4.1.1 条件概率-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学条件概率核心知识点，从古典概型问题引入，系统讲解条件概率的定义、计算方法（P(A|B)=P(AB)/P(B)）、性质及与事件独立性的关系，通过具体案例构建从概念到应用的学习支架。 资料以情境化问题（如抛硬币、班级抽样）引导概念形成，结合例题（抽奖、产品检验）培养数学抽象、数学建模与数学运算素养，含易错点分析，课中助力教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

4．1　条件概率与事件的独立性 4．1.1　条件概率 知识 层面 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，掌握条件概率的计算方法．　2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系．　3.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．　4.理解条件概率的性质．　5.会利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 素养 层面 通过条件概率的定义及条件概率与事件独立性的关系，培养数学抽象素养；通过用概率乘法公式解决实际问题，提升数学建模、数学运算素养. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}． 问题1.两次都是正面向上的事件记为B，则P(B)是多少？ 提示：B＝{正正}，故P(B)＝. 问题2.在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 提示：将第一次出现正面向上的事件记为A，则A＝{正正，正反}，那么，在A发生的条件下，B发生的概率为. 问题3.以上两个事件的概率一样吗？为什么？ 提示：不一样，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率相当于以A为样本空间积事件AB发生的概率，两者的样本空间发生了变化，其概率是不一样的． 知识点一　条件概率 条件 设A，B为两个随机事件，且P(B)>0 含义 在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率 记作 P(A|B) 读作 B发生的条件下A发生的概率 计算 公式 P(A|B)＝ [微提醒]　对定义的进一步理解 1．每一个随机试验，都是在一定条件下进行的，条件概率则是当试验结果的一部分信息已经知道，即在原随机试验的条件上又加上一定的条件的概率． 2．事件A在“事件B发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件下发生的概率一般是不同的． 3．当题目涉及“在···前提下”等字眼时，一般为条件概率，如题目中没有上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率．在条件概率的表示中，“|”之后的部分表示条件． 学生用书↓第37页 知识点二　条件概率的性质 1．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1． 2．P(A|A)＝1. 3.如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 4．设与B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． [警示]　性质3必须满足B与C互斥，并且都是在同一个条件A下． 1．(多选)下面几种概率不是条件概率的是(　　 ) A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下，乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学途中遇到红灯的概率 答案：ACD 解析：由条件概率的定义知B为条件概率． 2．若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：由公式得P(B|A)＝＝＝. 3．已知A，B独立，且P(A)＝0.8，则P(A|B)＝(　　) A．0.2 B．0.8 C．0.16 D．0.25 答案：B 解析：因为A，B相互独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.8. 4．已知P(B|A)＝，P(A∩B)＝，则P(A)＝________． 答案： 解析：因为P(B|A)＝，P(AB)＝，所以P(A)＝＝＝. 5．有一批种子的发芽率为0.9，种子能成长为幼苗的概率是0.72，在这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子发芽后的幼苗成活率是________． 答案：0.8 解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件A∩B，则P(A)＝0.9.又种子能成长为幼苗的概率P(A∩B)＝0.72，所以发芽后的幼苗成活率P(B|A)＝＝＝0.8. 题型一　条件概率的计算 例1　某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一人作学生代表． (1)求选到的是共青团员的概率； (2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率； (3)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率． [思路点拨]　理解事件的含义→判断事件的类型→利用公式求概率 解：设“选到的是共青团员”为事件A，“选到的是第一小组学生”为事件B，则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件A∩B． (1)P(A)＝＝. (2)P(A∩B)＝＝. (3)方法一：P(B|A)＝＝＝. 方法二：由题意知，事件A所包含的样本点个数为15，事件A∩B所包含的样本点个数为4，所以P(B|A)＝＝. 计算条件概率的两种方法 提醒：(1)对定义法，要注意P(AB)的求法． (2)对第二种方法，要注意n(AB)与n(A)的求法． 对点练1.(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 (　　 ) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 (2)5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8. (2)设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A)＝＝＝. 学生用书↓第38页 题型二　条件概率性质的应用 例2　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． [思路点拨] 设出基本事件→求相应事件的概率→将试验成功分解成两个互斥事件的和 解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C， 则P(A)＝，P(A∩B)＝＝，P(A∩C)＝＝. 所以P(B|A)＝＝÷＝，P(C|A)＝＝÷＝. 所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 所以所求的条件概率为. 利用条件概率性质的解题策略 1．分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； 2．分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． 对点练2.在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率． 解：设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则P(A)＝，P(A∩B)＝＝，P(A∩C)＝＝，故P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝. 所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝＝.即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为. 题型三　条件概率的应用 例3　将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率． [思路点拨]　设出基本事件，求出相应的概率，再用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率． 解：设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}， B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}， R＝{第二次取出的球是红球}， W＝{第二次取出的球是白球}， 则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(W|A)＝， P(R|B)＝，P(W|B)＝. 事件“试验成功”表示为(R∩A)∪(R∩B)，又事件R∩A与事件R∩B互斥， 所以由概率的加法公式得 P((R∩A)∪(R∩B))＝P(R∩A)＋P(R∩B)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B) ＝×＋×＝. 对于比较复杂的事件，可以先分解为两个(或若干个)较简单的互斥事件的和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． 对点练3.一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表： 学生用书↓第39页 (1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________； (2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________． 答案：(1)　(2) 解析：(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是＝. (2)方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是＝. 方法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”， 则P(A)＝，P(A∩B)＝， 所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝＝. 易错点　因把基本事件空间找错而致错 一个家庭中有两名小孩，而且生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？ [易错分析]　解决此题容易出现两种错误：一是找错基本事件空间；二是弄不清一个事件对另一个事件的影响． [误区警示]　解决条件概率的方法有两种，第一种是利用公式P(B|A)＝.第二种为P(B|A)＝，其中找对基本事件空间是关键． [正解]　方法一：一个家庭的两名小孩只有4种可能：{两名都是男孩}，{第一名是男孩，第二名是女孩}，{第一名是女孩，第二名是男孩}，{两名都是女孩}． 由题意知这4个事件是等可能的， 设基本事件空间为Ω，“其中一名是女孩”为事件A，“其中一名是男孩”为事件B， 则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}． 所以P(A∩B)＝＝，P(A)＝.所以P(B|A)＝＝＝. 方法二：由方法一可知n(A)＝3，n(AB)＝2. 所以P(B|A)＝＝. 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：P(B|A)＝，故P(A∩B)＝×＝. 2．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生，从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝，故P(B|A)＝＝. 3．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题知，事件A：甲和乙至少一人选择庐山共有n(A)＝C·C＋1＝7种情况，事件AB：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有n(AB)＝C·C＝6种情况，所以P(B|A)＝＝. 4．已知事件A和B是互斥事件，P(C)＝，P(B∩C)＝，P((A∪B)＝，则P(A)＝________． 答案： 解析：由题意知，P((A∪B)＝P(A)＋P(B)＝，P(B)＝＝＝，则P(A)＝P((A∪B)－P(B)＝－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $