2026年九年级中考数学复习微专题：新定义型几何探究

微专题：新定义型几何探究 详解详析 1.解：(1)是； (2)①45°； 【解法提示】∵矩形ABCD是标准矩形(AB＜AD)，∴AD∶AB= ∶1,∠B=∠BAD=90°，∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，∴∠E=∠B=90°，AE=AB,∴当EF第一次经过点D时，AD∶AE= ∶1,∴cos∠DAE= = ，∴∠DAE=45°，∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°-45°=45°. ②CM=MF，证明如下： 如答案图①，分别过点C，F作GM的垂线，垂足分别为H，N， 由题意可知，AD=AG，DC=GF， ∴∠ADG=∠AGD， ∵∠FGA=∠ADC=90°， ∴∠FGN+∠AGD=90°，∠HDC+∠ADG=90°， ∴∠FGN=∠HDC， ∵FG=CD，∠FNG=∠CHD=90°， ∴△FNG≌△CHD(AAS)， ∴NF=HC， ∵∠FNM=∠CHD=90°，∠FMN=∠CMH， ∴△NFM≌△HCM(AAS)， ∴CM=FM； ③ 的值为 -1或 +1. 【解法提示】①如答案图②，连接CE，由(2)②可知FM=CM，∵EM=CM，∴FM=EM=CM，∴∠MFE=∠MEF，∠MEC=∠MCE，在△CEF中，∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，即∠MFE+∠MEF+∠MEC+∠MCE=180°，∴∠MEF+∠MEC=90°，∴∠CEF=90°，∴△CEF为直角三角形，∵∠AEF=90°，∴A,E,C三点共线，设CD=AB=a,则AD=BC= a，∴AC= = a，∵AE=AB=a，∴CE=（ -1）a,∴ = -1;②如答案图③，连接CA，由(2)②可知FM=CM，∵EM=CM，∴FM=EM=CM，∴∠MFE=∠MEF，∠MEC=∠MCE，在△CEF中，∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，即∠MFE+∠MEF+∠MEC+∠MCE=180°，∴∠MEF+∠MEC=90°，∴∠CEF=90°，∴△CEF为直角三角形，∵∠AEF=90°，∴A,E,C三点共线，设CD=AB=b,则AD=BC= b，∴AC= = b，∵AE=AB=b，∴CE=( +1)b,∴ = +1，综上所述， 的值为 -1或 +1. 答案图 2.解：（1）如答案图①，答案图②，即为所求作； 答案图①                     答案图② （2）①  垂直平分  ； 【解法提示】①连接  与  的位置关系是  垂直平分  ；∵四边形  是筝形，对角线  所在的直线是它的对称轴，∴  ，∴  垂直平分  ． ②如答案图③，记  ， ∵  ， ∴ ； 答案图③ (3) ． 【解法提示】当  所在直线为对称轴时，如答案图④，过点  作  于点  ，∵四边形  是筝形，  为对称轴时，∴  ，  ，  ∵在  中，  ，∴  ，  是等腰直角三角形，∴  ，在  中，∵  ，在  中，  ，∴  ，∴  ，  ，即  ，∵  ，∴  ，解得  ，∴  ，∴  ，如答案图⑤，当  所在直线为对称轴时，∵四边形  是筝形，  为对角线时，∴  ，  ，∵  ，∴  ，  ，∴  ，∵  ，∴  ，∴  是直角三角形  斜边上的中线，∴  ，∴  是等边三角形，∴  ，在  中，  ，∴  ，∴  ，∴  ，则  ，∴  ，综上所述，筝形ABMN的面积为  ． 答案图④                      答案图⑤ 3.解：（1）根据折叠的性质可知，∠EBD=∠ABD= ∠ABC=30°， 又∵∠A=90°，AB=1， ∴BD= AB= ； （2）如答案图①，分别过点D作AB，EB的垂线，垂足分别为M，N. 根据折叠的性质可知， S△ABD=S△EBD，∠ABD=∠EBD， ∴DM=DN， ∴ = = .  ∵在等腰△ABC中，∠BAC=120°， ∴∠ABC=30°， ∴ = = ， 即 = ；  答案图① （3）根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）. ∵在等腰△ABC中， AB=AC=5，BC=6，BC＞AB， ∴只能是点A向下折叠，则分情况讨论.  ①如答案图②，当沿BD折叠，点A落在BC边上的点E处时， 由探究2可得， = = ， ∴ = ， 过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∴ = ，G为BC中点，AG∥DF， ∴CG=3， 由勾股定理得AG=4，△AGC∽△DFC， ∴ = = , ∴CF= ， DF= ， ∴GF=GC-FC=3- = , ∴BF= ， ∴在Rt△BDF中，BD= = ； ②如答案图③，当沿CH折叠，点A落在BC边上的点 I处时，同①，则CH= ； ③如答案图④，当沿BP折叠，点A落在AC边上的点Q处时， BP为AQ的垂直平分线，即BP⊥AC， 由①可知S△ABC= ×6×4＝12， ∴ BP·AC＝12， ∴BP= ； ④如答案图⑤，当沿CX折叠，点A落在AB边上的点Y处时，CX为AY的垂直平分线，则同情况③，则CX= . 　 综上所述，“落边折痕”的长度为 或 .                    答案图②          答案图③          答案图④          答案图⑤ 4.解：（1）等腰直角三角形； 【解法提示】如答案图①，点P、Q即为所求，由图可知PC＝CQ＝3，且∠PCQ＝90°，∴△PCQ是等腰直角三角形； 答案图① （2）解法一：选取点D如答案图②所示，G、H即为所求， △GHC形状为等腰直角三角形，理由如下： 如答案图②，GI＝CJ＝CI＝HJ＝3，∠GIC＝∠CHH＝90° ∴△GIC≌△CJH（SAS）， ∴GC＝CH，且∠GCH＝180°－45°－45°＝90°， ∴△GHC为等腰直角三角形； 解法二：选取点D如答案图③所示，G、H即为所求； 如答案图③，GI＝CJ＝3，CI＝HJ＝1，∠GIC＝∠CJH＝90°， ∴△GIC≌△CJH（SAS）， ∴GC＝HC，∠IGC＝∠JCH，则∠GCH＝90°， ∴△GHC为等腰直角三角形． 解法三：选取点D如答案图④所示，G、H即为所求； 如答案图④，GI＝CJ＝1，CI＝HJ＝3，∠GIC＝∠CHH＝90°， ∴△GIC≌△CJH（SAS）， ∴GC＝HC，∠IGC＝∠JCH，则∠GCH＝90°， ∴△GHC为等腰直角三角形； 答案图②                                          答案图③                                           答案图④  （3）由（2）知△MNK为等腰直角三角形，如答案图⑤会在MN上方和下方各有一个K点， 过K1作EF∥x轴，作ME⊥EF于点E，NF⊥EF于点F， ∵∠MK1N＝90°， ∴∠MK1E＝∠FNK1＝90°－∠FK1N， ∵∠E＝∠F＝90°，MK1＝NK1， ∴△MEK1≌△K1FN（AAS）， ∴ME＝FK1，EK1＝FN， ∵M（－2，－1），N（3，1）， ∴EF＝EK1＋FK1＝5，EM－FN＝2， 即ME＋FN＝5，ME－FN＝2， ∴ME  ，FN  ， ∴K1（  ，  ）， 同理可得K2（  ，  ）， 综上，三角形第三条边的中点K的坐标为K1（  ，  ），K2（  ，  ）． 答案图⑤ 5.(1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 由题意知，BE平分∠ABC， ∴∠ABE ， ∵EA绕点E顺时针旋转60°得到线段ED， ∴DE＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠DAE＝∠CAB， ∴∠DAE－∠CAE＝∠CAB－∠CAE， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△ACD≌△ABE(SAS)， ∴∠ACD＝∠ABE＝30°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD为单直邻等四边形； (2)解：如答案图①， 连接DM，作DG⊥CM于点G， ∵四边形ABCD为单直邻等四边形，∠BCD＝90°， ∴BC＝AB ， 又∵∠CBD＝30°， ∴CD＝BCtan30° ，BD＝2CD＝2，∠BDC＝60°， ∴AD＝BD＝2， ∵DE⊥AE，∠DAE＝30°， ∴DE AD＝1，∠ADE＝60°， ∴∠CDE+∠EDF＝∠EDF+∠ADB＝60°， ∴∠CDE＝∠ADB， ∵ ， ∴△CDE∽△BDA， ∴∠DCE＝∠ABD， ， ∴点D，M，B，C共圆， ， ∴∠DMB＝180°－∠BCD＝90°，∠DMC＝∠DBC＝30°，CE ， 又∵∠BMC＝60°， ∴∠DMB＝∠DMC+∠BMC＝90°，DM平分AB， ∴BM＝AM ，同理CG＝EG ， ∴DM ， ∴GM ， ∴CM＝cos30°DM＝CG+MG ； 答案图① (3)解：2或6． 【解法提示】如答案图②，作DG⊥CE于G，设PB，CE交于点Q，当点A在CG上时，∵∠DCF＝90°，∠ECF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴CG＝CD•cos60° CD＝2 ，DG＝CD•sin60° ，∴AG ，∴AC＝CG－AG＝2 ．∵AB＝BC，∴AQ＝CQ AC ，∵BC＝BA，且BP平分∠ABC，∴BP⊥AC，∴BC ，∴∠CBP＝60°，∠CPB＝30°，∴BP＝2BC＝2；如答案图③，当点A在CG的延长线上时，由上知，AG  ，CG＝2 ，∴AC＝3 ，∴CQ AC ，∴BC ＝3，∴BP＝2BC＝6，∴综上所述，BP＝2或6．                          答案图②                                              答案图③        6.（1）解：②④ 【解法提示】一定是等线四边形的是②矩形；④正方形．理由如下，①平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；②矩形对角线相等，它一定是等线四边形；③菱形对角线互相垂直平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；④正方形对角线相等，它一定是等线四边形. （2）①证明：如答案图①，连接BG，CE，交于点O，设CE交AB于点N， 在菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝60°， ∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△BAG和△EAC中， ， ∴△BAG≌△EAC(SAS)， ∴BG＝EC，∠ABG＝∠AEC，即∠OBN＝∠AEN， ∵∠OBN＋∠BNO＋∠BOE＝∠AEN＋∠ENA＋∠BAE＝180°，∠BNO＝∠ENA， ∴∠BOE＝∠BAE＝60°，即BG，CE所夹锐角为60°， ∴四边形BCGE是强等线四边形； 答案图① ②解：PQ的长为 . 【解法提示】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝30°，∴AC＝AB·cos∠BAC＝4 2 ，在菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG＝2 ，AE＝AB＝4，∠CAG＝∠BAE＝60°，∴△ACG，△ABE都是等边三角形，∠GAE＝∠CAG＋∠BAC＋∠BAE＝150°，∴CG＝AC＝2  ，BE＝AB＝4，∠AGC＝∠AEB＝60°，∠AGE＋∠AEG＝180°－∠GAE＝30°，∴∠CGE＋∠BEG＝∠AGC＋∠AEB－(∠AGE＋∠AEG)＝90°，如答案图②，连接PQ，CE，取CE的中点M，连接PM，QM，∵P，Q分别是BC，GE的中点，∴PM，QM分别是△BCE，△CGE的中位线，∴PM BE＝2，PM∥BE，QM CG ，QM∥CG，∴∠CMP＝∠CEB，∠MQE＝∠CGE，∵∠CMQ＝∠MQE＋∠CEG，∴∠CMQ＝∠CGE＋∠CEG，∴∠CMQ＋∠CMP＝∠CGE＋∠CEG＋∠CEB＝90°，在Rt△PQM中，由勾股定理得PQ ，即PQ的长为 ． 答案图② 7.解：（1）  ； 【解法提示】∵  ，  ，∴  ，∴  ． （2）  ，理由如下： ∵  ，  ，  ∴  ， ∴  ， ∴  ，  ， ∵  ， ∴  ， ∵  ，  ， ∴  ， 在  和  中， ， ∴  ， ∴  ； （3）∵  ， ∴  ∴  ， 同理可得，  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ，  ∴  ； （4）分两种情况：①如答案图①，当点  的对应点  在  的下方时，过点  作  于点  ， 由（  ）知，  ， 在Rt△ADB中，  ，  ， ∴  ，在Rt△BPD中，  ，∴  ， 同理（  ）可得，  ，∴  ， 由对称的性质可得四边形  为正方形，连接  ，则  ，  ， ∴  ，  ，∴  ，∴  ， ∵  ，∴  ，∴  ； ②如答案图②，当点  的对应点  在  的上方时，同理可得  ； 综上，  的长为  或  ． 答案图 8.（1）解：C 【解法提示】正方形的对角线是边长的  倍，故A选项不是；矩形的对角线是直角三角形的斜边，比直角边大，故B选项不是；有一个角是60°的菱形必定包含等边三角形，会有一条对角线等于边长，故C选项是；有一个角是60°的平行四边形和有一个角是45°的平行四边形不一定存在对角线等于边长，故D，E选项均不是. （2）解： 【解法提示】如答案图①，∵▱ABCD是“N字平行四边形”，∴DA＝DB，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴ ，∴ . 答案图① （3）证明：如答案图②，连接AG，CF， ∵在N字▱ABCD中，∠B＝75°，AB＝AC＝8， ∴∠B＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝30°． ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠BCG＝75°， ∴∠ACG＝∠ACB＋∠BCG＝150°， 由大角对大边可得AG＞AC，AG＞GC， 若▱AFGC为“N字平行四边形”，只能分为以下两种情况： ①当CF＝AF时，∠FCA＝∠FAC＝30°， 如答案图③，过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF＝2HF， ， 又∵AC＝8， ∴ ， ∴ ， ； ②当CF＝AC时，∠CAF＝∠AFC＝30°，此时，∠ACF＝120°＞∠ACB矛盾． 综上所述，若▱AFGC为“N字平行四边形”， ； （4）如答案图④，过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，AB＝DC＝FN， ∵四边形BEDF为平行四边形， ∴FD＝BE，FB＝DE， ∴AF＝AD－FD，CE＝BC－BE，即AF＝CE． ∵四边形BEDF为N字平行四边形，BD＞BE，BD＞DE， ∴有以下两种情况： ①当FB＝FE时， ∵FN⊥BE， ∴N为BE的中点， ∴BN＝NE． 在矩形ABNF中，AF＝BN， 又∵AF＝CE， ∴BN＝NE＝CE＝AF， ∴BC＝BN＋NE＋CE＝3AF， ∵AB＝2AF， ∴ ； ②如答案图⑤，当EB＝EF时， ∵EM⊥BF， ∴M为BF的中点， ，∠EMB＝90°， 设AF＝t，则AB＝2t， ∴ ， ， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠MBE， ∴Rt△BAF∽Rt△EMB， ∴AF:AB:BF＝MB:ME:BE＝1:2: ， 由 可得 ， ∴ ， ∴ ； 综上所述， 或 ． 9.解：（1）AD＝2AB； 【解法提示】矩形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”．如答案图①，过点O作OP⊥BC于点P，则AB＝PO．∴OB＝OC，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BP＝OP＝CP，∴AB＝BP＝CP．∴BC＝2AB，即AD＝2AB． 答案图① （2）GH＝BG+CH； 证明：∵BG⊥AD，CH⊥AD， ∴∠OGB＝∠CHO＝90°， ∴∠GBO+∠BOG＝90°． ∵四边形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”， ∴OB＝OC，OB⊥OC， ∴∠BOG+∠HOC＝90°， ∴∠GBO＝∠HOC， 在△GBO和△HOC中， ， ∴△GBO≌△HOC(ASA)， ∴OG＝CH，BG＝OH， ∴GH＝GO+OH＝BG+CH； （3）C，D两点之间的距离为  或  ． 【解法提示】∵∠DAM＝90°，AM＝6，DM＝10，∴AD＝8，由题意，得点B，C均不可能在边AD上，故分两种情况讨论：a．如答案图②，当点B在边AM上，点C在边MD上，且四边形ABCD为“可等垂四边形”时，则  ．设点O为它的“等垂点”，连接BO，CO，过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AM，同理（2）可得△BAO≌△OEC，∴OE＝AB＝3，CE＝AO．设CE＝AO＝x，则DE＝5－x．∵CE∥AM，∴△DCE∽△DMA，∴  ，即  ，解得  ，∴  ；b．如答案图③，当点B在边DM上，点C在边AM上，且四边形ACBD为“可等垂四边形”时，则  ，设点O为它的“等垂点”，连接BO，CO，过点B作BF⊥AD于点F，则BF∥AM，∴△DBF∽△DMA，∴  ，∴BF＝3，DF＝4，∴AF＝AD－DF＝4，同理可证，△CAO≌△OFB，∴OA＝BF＝3，∴CA＝OF＝AF－OA＝1．如答案图③，连接CD，在直角三角形ACD中，由勾股定理得  ．综上所述，C，D两点之间的距离为  或  ． 答案图 10.（1）解：④； 【解法提示】平行四边形对角相等，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”，故①不符合题意；菱形对角相等，邻边相等，不是“邻等对补四边形”，故②不符合题意；矩形对角相等且互补，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”，故③不符合题意；正方形对角相等且互补，邻边相等，一定是“邻等对补四边形”，故④符合题意． （2）证明：如答案图①，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作AF⊥BC于点F，则∠AED＝∠AFB＝90°， ∵AC平分∠BCD， ∴AE＝AF， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°， ∴∠ADE＝∠B， 在 ADE和 ABF中 ， ∴△ADE≌△ABF(AAS)， ∴AB＝AD， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴四边形ABCD是邻等对补四边形； 答案图① （3）解：AP的长为  或  ． 【解法提示】分情况讨论：情况一：如答案图②，当∠CDA＝15°时，∵∠CBA＝90°，AB＝BC＝2，∴∠BAC＝45°，∴∠PAD＝∠BAC+∠CAD＝45°+15°＝60°，∵∠D+∠CBA＝90°，∴∠D＝90°，∴∠CPB＝90°－∠PAD＝30°，∴PC＝2BC＝4，在Rt△PCB中，由勾股定理得  ，∴  ；情况二：如答案图③，当∠ACD＝15°时，∴∠ACB＝45°，∵∠CBA＝90°，AB＝BC＝2，∴∠PCB＝∠ACB+∠ACD＝45°+15°＝60°，∴∠BPC＝90°－∠PCB＝30°，∴PC＝2BC＝4，在Rt△PCB中，由勾股定理得  ，∴  ；综上所述，AP的长为  或  ． 答案图②                                                                   答案图③ 11.解：（1）如答案图①， ， ，∠ABC＝90°，AC＝5， ∵四边形ABCD是以AC为“亲子线”的四边形， 当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA， ∴ 或 ， ∴ 或 ， ∴CD＝10或CD＝2.5， 同理，当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10， 如答案图①，D1，D2，D3，D4即为所求，画出四边形如图所示(找出一个即可)； 答案图 （2）①135； 【解法提示】∵∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠ACD＋∠ADC＝180°－∠DAC＝135°． AC是四边形ABCD的“亲子线”，理由如下， ∵∠DCB＝135°＝∠DCA＋∠ACB， ∴∠D＝∠ACB， ∴△DAC∽△CAB， ∴AC是四边形ABCD的“亲子线”； ②∵△DAC∽△CAB， ∴ ， ∴AD·AB＝AC2， ∵ ， ∴AD·AB＝10； （3） 或 ． 【解法提示】①由（2）可知，△ADC为等腰直角三角形， ，∴ ，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，且相似比为 ，∴ ，AF＝2，如答案图②，延长CE交AF于点H，由题意可得EH⊥AF，∴ ，∴ ，∴CE＝CH－EH＝3－1＝2，由旋转的性质可得∠DAE＝∠CAF，又∵∠CAD＝∠EAF＝45°，∴∠CAE＝∠BAF， ，∵ ，∴△EAC∽△FAB，∴ ，即 ，∴ ；②如答案图③，设AF与EC交于点G，∵AF⊥CE，∴△AGE为等腰直角三角形，∵ ，∴AG＝EG＝1，在Rt△AGC中， ，∴EC＝4，同理可证△EAC∽△FAB，∴ ，即 ，∴ ．综上所述， 或 ． 答案图 12.【问题解决】①解：AD∥BC， ②解：=； 【解法提示】由题意易得，△ABC∽△DAC，∴  =  ，∴AC2=CD·BC，∵CD=AD，∴AC2=AD·BC. 【方法应用】①证明：∵△ADE为等腰△ABC旋转得到， ∴AB=AD，AC=BC=AE=DE, 令∠B=α,则∠ADB=α,∠BAD=180°-2α， ∵∠ADE=∠B=α，EA=ED， ∴∠DAE=∠ADE=α， ∴∠E=180°-2α， ∴∠E=∠BAD， ∴四边形ABDE为双等四边形； ②解：如答案图①，作 AH⊥BC于点H， ∵cos B=  ，AB=5， ∴BH=3,AH=4， 设 CH=x, 则AC=BC=x+3， 在 Rt△ACH中, CH2+AH2=AC2, 即x2+42=（x+3）2, 解得x=  ， ∴CH=  ,BC=AC=  ， a.如答案图①，当∠ACB=∠D=∠CAD,CA=CD 时， CD=AC=  ； b.如答案图②，若 ∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC时， ∴AD=AC=  ， 作 AM⊥CD于点M， 则CM=DM， ∴  =cos ∠ACM=cos ∠ACB=  =  ， ∴CM=  ×  =  ， ∴CD=2CM=  ； c.如答案图③，当∠D=∠ACB,DA=DC时， ∴∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ABC， ∴△CAB∽△DAC， ∴  =  ， ∴  =  ， ∴CD=  ， 综上所述，CD的长为  ,  或  .           答案图①                        答案图②                  答案图③ 13.解：（1）1，  ； 【解法提示】由题可知，  ，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴  ，∵CE＝2，∴AE＝1，∵  ，∴  ，∴  ； （2）  ； 证法一：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∴△AED∽△FEB， ∴  2， 设BE＝x，则DE＝2x， ∴AB＝BD＝3x， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ； 证法二：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∴△AED∽△FEB， ∴  2， 设CD＝x，AE＝y， ∵AB＝BD， ∴AB＝BD＝CD＝x， ∴DE＝  ​x，BE＝  ​x，EF＝  ​y， 在Rt△BFD中，由FE⊥BD，应用射影定理，得EF2＝BE×ED， 即  ＝(  ​x)×(  ​x)， 整理化简，得y＝  x， ∴  ； （3）①作法一：如图①，四边形ABCD即为所求； 图① 作法二：如图②，四边形FBCD即为所求； 图② 作法三：如图③，四边形FBCD即为所求； 图③ ②  或  ； 【解法提示】若按照图①作图，即如图④，由题意可知，∠ACB＝∠ACP，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ACB＝∠PAC，∴∠PAC＝∠PCA，∴△PAC是等腰三角形；过点P作PH⊥AC于点H，则AH＝HC，∵BE＝5，CE＝2AE＝12，∴B′E＝BE＝5，AE＝6，∴  ，∴EH＝AH－AE＝9－6＝3，∵PH⊥AC，BE⊥AC，∴△CPH∽△CB′E，∴  ，即  ，∴  ；解法一：若按照上图②作图，即如图⑤，延长CA，DF交于点G，同理可得△PGC是等腰三角形，连接PA，∵GF∥BC，∴△GAF∽△CAB，∴  ，∴AG＝AC，∴PA⊥AC；同理△CPA∽△CB′E，∵AE＝6，EC＝12，B'E＝BE＝5，∴  ，即  ，∴  ； 图④                                            图⑤ 解法二：如图⑥，∵AB∥CM，∴△ABE∽△CME，∴  ，∴ME＝2BE，又∵BE＝B'E＝5，∴MB'＝B'E＝BE＝5，EM＝10，∵MN∥BC，∴△PMB'∽△CBB'，∴  ＝  ＝  ，∴点P为MN的中点，在Rt△CBE中，由勾股定理，得BC＝  ＝  ＝13，∴MP＝  BC＝  ，∵MN∥BC，∴∠PME＝∠EBC,∴cos∠PME＝cos∠EBC＝  ＝  ，在△PME中，由余弦定理，得cos∠PME＝  ，代入解得  ；若按照上图③作图，则没有交点，不存在PE（不符合题意），即如图⑦.   图⑥                                                          图⑦ 14.(1)解：3； 【解法提示】∵  是  的“2倍三角形”，∴  的面积是  面积的2倍，∴  的面积是  面积的3倍，∴  是  的“3分之一三角形”； （2）证明：如答案图①，所示，连接  ， ∵  ， ∴  ， ∴  ， ∵  是  的“16倍三角形”， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ，即  ， ∵  ， ∴  ， ∴  ，  ， ∴  ， 又∵  ， ∴  ； 答案图① （3）解：  ； 【解法提示】解法一：如答案图②，所示，作点C关于  的对称点  ，点Q关于  的对称点  ，连接  ，  ，  ，∵  是  的“4倍三角形”，∴  的面积是  面积的4倍，∴  的面积是  面积的4倍，∴  的面积是  面积的3倍，∵  ，∴  ，∵  ，∴  ，∴  ，即  ，∴  ，∵  的面积是  面积的3倍，∴  ，∴  ，∵点C关于  的对称点  ，∴  ，∵点C关于  的对称点  ，点Q关于  的对称点  ，∴  ，∴  ，∴当点E，P，  三点共线时，  有最小值，即  的长度，∴当  时，  最小，∵  ，  ，  ，∴  ，∴  ，由对称性质可得，  ，∴  ，∴  ，∴  的最小值为  ，∴  的最小值为  ；解法二：如答案图③，作点E关于AD的对称点T，点Q关于AD的对称点W，连接PW，连接AT，ET，过得E作EH⊥AT于点H.则PQ＋PE＝PE＋PW≥PE，∴PE＋PQ的最小值为线段EH的长，∵DE⊥AC，△ABC是△CDE的4倍三角形，∵∠BAC＝∠DCE，∠ACB＝∠CDE，∴.△ABC∽△CED，∵面积比为4:1，边长比为2:1，∴CE＝2，∴CD＝AB＝2EC，∴∠CDE＝30°，∴∠ADE＝60°，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD＝8，∴AE＝AC－CE＝6，∴AH＝AE·cos60°＝3，∴EH＝3  ，故EP＋PQ的最小值为3  ． 答案图②                        答案图③ 15.解：(1)④； 【解法提示】①平行四边形对角相等，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”，故该选项不符合题意；②菱形对角相等，邻边相等，不是“邻等对补四边形”，故该选项不符合题意；③矩形对角相等且互补，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”，故该选项不符合题意；④正方形对角相等且互补，邻边相等，一定是“邻等对补四边形”，故该选项符合题意． (2)证明：如答案图①，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作AF⊥BC于点F，则∠AED＝∠AFB＝90°， ∵AC平分∠BCD， ∴AE＝AF， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADE， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF(AAS)， ∴AB＝AD， ∵∠B+∠ADC＝180°，AC平分∠BCD， ∴四边形ABCD是“邻等对补四边形”； 答案图① (3)①∠CBA＝90°，AB＝BC＝2， 如答案图②，当∠CAD＝15°时， ∴∠BAC＝45°， ∴∠PAD＝∠BAC+∠CAD＝45°+15°＝60°， ∴∠CPB＝30°， ∴PC＝2BC＝4， 由勾股定理得 ， ∴ ； ②∠CBA＝90°，AB＝BC＝2， 如答案图③，当∠ACD＝15°时， ∴∠ACB＝45°， ∴∠PCB＝∠ACB+∠ACD＝45°+15°＝60°， ∴∠BPC＝30°， ∴PC＝2BC＝4， 由勾股定理得 ， ∴ ； 综上所述，AP的长为 或 ． 16.解：（1）②④； 【解法提示】如答案图①，四边形ABCD由两个含30°角的直角三角形组成， ， ，在 和 中 ∴ ，∴ ，∵ ，∴四边形ABCD是“准等边四边形”；∵四边形EFGH由两个等边三角形组成，∴ ， ，∴四边形EFGH是“准等边四边形”. （2）四边形ABCD为“准等边四边形”， 理由：∵∠BAD＝60°，∠BCD＝120°， ∴∠B＋∠ADC＝360°－∠BAD－∠BCD＝180°， ∵以AC为边在其右侧作一个等边△ACE，点E恰好落到CD的延长线上， ∴AC＝AE，∠CAE＝60°，∠ADE＋∠ADC＝180°， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°－∠CAD，∠B＝∠ADE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE(AAS)， ∴AB＝AD， ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴四边形ABCD为“准等边四边形”． （3）B′C的长为1或3； 【解法提示】【解法一】∵四边形ABCD是“准等边四边形”，∠C＝∠ADC＝90°，∠ABC＞∠A，AD＝2，CD ，∴AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，△ABD是等边三角形，当△ABD绕点A旋转得到△AB′D′，B′D′所在直线经过点C时，分两种情况：①点C在D′B′的延长段上时，如答案图①，连接AC，过点C作CK⊥AB′交AB′的延长线于点K，在Rt△ACD中，根据勾股定理 ，由旋转可知，AB′＝AB＝2，∠AB′D′＝∠ABD＝60°，在Rt△CB′K中，∠CKB′＝90°，∠CB′K＝∠AB′D′＝60°，设B′K＝x，则 ， ，AK=2+x，在Rt△ACK中，由勾股定理得， ，解得 （舍去）， ，∴ ，∴D′C＝B′C＋B′D′＝1＋2＝3；②当点C在B′D′的延长线上时，此时B与D′重合，如答案图②，过点A作AL⊥B′D′于点L，∵△AB′D′是等边三角形，∴ ， ， ，设D′C＝m，在Rt△ALC中，由勾股定理得： ，解得m1＝1，m2＝－3（舍去），∴D'C＝1，综上所述，D′C的长为1或3；【解法二】∵∠C＝∠ADC＝90°，∴∠C＋∠ADC＝180°，∴AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∵四边形ABCD是“准等边四边形”，∠ABC＞∠BAD，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，从而∠ABC＝120°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，AB＝BD＝AD＝2，∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝30°，在Rt△BCD中，BC＝BD＝1，∵将△ABD绕着点A旋转得到△A'B'D'，∴B'D'＝BD＝2，AB'＝AB＝AD＝AD'＝2，∠AD'B'＝∠ADB＝60°，当B'D'所在直线经过点C时，若点C在B'D'的延长线上，如答案图③，则点D'与点B重合，B'C＝B'D'＋BC＝3；若点C在D'B'的延长线上，过点A作AE⊥B'D'于点E，连接AC，如答案图④，则∠AEB'＝90°，B'E＝B'D'＝1，由勾股定理，得AE2＝AB'2－B'E2＝22－12＝3，在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2＝22＋( )2＝7，在Rt△AEC中，由勾股定理，得AE2＋CE2＝AC2，即有3＋(B'C＋1)2＝7，(B'C＋1)2＝4，∵B'C＋1>0，∴B'C＋1＝2，B'C＝1，D'C＝D'B'＋B'C＝3，综上所述，当B'D'所在直线经过点C时，D'C的长为1或3.     答案图①                                      答案图②                                             答案图③                              答案图④ 17.解：（1） ， ； 【解法提示】∵ ， ，∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ． （2）∵∠ADB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－45°＝45°， ∴∠CBD＝∠ABC－∠ABC＝90°－45°＝45°，∠A＝∠ABD， ∴∠A＝∠CBD，AD＝BD， ∵CD⊥DE， ∴∠CDE＝90°， ∴∠BDC＋∠BDE＝90°， ∵∠ADE＋∠BDE＝90°， ∴∠ADE＝∠BDC， ∴△ADE≌△BDC(ASA)， ∴AE＝BC， ∴ ； （3）△BDE的面积为6或12． 【解法提示】如答案图①，过点D作DP⊥AB于点P，由（2）知，AD＝BD＝6，∴ ∵∠A＝45°，∴ 同理（2）可得，△ADE≌△BDC，∴CD＝DE，由折叠的性质可知四边形CDEF为正方形，连接DF，则 ∠EDF＝∠BDP＝45°，分两种情况：①如答案图①，当点D的对应点F在AB的上方时，∵∠EDF＝∠BDP＝45°，∴ ∠BDF＝∠PDE，∴△BDF∽△PDE，∴ ∵BF＝2，∴ ，∴ ，∴ ＝ ＝ ；②如答案图②，当点D的对应点F在AB的下方时，同理可得 ∴ ；综上可得，△BDE的面积为6或12． 18.解：（1）C； 【解法提示】正方形的对角线是边长的   倍，故A选项不是；矩形的对角线是直角三角形的斜边比边长大，故B选项不是；有一个角是60°的菱形必定包含等边三角形，会有一条对角线等于边长，故C选项是；有一个角是60°的平行四边形和有一个角是45°的平行四边形并不必然出现对角线等于边长，故D、E选项均不是. （2）  ； 【解法提示】如图①，∵▱ABCD是“N字平行四边形”，∴DA＝DB，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴  ，∴  . 图① （3）如图②，连接AG，CF， ∵在N字▱ABCD中，∠B＝75°，AB＝AC＝8， ∴∠B＝∠ACB＝75°，∠BAC＝30°． ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠BCG＝75°， ∴∠ACG＝∠ACB+∠BCG＝150°， 由大角对大边可得AG＞AC，AG＞GC， 图② 若▱AFGC为“N字平行四边形”，只能分为以下几种情况： ①当CF＝AF时，∠FCA＝∠FAC＝30°， 如图③，过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF＝2HF，  ， 又∵AC＝8， ∴  ， ∴  ，  ； ②当CF＝AC时，∠CAF＝∠AFC＝30°，此时，∠ACF＝120°＞∠ACB矛盾． 综上，若▱AFGC为N字平行四边形，  ； 图③ （4）  或  . 【解法提示】过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，AB＝DC＝FN，∵四边形BEDF为平行四边形，∴FD＝BE，FB＝DE，∴AF＝AD﹣FD，CE＝BC﹣BE，即AF＝CE．∵四边形BEDF为N字平行四边形，又∵BD＞BE，BD＞DE，∴有以下两种情况：①如图④，当FB＝FE时，∵FN⊥BE，∴N为BE的中点，∴BN＝NE．在矩形ABNF中，AF＝BN，又∵AF＝CE，∴BN＝NE＝CE＝AF，∴BC＝BN+NE+CE＝3AF，∵AB＝2AF，∴  ；②如图⑤，当EB＝EF时，∵EM⊥BF，∴M为BF的中点，  ，设AF＝t，则AB＝2t，  ，  ，∵EM⊥BF，∴∠EMB＝90°，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠MBE，∴Rt△BAF∽Rt△EMB，∴AF：AB：BF＝MB：ME：BE＝1：2：  ，由  可得  ，∴  ，∴  ；综上，  或  ． 19.解：（1）是； 【解法提示】∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，∴AE＝BE ， ∴△ABE，△CBE是等腰三角形，且BE是腰，∴四边形AECB是双等腰四边形． （2）【解法一】如答案图①， ∵∠BAD＝90°，E是BD的中点， ∴EA＝EB． ∴∠1＝∠2． 同理，∠3＝∠4． 在四边形ABCE中，∠AEC＝90°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝270°， ∴∠ABC＝∠2＋∠3＝135°； 【解法二】∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴点A，B，C，D共圆，且点E为圆心， ∵∠AEC＝90°， ∴∠ADC＝45°， ∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－45°＝135°； 答案图① （3） 或 ． 【解法提示】∵四边形AEFD是双等腰四边形，AD＝DE，∴DE＝EF或DE＝DF．①如答案图②，当DE＝EF＝AD＝5时，过点E作EH⊥CD于点H，延长HE交AB于点K．∵∠EHF＝∠EFG＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵∠EHF＝∠FCG＝90°，∴△EHF∽△FCG，∴ ，∵EF＝5，∴HF＝3，HE＝4，AK＝DH＝HF＝3，KE＝1．设CG＝3k，FC＝4k，则BG＝5－3k，AB＝CD＝6＋4k，∵KE∥BC，∴△AKE∽△ABG，∴ ，解得 ，∴ ；②如答案图③，当DE＝DF＝AD＝5时，过点E作EH⊥CD于点H．由（2）可知，∠AEF＝135°，∴∠FEG＝45°，∵∠EFG＝90°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FE＝FG．由①可知，∠HEF＝∠CFG，又∵∠EHF＝∠FCG＝90°，∴△EHF≌△FCG(AAS)，∴HF＝CG，HE＝CF，∴ ，设HF＝3k，HE＝4k，则DH＝5－3k，AB＝CD＝5＋4k，在Rt△DEH中，DH2＋HE2＝DE2，∴(5－3k)2＋(4k)2＝52，解得 或k＝0(不合题意，舍去)，∴ ；综上所述，AB的长为 或 ． 20.(1)证明：如答案图①，由折叠得，AM＝DM  AD  ，∠AMN＝∠DMN＝90°， ∵AB＝a，四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝a，∠C＝∠D＝90°， ∴  ， ∵∠DMN＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴四边形CDMN是类A4矩形； 答案图① (2)证明：如答案图②，由折叠得，∠AFG＝∠DFG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD， ∴∠DFG＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴四边形CDFG是矩形， 设CE＝x，CD＝y，则EM＝x， 由折叠得，∠DME＝∠C＝90°＝∠EMB，BG＝EG， ∵∠CBD＝45°， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BE  x， ∴  x+x＝y， ∵BG＝EG，BE  x， ∴EG  x， ∴  ， ∴四边形CDFG是类A4矩形； 答案图② (3)解：5  或  ． 【解法提示】设AC与BD交于点O，∵AC垂直平分BD，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上，∴EF//AC，同理得，FG//BD，GH//AC，∵四边形EFGH是类A4矩形，∴  或  ，①如答案图③，当  时，EF  FG，∵EF//AC，∴△BEF∽△BAC，∴  ，∵AC＝10  ，∴  ，∵FG//BD，∴△CFG∽△CBD，∴  ，∵BD＝10，∴  ，∴  ，∴BF＝CF，∴  ，∴EF  AC＝5  ；②如答案图④，当  时，FG  EF，由①得，△BEF∽△BAC，∴  ，即  ，∴EF  ，∵△CFG∽△CBD，∴  ，即  ，∴EF  ，∴  ，∴CF＝2BF，∴  ，∴EF  ；综上，EF的长为5  或  ．        答案图③                                       答案图④ 21.解：(1)②④； (2)①85°，120°； 【解法提示】∵四边形ABCD是“奋进四边形”，∠B≠∠D，∴∠A＝∠C＝85°，∵∠B＝70°，∴∠D＝360°－2×85°－70°＝120°. ②证明：如答案图①，连接AC， ∵四边形ABCD是“奋进四边形”，∠BAD＝∠BCD， 又∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC； 答案图① (3)  或  ． 【解法提示】①如答案图②，∠B＝∠ADC＝90°时，延长AD，BC交于点E，∵∠DAB＝60°，∴∠E＝30°，又∵AB＝4，AD＝3，∴BE＝4   ，AE＝8，DE＝5，∴CE  ，∴BC＝BE－CE＝4  ，∴AC   ；②如答案图③中，∠DAB＝∠DCB＝60°时，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∵∠DAB＝∠BCD＝60°，又∵AB＝4，AD＝3，∴AE  AD  ，∴DE＝BF  AE  ，∴BE＝DF＝AB－AE  ，∴CF＝DF•tan30°   ，∴BC＝CF+BF  ，∴AC  ，综上所述，AC的长为  或  ． 22.(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC， ∵对角线BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝DC. ∵∠A＋∠ABC＝180°，∠A ＝90°，∴∠ABC＝90°.∴四边形ABCD为邻等四边形；  (2)解：如解图①，点D1、D2、D3即为所求； 解图① (3)解：如解图②，过点D作DH⊥BC于点H， ∵∠DAB＝∠ABC＝90°， ∠DHB＝90°，∴四边形ABHD为矩形，AD∥BC， ∵AC∥BE，∴四边形ACBE是平行四边形，∴AE＝CB， 设AD＝x，则BC＝AE＝10－x，BH＝AD＝x，∴HC＝BC－BH＝10－x－x＝10－2x. 已知∠BCD为邻等角，则BC＝CD＝10－x， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2－BC2＝82－(10－x)2， 在Rt△DHC中，DH2＝DC2－HC2＝(10－x)2－(10－2x)2，∴82－(10－x)2＝(10－x)2－(10－2x)2， 解得x＝3 (负值已舍去)，∴BC＝CD＝10－x＝10－3 ，∴四边形EBCD周长＝DE＋EB＋BC＋CD＝10＋8＋2(10－3 )＝38－6 . 解图② 23.解：(1)②，④； (2)【解法一】四边形ABCD是“对补四边形”，若AC平分∠DCB，则AD＝AB． 证明：如答案图①，分别过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于点K， ∵AH⊥BC，AK⊥CD，AC平分∠DCB， ∴AH＝AK， ∵四边形ABCD是“对补四边形”， ∴∠B＝180°－∠ADC＝∠ADK， ∵∠AHB＝90°＝∠K， ∴△ABH≌△ADK(AAS)， ∴AB＝AD；(答案不唯一) 【解法二】四边形ABCD是“对补四边形”，若AD＝AB，则AC平分∠DCB． 证明：如答案图①，分别过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于点K， ∵四边形ABCD是“对补四边形”， ∴∠B＝180°－∠ADC＝∠ADK， ∵∠AHB＝90°＝∠K，AB＝AD， ∴△ABH≌△ADK(AAS)， ∴AH＝AK， ∵AH⊥BC，AK⊥CD， ∴∠AHC＝∠AKC＝90°， 在Rt△AHC与Rt△AKC中， ， ∴Rt△AHC≌Rt△AKC(HL)， ∴∠ACH＝∠ACK， ∴AC平分∠DCB；(答案不唯一，任选一种即可) 答案图① (3)如答案图②，过点D作DM⊥EG于点M，分别过点G作GP⊥AB于点P，GN⊥AC于点N，连接DG，设AE＝t， ∵等边三角形ABC边长为6， ∴AB＝BC＝AC＝6，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵CG＝2， ∴CN CG＝1，NG CN ，BG＝BC－CG＝6－2＝4， ∴BP BG＝2，PG BP＝2 ， ∵D为AB中点， ∴AD＝BD＝3， ∴PD＝BD－BP＝3－2＝1， ∴DG2＝PD2+PG2＝12+(2 )2＝13． ∵将△ADE沿ED翻折得到△FED， ∴∠MFD＝∠A＝60°，FD＝AD＝3，EF＝AE＝t， ∴MF FD ，MD MF ， ∴MG ， ∴FG＝MG－MF 1， ∴EG＝EF+FG＝t+1． ∵AC＝6，AE＝t，CN＝1， ∴EN＝5－t， ∵EN2+NG2＝EG2， ∴(5－t)2+( )2＝(t+1)2， 解得t ， ∴AE的长为 ． 答案图② 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：新定义型几何探究 1.查阅资料：发现A4打印纸、课本封面等矩形的长与宽之比为 ∶1，在房屋建筑中也存在这样的比例现象，目的是使物体更加美观，通常这样的矩形被定义为“标准矩形”. 　　 提出问题： (1)如图①，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交AD的延长线于点E，以AE，AB为边作矩形AEFB，则矩形AEFB______（填“是”或“不是”）标准矩形； 深入探究： (2)已知矩形ABCD是标准矩形(AB＜AD)，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG. ①如图②，当EF第一次经过点D时，旋转角∠BAE的度数为______； ②如图③，在矩形AEFG旋转的过程中，直线DG，CF交于点M，猜测CM，MF的数量关系，并给出证明； ③在矩形ABCD旋转的过程中，直线DG，CF交于点M，连接EM，当EM=CM时，直接写出 的值. 2.综合与实践 对于几何图形，一般从组成图形的要素及相关要素之间的关系来研究它的定义，性质，判定，应用等方面的内容，请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形． （1）理解运用 如图①，图②正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，点  在格点上，请在图①，图②所给的两个网格中分别画出一个筝形  ，要求  在格点上； （2）性质探究 根据定义可得出筝形边，角的性质，下面研究与对角线相关的性质，如图③，四边形  是筝形，对角线  所在的直线是它的对称轴； ①连接  与  的位置关系是            ； ②若  ，求筝形  的面积；(用含  的式子表示) （3）拓展延伸 如图④，在  中，  ，分别在边  上取点  ，使四边形  是筝形，请直接写出筝形  的面积． 3.综合与实践： 定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上(不含顶点)时，此时折痕被称为“落边折痕”. 特例感知：已知△ABC，D为AC边上一点，将△ABC沿BD折叠，使得点A恰好落在BC边上（不含点C），此时折痕BD称为“落边折痕”. （1）如图①，若△ABC是直角三角形，其中∠A=90°，∠ABC=60°，AB=1，若点D为AC边上一点，将△ABC沿着BD折叠后，点A恰好落在BC边上的点E处，求“落边折痕”BD的长； （2）如图②，若△ABC是等腰三角形，其中∠A=120°，请求出“落边折痕BD”将其分割后的△ABD与△BCD的面积比； （3）如图③，若△ABC是等腰三角形，其中AB=AC=5，BC=6，请求出其“落边折痕”的长度. 4.【材料背景】 如图①，在△ABC中，以边AB为底边向外作等腰Rt△ABD，其中∠ADB＝90°，且AD＝DB，那么点D就被称为边AB的“外展等直点”． 【建构与探究】 如图②，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，∠OAB＝90°，点C为OB的中点； （1）连接OA、OB、AB，请分别作边OA、AB的“外展等直点”P和Q，连接PC、QC和PQ，则△PCQ的形状为            ； （2）如图③，点E、F在格点上，请在线段EF上的格点中任取一点D（不与点A重合），连接OD、BD，分别作△OBD的边OD和边BD的“外展等直点”G、H，连接GC、HC和GH，请判断△GHC的形状，并说明理由； 【应用与拓展】 （3）如图④，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知M（－2，－1），N（3，1），请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标． 5.【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角(不是这组邻边的夹角)为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．(凸四边形是指所有内角均小于180°的四边形) 例如：如图①，在四边形ABCD中，如果BA＝BC，∠C＝90°，那么四边形ABCD为单直邻等四边形． 【初步理解】 (1)如图②，△ABC为等边三角形，点E在∠ABC的角平分线上，连接EA，将EA绕点E顺时针旋转60°得到线段ED，连接CD，AD． 求证：四边形ABCD为单直邻等四边形； 【拓展应用】 (2)如图③，四边形ABCD为单直邻等四边形，∠BCD＝90°，AB  ，连接BD，若∠CBD＝30°，BD＝AD，作∠DAE＝30°，且DE⊥AE，连接CE并延长交BD于点F，交AB于点M．求CM的长； 【解决问题】 (3)如图④，射线CF⊥CD于点C，∠ECF＝30°，CD＝4  ，点A在射线CE上，DA  ，点B在射线CF上，且四边形ABCD为单直邻等四边形，∠ABC的角平分线交CD于点P，请直接写出BP的长． 6.综合与实践 【了解概念】 定义：两条对角线相等的凸四边形叫作等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫作强等线四边形． 【理解运用】 （1）下列四边形中，一定是等线四边形的是______(只填序号)； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【拓展提升】 （2）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向△ACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，且∠CAG＝∠BAE＝60°，连接CG，BE，GE． ①求证：四边形BCGE是强等线四边形； ②若AB＝4，∠BAC＝30°，P，Q分别是BC，GE的中点，连接PQ，直接写出PQ的长． 7.综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“双直四边形”进行研究． 定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． （1）观察思考 如图  ，在双直四边形  中，  ，若  ，则  的值为            ； （2）初步探究 如图  ，在双直四边形  中，  ，过点  作  交  于点  ，若  ，请猜想  和  之间的数量关系，并说明理由； （3）类比探究 如图  ，在（2）的基础上，若  ，  ，  ，求  的长(用含  ，  ，  的代数式表示)； （4）拓展应用 如图  ，在双直四边形  中，  ，  ，  ，点  为线段  上一动点，且  ，连接  ，作点  关于直线  的对称点  ，连接  ．若  ，请直接写出  的长． 8.定义：在▱ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”． （1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有______； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是60°的菱形 D．有一个角是60°的平行四边形 E．有一个角是45°的平行四边形 （2）在“N字平行四边形”中，∠A＝45°，AB＞BC，则 ______； （3）如图①，在“N字平行四边形ABCD”中，∠B＝75°，AB＝AC＝8，点F是AB边上一点，FG∥AC，FG与DC的延长线交于点G，若▱AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值； （4）如图②，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB＝2AF，求 的值． 9.综合与实践 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形ABCD，O是AD上一点，连接BO，CO，存在点O，使得OB＝OC且OB⊥OC，我们称四边形ABCD是“可等垂四边形”，点O为四边形ABCD的“等垂点”． 初步探索 （1）如图①，矩形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是            ； 类比探究 （2）如图②，四边形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作AD的垂线，垂足分别为G和H．请写出BG，CH，GH之间的数量关系，并证明； 拓展应用 （3）如图③，在Rt△AMD中，AM＝6，DM＝10，∠DAM＝90°，若点B，C为Rt△AMD中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出C，D两点之间的距离． 10.综合与实践 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 如图①，四边形ABCD中，AB＝BC，∠B+∠D＝180°(或∠A+∠C＝180°)，则四边形ABCD叫做“邻等对补四边形”． 【概念理解】 （1）在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形．一定是“邻等对补四边形”的是             ；(填写序号) 【探究发现】 （2）如图②，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AC平分∠BCD，求证：四边形ABCD是邻等对补四边形； 【拓展应用】 （3）如图③，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，AB＝BC＝2，点D为平面内一点，满足四边形ABCD为邻等对补四边形，直线CD与AB交于点P，若△ACD中有一个角为15°，请直接写出AP的长． 11.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． （1）如图①，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图①中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹(找出1个即可)； （2） ①如图②，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，对角线AC平分∠DAB．请问∠ACD＋∠ADC＝______°？此时对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”吗？请说明理由； ②若 ，求AD·AB的值． （3）如图③，在（2）的条件下，若∠D＝90°，在AD边上取一点E，使 ，过点E作EF∥CD交AC于点F，得到△AEF，连接CE，BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长______． 12.综合与探究 【探索发现】如图①，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形. 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图②，在 △ABC中， AB=AC,AC=AD,∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD 是“双等四边形”， △ABC是“伴随三角形”. 【问题解决】如图③，在四边形 ABCD 中， AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC,求:  ①AD与BC的位置关系为:             : ②AC2            AD·BC. (填“>”,“<”或“=”) 【方法应用】 ①如图④，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE,点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形. ②如图⑤，在等腰三角形ABC中， AC=BC,cos B=  ,AB=5,在平面内找一点D，使四边形ABCD是以 △ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由. 13.如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图①，在▱ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则▱ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 （1）如图①，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若  ，CE＝2，则AE＝            ；AB＝            ； （2）如图②，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若AB＝BD，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明； （3）如图③，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝12，BE＝5， ①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长． 14.定义：若一个三角形的面积是另一个三角形面积的  倍，就说这个三角形是另一个三角形的“  倍三角形”，另一个三角形是这个三角形的“  分之一三角形”．如图①，  的中线  把三角形分成面积相等的两部分，即  和  的面积都是  面积的一半，所以  是  或  的“2倍三角形”，  和  都是  的“2分之一三角形”． (1)如图②，  是  的“2倍三角形”，那么  是  的“            分之一三角形”； (2)在  中，  ，分别延长边  ，  到点  ，  ，连接  ．已知  ，  是  的“16倍三角形”．求证：  与  是相似三角形； (3)如图③，在矩形  中，  ，连接  ，过点  作  于点  ，点  ，  分别是线段  ，  上的动点，连接  ，  ，已知  是  的“4倍三角形”，求  的最小值（直接写出答案）． 15.综合与实践 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 如图①，四边形ABCD中，AB＝BC，∠B+∠D＝180°(或∠A+∠C＝180°)，则四边形ABCD叫做“邻等对补四边形”． (1)概念理解 在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形．一定是“邻等对补四边形”的是______．(填写序号) (2)探究发现 如图②，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AC平分∠BCD，求证：四边形ABCD是“邻等对补四边形”． (3)拓展应用 如图③，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，AB＝BC＝2，D为平面内一点，满足四边形ABCD为邻等对补四边形，直线CD与AB交于点P，若△ACD中有一个角为15°，求AP的长． 16.综合与实践 定义：有一组邻边相等且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准等边四边形”． （1）如图①所示的4个四边形中是“准等边四边形”的有______(填序号)． （2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，以AC为边在其右侧作一个等边△ACE，点E恰好落到CD的延长线上，请判断四边形ABCD是否为“准等边四边形”，并说明理由． （3）如图③，四边形ABCD是“准等边四边形”，∠C＝∠ADC＝90°，∠ABC＞∠A，AD＝2，CD 将△ABD绕着点A旋转得到△AB'D'，当B'D'所在直线经过点C时，请直接写出B'C的长． 17.综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图①，在“双垂四边形ABCD”中，若∠A＝60°，则∠CBD＝______ 的值为______． 【问题解决】 （2）如图②，在“双垂四边形ABCD”中，∠ADB＝∠ABC＝90°，∠A＝45°，E为线段AB上一点，且CD⊥DE，求  的值． 【拓展应用】 （3）如图③，在“双垂四边形ABCD”中，∠A＝45°，AD＝6，E为线段AB上一动点，且CD⊥DE，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF＝2，请直接写出△BDE的面积． 18.在学习四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“N字平行四边形”进行研究．定义：在▱ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”． （1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有______； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是60°的菱形 D．有一个角是60°的平行四边形 E．有一个角是45°的平行四边形 （2）在“N字平行四边形”中，∠A＝45°，AB＞BC，则  ______； （3）如图①，在“N字平行四边形ABCD”中，∠B＝75°，AB＝AC＝8，点F是AB边上一点，FG∥AC，FG与DC的延长线交于点G，若▱AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值； （4）如图②，在矩形ABCD中，点E、F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB＝2AF，请直接写出 的值． 19.综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形的进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形． 【初步探究】 （1）如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接BD，点E是BD的中点，连接AE，CE．试判断在四边形ABCE是否是双等腰四边形：______(填“是”或“不是”)； 【问题解决】 （2）在（1）的条件下，若∠AEC＝90°，求∠ABC的度数； 【拓展应用】 （3）如图②，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD＝DE．延长AE交BC于点G，连接FG．若AD＝5，∠EFG＝90°， ，直接写出AB的长． 20.综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为  的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为  ，则这个四边形为类A4矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？ 【分析并解决问题】 (1)学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图①所示，其中AB＝a，  ．求证：四边形CDMN是类A4矩形； (2)学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图②所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形； 【拓展】 (3)如图③，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分BD，  ，BD＝10，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值． 21.定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断： 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图①所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______(填序号)； (2)性质探究： ①如图②，四边形ABCD是“奋进四边形”，∠B≠∠D，∠B＝70°，∠C＝85°，则∠A的度数为______，∠D的度数为______； ②如图③，四边形ABCD是“奋进四边形”，∠A＝∠C，AD＝CD，求证：AB＝BC； (3)四边形ABCD是“奋进四边形”，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝4，AD＝3，请直接写出对角线AC的长． 22.定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．相等两邻边的夹角称为邻等角． (1)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC.求证：四边形ABCD为邻等四边形； (2)如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D； (3)如图③，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E.若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长． 23.【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现一种特殊的四边形，如图①，在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°，我们就把这种四边形称为“对补四边形”． 那么“对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据学习经验，进行如下研究． 【概念辨析】 (1)用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图②所示的4个四边形，其中是“对补四边形”的有______(填序号)； 【深入探究】 学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现了如下两个猜想： 猜想1：如图③，四边形ABCD是“对补四边形”，若AC平分∠DCB，则AD＝AB． 猜想2：如图③，四边形ABCD是“对补四边形”，若AD＝AB，则AC平分∠DCB． （2）请从上述猜想中任选一个，并给出证明； 【拓展应用】 (3)如图④，在边长为6的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E是AC边上一动点，将△ADE沿ED翻折得到△FED，延长EF交直线BC于点G．若CG＝2，求AE的长． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：新定义型几何探究 1.查阅资料：发现A4打印纸、课本封面等矩形的长与宽之比为 ∶1，在房屋建筑中也存在这样的比例现象，目的是使物体更加美观，通常这样的矩形被定义为“标准矩形”. 　　 提出问题： (1)如图①，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交AD的延长线于点E，以AE，AB为边作矩形AEFB，则矩形AEFB______（填“是”或“不是”）标准矩形； 深入探究： (2)已知矩形ABCD是标准矩形(AB＜AD)，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG. ①如图②，当EF第一次经过点D时，旋转角∠BAE的度数为______； ②如图③，在矩形AEFG旋转的过程中，直线DG，CF交于点M，猜测CM，MF的数量关系，并给出证明； ③在矩形ABCD旋转的过程中，直线DG，CF交于点M，连接EM，当EM=CM时，直接写出 的值. 1.解：(1)是； (2)①45°； 【解法提示】∵矩形ABCD是标准矩形(AB＜AD)，∴AD∶AB= ∶1,∠B=∠BAD=90°，∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，∴∠E=∠B=90°，AE=AB,∴当EF第一次经过点D时，AD∶AE= ∶1,∴cos∠DAE= = ，∴∠DAE=45°，∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°-45°=45°. ②CM=MF，证明如下： 如答案图①，分别过点C，F作GM的垂线，垂足分别为H，N， 由题意可知，AD=AG，DC=GF， ∴∠ADG=∠AGD， ∵∠FGA=∠ADC=90°， ∴∠FGN+∠AGD=90°，∠HDC+∠ADG=90°， ∴∠FGN=∠HDC， ∵FG=CD，∠FNG=∠CHD=90°， ∴△FNG≌△CHD(AAS)， ∴NF=HC， ∵∠FNM=∠CHD=90°，∠FMN=∠CMH， ∴△NFM≌△HCM(AAS)， ∴CM=FM； ③ 的值为 -1或 +1. 【解法提示】①如答案图②，连接CE，由(2)②可知FM=CM，∵EM=CM，∴FM=EM=CM，∴∠MFE=∠MEF，∠MEC=∠MCE，在△CEF中，∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，即∠MFE+∠MEF+∠MEC+∠MCE=180°，∴∠MEF+∠MEC=90°，∴∠CEF=90°，∴△CEF为直角三角形，∵∠AEF=90°，∴A,E,C三点共线，设CD=AB=a,则AD=BC= a，∴AC= = a，∵AE=AB=a，∴CE=（ -1）a,∴ = -1;②如答案图③，连接CA，由(2)②可知FM=CM，∵EM=CM，∴FM=EM=CM，∴∠MFE=∠MEF，∠MEC=∠MCE，在△CEF中，∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，即∠MFE+∠MEF+∠MEC+∠MCE=180°，∴∠MEF+∠MEC=90°，∴∠CEF=90°，∴△CEF为直角三角形，∵∠AEF=90°，∴A,E,C三点共线，设CD=AB=b,则AD=BC= b，∴AC= = b，∵AE=AB=b，∴CE=( +1)b,∴ = +1，综上所述， 的值为 -1或 +1. 答案图 2.综合与实践 对于几何图形，一般从组成图形的要素及相关要素之间的关系来研究它的定义，性质，判定，应用等方面的内容，请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形． （1）理解运用 如图①，图②正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，点  在格点上，请在图①，图②所给的两个网格中分别画出一个筝形  ，要求  在格点上； （2）性质探究 根据定义可得出筝形边，角的性质，下面研究与对角线相关的性质，如图③，四边形  是筝形，对角线  所在的直线是它的对称轴； ①连接  与  的位置关系是            ； ②若  ，求筝形  的面积；(用含  的式子表示) （3）拓展延伸 如图④，在  中，  ，分别在边  上取点  ，使四边形  是筝形，请直接写出筝形  的面积． 2.解：（1）如答案图①，答案图②，即为所求作； 答案图①                     答案图② （2）①  垂直平分  ； 【解法提示】①连接  与  的位置关系是  垂直平分  ；∵四边形  是筝形，对角线  所在的直线是它的对称轴，∴  ，∴  垂直平分  ． ②如答案图③，记  ， ∵  ， ∴ ； 答案图③ (3) ． 【解法提示】当  所在直线为对称轴时，如答案图④，过点  作  于点  ，∵四边形  是筝形，  为对称轴时，∴  ，  ，  ∵在  中，  ，∴  ，  是等腰直角三角形，∴  ，在  中，∵  ，在  中，  ，∴  ，∴  ，  ，即  ，∵  ，∴  ，解得  ，∴  ，∴  ，如答案图⑤，当  所在直线为对称轴时，∵四边形  是筝形，  为对角线时，∴  ，  ，∵  ，∴  ，  ，∴  ，∵  ，∴  ，∴  是直角三角形  斜边上的中线，∴  ，∴  是等边三角形，∴  ，在  中，  ，∴  ，∴  ，∴  ，则  ，∴  ，综上所述，筝形ABMN的面积为  ． 答案图④                      答案图⑤ 3.综合与实践： 定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上(不含顶点)时，此时折痕被称为“落边折痕”. 特例感知：已知△ABC，D为AC边上一点，将△ABC沿BD折叠，使得点A恰好落在BC边上（不含点C），此时折痕BD称为“落边折痕”. （1）如图①，若△ABC是直角三角形，其中∠A=90°，∠ABC=60°，AB=1，若点D为AC边上一点，将△ABC沿着BD折叠后，点A恰好落在BC边上的点E处，求“落边折痕”BD的长； （2）如图②，若△ABC是等腰三角形，其中∠A=120°，请求出“落边折痕BD”将其分割后的△ABD与△BCD的面积比； （3）如图③，若△ABC是等腰三角形，其中AB=AC=5，BC=6，请求出其“落边折痕”的长度. 3.解：（1）根据折叠的性质可知，∠EBD=∠ABD= ∠ABC=30°， 又∵∠A=90°，AB=1， ∴BD= AB= ； （2）如答案图①，分别过点D作AB，EB的垂线，垂足分别为M，N. 根据折叠的性质可知， S△ABD=S△EBD，∠ABD=∠EBD， ∴DM=DN， ∴ = = .  ∵在等腰△ABC中，∠BAC=120°， ∴∠ABC=30°， ∴ = = ， 即 = ；  答案图① （3）根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）. ∵在等腰△ABC中， AB=AC=5，BC=6，BC＞AB， ∴只能是点A向下折叠，则分情况讨论.  ①如答案图②，当沿BD折叠，点A落在BC边上的点E处时， 由探究2可得， = = ， ∴ = ， 过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∴ = ，G为BC中点，AG∥DF， ∴CG=3， 由勾股定理得AG=4，△AGC∽△DFC， ∴ = = , ∴CF= ， DF= ， ∴GF=GC-FC=3- = , ∴BF= ， ∴在Rt△BDF中，BD= = ； ②如答案图③，当沿CH折叠，点A落在BC边上的点 I处时，同①，则CH= ； ③如答案图④，当沿BP折叠，点A落在AC边上的点Q处时， BP为AQ的垂直平分线，即BP⊥AC， 由①可知S△ABC= ×6×4＝12， ∴ BP·AC＝12， ∴BP= ； ④如答案图⑤，当沿CX折叠，点A落在AB边上的点Y处时，CX为AY的垂直平分线，则同情况③，则CX= . 　 综上所述，“落边折痕”的长度为 或 .                    答案图②          答案图③          答案图④          答案图⑤ 4.【材料背景】 如图①，在△ABC中，以边AB为底边向外作等腰Rt△ABD，其中∠ADB＝90°，且AD＝DB，那么点D就被称为边AB的“外展等直点”． 【建构与探究】 如图②，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，∠OAB＝90°，点C为OB的中点； （1）连接OA、OB、AB，请分别作边OA、AB的“外展等直点”P和Q，连接PC、QC和PQ，则△PCQ的形状为            ； （2）如图③，点E、F在格点上，请在线段EF上的格点中任取一点D（不与点A重合），连接OD、BD，分别作△OBD的边OD和边BD的“外展等直点”G、H，连接GC、HC和GH，请判断△GHC的形状，并说明理由； 【应用与拓展】 （3）如图④，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知M（－2，－1），N（3，1），请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标． 4.解：（1）等腰直角三角形； 【解法提示】如答案图①，点P、Q即为所求，由图可知PC＝CQ＝3，且∠PCQ＝90°，∴△PCQ是等腰直角三角形； 答案图① （2）解法一：选取点D如答案图②所示，G、H即为所求， △GHC形状为等腰直角三角形，理由如下： 如答案图②，GI＝CJ＝CI＝HJ＝3，∠GIC＝∠CHH＝90° ∴△GIC≌△CJH（SAS）， ∴GC＝CH，且∠GCH＝180°－45°－45°＝90°， ∴△GHC为等腰直角三角形； 解法二：选取点D如答案图③所示，G、H即为所求； 如答案图③，GI＝CJ＝3，CI＝HJ＝1，∠GIC＝∠CJH＝90°， ∴△GIC≌△CJH（SAS）， ∴GC＝HC，∠IGC＝∠JCH，则∠GCH＝90°， ∴△GHC为等腰直角三角形． 解法三：选取点D如答案图④所示，G、H即为所求； 如答案图④，GI＝CJ＝1，CI＝HJ＝3，∠GIC＝∠CHH＝90°， ∴△GIC≌△CJH（SAS）， ∴GC＝HC，∠IGC＝∠JCH，则∠GCH＝90°， ∴△GHC为等腰直角三角形； 答案图②                                          答案图③                                           答案图④  （3）由（2）知△MNK为等腰直角三角形，如答案图⑤会在MN上方和下方各有一个K点， 过K1作EF∥x轴，作ME⊥EF于点E，NF⊥EF于点F， ∵∠MK1N＝90°， ∴∠MK1E＝∠FNK1＝90°－∠FK1N， ∵∠E＝∠F＝90°，MK1＝NK1， ∴△MEK1≌△K1FN（AAS）， ∴ME＝FK1，EK1＝FN， ∵M（－2，－1），N（3，1）， ∴EF＝EK1＋FK1＝5，EM－FN＝2， 即ME＋FN＝5，ME－FN＝2， ∴ME  ，FN  ， ∴K1（  ，  ）， 同理可得K2（  ，  ）， 综上，三角形第三条边的中点K的坐标为K1（  ，  ），K2（  ，  ）． 答案图⑤ 5.【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角(不是这组邻边的夹角)为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．(凸四边形是指所有内角均小于180°的四边形) 例如：如图①，在四边形ABCD中，如果BA＝BC，∠C＝90°，那么四边形ABCD为单直邻等四边形． 【初步理解】 (1)如图②，△ABC为等边三角形，点E在∠ABC的角平分线上，连接EA，将EA绕点E顺时针旋转60°得到线段ED，连接CD，AD． 求证：四边形ABCD为单直邻等四边形； 【拓展应用】 (2)如图③，四边形ABCD为单直邻等四边形，∠BCD＝90°，AB  ，连接BD，若∠CBD＝30°，BD＝AD，作∠DAE＝30°，且DE⊥AE，连接CE并延长交BD于点F，交AB于点M．求CM的长； 【解决问题】 (3)如图④，射线CF⊥CD于点C，∠ECF＝30°，CD＝4  ，点A在射线CE上，DA  ，点B在射线CF上，且四边形ABCD为单直邻等四边形，∠ABC的角平分线交CD于点P，请直接写出BP的长． 5.(1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 由题意知，BE平分∠ABC， ∴∠ABE ， ∵EA绕点E顺时针旋转60°得到线段ED， ∴DE＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠DAE＝∠CAB， ∴∠DAE－∠CAE＝∠CAB－∠CAE， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△ACD≌△ABE(SAS)， ∴∠ACD＝∠ABE＝30°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD为单直邻等四边形； (2)解：如答案图①， 连接DM，作DG⊥CM于点G， ∵四边形ABCD为单直邻等四边形，∠BCD＝90°， ∴BC＝AB ， 又∵∠CBD＝30°， ∴CD＝BCtan30° ，BD＝2CD＝2，∠BDC＝60°， ∴AD＝BD＝2， ∵DE⊥AE，∠DAE＝30°， ∴DE AD＝1，∠ADE＝60°， ∴∠CDE+∠EDF＝∠EDF+∠ADB＝60°， ∴∠CDE＝∠ADB， ∵ ， ∴△CDE∽△BDA， ∴∠DCE＝∠ABD， ， ∴点D，M，B，C共圆， ， ∴∠DMB＝180°－∠BCD＝90°，∠DMC＝∠DBC＝30°，CE ， 又∵∠BMC＝60°， ∴∠DMB＝∠DMC+∠BMC＝90°，DM平分AB， ∴BM＝AM ，同理CG＝EG ， ∴DM ， ∴GM ， ∴CM＝cos30°DM＝CG+MG ； 答案图① (3)解：2或6． 【解法提示】如答案图②，作DG⊥CE于G，设PB，CE交于点Q，当点A在CG上时，∵∠DCF＝90°，∠ECF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴CG＝CD•cos60° CD＝2 ，DG＝CD•sin60° ，∴AG ，∴AC＝CG－AG＝2 ．∵AB＝BC，∴AQ＝CQ AC ，∵BC＝BA，且BP平分∠ABC，∴BP⊥AC，∴BC ，∴∠CBP＝60°，∠CPB＝30°，∴BP＝2BC＝2；如答案图③，当点A在CG的延长线上时，由上知，AG  ，CG＝2 ，∴AC＝3 ，∴CQ AC ，∴BC ＝3，∴BP＝2BC＝6，∴综上所述，BP＝2或6．                          答案图②                                              答案图③        6.综合与实践 【了解概念】 定义：两条对角线相等的凸四边形叫作等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫作强等线四边形． 【理解运用】 （1）下列四边形中，一定是等线四边形的是______(只填序号)； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【拓展提升】 （2）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向△ACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，且∠CAG＝∠BAE＝60°，连接CG，BE，GE． ①求证：四边形BCGE是强等线四边形； ②若AB＝4，∠BAC＝30°，P，Q分别是BC，GE的中点，连接PQ，直接写出PQ的长． 6.（1）解：②④ 【解法提示】一定是等线四边形的是②矩形；④正方形．理由如下，①平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；②矩形对角线相等，它一定是等线四边形；③菱形对角线互相垂直平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；④正方形对角线相等，它一定是等线四边形. （2）①证明：如答案图①，连接BG，CE，交于点O，设CE交AB于点N， 在菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝60°， ∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△BAG和△EAC中， ， ∴△BAG≌△EAC(SAS)， ∴BG＝EC，∠ABG＝∠AEC，即∠OBN＝∠AEN， ∵∠OBN＋∠BNO＋∠BOE＝∠AEN＋∠ENA＋∠BAE＝180°，∠BNO＝∠ENA， ∴∠BOE＝∠BAE＝60°，即BG，CE所夹锐角为60°， ∴四边形BCGE是强等线四边形； 答案图① ②解：PQ的长为 . 【解法提示】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝30°，∴AC＝AB·cos∠BAC＝4 2 ，在菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG＝2 ，AE＝AB＝4，∠CAG＝∠BAE＝60°，∴△ACG，△ABE都是等边三角形，∠GAE＝∠CAG＋∠BAC＋∠BAE＝150°，∴CG＝AC＝2  ，BE＝AB＝4，∠AGC＝∠AEB＝60°，∠AGE＋∠AEG＝180°－∠GAE＝30°，∴∠CGE＋∠BEG＝∠AGC＋∠AEB－(∠AGE＋∠AEG)＝90°，如答案图②，连接PQ，CE，取CE的中点M，连接PM，QM，∵P，Q分别是BC，GE的中点，∴PM，QM分别是△BCE，△CGE的中位线，∴PM BE＝2，PM∥BE，QM CG ，QM∥CG，∴∠CMP＝∠CEB，∠MQE＝∠CGE，∵∠CMQ＝∠MQE＋∠CEG，∴∠CMQ＝∠CGE＋∠CEG，∴∠CMQ＋∠CMP＝∠CGE＋∠CEG＋∠CEB＝90°，在Rt△PQM中，由勾股定理得PQ ，即PQ的长为 ． 答案图② 7.综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“双直四边形”进行研究． 定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． （1）观察思考 如图  ，在双直四边形  中，  ，若  ，则  的值为            ； （2）初步探究 如图  ，在双直四边形  中，  ，过点  作  交  于点  ，若  ，请猜想  和  之间的数量关系，并说明理由； （3）类比探究 如图  ，在（2）的基础上，若  ，  ，  ，求  的长(用含  ，  ，  的代数式表示)； （4）拓展应用 如图  ，在双直四边形  中，  ，  ，  ，点  为线段  上一动点，且  ，连接  ，作点  关于直线  的对称点  ，连接  ．若  ，请直接写出  的长． 7.解：（1）  ； 【解法提示】∵  ，  ，∴  ，∴  ． （2）  ，理由如下： ∵  ，  ，  ∴  ， ∴  ， ∴  ，  ， ∵  ， ∴  ， ∵  ，  ， ∴  ， 在  和  中， ， ∴  ， ∴  ； （3）∵  ， ∴  ∴  ， 同理可得，  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ，  ∴  ； （4）分两种情况：①如答案图①，当点  的对应点  在  的下方时，过点  作  于点  ， 由（  ）知，  ， 在Rt△ADB中，  ，  ， ∴  ，在Rt△BPD中，  ，∴  ， 同理（  ）可得，  ，∴  ， 由对称的性质可得四边形  为正方形，连接  ，则  ，  ， ∴  ，  ，∴  ，∴  ， ∵  ，∴  ，∴  ； ②如答案图②，当点  的对应点  在  的上方时，同理可得  ； 综上，  的长为  或  ． 答案图 8.定义：在▱ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”． （1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有______； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是60°的菱形 D．有一个角是60°的平行四边形 E．有一个角是45°的平行四边形 （2）在“N字平行四边形”中，∠A＝45°，AB＞BC，则 ______； （3）如图①，在“N字平行四边形ABCD”中，∠B＝75°，AB＝AC＝8，点F是AB边上一点，FG∥AC，FG与DC的延长线交于点G，若▱AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值； （4）如图②，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB＝2AF，求 的值． 8.（1）解：C 【解法提示】正方形的对角线是边长的  倍，故A选项不是；矩形的对角线是直角三角形的斜边，比直角边大，故B选项不是；有一个角是60°的菱形必定包含等边三角形，会有一条对角线等于边长，故C选项是；有一个角是60°的平行四边形和有一个角是45°的平行四边形不一定存在对角线等于边长，故D，E选项均不是. （2）解： 【解法提示】如答案图①，∵▱ABCD是“N字平行四边形”，∴DA＝DB，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴ ，∴ . 答案图① （3）证明：如答案图②，连接AG，CF， ∵在N字▱ABCD中，∠B＝75°，AB＝AC＝8， ∴∠B＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝30°． ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠BCG＝75°， ∴∠ACG＝∠ACB＋∠BCG＝150°， 由大角对大边可得AG＞AC，AG＞GC， 若▱AFGC为“N字平行四边形”，只能分为以下两种情况： ①当CF＝AF时，∠FCA＝∠FAC＝30°， 如答案图③，过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF＝2HF， ， 又∵AC＝8， ∴ ， ∴ ， ； ②当CF＝AC时，∠CAF＝∠AFC＝30°，此时，∠ACF＝120°＞∠ACB矛盾． 综上所述，若▱AFGC为“N字平行四边形”， ； （4）如答案图④，过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，AB＝DC＝FN， ∵四边形BEDF为平行四边形， ∴FD＝BE，FB＝DE， ∴AF＝AD－FD，CE＝BC－BE，即AF＝CE． ∵四边形BEDF为N字平行四边形，BD＞BE，BD＞DE， ∴有以下两种情况： ①当FB＝FE时， ∵FN⊥BE， ∴N为BE的中点， ∴BN＝NE． 在矩形ABNF中，AF＝BN， 又∵AF＝CE， ∴BN＝NE＝CE＝AF， ∴BC＝BN＋NE＋CE＝3AF， ∵AB＝2AF， ∴ ； ②如答案图⑤，当EB＝EF时， ∵EM⊥BF， ∴M为BF的中点， ，∠EMB＝90°， 设AF＝t，则AB＝2t， ∴ ， ， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠MBE， ∴Rt△BAF∽Rt△EMB， ∴AF:AB:BF＝MB:ME:BE＝1:2: ， 由 可得 ， ∴ ， ∴ ； 综上所述， 或 ． 9.综合与实践 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形ABCD，O是AD上一点，连接BO，CO，存在点O，使得OB＝OC且OB⊥OC，我们称四边形ABCD是“可等垂四边形”，点O为四边形ABCD的“等垂点”． 初步探索 （1）如图①，矩形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是            ； 类比探究 （2）如图②，四边形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作AD的垂线，垂足分别为G和H．请写出BG，CH，GH之间的数量关系，并证明； 拓展应用 （3）如图③，在Rt△AMD中，AM＝6，DM＝10，∠DAM＝90°，若点B，C为Rt△AMD中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出C，D两点之间的距离． 9.解：（1）AD＝2AB； 【解法提示】矩形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”．如答案图①，过点O作OP⊥BC于点P，则AB＝PO．∴OB＝OC，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BP＝OP＝CP，∴AB＝BP＝CP．∴BC＝2AB，即AD＝2AB． 答案图① （2）GH＝BG+CH； 证明：∵BG⊥AD，CH⊥AD， ∴∠OGB＝∠CHO＝90°， ∴∠GBO+∠BOG＝90°． ∵四边形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”， ∴OB＝OC，OB⊥OC， ∴∠BOG+∠HOC＝90°， ∴∠GBO＝∠HOC， 在△GBO和△HOC中， ， ∴△GBO≌△HOC(ASA)， ∴OG＝CH，BG＝OH， ∴GH＝GO+OH＝BG+CH； （3）C，D两点之间的距离为  或  ． 【解法提示】∵∠DAM＝90°，AM＝6，DM＝10，∴AD＝8，由题意，得点B，C均不可能在边AD上，故分两种情况讨论：a．如答案图②，当点B在边AM上，点C在边MD上，且四边形ABCD为“可等垂四边形”时，则  ．设点O为它的“等垂点”，连接BO，CO，过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AM，同理（2）可得△BAO≌△OEC，∴OE＝AB＝3，CE＝AO．设CE＝AO＝x，则DE＝5－x．∵CE∥AM，∴△DCE∽△DMA，∴  ，即  ，解得  ，∴  ；b．如答案图③，当点B在边DM上，点C在边AM上，且四边形ACBD为“可等垂四边形”时，则  ，设点O为它的“等垂点”，连接BO，CO，过点B作BF⊥AD于点F，则BF∥AM，∴△DBF∽△DMA，∴  ，∴BF＝3，DF＝4，∴AF＝AD－DF＝4，同理可证，△CAO≌△OFB，∴OA＝BF＝3，∴CA＝OF＝AF－OA＝1．如答案图③，连接CD，在直角三角形ACD中，由勾股定理得  ．综上所述，C，D两点之间的距离为  或  ． 答案图 10.综合与实践 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 如图①，四边形ABCD中，AB＝BC，∠B+∠D＝180°(或∠A+∠C＝180°)，则四边形ABCD叫做“邻等对补四边形”． 【概念理解】 （1）在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形．一定是“邻等对补四边形”的是             ；(填写序号) 【探究发现】 （2）如图②，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AC平分∠BCD，求证：四边形ABCD是邻等对补四边形； 【拓展应用】 （3）如图③，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，AB＝BC＝2，点D为平面内一点，满足四边形ABCD为邻等对补四边形，直线CD与AB交于点P，若△ACD中有一个角为15°，请直接写出AP的长． 10.（1）解：④； 【解法提示】平行四边形对角相等，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”，故①不符合题意；菱形对角相等，邻边相等，不是“邻等对补四边形”，故②不符合题意；矩形对角相等且互补，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”，故③不符合题意；正方形对角相等且互补，邻边相等，一定是“邻等对补四边形”，故④符合题意． （2）证明：如答案图①，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作AF⊥BC于点F，则∠AED＝∠AFB＝90°， ∵AC平分∠BCD， ∴AE＝AF， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°， ∴∠ADE＝∠B， 在 ADE和 ABF中 ， ∴△ADE≌△ABF(AAS)， ∴AB＝AD， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴四边形ABCD是邻等对补四边形； 答案图① （3）解：AP的长为  或  ． 【解法提示】分情况讨论：情况一：如答案图②，当∠CDA＝15°时，∵∠CBA＝90°，AB＝BC＝2，∴∠BAC＝45°，∴∠PAD＝∠BAC+∠CAD＝45°+15°＝60°，∵∠D+∠CBA＝90°，∴∠D＝90°，∴∠CPB＝90°－∠PAD＝30°，∴PC＝2BC＝4，在Rt△PCB中，由勾股定理得  ，∴  ；情况二：如答案图③，当∠ACD＝15°时，∴∠ACB＝45°，∵∠CBA＝90°，AB＝BC＝2，∴∠PCB＝∠ACB+∠ACD＝45°+15°＝60°，∴∠BPC＝90°－∠PCB＝30°，∴PC＝2BC＝4，在Rt△PCB中，由勾股定理得  ，∴  ；综上所述，AP的长为  或  ． 答案图②                                                                   答案图③ 11.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． （1）如图①，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图①中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹(找出1个即可)； （2） ①如图②，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，对角线AC平分∠DAB．请问∠ACD＋∠ADC＝______°？此时对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”吗？请说明理由； ②若 ，求AD·AB的值． （3）如图③，在（2）的条件下，若∠D＝90°，在AD边上取一点E，使 ，过点E作EF∥CD交AC于点F，得到△AEF，连接CE，BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长______． 11.解：（1）如答案图①， ， ，∠ABC＝90°，AC＝5， ∵四边形ABCD是以AC为“亲子线”的四边形， 当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA， ∴ 或 ， ∴ 或 ， ∴CD＝10或CD＝2.5， 同理，当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10， 如答案图①，D1，D2，D3，D4即为所求，画出四边形如图所示(找出一个即可)； 答案图 （2）①135； 【解法提示】∵∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠ACD＋∠ADC＝180°－∠DAC＝135°． AC是四边形ABCD的“亲子线”，理由如下， ∵∠DCB＝135°＝∠DCA＋∠ACB， ∴∠D＝∠ACB， ∴△DAC∽△CAB， ∴AC是四边形ABCD的“亲子线”； ②∵△DAC∽△CAB， ∴ ， ∴AD·AB＝AC2， ∵ ， ∴AD·AB＝10； （3） 或 ． 【解法提示】①由（2）可知，△ADC为等腰直角三角形， ，∴ ，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，且相似比为 ，∴ ，AF＝2，如答案图②，延长CE交AF于点H，由题意可得EH⊥AF，∴ ，∴ ，∴CE＝CH－EH＝3－1＝2，由旋转的性质可得∠DAE＝∠CAF，又∵∠CAD＝∠EAF＝45°，∴∠CAE＝∠BAF， ，∵ ，∴△EAC∽△FAB，∴ ，即 ，∴ ；②如答案图③，设AF与EC交于点G，∵AF⊥CE，∴△AGE为等腰直角三角形，∵ ，∴AG＝EG＝1，在Rt△AGC中， ，∴EC＝4，同理可证△EAC∽△FAB，∴ ，即 ，∴ ．综上所述， 或 ． 答案图 12.综合与探究 【探索发现】如图①，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形. 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图②，在 △ABC中， AB=AC,AC=AD,∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD 是“双等四边形”， △ABC是“伴随三角形”. 【问题解决】如图③，在四边形 ABCD 中， AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC,求:  ①AD与BC的位置关系为:             : ②AC2            AD·BC. (填“>”,“<”或“=”) 【方法应用】 ①如图④，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE,点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形. ②如图⑤，在等腰三角形ABC中， AC=BC,cos B=  ,AB=5,在平面内找一点D，使四边形ABCD是以 △ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由. 12.【问题解决】①解：AD∥BC， ②解：=； 【解法提示】由题意易得，△ABC∽△DAC，∴  =  ，∴AC2=CD·BC，∵CD=AD，∴AC2=AD·BC. 【方法应用】①证明：∵△ADE为等腰△ABC旋转得到， ∴AB=AD，AC=BC=AE=DE, 令∠B=α,则∠ADB=α,∠BAD=180°-2α， ∵∠ADE=∠B=α，EA=ED， ∴∠DAE=∠ADE=α， ∴∠E=180°-2α， ∴∠E=∠BAD， ∴四边形ABDE为双等四边形； ②解：如答案图①，作 AH⊥BC于点H， ∵cos B=  ，AB=5， ∴BH=3,AH=4， 设 CH=x, 则AC=BC=x+3， 在 Rt△ACH中, CH2+AH2=AC2, 即x2+42=（x+3）2, 解得x=  ， ∴CH=  ,BC=AC=  ， a.如答案图①，当∠ACB=∠D=∠CAD,CA=CD 时， CD=AC=  ； b.如答案图②，若 ∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC时， ∴AD=AC=  ， 作 AM⊥CD于点M， 则CM=DM， ∴  =cos ∠ACM=cos ∠ACB=  =  ， ∴CM=  ×  =  ， ∴CD=2CM=  ； c.如答案图③，当∠D=∠ACB,DA=DC时， ∴∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ABC， ∴△CAB∽△DAC， ∴  =  ， ∴  =  ， ∴CD=  ， 综上所述，CD的长为  ,  或  .           答案图①                        答案图②                  答案图③ 13.如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图①，在▱ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则▱ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 （1）如图①，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若  ，CE＝2，则AE＝            ；AB＝            ； （2）如图②，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若AB＝BD，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明； （3）如图③，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝12，BE＝5， ①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长． 13.解：（1）1，  ； 【解法提示】由题可知，  ，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴  ，∵CE＝2，∴AE＝1，∵  ，∴  ，∴  ； （2）  ； 证法一：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∴△AED∽△FEB， ∴  2， 设BE＝x，则DE＝2x， ∴AB＝BD＝3x， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ； 证法二：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∴△AED∽△FEB， ∴  2， 设CD＝x，AE＝y， ∵AB＝BD， ∴AB＝BD＝CD＝x， ∴DE＝  ​x，BE＝  ​x，EF＝  ​y， 在Rt△BFD中，由FE⊥BD，应用射影定理，得EF2＝BE×ED， 即  ＝(  ​x)×(  ​x)， 整理化简，得y＝  x， ∴  ； （3）①作法一：如图①，四边形ABCD即为所求； 图① 作法二：如图②，四边形FBCD即为所求； 图② 作法三：如图③，四边形FBCD即为所求； 图③ ②  或  ； 【解法提示】若按照图①作图，即如图④，由题意可知，∠ACB＝∠ACP，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ACB＝∠PAC，∴∠PAC＝∠PCA，∴△PAC是等腰三角形；过点P作PH⊥AC于点H，则AH＝HC，∵BE＝5，CE＝2AE＝12，∴B′E＝BE＝5，AE＝6，∴  ，∴EH＝AH－AE＝9－6＝3，∵PH⊥AC，BE⊥AC，∴△CPH∽△CB′E，∴  ，即  ，∴  ；解法一：若按照上图②作图，即如图⑤，延长CA，DF交于点G，同理可得△PGC是等腰三角形，连接PA，∵GF∥BC，∴△GAF∽△CAB，∴  ，∴AG＝AC，∴PA⊥AC；同理△CPA∽△CB′E，∵AE＝6，EC＝12，B'E＝BE＝5，∴  ，即  ，∴  ； 图④                                            图⑤ 解法二：如图⑥，∵AB∥CM，∴△ABE∽△CME，∴  ，∴ME＝2BE，又∵BE＝B'E＝5，∴MB'＝B'E＝BE＝5，EM＝10，∵MN∥BC，∴△PMB'∽△CBB'，∴  ＝  ＝  ，∴点P为MN的中点，在Rt△CBE中，由勾股定理，得BC＝  ＝  ＝13，∴MP＝  BC＝  ，∵MN∥BC，∴∠PME＝∠EBC,∴cos∠PME＝cos∠EBC＝  ＝  ，在△PME中，由余弦定理，得cos∠PME＝  ，代入解得  ；若按照上图③作图，则没有交点，不存在PE（不符合题意），即如图⑦.   图⑥                                                          图⑦ 14.定义：若一个三角形的面积是另一个三角形面积的  倍，就说这个三角形是另一个三角形的“  倍三角形”，另一个三角形是这个三角形的“  分之一三角形”．如图①，  的中线  把三角形分成面积相等的两部分，即  和  的面积都是  面积的一半，所以  是  或  的“2倍三角形”，  和  都是  的“2分之一三角形”． (1)如图②，  是  的“2倍三角形”，那么  是  的“            分之一三角形”； (2)在  中，  ，分别延长边  ，  到点  ，  ，连接  ．已知  ，  是  的“16倍三角形”．求证：  与  是相似三角形； (3)如图③，在矩形  中，  ，连接  ，过点  作  于点  ，点  ，  分别是线段  ，  上的动点，连接  ，  ，已知  是  的“4倍三角形”，求  的最小值（直接写出答案）． 14.(1)解：3； 【解法提示】∵  是  的“2倍三角形”，∴  的面积是  面积的2倍，∴  的面积是  面积的3倍，∴  是  的“3分之一三角形”； （2）证明：如答案图①，所示，连接  ， ∵  ， ∴  ， ∴  ， ∵  是  的“16倍三角形”， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ， ∴  ，即  ， ∵  ， ∴  ， ∴  ，  ， ∴  ， 又∵  ， ∴  ； 答案图① （3）解：  ； 【解法提示】解法一：如答案图②，所示，作点C关于  的对称点  ，点Q关于  的对称点  ，连接  ，  ，  ，∵  是  的“4倍三角形”，∴  的面积是  面积的4倍，∴  的面积是  面积的4倍，∴  的面积是  面积的3倍，∵  ，∴  ，∵  ，∴  ，∴  ，即  ，∴  ，∵  的面积是  面积的3倍，∴  ，∴  ，∵点C关于  的对称点  ，∴  ，∵点C关于  的对称点  ，点Q关于  的对称点  ，∴  ，∴  ，∴当点E，P，  三点共线时，  有最小值，即  的长度，∴当  时，  最小，∵  ，  ，  ，∴  ，∴  ，由对称性质可得，  ，∴  ，∴  ，∴  的最小值为  ，∴  的最小值为  ；解法二：如答案图③，作点E关于AD的对称点T，点Q关于AD的对称点W，连接PW，连接AT，ET，过得E作EH⊥AT于点H.则PQ＋PE＝PE＋PW≥PE，∴PE＋PQ的最小值为线段EH的长，∵DE⊥AC，△ABC是△CDE的4倍三角形，∵∠BAC＝∠DCE，∠ACB＝∠CDE，∴.△ABC∽△CED，∵面积比为4:1，边长比为2:1，∴CE＝2，∴CD＝AB＝2EC，∴∠CDE＝30°，∴∠ADE＝60°，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD＝8，∴AE＝AC－CE＝6，∴AH＝AE·cos60°＝3，∴EH＝3  ，故EP＋PQ的最小值为3  ． 答案图②                        答案图③ 15.综合与实践 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 如图①，四边形ABCD中，AB＝BC，∠B+∠D＝180°(或∠A+∠C＝180°)，则四边形ABCD叫做“邻等对补四边形”． (1)概念理解 在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形．一定是“邻等对补四边形”的是______．(填写序号) (2)探究发现 如图②，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AC平分∠BCD，求证：四边形ABCD是“邻等对补四边形”． (3)拓展应用 如图③，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，AB＝BC＝2，D为平面内一点，满足四边形ABCD为邻等对补四边形，直线CD与AB交于点P，若△ACD中有一个角为15°，求AP的长． 15.解：(1)④； 【解法提示】①平行四边形对角相等，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”，故该选项不符合题意；②菱形对角相等，邻边相等，不是“邻等对补四边形”，故该选项不符合题意；③矩形对角相等且互补，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”，故该选项不符合题意；④正方形对角相等且互补，邻边相等，一定是“邻等对补四边形”，故该选项符合题意． (2)证明：如答案图①，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作AF⊥BC于点F，则∠AED＝∠AFB＝90°， ∵AC平分∠BCD， ∴AE＝AF， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADE， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF(AAS)， ∴AB＝AD， ∵∠B+∠ADC＝180°，AC平分∠BCD， ∴四边形ABCD是“邻等对补四边形”； 答案图① (3)①∠CBA＝90°，AB＝BC＝2， 如答案图②，当∠CAD＝15°时， ∴∠BAC＝45°， ∴∠PAD＝∠BAC+∠CAD＝45°+15°＝60°， ∴∠CPB＝30°， ∴PC＝2BC＝4， 由勾股定理得 ， ∴ ； ②∠CBA＝90°，AB＝BC＝2， 如答案图③，当∠ACD＝15°时， ∴∠ACB＝45°， ∴∠PCB＝∠ACB+∠ACD＝45°+15°＝60°， ∴∠BPC＝30°， ∴PC＝2BC＝4， 由勾股定理得 ， ∴ ； 综上所述，AP的长为 或 ． 16.综合与实践 定义：有一组邻边相等且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准等边四边形”． （1）如图①所示的4个四边形中是“准等边四边形”的有______(填序号)． （2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，以AC为边在其右侧作一个等边△ACE，点E恰好落到CD的延长线上，请判断四边形ABCD是否为“准等边四边形”，并说明理由． （3）如图③，四边形ABCD是“准等边四边形”，∠C＝∠ADC＝90°，∠ABC＞∠A，AD＝2，CD 将△ABD绕着点A旋转得到△AB'D'，当B'D'所在直线经过点C时，请直接写出B'C的长． 16.解：（1）②④； 【解法提示】如答案图①，四边形ABCD由两个含30°角的直角三角形组成， ， ，在 和 中 ∴ ，∴ ，∵ ，∴四边形ABCD是“准等边四边形”；∵四边形EFGH由两个等边三角形组成，∴ ， ，∴四边形EFGH是“准等边四边形”. （2）四边形ABCD为“准等边四边形”， 理由：∵∠BAD＝60°，∠BCD＝120°， ∴∠B＋∠ADC＝360°－∠BAD－∠BCD＝180°， ∵以AC为边在其右侧作一个等边△ACE，点E恰好落到CD的延长线上， ∴AC＝AE，∠CAE＝60°，∠ADE＋∠ADC＝180°， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°－∠CAD，∠B＝∠ADE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE(AAS)， ∴AB＝AD， ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴四边形ABCD为“准等边四边形”． （3）B′C的长为1或3； 【解法提示】【解法一】∵四边形ABCD是“准等边四边形”，∠C＝∠ADC＝90°，∠ABC＞∠A，AD＝2，CD ，∴AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，△ABD是等边三角形，当△ABD绕点A旋转得到△AB′D′，B′D′所在直线经过点C时，分两种情况：①点C在D′B′的延长段上时，如答案图①，连接AC，过点C作CK⊥AB′交AB′的延长线于点K，在Rt△ACD中，根据勾股定理 ，由旋转可知，AB′＝AB＝2，∠AB′D′＝∠ABD＝60°，在Rt△CB′K中，∠CKB′＝90°，∠CB′K＝∠AB′D′＝60°，设B′K＝x，则 ， ，AK=2+x，在Rt△ACK中，由勾股定理得， ，解得 （舍去）， ，∴ ，∴D′C＝B′C＋B′D′＝1＋2＝3；②当点C在B′D′的延长线上时，此时B与D′重合，如答案图②，过点A作AL⊥B′D′于点L，∵△AB′D′是等边三角形，∴ ， ， ，设D′C＝m，在Rt△ALC中，由勾股定理得： ，解得m1＝1，m2＝－3（舍去），∴D'C＝1，综上所述，D′C的长为1或3；【解法二】∵∠C＝∠ADC＝90°，∴∠C＋∠ADC＝180°，∴AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∵四边形ABCD是“准等边四边形”，∠ABC＞∠BAD，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，从而∠ABC＝120°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，AB＝BD＝AD＝2，∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝30°，在Rt△BCD中，BC＝BD＝1，∵将△ABD绕着点A旋转得到△A'B'D'，∴B'D'＝BD＝2，AB'＝AB＝AD＝AD'＝2，∠AD'B'＝∠ADB＝60°，当B'D'所在直线经过点C时，若点C在B'D'的延长线上，如答案图③，则点D'与点B重合，B'C＝B'D'＋BC＝3；若点C在D'B'的延长线上，过点A作AE⊥B'D'于点E，连接AC，如答案图④，则∠AEB'＝90°，B'E＝B'D'＝1，由勾股定理，得AE2＝AB'2－B'E2＝22－12＝3，在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2＝22＋( )2＝7，在Rt△AEC中，由勾股定理，得AE2＋CE2＝AC2，即有3＋(B'C＋1)2＝7，(B'C＋1)2＝4，∵B'C＋1>0，∴B'C＋1＝2，B'C＝1，D'C＝D'B'＋B'C＝3，综上所述，当B'D'所在直线经过点C时，D'C的长为1或3.     答案图①                                      答案图②                                             答案图③                              答案图④ 17.综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图①，在“双垂四边形ABCD”中，若∠A＝60°，则∠CBD＝______ 的值为______． 【问题解决】 （2）如图②，在“双垂四边形ABCD”中，∠ADB＝∠ABC＝90°，∠A＝45°，E为线段AB上一点，且CD⊥DE，求  的值． 【拓展应用】 （3）如图③，在“双垂四边形ABCD”中，∠A＝45°，AD＝6，E为线段AB上一动点，且CD⊥DE，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF＝2，请直接写出△BDE的面积． 17.解：（1） ， ； 【解法提示】∵ ， ，∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ． （2）∵∠ADB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－45°＝45°， ∴∠CBD＝∠ABC－∠ABC＝90°－45°＝45°，∠A＝∠ABD， ∴∠A＝∠CBD，AD＝BD， ∵CD⊥DE， ∴∠CDE＝90°， ∴∠BDC＋∠BDE＝90°， ∵∠ADE＋∠BDE＝90°， ∴∠ADE＝∠BDC， ∴△ADE≌△BDC(ASA)， ∴AE＝BC， ∴ ； （3）△BDE的面积为6或12． 【解法提示】如答案图①，过点D作DP⊥AB于点P，由（2）知，AD＝BD＝6，∴ ∵∠A＝45°，∴ 同理（2）可得，△ADE≌△BDC，∴CD＝DE，由折叠的性质可知四边形CDEF为正方形，连接DF，则 ∠EDF＝∠BDP＝45°，分两种情况：①如答案图①，当点D的对应点F在AB的上方时，∵∠EDF＝∠BDP＝45°，∴ ∠BDF＝∠PDE，∴△BDF∽△PDE，∴ ∵BF＝2，∴ ，∴ ，∴ ＝ ＝ ；②如答案图②，当点D的对应点F在AB的下方时，同理可得 ∴ ；综上可得，△BDE的面积为6或12． 18.在学习四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“N字平行四边形”进行研究．定义：在▱ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”． （1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有______； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是60°的菱形 D．有一个角是60°的平行四边形 E．有一个角是45°的平行四边形 （2）在“N字平行四边形”中，∠A＝45°，AB＞BC，则  ______； （3）如图①，在“N字平行四边形ABCD”中，∠B＝75°，AB＝AC＝8，点F是AB边上一点，FG∥AC，FG与DC的延长线交于点G，若▱AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值； （4）如图②，在矩形ABCD中，点E、F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB＝2AF，请直接写出 的值． 18.解：（1）C； 【解法提示】正方形的对角线是边长的   倍，故A选项不是；矩形的对角线是直角三角形的斜边比边长大，故B选项不是；有一个角是60°的菱形必定包含等边三角形，会有一条对角线等于边长，故C选项是；有一个角是60°的平行四边形和有一个角是45°的平行四边形并不必然出现对角线等于边长，故D、E选项均不是. （2）  ； 【解法提示】如图①，∵▱ABCD是“N字平行四边形”，∴DA＝DB，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴  ，∴  . 图① （3）如图②，连接AG，CF， ∵在N字▱ABCD中，∠B＝75°，AB＝AC＝8， ∴∠B＝∠ACB＝75°，∠BAC＝30°． ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠BCG＝75°， ∴∠ACG＝∠ACB+∠BCG＝150°， 由大角对大边可得AG＞AC，AG＞GC， 图② 若▱AFGC为“N字平行四边形”，只能分为以下几种情况： ①当CF＝AF时，∠FCA＝∠FAC＝30°， 如图③，过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF＝2HF，  ， 又∵AC＝8， ∴  ， ∴  ，  ； ②当CF＝AC时，∠CAF＝∠AFC＝30°，此时，∠ACF＝120°＞∠ACB矛盾． 综上，若▱AFGC为N字平行四边形，  ； 图③ （4）  或  . 【解法提示】过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，AB＝DC＝FN，∵四边形BEDF为平行四边形，∴FD＝BE，FB＝DE，∴AF＝AD﹣FD，CE＝BC﹣BE，即AF＝CE．∵四边形BEDF为N字平行四边形，又∵BD＞BE，BD＞DE，∴有以下两种情况：①如图④，当FB＝FE时，∵FN⊥BE，∴N为BE的中点，∴BN＝NE．在矩形ABNF中，AF＝BN，又∵AF＝CE，∴BN＝NE＝CE＝AF，∴BC＝BN+NE+CE＝3AF，∵AB＝2AF，∴  ；②如图⑤，当EB＝EF时，∵EM⊥BF，∴M为BF的中点，  ，设AF＝t，则AB＝2t，  ，  ，∵EM⊥BF，∴∠EMB＝90°，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠MBE，∴Rt△BAF∽Rt△EMB，∴AF：AB：BF＝MB：ME：BE＝1：2：  ，由  可得  ，∴  ，∴  ；综上，  或  ． 19.综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形的进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形． 【初步探究】 （1）如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接BD，点E是BD的中点，连接AE，CE．试判断在四边形ABCE是否是双等腰四边形：______(填“是”或“不是”)； 【问题解决】 （2）在（1）的条件下，若∠AEC＝90°，求∠ABC的度数； 【拓展应用】 （3）如图②，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD＝DE．延长AE交BC于点G，连接FG．若AD＝5，∠EFG＝90°， ，直接写出AB的长． 19.解：（1）是； 【解法提示】∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，∴AE＝BE ， ∴△ABE，△CBE是等腰三角形，且BE是腰，∴四边形AECB是双等腰四边形． （2）【解法一】如答案图①， ∵∠BAD＝90°，E是BD的中点， ∴EA＝EB． ∴∠1＝∠2． 同理，∠3＝∠4． 在四边形ABCE中，∠AEC＝90°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝270°， ∴∠ABC＝∠2＋∠3＝135°； 【解法二】∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴点A，B，C，D共圆，且点E为圆心， ∵∠AEC＝90°， ∴∠ADC＝45°， ∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－45°＝135°； 答案图① （3） 或 ． 【解法提示】∵四边形AEFD是双等腰四边形，AD＝DE，∴DE＝EF或DE＝DF．①如答案图②，当DE＝EF＝AD＝5时，过点E作EH⊥CD于点H，延长HE交AB于点K．∵∠EHF＝∠EFG＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵∠EHF＝∠FCG＝90°，∴△EHF∽△FCG，∴ ，∵EF＝5，∴HF＝3，HE＝4，AK＝DH＝HF＝3，KE＝1．设CG＝3k，FC＝4k，则BG＝5－3k，AB＝CD＝6＋4k，∵KE∥BC，∴△AKE∽△ABG，∴ ，解得 ，∴ ；②如答案图③，当DE＝DF＝AD＝5时，过点E作EH⊥CD于点H．由（2）可知，∠AEF＝135°，∴∠FEG＝45°，∵∠EFG＝90°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FE＝FG．由①可知，∠HEF＝∠CFG，又∵∠EHF＝∠FCG＝90°，∴△EHF≌△FCG(AAS)，∴HF＝CG，HE＝CF，∴ ，设HF＝3k，HE＝4k，则DH＝5－3k，AB＝CD＝5＋4k，在Rt△DEH中，DH2＋HE2＝DE2，∴(5－3k)2＋(4k)2＝52，解得 或k＝0(不合题意，舍去)，∴ ；综上所述，AB的长为 或 ． 20.综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为  的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为  ，则这个四边形为类A4矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？ 【分析并解决问题】 (1)学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图①所示，其中AB＝a，  ．求证：四边形CDMN是类A4矩形； (2)学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图②所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形； 【拓展】 (3)如图③，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分BD，  ，BD＝10，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值． 20.(1)证明：如答案图①，由折叠得，AM＝DM  AD  ，∠AMN＝∠DMN＝90°， ∵AB＝a，四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝a，∠C＝∠D＝90°， ∴  ， ∵∠DMN＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴四边形CDMN是类A4矩形； 答案图① (2)证明：如答案图②，由折叠得，∠AFG＝∠DFG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD， ∴∠DFG＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴四边形CDFG是矩形， 设CE＝x，CD＝y，则EM＝x， 由折叠得，∠DME＝∠C＝90°＝∠EMB，BG＝EG， ∵∠CBD＝45°， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BE  x， ∴  x+x＝y， ∵BG＝EG，BE  x， ∴EG  x， ∴  ， ∴四边形CDFG是类A4矩形； 答案图② (3)解：5  或  ． 【解法提示】设AC与BD交于点O，∵AC垂直平分BD，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上，∴EF//AC，同理得，FG//BD，GH//AC，∵四边形EFGH是类A4矩形，∴  或  ，①如答案图③，当  时，EF  FG，∵EF//AC，∴△BEF∽△BAC，∴  ，∵AC＝10  ，∴  ，∵FG//BD，∴△CFG∽△CBD，∴  ，∵BD＝10，∴  ，∴  ，∴BF＝CF，∴  ，∴EF  AC＝5  ；②如答案图④，当  时，FG  EF，由①得，△BEF∽△BAC，∴  ，即  ，∴EF  ，∵△CFG∽△CBD，∴  ，即  ，∴EF  ，∴  ，∴CF＝2BF，∴  ，∴EF  ；综上，EF的长为5  或  ．        答案图③                                       答案图④ 21.定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断： 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图①所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______(填序号)； (2)性质探究： ①如图②，四边形ABCD是“奋进四边形”，∠B≠∠D，∠B＝70°，∠C＝85°，则∠A的度数为______，∠D的度数为______； ②如图③，四边形ABCD是“奋进四边形”，∠A＝∠C，AD＝CD，求证：AB＝BC； (3)四边形ABCD是“奋进四边形”，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝4，AD＝3，请直接写出对角线AC的长． 21.解：(1)②④； (2)①85°，120°； 【解法提示】∵四边形ABCD是“奋进四边形”，∠B≠∠D，∴∠A＝∠C＝85°，∵∠B＝70°，∴∠D＝360°－2×85°－70°＝120°. ②证明：如答案图①，连接AC， ∵四边形ABCD是“奋进四边形”，∠BAD＝∠BCD， 又∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC； 答案图① (3)  或  ． 【解法提示】①如答案图②，∠B＝∠ADC＝90°时，延长AD，BC交于点E，∵∠DAB＝60°，∴∠E＝30°，又∵AB＝4，AD＝3，∴BE＝4   ，AE＝8，DE＝5，∴CE  ，∴BC＝BE－CE＝4  ，∴AC   ；②如答案图③中，∠DAB＝∠DCB＝60°时，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∵∠DAB＝∠BCD＝60°，又∵AB＝4，AD＝3，∴AE  AD  ，∴DE＝BF  AE  ，∴BE＝DF＝AB－AE  ，∴CF＝DF•tan30°   ，∴BC＝CF+BF  ，∴AC  ，综上所述，AC的长为  或  ． 22.定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．相等两邻边的夹角称为邻等角． (1)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC.求证：四边形ABCD为邻等四边形； (2)如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D； (3)如图③，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E.若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长． 22.(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC， ∵对角线BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝DC. ∵∠A＋∠ABC＝180°，∠A ＝90°，∴∠ABC＝90°.∴四边形ABCD为邻等四边形；  (2)解：如解图①，点D1、D2、D3即为所求； 解图① (3)解：如解图②，过点D作DH⊥BC于点H， ∵∠DAB＝∠ABC＝90°， ∠DHB＝90°，∴四边形ABHD为矩形，AD∥BC， ∵AC∥BE，∴四边形ACBE是平行四边形，∴AE＝CB， 设AD＝x，则BC＝AE＝10－x，BH＝AD＝x，∴HC＝BC－BH＝10－x－x＝10－2x. 已知∠BCD为邻等角，则BC＝CD＝10－x， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2－BC2＝82－(10－x)2， 在Rt△DHC中，DH2＝DC2－HC2＝(10－x)2－(10－2x)2，∴82－(10－x)2＝(10－x)2－(10－2x)2， 解得x＝3 (负值已舍去)，∴BC＝CD＝10－x＝10－3 ，∴四边形EBCD周长＝DE＋EB＋BC＋CD＝10＋8＋2(10－3 )＝38－6 . 解图② 23.【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现一种特殊的四边形，如图①，在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°，我们就把这种四边形称为“对补四边形”． 那么“对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据学习经验，进行如下研究． 【概念辨析】 (1)用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图②所示的4个四边形，其中是“对补四边形”的有______(填序号)； 【深入探究】 学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现了如下两个猜想： 猜想1：如图③，四边形ABCD是“对补四边形”，若AC平分∠DCB，则AD＝AB． 猜想2：如图③，四边形ABCD是“对补四边形”，若AD＝AB，则AC平分∠DCB． （2）请从上述猜想中任选一个，并给出证明； 【拓展应用】 (3)如图④，在边长为6的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E是AC边上一动点，将△ADE沿ED翻折得到△FED，延长EF交直线BC于点G．若CG＝2，求AE的长． 23.解：(1)②，④； (2)【解法一】四边形ABCD是“对补四边形”，若AC平分∠DCB，则AD＝AB． 证明：如答案图①，分别过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于点K， ∵AH⊥BC，AK⊥CD，AC平分∠DCB， ∴AH＝AK， ∵四边形ABCD是“对补四边形”， ∴∠B＝180°－∠ADC＝∠ADK， ∵∠AHB＝90°＝∠K， ∴△ABH≌△ADK(AAS)， ∴AB＝AD；(答案不唯一) 【解法二】四边形ABCD是“对补四边形”，若AD＝AB，则AC平分∠DCB． 证明：如答案图①，分别过点A作AH⊥BC于点H，作AK⊥CD交CD延长线于点K， ∵四边形ABCD是“对补四边形”， ∴∠B＝180°－∠ADC＝∠ADK， ∵∠AHB＝90°＝∠K，AB＝AD， ∴△ABH≌△ADK(AAS)， ∴AH＝AK， ∵AH⊥BC，AK⊥CD， ∴∠AHC＝∠AKC＝90°， 在Rt△AHC与Rt△AKC中， ， ∴Rt△AHC≌Rt△AKC(HL)， ∴∠ACH＝∠ACK， ∴AC平分∠DCB；(答案不唯一，任选一种即可) 答案图① (3)如答案图②，过点D作DM⊥EG于点M，分别过点G作GP⊥AB于点P，GN⊥AC于点N，连接DG，设AE＝t， ∵等边三角形ABC边长为6， ∴AB＝BC＝AC＝6，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵CG＝2， ∴CN CG＝1，NG CN ，BG＝BC－CG＝6－2＝4， ∴BP BG＝2，PG BP＝2 ， ∵D为AB中点， ∴AD＝BD＝3， ∴PD＝BD－BP＝3－2＝1， ∴DG2＝PD2+PG2＝12+(2 )2＝13． ∵将△ADE沿ED翻折得到△FED， ∴∠MFD＝∠A＝60°，FD＝AD＝3，EF＝AE＝t， ∴MF FD ，MD MF ， ∴MG ， ∴FG＝MG－MF 1， ∴EG＝EF+FG＝t+1． ∵AC＝6，AE＝t，CN＝1， ∴EN＝5－t， ∵EN2+NG2＝EG2， ∴(5－t)2+( )2＝(t+1)2， 解得t ， ∴AE的长为 ． 答案图② 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $