中“和谐三角形”共有 对． 3.（多选)(25-26高三上·江苏·开学考试)有方程，试讨论有序数对解的个数．下列分析正确的是(    ) A．若，，均为正整数，则解的个数为 B．若，，均为非负整数，则解的个数为 C．若，，均为正整数，且，，两两不等，则解的个数为341044 D．若，，均为正整数且满足，则解的个数为341044 4．（25-26高二上·福建漳州·期末）一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点处出发，每次随机地选择向上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，若移动5次蚂蚁仍在圆内部，则不同走法共有 种. 5．（25-26高二上·河南南阳·期末）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第3课时 组合的综合应用 题型一 无限制条件的组合问题 1．（24-25高二下·广西南宁·期中）学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（   ） A．12 B．20 C．24 D．120 【答案】A 【解析】第一步：从物理和历史中选择1科有种方法， 第二步：从其他4科中任选2科有种方法， 故总的选法共有， 故选：A 2.（24-25高三下·广西·期中）某货架放有7包不同的薯片，6瓶不同的饮料，从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，不同的取法有（    ） A．19种 B．20种 C．126种 D．294种 【答案】C 【解析】7包不同的薯片任取2包有种取法，6瓶不同的饮料任取1瓶有6种取法， 现从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料， 根据分步乘法计数原理得到不同的取法有种． 故选：C． 3.（25-26高三上·河南·开学考试）某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有 种. 【答案】 【解析】恰好有个女生被选中时，共有种方法. 4.现有10名学生，男生6人，女生4人． (1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？ (2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？ (3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？ 【解析】(1)从6名男生中选2人的组合数是＝15种． (2)分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合＝90种． (3)从10名学生中选2名的组合数＝45种． 题型二 代数中的组合问题 1．（24-25高二下·广东东莞·月考）从数字1，2，3，4，5，6中取两个数相加，所得的和共有（   ）个不同的偶数 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】六个数中，1，3，5是奇数，2，4，6是偶数，两个数相加，所得和为偶数， 则所取得两个数都为偶数，或者两个数都为奇数，则和为偶数共有个， 其中，， 综上所知，所得的和共有4个不同的偶数. 故选：B. 2．（24-25高二下·新疆克拉玛依·期中）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（    ）个 A．44 B．45 C．54 D．55 【答案】B 【解析】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字， 十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字， 为使个位上的数字小于十位上的数字， 当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况； 当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字， 较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有. 故满足题意的两位数共有个. 故选：B 3.(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为一个自然数从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”， 在0，1，2，3，…，9中任取4个数，其大小关系确定，所以“渐降数”共有个，故选：C. 4.(24-25高二下·江苏徐州·阶段练习)用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(   ) A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 【答案】A 【解析】若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 综上可得一共有个.故选：A 5.(多选)(24-25高二下·山东济宁·期中)下列说法正确的是(   ) A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是 B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是 C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是 D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是 【答案】BC 【解析】对于A：用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是，故A错误； 对于B：用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是，故B正确； 对于C：因为各位数字从左到右依次递增，所以排列方法唯一且不能出现重复数字， 所以这样的四位数有个，故C正确； 对于D：首先从其余个数字中选出个数字并排列好，有种， 再将1和3插入所形成的三个空中，则有种插法， 按照分步乘法计数原理可知一共有个数字，故D错误.故选：BC 6.(24-25高二下·陕西安康·期末)从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为 ． 【答案】20 【解析】八个连续整数不妨设为1,2,3,4,5,6,7,8, 先任选3个数，有种取法， 其中三个连续数有6种，分别为1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8； 三个数中只有两个数连续， 比如1,2，剩余第三个数需从4,5,6,7,8中任选1个，有5种， 同理7,8，剩余第三个数需从1,2,3,4,5中任选1个，有5种， 比如2,3，剩余第三个数需从5,6,7,8中任选1个，有4种， 同理，3,4；4,5；5,6；6,7均有4种， 所以此时共有种， 综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1， 共有种选法．故答案为：20． 题型三 几何中的组合问题 1．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（    ）． A．60对 B．62对 C．72对 D．124对 【答案】A 【解析】任意一个四边形恰有1对“和睦线”，故有（对）． 故选：A. 2．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成的图形中，平行四边形共有（    ） A．25个 B．36个 C．100个 D．225个 【答案】D 【解析】从平行直线中选2条， 再从平行直线选2条，即可确定1个平行四边形， 所以可确定平行四边形的个数为：个. 故选：D 3.(多选)(24-25高二下·广东江门·期末)在正方体中，下列说法正确的是(    ) A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个 【答案】ABD 【解析】对于A，每两点确定一条线段，则正方体的8个顶点可确定不同的线段有条，A正确； 对于B，直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱两底面在正方体相对面上， 以正方形的顶点为顶点的三角形有4个，从而正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个， 因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有个，B正确； 对于C，正方体顶点任取4个点，共有种选法， 其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，因此三棱锥共有个，C错误； 对于D，由选项C，知正方体四点共面的情况有12种，每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥， 因此四棱锥共有，D正确.故选：ABD. 4.(24-25高二下·安徽六安·期中)以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 ； 【答案】58 【解析】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 其中6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况， 所以以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58.故答案为：58 5.如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 【解析】(1)方法一　可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)． 其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)． 方法二　可作三角形C－C＝116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)． (2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)． 题型四 “至少“与“至多”问题 1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A．C·C种 B．CC＋CC种 C．C－C种 D．C－CC种 【答案】B 【解析】至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种抽法，(2)3件次品，2件正品，共CC种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有CC＋CC种． 2．（25-26高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480 【答案】 C 【解析】方法一 将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰有3个一等品”．由分类加法计数原理，得不同取法有（种）（ 方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种），故选C. 3.（25-26高二上·广东清远·阶段练习）某医院有内科医生10名，外科医生6名，现选派5名参加某医疗队. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲､乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲､乙2人至少有1人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 【解析】（1）只需从其他14人中选3人即可，共有（种）选法. （2）只需从其他14人中选5人即可，共有（种）选法. （3）分两类：甲､乙中有1人参加；甲､乙都参加. 则共有（种）选法. （4）方法一（直接法）至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 内科1人，外科4人；内科2人，外科3人；内科3人，外科2人；内科4人，外科1人. 所以共有（种）选法. 方法二（间接法）从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有（种）选法. 4.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 【解析】(1)C－C＝825(种)． (2)至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选， 所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法． (3)分两类： 第一类女队长当选，有C＝495(种)选法， 第二类女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法， 所以共有495＋295＝790(种)选法． 题型五 相同元素的分组分配问题 1.（2026·高二·江苏苏州·期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【答案】B 【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”， 故有， 故选：B. 2.（2026·高二·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 【答案】A 【解析】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完， 即将个球分成了份： 个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份， 即：种. 故选：A. 3.（2025·高二·新疆和田·阶段练习）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【答案】D 【解析】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法. 故选：D. 4.(24-25高二下·江苏南京·期中)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有(    ) A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【解析】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有(种)方法．故选：A 5.(2025高三·全国·专题练习)从3个箱子(每个箱子里的球足够多)里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种. 【答案】6 【解析】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种. 然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种． 6.（2025高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ 【解析】（1）法一：问题相当于先把7个相同的小球分成3堆，再分配到不同的盒子里. 把7个相同的小球分成3堆，有4种分法. 第一类，按照来分，有种方法； 第二类，按照来分，有种方法； 第三类，按照来分，有种方法： 第四类，按照来分，有种方法 综上，共有种方法. 法二：在7个相同的小球中间的6个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子， 每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆，会产生个空档， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （3）法一：空0个盒子共有种，空1个盒子共有种， 空2个盒子共有种，综上，共有种方法. 法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球， 则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空， 即在10个相同的小球中间的9个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. 题型六 不同元素的分组分配问题 1．（25-26高三上·河南·期末）某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（    ） A．120种 B．144种 C．240种 D．288种 【答案】C 【解析】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐， 先从5天中选出2天吃同一种套餐，然后将4种不同的套餐安排在这2天（作为一个整体）和另外3天中，则不同的方案共有种. 故选：C 2．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将本不同的杂志分成组，每组至少本，则三组书的数量分别为、、， 所以，不同的分组方法种数为. 故选：B. 3．（2025·四川泸州·一模）要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【解析】若一个村1名，另一村3名志愿者，则有种选法； 若一个村2名，另一个村2名志愿者，则有种选法， 所以不同的安排方法共有8+6=14种. 故选：B 4.(多选)(2025高三·全国·专题练习)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有( ) A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【解析】对于A，没有空盒子，即将4个球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A不正确； 对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，共有种方法，故B不正确； 对于C，恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先从4个盒中选1个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，与另外两个球对余下的3个盒子全排列， 则共有种方法，故C正确； 对于D，没有空盒子恰有1个小球放入自己编号的盒子，则可从4盒4球中选定标号相同的球和盒有种方法， 另外3个球3个盒不能互相对应共2种方法，则共有种方法，故D不正确．故选：ABD. 5．(多选)（25-26高二上·江西景德镇·期末）五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（   ） A．所有可能的方法有125种 B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 【答案】CD 【解析】对于选项A：因为每个人均有3个景点可以选择， 所以所有可能的方法有种，故A错误； 对于选项B：若小张同学必须去“夫子庙”，即小张的选择已经确定，不需要考虑， 所以不同的安排方法有种，故B错误； 对于选项C：若5个人都去一个景点，不同的安排方法有种； 若5个人都去其中2个景点（每个景点必须有同学去），不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有种，故C正确； 对于选项D：若每个景点必须有同学去，且小张和小李去同一个景点，则有： 若这个景点仅有2人去，不同的安排方法有种； 若这个景点有3人去，不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有种，故D正确； 故选：CD. 6．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有 种．（用数字作答） （2）将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1，2，3，4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为 ． 【答案】 90 10 【解析】（1）先选1选，再选2人，最后两人再一组，最后消序和排列，即（种）． （2）先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花． 这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中，所以不同的放法共有（种）． 故答案为：90；10. 7．（2025高三·全国·专题练习）将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数． (1)平均分成三堆； (2)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (3)平均分给甲、乙、丙三人； (4)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (5)一人得1本，一人得2本，一人得3本． 【解析】（1）将6本书平均分成三堆，不需要考虑顺序． 故有， 将6本书平均分成三堆共有15种不同的分法. （2）由于三堆书的本数各不相同，所以直接分组后，不会出现相同的分法． 故有． 所以6本书分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本共有60种不同的分法． （3）先将书平均分成三堆，再分给甲、乙、丙三人， 故有． 所以6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人共有90种不同的分法 （4）实际上和（2）的问题是等价的. 故有． 所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法． （5）由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以． 故有． 所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法. 题型七 方程的解的个数问题 1．(25-26高二上·广东东莞·阶段练习)方程的正整数解的个数为(   ) A．15 B．35 C．40 D．20 【答案】D 【解析】原问题相当于将7个相同的小球装入4个不同的盒子里，每个盒子中至少有1个小球， 可采用隔板法，将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空位上插入3个隔板， 故共有种方法.故选：D 2．(25-26高二上·安徽安庆·阶段练习)已知，，，则关于，，的方程共有(    )组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【答案】A 【解析】根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，每组至少1个， 第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解， 所以10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可， 所以共有组不同的解.故选：A 题型八 其他组合模型 1．(25-26高二上·江西南昌·期末)在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有(    ) A．15个 B．20个 C．35个 D．56个 【答案】D 【解析】若，则满足条件的点共有个； 若中只有2个相等，可知或，则满足条件的点共有个； 若互不相等，则满足条件的点共有个； 综上所述：满足条件的点共有个.故选：D. 2．（24-25高二下·河北沧州·月考）已知集合为从到函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为 . 【答案】 【解析】解：因为有两个不同的实数根，所以有两个元素与对应，有种情况； 然后集合中剩下的个元素，每个元素对应到中都有种对应形式，则有种，故函数个数为种. 3．（25-26高二上·安徽芜湖·月考）甲、乙两人进行羽毛球比赛，先赢四局者获胜，决出胜负为止，则“甲获胜”所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有 种.（结果用数值表示） 【答案】35 【解析】解：根据题意可知，先赢四局者获胜，则甲获胜时，最少需要四局比赛， ①当需要四局比赛，此时四局全为甲获胜，有1种情形， ②当需要五局比赛时，则最后一场为甲获胜， 在前四局中，有三局是甲获胜，此时有种情形， ③当需要六局比赛时，则最后一场为甲获胜， 在前五局中，有三局是甲获胜，此时有种情形， ④当需要七局比赛时，则最后一场为甲获胜， 在前六局中，有三局是甲获胜，此时有种情形， 最多需要七局比赛即可决出胜负，所以所有可能出现的情形数为：. 4．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图) (1)图中有________个矩形； (2)从A点走向B点最短的走法有________种． 【答案】(1)210　(2)210 【解析】(1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形C·C＝·＝210(个)． (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C·C＝·＝210(种)走法． 5．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名； (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者； (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负． 问：全部赛程共需比赛多少场？ 【解析】　(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝2×＝30(场)． (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)． (3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)． 题型九 组合与概率的综合 1．（2024·青海·一模）从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从五棱锥的6个顶点中随机选取4个的不同选取方法有种， 其中选取的4个顶点在同一个平面内的不同选取方法有种， 则所求概率． 故选：C. 2．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个. 从中随机选取两个素数有种情况， 其中被选取的两个素数之和为30的有，，共3种情况， 故所求概率为. 故选：A 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，事件总数有种， 将2个1放入3个2排好后形成的4个空隙中，有种， ， 故选：A. 4．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知随机取出4个不同的数共有种， 第二个数是6，则4个数中第二大的是6，所以有， 所以概率为. 故选：C. 5．（25-26高一上·辽宁·期末）某地开展志愿服务，小蓝，小黄等人充当志愿者，现将他们均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将他们人均分成三组的方法种数有， 小蓝和小黄不在同一组的方法种数有， 故小蓝和小黄不在同一组的概率. 故选：D 1．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．2400 B．1800 C．1500 D．2100 【答案】B 【解析】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下四个研学活动有1名教师负责， 故不同的分配方法种数为. 故选：B 2．（2024·广西·三模）已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（    ） A．55个 B．70个 C．40个 D．35个 【答案】A 【解析】若这三个数字里没有，则共有个， 若这三个数字里有，则共有个，则共有个. 故选：A. 3．（25-26高二上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（   ） A．110种 B．140种 C．220种 D．280种 【答案】D 【解析】1名医生和2名护士一组，另一组3名医生和3名护士有种分配方案； 1名医生和3名护士一组，另一组3名医生和2名护士有种分配方案； 2名医生和2名护士一组，另一组2名医生和3名护士有种分配方案． 故满足要求的不同的分配方案有种. 故选：D. 4．（2025·全国·模拟预测）2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（    ） A．1800 B．16800 C．14280 D．25200 【答案】B 【解析】分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式． 若是3，1，1，1，1，则有种； 若是2，2，1，1，1，则有种． 所以共有种. 故选：B． 5．（24-25高二下·江西景德镇·期中）总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 【答案】D 【解析】已知①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球. 我们先在②号杯子中放个小球，在③号杯子中放个小球， 这样就满足了每个杯子的最少放置要求.此时总共放了个小球， 还剩下个小球. 将问题转化为标准隔板法问题： 现在要把这10个相同的小球放入①、②、③号三个杯子中，且每个杯子至少放个小球. 这就相当于在10个小球形成的个间隔中插入个隔板， 将其分成组，每组对应一个杯子. 根据隔板法公式，所以方法数为. 根据组合数公式，可得（种）. 故选：D. 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球．则标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用先分组后排列来计数，结合古典概型概率公式即可求出概率. 【解析】将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，共有放法为：（种）， 若将标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的放法有：（种）， 所以将标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的概率为， 故选：C. 7.(多选)(24-25高二下·广东深圳·阶段练习)用数字组成无重复数字的四位数，则( ) A．可组成个四位数 B．可组成个是的倍数的四位数 C．可组成各位数字之和为偶数的四位数有个 D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第个数为 【答案】BCD 【解析】对于选项A：先安排千位上的数字，有种；再安排百位、十位和个位上的数字，有种； 根据分步乘法计数原理可得，共组成个四位数，故选项A错误； 对于选项B：因为的倍数的四位数个位上为或， 所以分为两类：当个位是时，有种；当个位上时，有种， ∴共有种，故选项B正确； C选项，先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，有，，，，，，，，； 再将每个组合中的四个数字排列组成一个四位数共种，故选项C正确； 对于选项D选：因为千位为的四位数有个； 千位为，百位为的四位数有个； 千位为，百位为的四位数有个； 共； 而千位为，百位为的四位数从小到大排列有：，，， 所以第个数为，故选项D正确.故选：BCD. 8.(多选)(2026·重庆·模拟预测)如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)(    ) A．可以围成20个不同的正方形 B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等) C．可以围成516个不同的三角形 D．可以围成16个不同的等边三角形 【答案】ABC 【解析】不妨设两个钉子间的距离为1， 对于选项A，由图知，边长为1的正方形有个，边长为的正方形有个， 边长为3的正方形有1个，边长为的有个，边长为的有2个，共有20个，选项A正确， 对于选项B，由图知，宽为1的长方形有个，宽为2的长方形有个， 宽为3的长方形有5个，宽为的有2个，共有24个，所以选项B正确， 对于选项C，由图知，可以围成个不同的三角形，所以选项C正确， 对于选项D，由图可知，不存在等边三角形，所以选项D错误，故选：ABC. 9．（24-25高二下·陕西·月考）已知集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，集合C满足：①；②；③C中含有3个元素，则同时满足上面条件的集合C的个数为 . 【答案】1084 【解析】由条件可知, 因为，且集合中有3个元素，所以个， 因为满足的集合有个， 所以既满足，又满足的集合有个. 故答案为：1084 10（2025·安徽安庆·二模）将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的概率为 . 【答案】 【解析】将3个1，3个2，3个3共9个数填入一共有种方法. 每行，每列的和为3的倍数有两种可能： ①每行或每列的数字相同，有种方法， ②每行或每列的数字1，2，3各一个，有种方法. 所以每行，每列的和都是3的倍数的概率为. 11．（25-26高二上·江苏淮安·月考）将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共 种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共 种放法.（结果用数字作答） 【答案】 1800 210 【解析】解：由题意得： 由6个不同小球分成5组，每组个数分别为1，1，1，1，2，不同的分组情况有种方法，再将5组球分别放入5个盒子共有种； 6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块板，共有种. 12．（25-26高二上·福建·期中）泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥.北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家､文学家､茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史.现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有 种(用数字作答). 【答案】 【解析】解：依题意相当于将个相同的小球，放入5个盒子中，且每个盒子不空，则在8个小球中的7个空档插入4个板，分为5堆，则有种分法，即通过的桥孔组合有种，再对4艘参赛船全排列有种排法，故共有种方法； 故答案为： 13．（2025高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ （4）把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？ 【解析】（1）法一：问题相当于先把7个相同的小球分成3堆，再分配到不同的盒子里. 把7个相同的小球分成3堆，有4种分法. 第一类，按照来分，有种方法； 第二类，按照来分，有种方法； 第三类，按照来分，有种方法： 第四类，按照来分，有种方法 综上，共有种方法. 法二：在7个相同的小球中间的6个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子， 每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆，会产生个空档， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （3）法一：空0个盒子共有种，空1个盒子共有种， 空2个盒子共有种，综上，共有种方法. 法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球， 则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空， 即在10个相同的小球中间的9个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （4）由题意得盒子相同，按照球的个数可以分为，共4种， 第一类，按照来分，有种方法； 第二类，按照来分，有种方法； 第三类，按照来分，有种方法： 第四类，按照来分，有种方法 综上，共有种方法. 14．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图，从左到右有5个空格． (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答） (2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答） (3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）． 【解析】（1）分2步：①第三个格子不能填0，则0有4种选法； ②将其余的4个数字全排列安排在其他四个格子中有种情况， 则一共有种不同的填法； （2）根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况， 第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况， 同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况， 则五个格子共有种不同的涂法； （3）法一：根据题意，有一家企业与2位校长谈，其余4家企业只与1位校长谈， 第1步：从5家企业中选一家， 第2步：从3位校长中选2位， 第3步：从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长， 第4步：在第2步选中的两位校长，每位还要安排一家企业， 因此有种． 法二：五家企业记为A，B，C，D，E，把这五家企业分为3份， 如，，， 含有E的这一份要从A，B，C，D取一家组成2家，如取A得， 前面分三份会出现，因此有， 然后再分给3位校长， 因此总排法有种． 1.(25-26高二上·山东·阶段练习)方程的正整数解共有(   ) A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 【答案】B 【解析】对于方程， 设，则， 当时，，因为为偶数，则也为偶数，所以可以为， 时，只有一种解，此时， 由隔板法可知，将8个单位长度分成3个整数部分，一共有种分法， 所以共有组解，同理可得其他的组数， 所以当时，可得解的组数为； 当时，，因为为偶数，则为奇数，所以可以为， 利用隔板法可得解的组数为， 当时，因为，所以此时，不合题意， 综上，方程的正整数解共有组．故选：B. 2．（20-21高三·江苏·强基计划）如图所示，在等边三角形中，D，E，F是三边中点，在图中可以数出三角形中，任选一对三角形（不计顺序），如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“和谐三角形”，那么，图中“和谐三角形”共有 对． 【答案】 【解析】设等边三角形的边长为，因为D，E，F是三边中点，所以是等边三角形的中心，显然是等边三角形的高线、角平分线、中线， 因此有, ， 由正弦定理可知：， 因此，于是图型中的三角形根据边长可以分成以下四类： 第一类；第二类；第三类，第四类. 第一类、第二类、第三类三角形中任意两个三角形中必有一边相等， 第二类、第三类、第四类三角形中任意两个三角形中必有一边相等， 唯独第一类任意一个三角形与第四类三角形（只有一个）不和谐，这种情况有6种， 四类三角形共有：，因此从这16个三角形中取出2个三角形（不计顺序）共有种取法，因此和谐三角形共有对， 3.（多选)(25-26高三上·江苏·开学考试)有方程，试讨论有序数对解的个数．下列分析正确的是(    ) A．若，，均为正整数，则解的个数为 B．若，，均为非负整数，则解的个数为 C．若，，均为正整数，且，，两两不等，则解的个数为341044 D．若，，均为正整数且满足，则解的个数为341044 【答案】ABD 【解析】选项A：因，，均为正整数， 则解的个数相当于把个用两个档板分成3份，分别对应，，， 所以解的个数为，故A正确； 选项B： 由得， 因，，均为非负整数，所以，，均为正整数， 与一一对应， 相当于把个用两个档板分成3份，分别对应，，， 所以解的个数为，故B正确； C选项：因，，均为正整数，， 若，则，不满足为正整数， 故，，至多有两个相等， 若，则,故的取值为从到的整数，共个， 所以，，有两个相等时的个数为个， 故，，两两不等时，解的个数为个，故C错误； 选项D：若，，均为正整数且满足， 当时，因， 所以，得，即， 所以的取值为从1到的整数，共674个，此时的个数为674个. 当时，因，所以，得，即， 因取正整数，所以的取值为从1到的奇数，共337个，此时的个数为337个. 当时，个用两个隔板分成3份，将其从小到大，分别对应，，， 有共有，故D正确.故选：ABD 4．（25-26高二上·福建漳州·期末）一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点处出发，每次随机地选择向上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，若移动5次蚂蚁仍在圆内部，则不同走法共有 种. 【答案】400 【解析】蚂蚁走步后，坐标满足，分别设向右、左、上、下的步数为，则， 因为是奇数，所以必为一奇一偶，所以可能的点为， 因为点需同奇，无法在步内到达，走法为， 情况1：到达，则需，设，则， 由得， 若，则对应的走法数为；若，则对应的走法数为， 若，则对应的走法数为， 所以此时对应的走法数为； 由对称性，到达对应的走法数也是， 情况2：到达，则需，设，则， 与时类似，走法数是种，同理根据对称性，到达的走法数也是种, 综上，不同的走法共有种， 故答案为：. 5．（25-26高二上·河南南阳·期末）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 【解析】（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条． （2）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条， 其中两次向上行走连续且最近的路线有7条． 故所求路线有条． （3）设H，K的位置如图所示， 则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况： ①，有条最近路线； ②，有条最近路线； ③，有条最近路线． 故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $