4.1.2 乘法公式与全概率公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式，从条件概率定义推导乘法公式，通过“取球问题”构建样本空间划分引出全概率公式，进而扩展贝叶斯公式，形成从基础到应用的学习支架。 以问题链驱动逻辑推理，如“罐子取球”情境抽象事件关系发展数学抽象素养，结合密码破解、病毒感染等实例提升数学建模与运算能力。课中助力教师引导知识构建，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化公式应用。

4．1.2　乘法公式与全概率公式 知识 层面 1.能从条件概率的定义推导乘法公式，会应用乘法公式计算概率．　2.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率. 素养 层面 通过乘法公式、全概率公式的推导，发展逻辑推理、数学抽象素养；通过乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的实际应用，提升数学建模、数学运算素养. 1．在条件概率P(B|A)＝中， 问题1.条件概率成立的条件是什么？ 提示：P(A)>0. 问题2.事件AB的含义是什么？ 提示：事件A与事件B同时发生． 2．有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1黑球，3号装有2红球2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球． 问题3.红球能确定来自哪个罐子吗？几种情况？ 提示：不能确定，有三种情况． 问题4.设事件Ai表示“从i号罐子取球”，i＝1，2，3.事件A1、A2、A3有何关系？ 提示：A1、A2、A3两两互斥且A1∪A2∪A3＝Ω. 问题5.设事件B表示“任取一球是红球”，事件B如何用Ai拆分？ 提示：B＝A1B∪A2B∪A3B． 知识点一　乘法公式 1．公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)． 2．公式的推导依据：P(B|A)＝，即根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． [微提醒]　乘法公式说明，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． 知识点二　全概率公式 1．公式：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A (_))P(B|A (_))． 2．公式的推导：一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与BA (_)是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋A (_))＝BA＋BA (_)，如图所示， 从而P(B)＝P(BA＋BA (_))＝P(BA)＋P(BA (_))． 由乘法公式可得全概率公式P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(A (_))P(B|A (_))． 3．全概率公式的推广 定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，···，An满足： 学生用书↓第41页 (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，···，n，i≠j； (2)A1＋A2＋···＋An＝Ω； (3)P(Ai)>0，i＝1，2，···，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋···＋BAn，且P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 上述公式也称为全概率公式．n＝3时的情形可借助下图来理解： [微提醒]　全概率公式的直观解释 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，···，n且任意两种情形均互斥)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助于全概率公式间接求出事件B发生的概率． 知识点三　贝叶斯公式 1．贝叶斯公式 一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有P(A|B)＝ ＝. 2．贝叶斯公式的推广 定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，···，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，···，n，i≠j； (2)A1＋A2＋···＋An＝Ω； (3)1>P(Ai)>0，i＝1，2，···，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝＝. [微提醒]　对贝叶斯公式的理解 P(A)是根据历史数据发现，通常称为先验概率；获取了新信息后算出的概率P(A|B)，通常称为后验概率．贝叶斯公式指出的是，通过先验概率以及其他信息，可以算出后验概率．实际上，贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少． 1．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|A (_))＝，则P(B)等于(　　 ) A． B． C． D． 答案：C 解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A (_))P(B|A (_))＝×＋×＝. 2．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9，0.8.则甲正点到达目的地的概率为(　　 ) A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.84 答案：C 解析：设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86. 3．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”， 由全概率公式：P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(B (_))P(A|B (_))＝×1＋×＝.又由贝叶斯公式：P(B|A)＝＝＝. 4．采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品，则采购员拒绝购买的概率是________． 答案： 解析：设A1表示取到的是含4个次品的一包，A2表示取到的是含1个次品的一包，B表示采购员拒绝购买．则A1，A2构成样本空间的一个划分，且P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.7，又由古典概型计算知P(B|A1)＝1－＝，P(B|A2)＝1－＝，从而由全概率公式得到P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝. 5．对以往数据分析结果表明， 当机器调整得良好时， 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时， 其合格率为55%.每天早上机器开动时， 机器调整良好的概率为95%.则已知某日早上第一件产品是合格时， 机器调整得良好的概率约是________． 答案：0.97 解析：设事件A为“产品合格”，事件B为“机器调整良好”．P(A|B)＝0.98，P(A|B (_))＝0.55，P(B)＝0.95，P(B (_))＝0.05，所求的概率为P(B|A)＝≈0.97. 学生用书↓第42页 题型一　乘法公式的应用 例1　银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： (1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率． [思路点拨]　最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”．因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的一些相关公式求解． 解：(1)设Ai为“第i次按对密码”(i＝1，2)，则事件A“不超过2次就按对密码”可表示为A＝A1∪1A2. 事件A1与事件1A2互斥，由互斥事件的概率加法公式和乘法公式，得 P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＝＋×＝. 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为. (2)设B为“密码的最后1位是偶数”，则由条件概率的性质可得P(A|B)＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＝＋＝. 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为. 乘法公式P(AB)＝P(B|A)P(A)的作用就是方便我们在不好直接求得P(AB)的情况下，先迂回地求出方便计算的P(B|A)和P(A)，再求得P(AB)． 对点练1.设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为，求透镜落下三次而未打破的概率． 解：以Ai(i＝1，2，3)表示透镜第i次落下打破，以B表示透镜落下三次而未打破．因为B＝123，故有P(B)＝P(123)＝P(3|12)P(2|1)P(1)＝××＝. 题型二　全概率公式及其应用 例2　某病毒感染可能造成“持续人传人”．通俗点说就是A传B，B传C，C又传D等，这就是“持续人传人”，而A，B，C被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为________． [思路点拨]　根据题意，设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则有P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)，据此计算可得答案． 答案：0.915 解析：设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(C)＝0.2，P(D|A)＝0.95，P(D|B)＝0.9，P(D|C)＝0.85， 则P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)＝0.95×0.5＋0.9×0.3＋0.85×0.2＝0.915. 学生用书↓第43页 运用全概率公式解题的一般步骤 第一步：求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，···，An； 第二步：求P(Ai)(i＝1，2，···，n)； 第三步：求P(B|Ai)(i＝1，2，···，n)； 第四步：求目标事件的概率P(B)． 可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”． 对点练2.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28， 这2个产品都是次品的事件数为C＝3. 所以这2个产品都是次品的概率为. (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥． P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝， P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝， 所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝. 题型三　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 例3　(1)设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球和m只红球，乙袋中装有N只白球和M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球．从乙袋中取到白球的概率是多少？ (2)第一个盒子装有5只红球，4只白球；第二个盒子装有4只红球，5只白球．先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒中去，然后从第二个盒子中任取一只球，求取到白球的概率． 解：(1)记A1，A2分别表示从甲袋中取得白球，红球放入乙袋，再记B表示再从乙袋中取得白球． 因为B＝A1B＋A2B，且A1B，A2B互斥，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×. (2)记C1表示从第一个盒子中取得2只红球，C2表示从第一个盒子中取得2只白球，C3表示从第一个盒子中取得1只红球，1只白球，D表示从第二个盒子中取得白球，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪ C3＝Ω，由全概率公式，有P(D)＝P(C1)P(D|C1)＋P(C2)P(D|C2)＋P(C3)P(D|C3)＝×＋×＋×＝. 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验的具体结果怎样未知，那么： (1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； (2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效． 对点练3.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？ 解：设事件A表示“取到的产品为正品” ，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. (1)由全概率公式得： P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝＝≈0.220 9， P(B2|A)＝＝≈0.314 0， P(B3|A)＝＝≈0.465 1. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大． 学生用书↓第44页 1．已知P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由乘法公式得，P(AB)＝P(B)P(A|B)＝×＝. 2．已知P(B)＝，P(B|A)＝，P(B|A (_))＝，则P(A)＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A (_))P(B|A (_))，可得＝P(A)×＋(1－P(A))×，解得P(A)＝. 3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为(　　) A．0.85 B．0.88 C．0.4 D．0.868 答案：D 解析：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，则有B＝A1B∪A2B，由题意P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6， P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 4．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为 (　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：设事件A＝{从箱中任取2件都是一等品}，事件Bi＝{丢失的为i等品}(i＝1，2，3)，则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝，故所求的概率为P(B1|A)＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $