8.1 平方根（第2课时）-【名校作业】2025-2026学年七年级下册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦算术平方根的概念、意义及求法，通过宇宙飞船速度问题（v₁²=gR，v₂²=2gR）导入，联系物理实际引出已知平方求正数的需求，搭建从平方根到算术平方根的学习支架，借助正方形面积与边长的填表活动，从平方运算过渡到开方运算，形成逆运算认知。 特色在于以真实情境和跨学科问题导入，培养数学眼光中的抽象能力，让学生从现实问题抽象出数学关系。通过填表探究逆运算发展数学思维中的推理意识，明确算术平方根概念及双重非负性，结合|m-1|+√(n+3)=0求m+n等题强化数学语言表达。助力学生提升抽象思维和解决问题能力，为教师提供清晰的概念形成路径和分层练习设计。

8.1 平方根 第2课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性. 2. 能正确区分平方根与算术平方根的意义. 3.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根. 【过程与方法】 类比平方根的学习了解算术平方根，了解算术平方根的意义，发展抽象思维. 【情感态度与价值观】 1. 通过学习算术平方根，认识数学与人类生活的密切联系. 2. 通过探究活动，锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时 共3课时 四、教学重难点 【教学重点】 算术平方根的意义及求法. 【教学难点】 算术平方根的概念，对符号的理解. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 同学们,你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗? 这时它的速度要大于第一宇宙速度v1 (m/s)而小于第二宇宙速度v2 (m/s). v1，v2的大小满足v12=gR, v22=2gR, 其中，g是物理中的一个常数, g≈9.8m/s2 ,R是地球半径,R≈6.4×106m.怎样求v1和v2呢? （二）探索新知 1.出示课件4-6，探究算术平方根的概念 教师问：学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴，他想裁出一块面积为25dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 学生答：因为52 =25, 所以这块正方形画布的边长应取5dm. 教师出示完成下题： 填表： 正方形的边长/cm 1 2 0.5 正方形的面积/cm2 教师依次展示学生答案： 学生1答： 正方形的边长/cm 1 2 0.5 正方形的面积/cm2 1 学生2答： 正方形的边长/cm 1 2 0.5 正方形的面积/cm2 4 学生3答： 正方形的边长/cm 1 2 0.5 正方形的面积/cm2 0.25 学生4答： 正方形的边长/cm 1 2 0.5 正方形的面积/cm2 教师总结如下：填写如下表： 正方形的边长/cm 1 2 0.5 正方形的面积/cm2 1 4 0.25 教师问：你能从上表发现什么共同点吗？ 学生答：已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算. 教师出示问题：完成下表： 正方形的面积/cm2 1 4 0.36 49 正方形的边长/cm 教师依次展示学生答案： 学生1答： 正方形的面积/cm2 1 4 0.36 49 正方形的边长/cm 1 学生2答： 正方形的面积/cm2 1 4 0.36 49 正方形的边长/cm 2 学生3答： 正方形的面积/cm2 1 4 0.36 49 正方形的边长/cm 0.6 学生4答： 正方形的面积/cm2 1 4 0.36 49 正方形的边长/cm 7 教师总结如下：填写如下表： 正方形的面积/cm2 1 4 0.36 49 正方形的边长/cm 1 2 0.6 7 教师问：你能从上表发现什么共同点吗？ 学生答：已知一个正数的平方，求这个正数. 教师问：上述两个表中的两种运算有什么关系？ 学生答：互为逆运算. 总结点拨：（出示课件7） 算术平方根的概念：正数 a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根. 正数a的算术平方根用来表示. 规定：0的算术平方根是0，0的算数平方根也记为. 教师问：怎么用符号来表示一个数的算术平方根？ 教师问：一个正数的算术平方根有几个？ 学生答：一个正数的算术平方根有1个. 教师问：0的算术平方有几个？ 学生答：0的算术平方根有1个，是0. 教师问：-1有算术平方根吗？负数有算术平方根? 学生答：负数没有算术平方根. 总结点拨：一个正数的算术平方根只有一个，是一个正数，0的算术平方根是0. 教师问：平方根与算术平方根的联系与区别是什么？ 学生自思考回答，教师总结. 总结点拨：（出示课件9） 平方根与算术平方根的联系与区别： 联系 1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.0的平方根是0，算术平方根也是0 区别 1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根. 2.表示法不同：平方根表示为：± 而算术平方根表示为 考点1：求一个数的算术平方根 求下列各数的算术平方根： （1）100 ； （2） ； （3）0.0001．（出示课件10） 师生共同讨论解答如下： 学生1解：（1）因为 10²=100 ，所以100的算术平方根是10 ． 即 =10． 学生2解：（2）因为 （）2= ， 所以的算术平方根是 ． 即 = ． 学生3解：（3）因为0.012=0.0001， 所以0.0001的算术平方根是0.01 ． 即 =. 总结点拨：从例题可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立. 出示课件13-16，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件17，探究算术平方根的双重非负性 教师问：负数有算术平方根吗？ 学生答：负数没有算术平方根. 教师问：是什么数？ 学生答：是正数或0. 教师问：中的a可以取任何数吗？ 学生答：a的值为非负数. 总结点拨：（出示课件17） 的双重非负性：1.被开方数a≥0；2.a的算术平方根≥0. 也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数.负数不存在算术平方根，即当 a＜0时，无意义. 考点2：算术平方根有意义的识别 下列各式是否有意义，为什么？（出示课件18） （1）；（2）-；（3）；（4）． 学生独立思考后，师生共同解答. 解： （1）无意义；（2）有意义；（3）有意义；（4）有意义． 出示课件19，学生自主练习后口答，教师订正. 考点3：利用非负性求字母的值 若|m-1| +=0,求m+n的值.（出示课件20） 学生独立思考后，师生共同解答. 解: 因为|m-1| ≥0，≥0，又|m-1| +=0, 所以 |m-1| =0，=0，所以m=1,n=-3, 所以m+n=1+(-3)=-2. 师生共同归纳：几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根. 出示课件21，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧. （三）课堂练习（出示课件22-27） 练习课件第22-27页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件28） 算术平方根的概念 1. 正数 a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根. 正数a的算术平方根用来表示. 2.a的算术平方根记为 ，读作 “根号a” ，a叫做 被开方数 . 算术平方根的双重非负性 1.被开方数a≥0；2.a的算术平方根≥0. 算术平方根的应用 （五）课前预习 预习下节课（8.1第3课时）的相关内容. 知道利用计算器开平方的步骤和估算的步骤. 七、课后作业 教材第43-44页练习第1,2，3题. 八、板书设计： 1.知识梳理 算术平方根 2.考点讲解 考点1 考点2 考点3 九、教学反思 成功之处：让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化. 不足之处：课堂上对学生的能力把握不对位，认为对负数没有算术平方根很好理解，所以处理不够细致，做练习时发现有些学生不理解，还需要加强练习. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $