课时测评8 二项式系数的性质与杨辉三角-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评8　二项式系数的性质与杨辉三角 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是(　　 ) A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 答案：D 解析：第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数为C. 2．(1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　 ) A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项 答案：C 解析：展开式中共有14项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大．由于该二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项． 3．(多选)关于的展开式，下列结论正确的是(　　) A．奇数项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为－1 C．只有第3项的二项式系数最大 D．含x项的系数为－80 答案：BD 解析：的展开式中奇数项的二项式系数和为24＝16，故选项A不正确；中，令x＝1，可得(1－2)5＝－1，故选项B正确；的展开式通项为：Tk＋1＝C(x2)5－k·(－1)k2kx－k＝C(－1)k2kx10－3k，C＝C＝10，所以第三项和第四项的二项式系数最大，故选项C不正确；令10－3k＝1，得k＝3，此时T4＝C(－1)323x10－3×3＝－80x，所以含x项的系数为－80，故选项D正确．故选B、D． 4．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数C都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第9行第4个数是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为杨辉三角的第9行第4个数为C，所以“莱布尼茨三角形”第9行第4个数是＝.故选C． 5．已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　 ) A．1 B．－1 C．36 D．26 答案：C 解析：由已知展开式中a0，a2，a4，a6大于零，a1，a3，a5小于零．所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36.所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝36. 6．若展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________．(用数字作答) 答案：5　10 解析：令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tk＋1＝C(x2)5－k＝Cx10－5k，令10－5k＝0，k＝2.故常数项为T3＝10. 7．已知二项式(x2＋)n的各项系数和为243，则n＝________，展开式中常数项为________． 答案：5　80 解析：令x＝1得各项系数和为(1＋2)n＝243，即3n＝243，得n＝5，通项公式Tk＋1＝C(x2)5－k＝C2kx，由10－＝0得k＝4，即展开式中常数项为C·24＝80. 8．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________． 答案：3 解析：设f(x)＝(a＋x)(1＋x)4，则其所有项的系数和为f(1)＝(a＋1)×(1＋1)4＝(a＋1)×16，又奇数次幂项的系数和为[f(1)－f(－1)]，f(－1)＝0，所以×(a＋1)×16＝32，所以a＝3. 9．(10分)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7；(3分) (2)a1＋a3＋a5＋a7；(3分) (3)a0＋a2＋a4＋a6.(4分) 解：(1)令x＝0，则a0＝－1， 令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.　　① 所以a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，　　② 由，得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256. (3)由，得a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128. 10．(10分)对二项式(1－x)10， (1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；(3分) (2)求展开式中各二项式系数之和；(3分) (3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．(4分) 解： (1)展开式共11项，中间项为第6项，T6＝C(－x)5＝－252x5； (2)C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024. (3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0， 令x＝0，得a0＝1， 所以a1＋a2＋…＋a10＝－1. 11．(5分)(多选)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的是(　　) A．a2＝－144 B．a0＝1 C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39 答案：ACD 解析：对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9＝[－1＋2(x－1)]9，所以a2＝－C×22＝－144，故A正确；故令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－…－a9＝－39，故D正确． 12．(5分)设m为正整数，(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式中的二项式系数的最大值为b.若15a＝8b，则m的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C 解析：因为(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，且展开式共有2m＋1项，所以二项式系数最大值为C＝a，又因为(x＋y)2m＋1的展开式中的二项式系数的最大值为b，且展开式共有2m＋2项，所以二项式系数的最大值为C＝C＝b，由15a＝8b可得：15C＝8C，解得m＝7，故选C． 13．(10分)已知展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30.求： (1)展开式中的所有有理项；(3分) (2)n＋6C＋36C＋…＋6n－1C的值；(3分) (3)系数的绝对值最大的项．(4分) 解：展开式的通项Tk＋1＝C()n－k·＝C·(－2)kx(k＝0，1，…，n)，由于展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30，则＝30，化简，得n2－5n－84＝0，解得n＝12或n＝－7(舍去)． (1)展开式的通项Tk＋1＝C(－2)k·x(k＝0，1，2，…，12)，当k＝0，6，12时，为整数，则有理项为T1＝x6，T7＝26Cx＝59 136x，T13＝212Cx－4＝4 096x－4. (2)n＋6C＋36C＋…＋6n－1C ＝C＋6C＋36C＋…＋611C ＝(1＋6C＋62C＋63C＋…＋612C)－ ＝×(1＋6)12－＝. (3)设第k＋1项的系数的绝对值最大， 因为Tk＋1＝C(－2)k·x(k＝0，1，2，…，12)， 则即解得≤k≤，所以k＝8，所以系数的绝对值最大的项为T9＝28Cx＝126 720x. 14．(5分)(新定义)伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当n∈N，n≥2时，＝……，又根据泰勒展开式可以得到sin x＝x－＋＋…＋＋…，根据以上两式可求得＋＋＋…＋＋…＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由n∈N，n≥2，sin x＝x－＋＋…＋＋…，两边同时除以x，得＝1－＋＋…＋＋…，又＝……展开式中x2的系数为－，所以－＝－，所以＋＋＋…＋＋…＝.故选A． 15．(15分)(新定义)请先阅读：对等式sin(x－α)＝sin xcos α－cos xsin α(x∈R，α为常数)的两边求导有：(sin(x－α))′＝(sin xcos α－cos xsin α)′，由求导法则得cos(x－α)＝cos xcos α＋sin xsin α，再在上式中令x＝α得cos2α＋sin2α＝1.借助上述想法，结合等式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn(x∈R，正整数n≥2)，解答以下问题： (1)求C＋2C＋…＋5C的值；(7分) (2)化简C＋22C＋32C＋…＋n2C.(8分) 解：(1)在等式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn(x∈R，正整数n≥2)， 两边对x求导得n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋3C·x2＋…＋nC·xn－1①， 令x＝1，n＝5，可得C＋2C＋…＋5C＝5×(1＋1)4＝80. (2)①式两边同时乘以x得nx(1＋x)n－1＝Cx＋2Cx2＋3C·x3＋…＋nC·xn②， ②式两边对x求导得：n(1＋x)n－1＋n(n－1)x(1＋x)n－2＝C＋22Cx＋32C·x2＋…＋n2C·xn－1， 令x＝1，得C＋22C＋32C＋…＋n2C＝n·2n－1＋n·(n－1)2n－2＝n(n＋1)2n－2. 学科网（北京）股份有限公司 $