4.2.5 正态分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦正态分布核心知识点，通过对比离散型随机变量（如二项分布、超几何分布）的局限性，引出连续型随机变量的正态分布。系统讲解正态曲线的定义与性质（μ决定对称轴位置、σ影响曲线胖瘦），正态分布的定义、3σ原则及常用概率数据，以及标准正态分布的转换方法，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以生活现象（如身高分布、电子产品寿命）为切入点，通过问题驱动激发探究欲，结合正态曲线图象直观理解性质，培养数学抽象与直观想象素养。设置正态曲线性质分析、概率计算、实际应用等分层题型，如利用3σ原则解决考试成绩概率问题，提升数学建模与数学运算能力。课中助力教师系统授课，课后通过易错点解析和对点练习，帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

4．2.5　正态分布 知识 层面 1.了解二项分布与正态曲线的关系，能借助正态曲线理解正态曲线的性质．　2.掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题．　3.了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率． 素养 层面 通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学抽象与直观想象的素养；借助正态分布中的“3σ原则”解题及标准正态分布函数φ(x)的函数值计算正态分布X～N(μ，σ2)在某一区间内取值的概率，提升数学建模、数学运算的素养. 问题1.下列随机变量是不是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间． 提示：(1)是．　(2)不是． 问题2.一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少．生活中这样的现象很多，还能使用二项分布、超几何分布来刻画吗？ 提示：不符合用二项分布、超几何分布的特征，不能用它们刻画． 知识点一　正态曲线 1．定义：函数φ(x)＝e的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝，即X的标准差．一般地，φ(x)对应的图象称为正态曲线(也因形状之故而被称为“钟形曲线”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x))． 2．性质 (1)正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形的面积为1； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 学生用书↓第76页 [微提醒]　对正态曲线的性质的深层次理解 性质(1)说明函数φ(x)在x＝μ时取得最大值，且正态曲线都是单峰的．由性质(1)和(3)可以看出σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示．μ一定时，曲线的形状由σ确定，如图2所示． 　　　 图1　　　　　　　　　　图2 知识点二　正态分布 1．定义及表示：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ和σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．更进一步的研究表明，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差． [微提醒]　参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2．正态分布的几个常用数据：如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝50%， P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%， P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%， P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.* [微提醒]　式子中X的取值是否包括端点不影响概率的值．一般考试时会给出相关数据，做题目时以题目给出的数据为准． 3．3σ原则 (*)式意味着，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”． [警示]　对小概率事件的理解： (1)小概率事件是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的； (2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.3%犯错的可能． 知识点三　标准正态分布 1．定义：μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果Y～N(μ，σ2)，那么令X＝，则可以证明X～N(0，1)，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布． 2．标准正态分布下的概率分布：如果X～N(0，1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(X<a)，也就是说Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内的面积，如图所示： 3．性质：根据正态曲线的对称性，可以知道Φ(a)具有性质Φ(－a)＋Φ(a)＝1. 1．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．正态曲线是一条钟形曲线 B．函数p(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差 C．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的 D．正态曲线可以关于y轴对称 答案：AD 解析：“钟形曲线”指的是当随机变量满足正态分布的标准绘制成一条线时所形成的类似钟形一个曲线，故A正确；正态曲线中参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计，故B错误；正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是1，故C错误；当μ＝0时，正态曲线关于y轴对称，故D正确． 学生用书↓第77页 2．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为(　　 ) A．1 B．－1 C．0 D．不确定 答案：C 解析：由正态曲线性质知均值为0. 3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝(　　 ) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意知X的均值为2，因此P(X<2)＝. 4．若随机变量X～N(0，1)，则P(x＜0)＝________． 答案： 解析：由标准正态曲线关于y轴对称可知P(x＜0)＝. 5．某地区数学考试的成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其密度曲线如图所示，正态分布密度函数为φ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则成绩X位于区间(86，94]的概率是________． 答案：0.021 5 解析：由正态曲线可知μ＝70，σ＝8，所以P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(54＜X≤86)≈0.954，P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)＝P(46＜X≤94)≈0.997，所以P(86＜X≤94)＝×(0.997－0.954)＝0.021 5. 题型一　正态曲线及其性质 例1　已知三条正态曲线φi(x)＝e (x∈R，i＝1，2，3)如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 答案：D 解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，总体分布越集中，曲线越“瘦高”，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞φ3(μ3)，得＝＞，即σ1＝σ2＜σ3. 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ 1．正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ. 2．正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. 3．由σ的大小区分曲线的胖瘦． 对点练1.设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有 (　　 ) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 答案：A 解析：根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A． 题型二　正态分布下的概率计算 例2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　 ) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 (2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，4)，求正态总体X在(－1，1)内取值的概率． [思路点拨]　(1)根据正态曲线的对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1，3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1，1)内取值的概率就等于在(－1，3)内取值的概率的一半． 答案：(1)C 解析：(1)因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)， 所以μ＝2，对称轴是x＝2.因为P(ξ<4)＝0.8， 所以P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，所以P(0<ξ<4)＝0.6，所以P(0<ξ<2)＝0.3.故选C． (2)由题意得μ＝1，σ＝2， 所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 7. 又因为正态曲线关于x＝1对称， 所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)≈0.341 4. 学生用书↓第78页 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 2．注意概率值的求解转化： (1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)； (2)P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)； (3)若b＜μ，则P(X＜b)＝； 3．熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值． 对点练2.设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)． (1)求c的值；(2)求P(－4<x<8)． 解：(1)由X～N(2，9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)， 又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2， 所以c＝2. (2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)＝0.954 5. 题型三　正态分布的实际应用 例3　在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90，100)． (1)试求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率是多少？ (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？ [思路点拨]　(1)ξ～N(90，100)→μ＝90，σ＝10,求P(70<ξ<110) (2) 先求P(80<ξ<100)→由2 000×P(80<ξ<100)求结果 解：因为ξ～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 5，而在该正态分布中， μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70，110)内的概率为 0.954 5. (2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间(80，100)内的概率就是0.682 7.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人)． 正态曲线的应用及求解策略 1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出； 2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想． 对点练3.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位：min)服从正态分布N(50，102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60，42)．若时间只有70 min可用，应走哪条路线？ 解：对于第一条路线，设所需时间为X，X～N(50，102)，其中μ＝50，σ＝10，μ－2σ＝30，μ＋2σ＝70，所以P(X＜70)＝P(X≤50)＋P(50＜X＜70)＝＋P(30＜X＜70)≈＋×0.954＝0.977. 对于第二条路线， 设所需时间为Y，Y～N(60，42)，其中μ＝60，σ＝4，μ－2σ＝52，μ＋2σ＝68， 所以P(Y＜68)＝P(Y≤60)＋P(60＜Y＜68)＝＋P(52＜Y＜68)≈＋×0.954＝0.977， 于是P(Y＜70)＝P(Y＜68)＋P(68≤Y＜70)＝0.977＋P(68≤Y＜70)＞0.977， 即P(Y＜70)＞P(X＜70)，故应走第二条路线． 学生用书↓第79页 易错点　因对正态曲线的对称性认识不够而致错 已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝____． [易错分析]　易对正态分布的正态曲线的对称性理解不到位而致误，应当充分认识P(X<a)＋P(X≥a)＝1这一结论． [误区警示]　正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等． [正解]　因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1， 又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1. 所以P(X>0)＝P(X<－4)． 因此正态曲线的对称轴为x＝－2.所以μ＝－2. 答案：－2 1．某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同 答案：A 解析：由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡．故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A． 2．设随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，若P(ξ＞m)＝a，则P(ξ＞6－m)＝(　　) A．a B．1－2a C．2a D．1－a 答案：D 解析：由直线ξ＝m与直线ξ＝6－m关于直线ξ＝3对称，得P(ξ＞m)＝P(ξ＜6－m)＝a，则P(ξ＞6－m)＝1－a. 3．(多选)“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度函数为φ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是(　　) A．该地水稻的平均株高为100 cm B．该地水稻株高的方差为10 C．该地水稻株高在120 cm以上的数量和株高在80 cm以下的数量一样多 D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大 答案：AC 解析：因为密度函数为φ(x)＝·e，所以μ＝100，σ＝10，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误．故选AC． 4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3，5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________． 答案：1 解析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义是数学期望，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称，所以数学期望为1. 学科网（北京）股份有限公司 $