8.1 平方根（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年七年级下册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦七年级下册“平方根”第1课时，核心内容包括平方根的概念、性质及开平方运算。课堂通过平方运算填空导入，结合“已知平方求数”的讨论，衔接旧知平方运算，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，如方桌面边长问题引导抽象平方根概念，培养数学眼光；通过归纳正数、0、负数平方根性质，发展推理意识；结合符号表示、中考题及分层练习，强化数学语言表达。助力学生深化概念理解，为教师提供系统教学流程与多样化资源。

8.1 平方根(第1课时) （1）32= ，（－3）2= ； （2） ， ； （3）0.82= ，（－0.8）2= . 9 0.64 0.64 填空: 9 【讨论】反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？ 导入新知 七彩城就梦想 1. 了解平方根的概念,掌握平方根的性质. 学习目标 2. 能利用平方与开平方互为逆运算的关系， 求某些非负数的平方根. 3分米 要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？ 这个问题实际上就是求： 答：9平方分米. 这是已知底数和指数，求幂的运算. 平方运算 探究新知 知识点 1 平方根的概念及性质 5 七彩城就梦想 ？分米 反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？ 实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即： 显然，括号里应是±3，但－3不符题意. 所以方桌面的边长应是3分米. 9平方分米 你还能得到什么问题呢？ 探究新知 6 七彩城就梦想 问题: 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 想一想：3和-3有什么特征？ 由于 ， 所以这个数是3或-3. 探究新知 3和-3互为相反数，会不会是巧合呢? 写出左圈和右圈中的“？”表示的数： -11 11 0.6 0 没有 x2 x 8 -8 4 3 4 3 - ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ -4 -0.6 64 121 0.36 0 探究新知 填一填，想一想: 8 七彩城就梦想 根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念： 探究新知 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. 例如： (±3)2=9，±3是9的平方根.　 1. 121的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？ 4. -9有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数. 探究新知 3. 的平方根是什么？ 通过这些题目的解答，你能发现什么? 问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根. 探究新知 有没有一个数的平方是负数？ 探究新知 归纳总结 平方根的性质： 1.正数有两个平方根，它们互为相反数. 2.0的平方根是0. 3.负数没有平方根. 解：(1) 因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8； (3) 因为(±0.1)2＝0.01，所以0.01的平方根是±0.1. (2) 因为(± )2＝ ，所以 的平方根是±； 探究新知 求平方根 考点1 求下列各数的平方根： (1)64； (2) ； (3)0.01. 1.判断下列说法是否正确： （1） 1的平方根是1 ； （ ） （2）-1的平方根是-1； （ ） （3） 0.5是0.25的一个平方根; （ ） （4） 0的平方根是0. （ ）　 2.填表： x 8 -8 - 62 0.25 × × √ √ 64 64 +6 -6 +0.5 -0.5 巩固练习 根号 被开方数 根指数 一般省略 合起来，正数a的平方根可以用“ ”表示，读作“正、负根号a”. 正数a的正的平方根记为“ ” ，读作“根号a”.a叫作被开方数；正数a的负的平方根，可用“ ”表示，读作“负根号a”. 探究新知 知识点 2 平方根的读法和表示 非负数a的平方根表示为： 例如： 探究新知 5的平方根表示为 4的平方根表示为 的平方根表示为 特别地，0的平方根记为: 0的平方根为0. 求下列各数的平方根： 解: 由于 因此36的平方根是6与-6. 36是正数 （1）36 ; 有两个平方根 即 探究新知 利用平方根的表示求平方根 （2） ; （1）36 ; （3）1.21 . 考点2 有两个平方根 因此 的平方根是 与 . 有两个平方根 （3）1.21. 因此1.21的平方根是1.1与-1.1. 即 即 探究新知 解: 由于 ， 解: 由于 ， （2） ; 求下列各数的平方根： （1） ； （2）62； （3）0.49. (2)因为 (±6)2=36= 62 ， (3)因为(±0.7)2=0.49， 所以0.49的平方根为±0.7． 所以62的平方根为±6． 巩固练习 即 . 解： （1）因为 所以 的平方根是 ， 即 . 即 . 求下列各式中x的值： 解：（1）因为x2=361 ，所以x=±=±19； （2）因为（2x-1）2=25 ，所以2x-1=±=±5. 当2x-1=5时，解得x=3;当2x-1=-5时，解得x=-2; 所以x=3或x=-2. 探究新知 利用平方根解形如x2=a（a≥0）的方程 （1） x2=361 ； （2） （2x-1）2=25. 考点3 求下列各式中x的值： 巩固练习 （1） x2=25 ；（2）9 x2=4； （3） （x-1）2=1. 解：（1）因为x2=25 ，所以x=±=±5； （3）因为（x-1）2=1 ，所以x-1=±=±1. 当x-1=1时，解得x=2;当x-1=-1时，解得x=0; 所以x=2或x=0. （2）因为9x2=4 ，所以x2= ，所以x=±=±； +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 平方 已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算. 知识点 3 平方与开方的关系 探究新知 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 ？运算 反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？ 求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 探究新知 开平方与平方是什么关系？ a的平方根 底数 幂 被开方数 互为 逆运算 指数 根号 已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数 开平方运算 平方运算 探究新知 开平方与平方的对比填空 正数与零 任何数 幂 平方根 开方 平方 运算符号 适用范围 运算结果名称 性质 正数有 个平方根,它们 ,零的平方根是 , 负数 . 正数的平方是 数; 零的平方是 ; 负数的平方是 数. 正 正 0 2 互为相反数 0 没有平方根 探究新知 ± 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. 解：（1）因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6； （2）因为-5是正数，所以-5没有平方根； （3）因为（-4）2=16是正数，所以（-4）2有两个平方根，±=±=±4. 探究新知 开平方的有关计算 （1）0.36； （2）-5； （3）（-4）2. 考点4 1.下列各式有意义吗？ ± （3） ; 2.求下列各式的值. （4） . 巩固练习 （1） ; （2） ; 有意义 有意义 有意义 无意义 27 七彩城就梦想 探究新知 方法点拨 只有当a大于或等于0时，有意义； 而当a小于0时， 没有有意义. 1. （2024•四川内江中考）16的平方根是（　　） A．2 B．-4 C．4 D．±4 2. 若一个数的平方等于5，则这个数等于　______． D 链接中考 1.下列有关平方根的叙述，正确的个数是（　　） ①如果a存在平方根，那么a＞0； ②如果a有两个不相等的平方根，那么a＞0； ③如果a没有平方根，那么a＜0； ④如果a＞0，那么a的平方根也大于0． A．1 B．2 C．3 D．4 B 基础巩固题 课堂检测 30 七彩城就梦想 3. 判断下列说法是否正确. 正确. （4）(-4)2的平方根是-4. （1） 是 的一个平方根； （2） 是6的一个平方根； （3） 的值是±4； 正确. 正确. 不正确，是 ±4. 课堂检测 2.下列说法正确的是_________. ① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的平方根是±8. ① ④ ⑤ 4.求下列各数的平方根： （1）289 ; （2）0.0625 ; （3） . 课堂检测 解:（1） ; （2） ; （3） . 1.a的一个平方根是3，则另一个平方根是　 ，a= . 2.3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根，则这两个平方根是___和___，这个数是___. -3 9 1 -1 1 能力提升题 课堂检测 33 七彩城就梦想 一个正数x的两个不同的平方根分别是3m+2与4m-9． （1）求x和m的值； （2）求x+11m的平方根． 解：（1）由题意可得3m+2+4m-9=0，解得m=1. 所以x=（3×1+2）2=25； （2）将x=25，m=1代入x+11m中，得25+11×1=36． 因为36的平方根是±6，所以x+11m的平方根是±6． 拓广探索题 课堂检测 平方根 平方根的概念 开平方及相关运算 平方根的性质 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 教材第46页习题8.1第1,6题 自主安排 配套练习册练习 $