课时测评5 组合与组合数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评5　组合与组合数 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列等式中，正确的是(　　) A．(n＋1)A＝A　　　B．＝(n－2)! C．C＝ D．A＝A 答案：ABD 解析：通过计算得到选项A、B、D的左右两边都是相等的．对于选项C，C＝，所以选项C是错误的，故选A、B、D． 2．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有(　　) A．72种 B．84种 C．120种 D．168种 答案：C 解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C＝120(种)． 3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(　　) A．24种 B．12种 C．10种 D．9种 答案：B 解析：第一步，为甲地选1名女老师，有C＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B． 4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 答案：D 解析：根据题意，分3步进行分析：先将5艘驱逐舰分成2组，需要分成2、3的两组，有C＝10种分组方法，再将3艘核潜艇分成2组，需要分成1、2的两组，有C＝3种分组方法，最后将分好的2组分派给两艘航母，有4种分配方法，则有10×3×4＝120种组建方法． 5．(多选)在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则(　　) A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有AC种 B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有CC＋CC种 C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C－C种 D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有CC＋CC或C－C 种 答案：ABCD 解析：抽出的三件中恰好有一件是不合格品的抽法有A·C种，所以A正确．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有CC＋CC或C－C种．BCD正确． 6．若C∶C∶C＝3∶4∶5，则n＝________，m＝________． 答案：62　27 解析：由题意知由组合数公式得解得 7．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种． 答案：2 520 解析：从10人中选派4人有C种方法，对选出的4人具体安排会议有CC种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法种数为CCC＝2 520. 8．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆的个数为________． 答案：6 解析：因为1≤m<n≤5，所以C可以是C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，计算可知C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，故x2＋Cy2＝1能表示6个不同的椭圆． 9．(10分)判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应的结果． (1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(3分) (2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3分) (3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？(4分) 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C种不同的分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C次． 10．(10分)(1)解方程：C＋C＝A；(4分) (2)解不等式：－＜.(6分) 解：(1)原方程可化为C＝A，即C＝A， 所以＝， 所以＝， 所以x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3， 经检验知，x＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到－ ＜. 由x≥5，得x2－11x－12＜0，解得5≤x＜12. 因为x∈N*，所以x∈{5，6，7，8，9，10，11}． 11．(5分)(多选)关于排列组合数，下列结论正确的是(　　) A．C＝C B．C＝C＋C C．A＝mA D．A＋mA＝A 答案：ABD 解析：由题意利用组合数公式的性质可得C＝C，C＝C＋C，故A、B正确；再利用排列数公式可得A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，而mA＝m(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，显然，n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)和m(n－1)(n－2)…(n－m＋1)不一定相等，故C不正确；A＋mA＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＋mn(n－1)(n－2)…(n－m＋2)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋2)[(n－m＋1)＋m]＝(n＋1)n(n－1)(n－2)…(n－m＋2)＝A，故D正确． 12．(5分)某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有(　　 ) A．35种 B．70种 C．30种 D．65种 答案：B 解析：先从7人中选出3人有C＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C＝70. 13．(10分)在某次救灾活动中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，在这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(3分) (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3分) (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？(4分) 解：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90(种)抽调方法． (2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法． 方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类： ①选2名外科专家，共有CC种选法； ②选3名外科专家，共有CC种选法； ③选4名外科专家，共有CC种选法． 根据分类加法计数原理，共有CC＋CC＋CC＝185(种)抽调方法． 方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法； 考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法； 没有外科专家参加，有C种选法． 所以共有C－CC－C＝185(种)抽调方法． (3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答． ①没有外科专家参加，有C种选法； ②有1名外科专家参加，有CC种选法； ③有2名外科专家参加，有CC种选法． 根据分类加法计数原理，共有C＋CC＋CC＝115(种)抽调方法． 14．(5分)某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条． 答案：126 解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条． 15．(15分)(新定义)规定C＝，其中x∈R，m∈N，且C＝1，这是组合数C(n∈N*，m∈N且m≤n)的一种推广． (1)求C的值．(5分) (2)组合数具有两个性质：①C＝C；②C＋C＝C.这两个性质是否都能推广到C(x∈R，m∈N)？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由．(10分) 解：(1)由题意得C＝＝－84. (2)性质①不能推广，如当x＝时，C有意义，但C无意义． 性质②能推广，它的推广形式是C＋C＝C(x∈R，m∈N)． 证明如下： 当m＝0时，有C＋C＝1＋x＝C； 当m≥1时，有C＋C ＝ ＋ ＝ ＝ ＝C. 综上，性质②的推广得证. 学科网（北京）股份有限公司 $