第三章 排列、组合与二项式定理 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理计数原理、排列组合、二项式定理的知识体系，明确各模块主要考查角度和关键核心素养，呈现知识内在联系与重难点分布，帮助学生构建清晰的知识脉络。 讲义亮点在于例题与对点练结合，通过涂色问题、排列相邻不相邻等题型，渗透捆绑法、插空法等技巧，培养数学运算、逻辑推理素养。分层练习满足不同学生需求，高考真题解析助力教师精准教学，提升复习效率。

章末综合提升 探究点一　两个计数原理的应用 主要考查角度 (1)分类加法计数原理的应用； (2)分步乘法计数原理的应用； (3)两个原理的综合应用． 关键核心素养 (1)数学运算；(2)逻辑推理；(3)数学抽象；(4)数学建模． 例1　(1)某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　) A．14 B．16 C．20 D．48 (2)一个地区分为5个行政区域(如图所示)，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有________种．(用数字作答) [思路点拨]　(1) (2)按区域分类或按颜色分类均可． 答案：(1)B　(2)72 解：(1)分两类： 第一类，甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人来自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得N1＝2×6＝12；第二类，3人全来自其余4家企业，有4种情况，即N2＝4.综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16种情况． (2)方法一：分步考虑，先给区域1着色，有C种不同的着色方法；再给区域2着色，有C种不同的着色方法；然后给剩下的三个区域着色，可分两类： 第一类，将剩余两种颜色在区域3和区域4处全排列，有A种，再将区域3中的颜色着于区域5处，仅有一种方法．由分步乘法计数原理，知有C·C·A种不同的着色方法； 第二类，从剩下的两种颜色中任选一种着于区域3处，有C种方法，然后将区域2中的颜色着于区域4处，再从剩下的一种颜色和区域3中的颜色中任选1种着于区域5处，有C种方法．由分步乘法计数原理，知有C·C·C·C种不同的着色方法． 综上，由分类加法计数原理，知共有C·C·A＋C·C·C·C＝72种不同的着色方法． 方法二：以所用颜色的多少分类考虑． 第一类，仅着4种颜色(即有一种颜色重复使用)，可分如下三步进行：①区域1的着色法有C种；②从剩余颜色中抽出一种准备重复着色有C种，而使其在区域2，4或3，5处着色有2种方法，此步骤共有2C种方法，将剩余的2种颜色着于剩下两处，有A种．由分步乘法计数原理，知共有2C·C·A种不同的着色方法． 第二类，仅着3种颜色，亦可分为三步进行：①先从四种颜色中选出三种，有C种；②从所选三种颜色中任选一种着于1处，有C种；③让剩下的两种颜色一种着于区域2，4处，一种着于区域3，5处，有A种．由分步乘法计数原理，知共有C·C·A种不同的着色方法． 综上，由分类加法计数原理，知共有2C·C·A＋C·C·A＝72种不同的着色方法． 学生用书↓第34页 使用两个计数原理时应注意的问题 1．对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． 2．当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步． 对点练1.(1)从2张1元，3张0.5元，2张0.1元的纸币中，任取4张，面值和超过2元的取法总数为________种． (2)5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，若甲球必须放入A盒，则不同的放法种数是________． 答案：(1)24　(2)60 解析：(1)第一类，1元取2张，再从剩下的5张中任取2张，共有C＝10种， 第二类，①1元取1张，0.5元取3张，共有2种， ②1元取1张，0.5元的取2张，0.1元的取1张，共有2×C×2＝12种， 根据分类加法计数原理，共有10＋2＋12＝24种． (2)将甲球放入A盒后分两类，一类是除甲球外，A盒还放其他球，共A＝24(种)，另一类是A盒中只有甲球，则其他4个球放入另外的三个盒中，有C·A＝36(种)．故总的放法种数为24＋36＝60. 探究点二　排列、组合问题 主要考查角度 (1)排列数和组合数公式的应用； (2)简单的排列、组合应用题． 关键核心素养 (1)数学分析；(2)逻辑推理；(3)数学运算． 例2　(1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! (2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　) A．72 B．120 C．144 D．168 (3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为(　　) A．9 B．14 C．12 D．15 [思路点拨]　(1)相邻问题→捆绑法； (2)不相邻问题→插空法； (3)至多至少问题→直接法或间接法 答案：(1)C　(2)B　(3)A 解析： (1)把一家三口看作一个排列，共有3个三口之家，然后再排列这3家，所以有(3！)4种． (2)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120. (3)方法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有CC种选法．故共有C＋CC＝9种选法． 方法二：(间接法)C－C＝9种． 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 1．相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列； 2．相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用； 3．特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置． 对点练2.由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 354，…直到末项(第120项)是54 321.问： (1)43 251是第几项？ (2)第93项是怎样的一个五位数？ 解：(1)由题意知，共有五位数个数为A＝120， 比43 251大的数有下列几类： ①万位数是5的有A＝24个数； ②万位数是4，千位数是5的有A＝6个数； ③万位数是4，千位数是3，百位数是5的有A＝2个数； 所以比43 251大的共有A＋A＋A＝32个数， 所以43 251是第120－32＝88项． (2)从(1)知万位数是5的有A＝24个数，万位数是4，千位数是5的有A＝6个数，但比第93项大的数有120－93＝27个，第93项即倒数第28项，而万位数是4，千位数是5的6个数是45 321，45 312，45 231，45 213，45 132，45 123，从此可见第93项是45 213. 探究点三　二项式定理及应用 主要考查角度 (1)求展开式的特定项或特定项的系数； (2)求二项式系数或系数的和； (3)二项式系数的性质及应用． 关键核心素养 (1)逻辑推理；(2)数学运算；(3)数据分析． 例3　(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 (2)(2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a1＋a2＋a3＋…＋a10等于(　　) 学生用书↓第35页 A．1－310 B．－310－1 C．310－1 D．0 (3)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________． [思路点拨]　(1)利用通项公式求解；(2)赋值法；(3)利用通项公式． 答案：(1)D　(2)D　(3)4 解析：(1)展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1. (2)令x＝1，得a0＝1， 令x＝2，得a0＋a1＋…＋a10＝1，所以a1＋a2＋…＋a10＝0. (3)(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r. 令r＝2，得T3＝9Cx2. 由题意得9C＝54，解得n＝4. 求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略 1．求展开式中的特定项．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． 2．已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数． 3．与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解． 对点练3.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项； (3)求n＋9C＋81C＋…＋9n－1C的值． 解：(1)由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3，解得n＝10(负值舍去)， 通项为Tk＋1＝C()10－k＝(－2)kCx5－， 当5－为整数时，k可取0，6， 于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440. (2)设第k＋1项系数的绝对值最大，则 解得 又因为k∈N＋， 所以k＝7，当k＝7时，T8＝－15 360x－ ， 所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360x－. (3)原式＝10＋9C＋81C＋…＋910－1C ＝ ＝ ＝＝. (2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．C·C种 B．C·C种 C．C·C种 D．C·C种 答案：D 解析：根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×＝40人，高中部共抽取60×＝20人，根据组合公式和分步计数原理，则不同的抽样结果共有C·C种．故选D． (2023·全国乙卷(理))甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 答案：C 解析：首先确定相同的读物，共有C种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A种，根据分步乘法公式，共有C·A＝120种．故选C． (2023·全国甲卷(理))有5名志愿者参加社区服务，共服务周六、周日两天，每天从中任选2人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　) A．120 B．60 C．40 D．30 答案：B 解析：不妨记5名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A＝12种方法，同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60.故选B． (2023·天津卷)在6的展开式中，x2的系数是________． 答案：60 解析：展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x3)6－kk＝(－1)k×26－k×C×x18－4k，令18－4k＝2, 可得k＝4，则x2项的系数为(－1)4×26－4×C＝4×15＝60. (2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 答案：64 解析：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有CC＝16种；(2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC＝24种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有CC＝24种；综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64种． 学科网（北京）股份有限公司 $