4.2.5正态分布（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第二册

4.2.5正态分布 主讲： 人教B版选择性必修第二册 第4章 概率与统计 学习目标 1.通过实际问题，了解什么是正态曲线和正态分布. 2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义. 3.会根据正态曲线的性质求随机变量X在某一范围内的概率. 2 某地高考十分段成绩分布图 情境与问题 思考：已知 X 服从参数为100，0.5的二项分布，即，你能手工计算出的值吗？ 因此，如果要手工计算，是一个“几乎不可能”完成的任务， 而且，即使是一般的计算器也难以胜任类似的计算； 事实上，利用计算机软件可知 尝试与发现1 由此可以看出，如果随机变量X~B(n,p)，那么n较大时，直接计算 将是十分困难的，有没有其他办法能得到上述公式的近似值呢？ 这正是18世纪30年代数学家棣莫弗所研究过的问题。 在讨论这个问题的过程中，棣莫弗发现了本节我们要学习的正态分布。 尝试与发现1 我们已经知道，服从二项分布的随机变量，其分布列可以用图直观地表示出来. 例如，若则X的分布列如下. X 的分布列可以用右图直观地表示出来，其中每一个矩形的宽为1，高为对应的概率值. 此时，右图具有以下性质： （1）中间高、两边低； （2）图形关于X=3直线对称，而且E(X)=___   （3）某一整数k上方的矩形面积正好等于P(X=k)，其中，k=0，1，2，3，4，5，6； （4）所有矩形的面积之和为1. 由以上三图可以看出，当n充分大时，的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”. 而且，对不同的参数，只是钟形的宽度和高度不一样而已. 那么，是否存在一个函数，它对应的图象能够近似这些钟形（如图（2）所示）呢？如果这样的函数存在的话，要计算X落在某区间内的概率，只需计算对应曲线与x轴在适当区间所围成的面积即可. 正态曲线 （1）正态曲线关于对称（即 决定正态曲线对称轴的位置），具有中间高、两边低的特点； （2）正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； （3）决定正态曲线的“胖瘦”： 越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”； 越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. 正态曲线的性质 更进一步，利用计算机软件可计算出，正态曲线与x轴在区间内所围面积约为0.3413，在区间内所围面积约为0.1359，在区间内所围面积约为0.0215，如图所示. 解：（1）因为正态曲线是关于对称的，而且正态曲线与x轴所围成的图形面积为1，因此所求面积为0.5. （2）利用对称性可知，所求面积为区间内面积的2倍，即约为 （3）利用对称性可知，所求面积约为 . （4）利用对称性可知，所求面积约为_________ 典例分析1 正态分布 更进一步的研究表明 此时是X的均值， 而是X的标准差， 是X的方差. 最后的式子意味着， 约有的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约的可能会落入这一范围之外（这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“原则”. 3σ 原则 例2 假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位： cm，下同），标准差为10. 在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： （1）不高于170的概率；（2）在区间 内的概率；（3）不高于180的概率. 解：设该学生的身高为X，由题意可知 . （1）易知 . （2）因为均值为170，标准差为10，而 ， 所以 (3)由概率的加法公式可知 又由（2）以及正态曲线的对称性可知 因此 典例分析2 例3 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515g . （1）求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515g的概率为多少； （2）检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 典例分析3 解：设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为 ， 由题意可知. （1）由于 ，所以根据正态分布的对称性与“ 原则”可知 因为如果生产线不出现异常，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都大于 515 g 的概率约为 ，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的. （2）检测员的判断是合理的. 且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布. 标准正态分布 为了方便起见，将 时部分 的值制成了专门的表格，可供查询，下表是部分数据. 典例分析4 最后，我们来看用正态分布近似二项分布的一个实例. 25 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结： 正态分布 ├─ 定义与密度函数 → 公式、参数意义 ├─ 性质 → 对称性、曲线特征、参数影响 ├─ 标准正态分布 → 标准化、查表 ├─ 3σ原则 → 区间概率、应用 ├─ 应用场景 → 自然现象、统计推断 ├─ 与其他分布联系 → 二项分布近似 └─ 计算与工具 → 例题、软件 课堂小结 布置作业 1.查阅正态分布的数学史，以小组为单位形成学习报告，交流学习。 2.完成教材课后练习1,2,3 课后作业 $$