8.1 平方根（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年七年级下册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦平方根的概念、性质及开平方运算，通过平方运算填空（如3²=9，(-3)²=9）导入，引导思考“已知平方求原数”，搭建平方与开平方的逆运算支架，衔接旧知与新知。 以“问题情境—合作探究—总结升华”为主线，通过方桌面边长等实例抽象平方根概念培养数学眼光的抽象能力，归纳性质发展数学思维的推理意识，符号±√a强化数学语言的符号意识，助力教师教学逻辑清晰，帮助学生建立逆向思维和数感。

8.1 平方根 第1课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.了解平方根的概念,掌握平方根的特征. 2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根. 【过程与方法】 通过学习平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维,利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的特征. 【情感态度与价值观】 使学生深入体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共3课时 四、教学重难点 【教学重点】 理解平方根的概念，会用符号表示一个正数的平方根. 【教学难点】 理解平方根的意义. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 填空： (1)3²=_______， （－3）²=_______； (2)，=； (3)0.8²=_______，（-0.8）²=_______． 【讨论】反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？ （二）探索新知 1.出示课件4-11，探究平方根的概念及性质 教师问：要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？ 学生答：它的面积是9平方分米. 教师问：这个问题实际上就是求：32=? 这是已知底数和指数,求幂的运算.这是什么运算？ 学生答：这是平方运算. 教师问：反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？ 学生答：它的边长是3分米. 教师问：实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9， 即：（ ）2=9，应该填什么呢？ 学生答：显然，括号里应是±3. 教师问：桌子的边长为何是3分米？ 学生答：－3不符题意. ∴方桌面的边长应是3分米. 教师问：你还能得到什么问题呢？ 学生问：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 教师答：由于（±3）2=9 ，所以这个数是3或-3. 教师问：想一想：3和-3有什么特征？ 学生答：3和-3互为相反数，只有符号不同. 教师问：3和-3互为相反数，会不会是巧合呢? 学生答：猜想不一定是巧合，需要实例吧！ 做一做,想一想: 教师问：填一填，想一想: 写出左圈和右圈中的“？”表示的数： 学生答：如下图所示： 总结点拨：（出示课件8） 根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念： 一般地，如果有一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. 例如： (±3)2=9，±3是9的平方根. 平方根的性质：如果x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：x与-x.即平方根互为相反数. 教师问：121的平方根是什么？（出示课件9） 学生答：121的平方根是±11. 教师问：0的平方根是什么？ 学生答：0的平方根是0. 教师问：的平方根是什么？ 学生答：的平方根是±. 教师问：-9有没有平方根？为什么？ 学生答：没有，因为一个数的平方不可能是负数. 教师问：通过这些题目的解答，你能发现什么?（出示课件10） 学生答：有些数有两个平方根，有些数有一个平方根，有些数没有平方根. 教师问：正数有几个平方根？ 学生答：正数有2个平方根. 教师问：0有几个平方根？ 学生答：0有1个平方根. 教师问：有没有一个数的平方是负数？ 学生答：没有一个数的平方是负数. 教师问：负数有几个平方根呢？ 学生答：负数没有平方根. 教师问：为何负数没有平方根呢？ 学生答：因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根. 总结点拨：（出示课件11） 平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根. 考点1：求平方根 求下列各数的平方根： (1)64； (2) ； (3)0.01.（出示课件12） 师生共同讨论解答如下： 教师依次展示学生解答过程： 学生1解：(1) ∵(±8)2＝64，∴64的平方根是±8； 学生2解：(2) ∵(± )2＝ ， ∴ 的平方根是±； 学生3解：(3) ∵(±0.1)2＝0.01，∴0.01的平方根是±0.1. 方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根． 出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件14-15，探究平方根的读法和表示 教师问：非负数a的平方根表示为什么呢？ 学生答：非负数a的平方根表示为±. 教师问：±的各部分表示什么意思呢？ 师生一起解答：正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”.a叫作被开方数.正数a的负的平方根，可用“- ”表示，读作“负根号a”. 合起来，一个正数a的平方根就用“ ± ”表示，读作“正、负根号a”.如下图所示. 出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正. 考点2：利用平方根的表示求平方根 求下列各数的平方根： （1）36；（2） ；（3）1.21 （出示课件16） 学生独立思考后，师生共同分析后解答. 教师依次展示学生解答过程： 学生1解:（1）由于（±6）²=36，因此36的平方根是6与-6. 即±=±6. 学生2解:（2）由于（±）²=，因此的平方根是与-. 即±=±. 学生3解:（3）由于（±1.1）²=1.21， 因此1.21的平方根是1.1与-1.1. 即±=±1.1. 出示课件18，学生自主练习后口答，教师订正. 考点3 利用平方根解形如x2=a（a≥0）的方程 求下列各式中x的值： （1） x2=361 ； （2） （2x-1）2=25.（出示课件19） 学生独立思考后，师生共同分析后解答. 教师依次展示学生解答过程： 学生1解: （1）因为x2=361 ，所以x=±=±19； 学生2解：（2）因为（2x-1）2=25 ，所以2x-1=±=±5. 当2x-1=5时，解得x=3;当2x-1=-5时，解得x=-2; 所以x=3或x=-2. 出示课件20，学生自主练习后口答，教师订正. 3.出示课件21-24，探究平方与开方的关系 教师出示问题：请完成下面的题目： 学生答：答案如下图所示： 教师问：上面的运算是平方运算，什么是平方运算呢？ 学生答：已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算. 教师问：反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？ 师生一起解答：求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 教师问：开平方与平方是什么关系？ 学生答：互为逆运算. 教师总结点拨：（出示课件23） 已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数 教师与学生一起完成下面的题目： 运算符号 适用范围 运算结果名称 性质 开方 ± 正数与零 平方根 正数有2个平方根,它们互为相反数 ,零的平方根是0 ,负数没有平方根. 平方 a2 任何数 幂 正数的平方是正数；零的平方是0；负数的平方是正数. 考点4：开平方的有关计算 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.（出示课件25） （1）0.36； （2）-5； （3）（-4）2. 学生独立思考后，师生共同分析后解答. 教师依次展示学生解答过程： 学生1解：（1）因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6； 学生2解：（2）因为-5是正数，所以-5没有平方根； 学生3解：（3）因为（-4）2=16是正数，所以（-4）2有两个平方根，±=±=±4. 出示课件26，学生自主练习，教师给出答案. 方法点拨：只有当a大于或等于0时，有意义；而当a小于0时，没有有意义. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧. （三）课堂练习（出示课件28-33） 练习课件第28-33页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件34） 平方根 平方根的概念 平方根的性质 开平方及相关运算 （五）课前预习 预习下节课（8.1第2课时）的相关内容. 知道算术平方根、算术平方根的双重非负性及与平方根的区别和联系. 七、课后作业 教材第46页习题8.1第1,6题. 八、板书设计 8.1 平方根 第1课时 1、平方根的概念 2、归纳 正数有两个平方根，0的平方根是0；负数没有平方根 3、考点讲解 考点1 考点2 考点3 考点4 九、教学反思 成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境—合作探究—分析计算—总结升华”为主线,使学生亲身体验根据平方根计算的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变. 不足之处：在教学过程中,对于平方根的作用深入讨论,有些学生只是知道要取正的平方根,对于其中的原因根本没有明白,部分学生对于平方根的理解还不够深刻. 补救措施：适当增加学生熟悉的实例,通过对比,使学生明白平方根的正负两个值的意义,并能更进一步理解平方根的含义. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $