浙江省杭州第二中学2026届高三年级第一学期期末考试数学试题

浙江省杭州第二中学2026届高三年级第一学期期末考试数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷非选择题部分，共150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数是上的奇函数，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 4. 圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角的大小为，半平面 内的圆 在半平面上的投影是椭圆，在半平面 上的投影是椭圆，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（ ） A. B. C. 11 D. 8. 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学．对于半径为的球 ，过球面上一点 作两条大圆的弧，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点 称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边．不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面 ，这三条劣弧称为球面 的边，三点称为球面 的顶点；三个球面角称为球面 的三个内角．已知球心为 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点．类比二面角，我们称从点 出发的三条射线组成的图形为三面角，记为．其中点 称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角．以下说法，正确的是（ ） A. 任意球面三角形的内角和为 B. 若三面角的三个面角的余弦值分别为，球面 的三个内角的余弦值有一个是 C. 若三面角的三个面角的余弦值分别为，球面 的面积为 D. 若三面角的三个面角的余弦值分别为，球面 的面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 10. 记 内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角 的最大值为 C. D. 的取值范围是 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数单调递增 B. 当时，函数有两个极值 C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D. 当时，若，直线与曲线有三个交点，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，若对于任意的，都有，则________． 13. 对满足的任意正整数对，定义函数如下：，，则________（结果用含i的式子表示）；_________（结果用含j的式子表示）． 14. 已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． （1）证明：； （2）若，求的值； （3）证明：． 16. 悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为． （1）求的值： （2）证明： （i）； （ii）； （iii）． （3）写出的最简表达式（结果用含的式子表达）． 17. 已知是异面直线的公垂线段，且，直线上有两个不同的动点，直线上有两个不同的动点． （1）若，，求二面角的余弦值； （2）若分别为的中点．是否存在点使得同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由． 18. 给定实数，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有个绝对值的算式：，其中每个绝对值里都有两个空格“□”，所有的空格“□”都尚未填数．每一回合，先由甲选取区间中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由乙将其填在某个空格之中．这样个回合之后所有的空格均填了数，的值也随之确定．若，则甲胜，否则乙胜． （1）当 时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由； （2）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由． 19. 学习几何体结构素描是学习素描的重要一步.如图所示，这是一个用来练习几何体结构素描的石膏几何体，它是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体.棱 和面与圆柱侧而相切，点 是棱 与圆柱侧而的切点.直线分别与面，面交于点，圆柱在面，面上分别截得椭圆.在平面和平面中，椭圆上分别有两组不重合的两点和（图中未画出）.且满足关系.已知三棱锥的外接球表面积为，圆柱的底面直径为，请问平面，平面上是否分别存在点，使得对于满足的直线分别恒过定点.若存在，试求和夹角的余弦值：若不存在，请说明理由. 浙江省杭州第二中学2026届高三年级第一学期期末考试数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷非选择题部分，共150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 设， 则 ，则，而， 所以； （2）1 （3） 由棣莫弗定理公式， 得 ； ； ， 则，， 所以. 【16题答案】 【答案】（1）1 （2） （i）因为左边， 右边 所以，命题得证. （ii）因为 所以，命题成立； （iii） 命题得证. （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 设，，，， 分别为的中点，，，，又， ， ， 当时，， 当时，， 故无解， 所以不存在点使得同时成立. 【18题答案】 【答案】（1） ，时甲有获胜策略，理由如下： 甲有策略使得， 甲先选0（选1亦可），乙第一步选择无实际意义，， 甲再选1，若乙将其与0填在同一个绝对值中，甲再选0、1，可使， 若乙将其填在另一个绝对值中，甲再选，则某个绝对值得到，最后一个数甲可以使另一个绝对值为1，此时， 乙有策略使得， 若甲的前两个数相差不超过，乙将其填在同一个绝对值中，这样一个绝对值不超过，另一个绝对值不超过1，从而， 若甲的前两个数相差超过，乙将其填在不同绝对值中，设且，，从而， 甲的第三个数必定满足且，或且，从而乙可以使得一个绝对值不超过，另一个绝对值总不超过1，故乙可以使得， 综上，甲有获胜策略的是不超过的所有实数； （2） ，时甲有获胜策略，理由如下： 甲有策略使得， 甲依次选0、1，若乙填在同一个绝对值中，由的讨论知甲可以使得， 若乙填在不同绝对值中，甲再选，乙若填在和0或1同一个绝对值中，由的讨论知甲可以使得，若乙填在第三个绝对值中，则， 甲选，若乙放在第一个绝对值中，甲选0、0，则， 若乙放在第二个绝对值中，甲选1、1，则， 若乙放在第三个绝对值中，由的讨论知甲可以使得前两个绝对值之和不小于，故， 乙有策略使得， 若甲的前两个数差不超过，则将数填在同一个绝对值中，甲选了第三个数， 若三个数中有两个数的差不超过，乙将这两个数放在同一个绝对值中，再由的讨论知乙可以使得， 若甲的前三个数两两相差均大于，则乙将三个数填在不同绝对值中， 现假设，，，， 由对称性，不妨设，甲的第四个数为， 情形一：若，乙将与放在同一个绝对值中，由于，， 而前两个绝对值不超过，为； 情形二：若，乙将与放在同一个绝对值中，则， 剩下，由的讨论知乙可以使得剩下两个绝对值之和不超过，从而； 情形三：若，乙将与放在同一个绝对值中，由于，， 剩下，同情形二可知乙可以使得； 最后注意到，上述三种情形包括了的所有可能性（有可能会重叠，此时可以任意选择某个情形）， 综上，甲有获胜策略的是不超过的所有实数. 【19题答案】 【答案】答案解析悬赏征集中，欢迎大牛老师们踊跃投稿！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $