课时测评17 离散型随机变量的方差-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评17　离散型随机变量的方差 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．(多选)随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P a 其中ab≠0，下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝1 B．E(ξ)＝ C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值 答案：ABD 解析：a＋＋＝1，即a＋b＝1，a，b∈(0，1)．E(ξ)＝0×a＋1×＋2×＝.D(ξ)＝a× ＋×＋×＝－＝－＋，b∈(0，1)，可得当b＝时，D(ξ)取得最大值．综上可得只有C错误． 2．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是 (　　 ) A．E(X1)＝12，D(X1)＝1 B．E(X1)＝7，D(X1)＝1 C．E(X1)＝12，D(X1)＝2 D．E(X1)＝7，D(X1)＝2 答案：D 解析：E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2. 3．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，则E(3X＋1)和D(3X＋1)的值分别是(　　) A．3和4 B．3和2 C．2和4 D．2和2 答案：D 解析：因为随机事件X服从两点分布，且P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝，E(X)＝0×＋1×＝， 所以D(X)＝×＋×＝， 所以E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝3×＋1＝2；D(3X＋1)＝9D(X)＝9×＝2. 4．甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下： 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 根据以上数据估计(　　) A．甲比乙的射击技术稳定 B．乙比甲的射击技术稳定　　 C．两人没有区别 D．两人区别不大 答案：A 解析：甲的平均数为：x (_)甲＝(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，甲的方差为：S＝[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，乙的平均数为：x (_)乙＝(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，乙的方差为：S＝[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，所以甲比乙的射击技术稳定． 5．设<p<1，相互独立的两个随机变量ξ，η的分布列如表： ξ －1 1 P η －1 1 P 1－p p 则当p在内增大时(　　) A．E(ξ＋η)减小，D(ξ＋η)增大 B．E(ξ＋η)减小，D(ξ＋η)减小　　 C．E(ξ＋η)增大，D(ξ＋η)增大 D．E(ξ＋η)增大，D(ξ＋η)减小 答案：D 解析：因为<p<1，所以E(ξ)＝－＋＝－，E(η)＝p－1＋p＝2p－1，E(ξ＋η)＝2p－，D(ξ)＝×＋×＝，D(η)＝(－2p)2(1－p)＋(2－2p)2p＝4p－4p2，D(ξ＋η)＝4p－4p2＋＝－4＋，所以当p在内增大时，E(ξ＋η)增大，D(ξ＋η)减小． 6．若p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P －p p 则E(X)的最大值是________，D(X)的最大值是________． 答案：　1 解析：由分布列的性质可知p∈，则E(X)＝p＋1∈，故E(X)的最大值为.因为D(X)＝(p＋1)2＋p(p＋1－1)2＋(p＋1－2)2＝－p2－p＋1＝－＋，又p∈，所以当p＝0时，D(X)取得最大值1. 7．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________． 答案： 解析：X的分布列为 X 1 3 5 P 则E(X)＝1×＋3×＋5×＝.D(X)＝. 8．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示． 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为________． 答案：9.8 解析：由题意得，P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的方差为9.8. 9．(10分)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125， D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50， D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165， 由于E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，故甲厂的材料稳定性较好． 10．(10分)有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X. (1)求X的分布列及方差D(X)；(4分) (2)若ξ＝aX＋2，且D(ξ)＝33.6，求实数a的值．(6分) 解：(1)X的取值范围是{6，9，12}． P(X＝6)＝＝， P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝， 所以X的分布列为 X 6 9 12 P 所以E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8， D(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36. (2)由(1)可知D(ξ)＝D(aX＋2)＝a2D(X)＝3.36a2＝33.6，解得a＝±. 11．(5分)已知随机变量X的分布列为： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c为等差数列，若E(X)＝，则DX为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意知： 解得a＝，b＝，c＝，所以DX＝×＋×＋×＝.故选C． 12．(5分)袋子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从袋中一次取出三个球，记随机变量ξ是取出球的最大编号与最小编号的差，数学期望为E(ξ)，方差为D(ξ)．则下列选项正确的是(　　) A．E(ξ)＝2，D(ξ)＝0.6 B．E(ξ)＝2，D(ξ)＝0.4 C．E(ξ)＝3，D(ξ)＝0.4 D．E(ξ)＝3，D(ξ)＝0.6 答案：D 解析：从5个球中取3个球，共有C＝10种取法，其组合分别为(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，所以随机变量ξ的可能取值为4，3，2，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝2)＝.所以E(ξ)＝4×＋3×＋2×＝3，D(ξ)＝(4－3)2×＋(3－3)2×＋(2－3)2×＝0.6. 13．(15分)某投资公司在年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.针对以上两个投资项目，请你为该投资公司选择一个合适的项目，并说明理由． 解：对于项目一，该项目年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和，设投该项目投资获利为ζ万元， 则随机变量ζ的分布列为 ζ 300 －150 P 因此E(ζ)＝300×－150×＝200(万元)，D(ζ)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000. 对于项目二，该项目年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，，设投该项目投资获利为η万元，则随机变量η的分布列为 η 500 0 －300 P 因此E(η)＝500×＋0×－300×＝200(万元)，D(η)＝(500－200)2×＋(0－200)2×＋(－300－200)2×＝140 000. 故E(ζ)＝E(η)，D(ζ)＜D(η)． 这说明虽然项目一、项目二获利期望值相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． 14．(15分)在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地随机抽取两张，记第一次抽取卡片的标号为x，第二次抽取卡片的标号为y.设O为坐标原点，点P的坐标为(x－2，x－y)，记ξ＝||2. (1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(5分) (2)求随机变量ξ的数学期望和方差．(10分) 解：(1)由题意，可知x，y的取值构成的有序数对(x，y)如下表： (1，1) (1，2) (1，3) (2，1) (2，2) (2，3) (3，1) (3，2) (3，3) x－2，x－y的取值构成的有序数对(x－2，x－y)如下表： (－1，0) (－1，－1) (－1，－2) (0，1) (0，0) (0，－1) (1，2) (1，1) (1，0) 由上表可知ξ的最大值为5，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时取到． 又有放回地抽取两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)， 所以P(ξ＝5)＝. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，5. 结合(1)中的表格，可知P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝5)＝. 随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 5 P 因此其数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋5×＝2， 其方差为D(ξ)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(5－2)2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $