4.3.1 一元线性回归模型-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦一元线性回归模型，系统梳理变量相关关系（函数与相关关系辨析、散点图绘制与作用、正/负相关及线性/非线性相关）、回归直线方程（最小二乘法、回归系数计算及过样本中心性质）、相关系数（概念、性质及线性相关程度判断）、非线性回归分析的递进知识脉络，构建完整学习支架。 资料以“名师出高徒”等生活情境引入，通过概念辨析培养数学思维，借助散点图、回归方程推导提升数学眼光，结合投资收入等实例强化数学语言表达。课中助力教师引导学生从直观到定量分析，课后例题与对点练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

4．3　统计模型 4．3.1　一元线性回归模型 知识 层面 1.了解变量间的相关关系，会画散点图，并会根据散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．　2.了解最小二乘法的思想，会求回归直线方程，掌握回归直线方程的性质．　3.了解两个变量间的线性相关系数r，并能利用公式求相关系数r.　4.能利用相关系数r判断两个变量线性相关程度的大小，从而判断回归直线方程拟合的效果． 素养 层面 1.通过回归直线方程及相关关系的学习，体会数学建模与直观想象的素养；借助求解回归直线方程和相关系数，培养数学运算的素养．　2.借助非线性回归方程的学习，提升数据分析和数学建模的素养． 你知道“名师出高徒”的意思吗？－－高明的师傅很可能教出技艺高的徒弟，比喻学识丰富的人对于培养人才的重要性．也就是说，高水平的老师往往能教出高水平的学生． 问题．那么老师的水平与学生的水平之间具有怎样的关系呢？这种关系是确定的吗？该关系与函数关系相同吗？ 提示：老师的水平与学生的水平之间具有相关性，一般而言，高水平的老师教出高水平的学生的可能性更大；但两者之间虽然具有相关性，却不具备确定性，这种关系是不确定的．不相同． 知识点一　变量的相关关系 1．相关关系的概念：我们所研究的很多问题中，两个变量之间经常存在着相互影响、相互依赖的关系．这些关系常见的有两类：函数关系和相关关系． [概念辨析]　相关关系与函数关系的异同： 关系 异同点 函数关系 相关关系 相同点 两者均是两个变量之间的关系 不同点 是一种确定性关系 是一种非确定性关系 是一种因果关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系 是一种理想的关系 是更为一般的情况 2.散点图 (1)概念：一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示： 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图． (2)作用：散点图展示了样本点散布的位置．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论． 学生用书↓第81页 [微提醒]　1.散点图具有直观、简明的特点，我们可以根据散点图来判断两个变量有没有相关关系． 2．通过散点图不但可以判断测量值的大小、变动范围与整体趋势，还可以通过观察剔除异常数值，提高估计相关程度的准确性． 3．当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时，可在实际作图时，将横坐标与纵坐标取不同的单位长度，使画出的散点图形象、美观． 3．正相关与负相关 (1)从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关，散点图如图(甲)所示； (2)从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，称这两个变量负相关，散点图如图(乙)所示． 4．线性相关与非线性相关： (1)线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，称这两个变量线性相关； (2)非线性相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点二　回归直线方程 1．回归直线方程的概论 一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值i＝bxi＋a，如果一次函数＝x＋能使(1－y1)2＋(2－y2)2＋…＋(n－yn)2＝(yi－i)2取得最小值，则y＝x＋称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线). 2．最小二乘法 上述求回归直线方程的过程中需使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法． 可以证明，给定两个y与x的一组数据之后，回归直线方程＝x＋总是存在的，而且 ＝＝，＝－. 其中，称为回归系数．它实际上也就是回归直线方程的斜率．回归直线方程确定之后，就可用于预测． 需要注意的是，上述公式中，指的是x1，x2，x3，…，xn的平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)＝i；类似地，是y1，y2，y3，…，yn的平均数，即＝i. [微提醒]　1.回归直线一定过点(，). 2．y与x正相关的充要条件是>0；y与x负相关的充要条件是<0. 3．当x增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数的实际意义． 4．回归直线方程＝x＋中x的系数是，表示直线的斜率，注意与《选择性必修第一册》中的一次函数的关系式或直线方程y＝ax＋b进行区分． 知识点三　相关系数 1．概念：注意到现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用 r＝ 学生用书↓第82页 ＝来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数). 2．性质 (1)|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0. (2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值． (3)|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上． [微提醒]　1.样本的相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度，明确给出有无必要建立两变量间的回归方程． 2．|r|很小只是说明两个变量之间的线性相关程度弱，但不一定不相关． 3．相关系数与向量夹角的余弦 一般地，a＝(x1－，x2－，…，xn－)，b＝(y1－，y2－，…，yn－)都称为n维向量，如果按照类似2维与3维的情况定义向量的内积和模，则相关系数r总是等于两个向量夹角的余弦，即r＝cos 〈a，b〉＝. 知识点四　非线性回归分析 1．非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系． 2．非线性回归方程 当回归方程不是形如y＝bx＋a(a，b∈R)时，称回归方程为非线性回归方程． 当两个变量不是线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性回归方程． 1．下列两个量之间的关系是相关关系的是(　　) A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量 答案：C 解析：A、D是函数关系，B是不相关关系，C是相关关系． 2．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为(　　 ) A．＝1.5x＋2 B．＝－1.5x＋2 C．＝1.5x－2 D．＝－1.5x－2 答案：B 解析：由散点图知，变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，故只有B选项符合． 3．如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数r的绝对值应接近于(　　 ) A．0.5 B．2 C．0 D．1 答案：D 解析：相关系数|r|越接近于1，相关程度越高． 4．在两个变量的回归分析中，作散点图的目的是__________________；相关系数是度量______________的量． 答案：从散点图中看出数据的大致规律，再根据这个规律选择适当的函数进行拟合　两个变量之间线性相关程度 5．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4，5)，则线性回归方程是________． 答案：＝1.23x＋0.08 解析：设回归直线方程为＝x＋，因为回归直线的斜率的估计值为1.23，即＝1.23，又回归直线过定点(4，5)，所以a＝5－1.23×4＝0.08，所以＝1.23x＋0.08. 学生用书↓第83页 题型一　相关关系及判断 例1　某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示． 年龄x(岁) 1 2 3 4 5 6 身高y(cm) 78 87 98 108 115 120 (1)画出散点图； (2)判断y与x是否具有线性相关关系． [思路点拨] 画散点图 → 观察各点的分布 → 判断是否具有相关关系 解：(1)散点图如图所示． (2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系． 1．两个变量x和y具有相关关系的判断方法 (1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断． (2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断． (3)经验法：借助积累的经验进行分析判断． 2．判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． 对点练1.(1)下列关系中，属于相关关系的是______．(填序号) ①圆的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． (2)某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元). x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 ①画出散点图； ②从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系． 答案：(1)②④ 解析：(1)在①中，圆的半径与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． (2)①以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示． ②从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系． 题型二　回归方程的应用 例2　某人进行理财投资，其中投资资金x(万元)与获得的收入y(万元)之间有下表所对应的数据： x 1 2 3 4 y 1.2 2.6 3.9 5.1 (1)画出表中数据的散点图； (2)求出y关于x的线性回归方程； (3)若投资资金为9万元，则收入约为多少万元？ 学生用书↓第84页 [思路点拨]　,作散点图→,判断线性相关→,求回归方程→,应用 解：(1)作出的散点图如图所示： (2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下表： 序号 x y x2 xy 1 1 1.2 1 1.2 2 2 2.6 4 5.2 3 3 3.9 9 11.7 4 4 5.1 16 20.4 ∑ 10 12.8 30 38.5 易得＝2.5，＝3.2， 所以＝＝＝1.3， ＝－＝3.2－1.3×2.5＝－0.05， 故y关于x的线性回归方程为＝1.3x－0.05. (3)当x＝9时，＝1.3×9－0.05＝11.65， 故当投资资金为9万元时，收入约为11.65万元． 利用回归直线方程解题的常见思路及注意点 1．利用回归直线过样本点的中心，可以求参数问题，参数可涉及回归方程或样本点数据． 2．利用回归方程中系数的意义，分析实际问题． 3．利用回归直线进行预测，此时需关注两点：①所得的值只是一个估计值，不是精确值；②变量x与y成线性相关关系时，回归直线方程才有意义，否则即使求出回归直线方程也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信的． 对点练2．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨标准煤)的几组对应数据． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程＝x＋； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤． (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图． (2)由对应数据，计算得：x＝86， ＝＝4.5，＝＝3.5， 已知xiyi＝66.5，所以由最小二乘法确定的回归直线方程的系数＝＝＝0.7，＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的回归直线方程为＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回归直线方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤). 题型三　相关系数的计算及应用 例3　维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据． 甲醛 浓度x 18 20 22 24 26 28 30 缩醛 化度y 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36 求样本相关系数r并判断它们的相关程度． 解：列表如下 i xi yi x y xiyi 1 18 26.86 324 721.459 6 483.48 2 20 28.35 400 803.722 5 567 3 22 28.75 484 826.562 5 632.5 4 24 28.87 576 833.476 9 692.88 5 26 29.75 676 885.062 5 773.5 6 28 30.00 784 900 840 7 30 30.36 900 921.729 6 910.80 ∑ 168 202.94 4 144 5 892.013 6 4 900.16 ＝＝24，＝， r＝ ＝ ≈0.96. 由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系． 学生用书↓第85页 线性相关系数的理解 1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关． 2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r>0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著． 对点练3.某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如表： 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455 求水稻产量与施化肥量的相关系数，并判断相关性的强弱． 相关系数及线性回归直线方程系数公式： ＝＝，＝－ ， r＝. 参考数据：＝7 000，＝1 132 725，iyi＝87 175 解：由已知数据计算可知，＝30，≈399.3， 所以相关系数r＝≈0.97 由于0.97与1十分接近，所以水稻产量与施化肥量的相关性强． 易错点　准确理解概念和参数的含义 关于x与y有如下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 为了对x、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型＝6.5x＋17.5，乙模型＝7x＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好． [易错分析]　用相关指数R2来比较模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，并不是R2越小模型的拟合效果越好．易理解错误而致误． [误区警示]　明确R2的大小与拟合效果的关系． [正解]　　因为R＝1－ ＝1－＝0.845， R＝1－＝1－＝0.82， 所以R>R. 所以甲模型拟合的效果更好． 学生用书↓第86页 1．以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 答案：B 解析：①③中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型． 2．由变量x与y相对应的一组数据(1，y1)，(5，y2)，(7，y3)，(13，y4)，(19，y5)得到的回归直线方程为＝2x＋45，则＝(　　) A．135 B．90 C．67 D．63 答案：D 解析：因为＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，＝2＋45，所以＝2×9＋45＝63.故选D. 3．工人工资y(单位：元)与劳动生产率x(单位：千元)的相关关系的回归直线方程为＝50＋80x，下列判断正确的是(　　) A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元 B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元 C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元 D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元 答案：B 解析：因为回归直线的斜率为80，所以x每增加1，平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元． 4．若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验，得到这3组数据的线性相关系数依次为0.83，0.72，－0.90，则线性相关程度最强的一组是________(选填“甲”“乙”或“丙”). 答案：丙 解析：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关系数|r|越接近于1，这个模型的两个变量线性相关程度就越强，在甲、乙、丙中，所给的数值中－0.90的绝对值最接近1，所以丙的线性相关程度最强． 学科网（北京）股份有限公司 $