3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

第2课时　二项式系数的性质与杨辉三角 知识层面 1.理解二项式系数的性质并灵活运用．　2.掌握“赋值法”并会灵活应用．　3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题．　4.了解杨辉三角．　5.能利用二项式定理解决整除(余数)问题. 素养层面 通过二项式性质的学习，培养逻辑推理素养；通过处理二项展开式中系数最值问题、余数问题，提升数学建模、数学运算素养. (a＋b)n展开式的二项式系数C，C，C，…，C可表示成如下形式： (a＋b)1………………1　1 (a＋b)2………………1　2　1 (a＋b)3………………1　3　3　1 (a＋b)4………………1　4　6　4　1 (a＋b)5………………1　5　10　10　5　1 问题1.每一行中，与首末等距离的二项式系数有怎样的关系？ 提示：相等． 问题2.当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？ 提示：分别是1，6，15，20，15，6，1. 知识点一　二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C＝C) 增减性 当k<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，中间一项取得最大值Cn 当n是奇数时，中间两项相等，同时取得最大值Cn＝Cn 各二项式系数的和 C＋C＋C＋…＋C＝2n C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 [微提醒]　1.赋值法是求展开式系数和的常用方法，一般对字母赋的值为0，1或－1； 2．对于2n＝C＋C＋C＋…＋C，也可以从集合的角度解释．设A是含有n个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有C个，含1个元素的子集有C个，含2个元素的子集有C个……含n个元素的子集有C个，故所有子集的个数为C＋C＋C＋…＋C＝2n. [警示]　(1)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解． (2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致． 知识点二　杨辉三角 1．杨辉三角：当n取自然数时，(a＋b)n展开的二项式系数可以排成下表的形式： 学生用书↓第29页 (a＋b)0　　　　　　1 (a＋b)1　　　　　 1　1 (a＋b)2　　　　　1　2　1 (a＋b)3　　　　 1　3　3　1 (a＋b)4　　　1　4　6　4　1 (a＋b)5　　 1　5　10　10　5　1 … 这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，在西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”． 2．杨辉三角至少具有以下性质： (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． [微提醒]　1.性质(1)与性质(2)实际上反映了组合数的下列性质：C＝1，C＝1，C＝C＋C； 2．二项式系数C，C，C，…，C，C，C是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 1．在(a＋b)10二项展开式中的二项式系数与第3项相同的项是(　　 ) A．第8项 B．第7项 C．第9项 D．第10项 答案：C 解析：由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等来分析． 2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　 ) A．1 B．－1　 C．215　　　 D．315 答案：B 解析：令x＝1即得各项系数和，所以各项系数和为－1. 3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于(　　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：A 解析：由题意C＋C＋…＋C＝32.(ax＋1)n＝C(ax)n＋C(ax)n－1＋…C(ax)n－r＋…＋C.因为a≠0，令x＝，则有C＋C＋…＋C＝2n.所以2n＝32，所以n＝5. 4．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＋|a8|＝________． 答案：256 解析：由题意知|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＋|a8|表示(1＋x)8的展开式中各项系数的和，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＋|a8|＝28＝256. 5．在(a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为____________，在(a＋b)9的展开式中，二项式系数最大的项为____________． 答案：70a4b4　126a5b4与126a4b5 解析：因为(a＋b)8的展开式中有9项，所以中间一项的二项式系数最大，该项为Ca4b4＝70a4b4.因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大，这两项分别为Ca5b4＝126a5b4，Ca4b5＝126a4b5. 题型一　求展开式的系数和 例1　(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. [思路点拨]　先观察所求式子与展开式各项的特点，再利用赋值法求解． 解：(1)当x＝1时，等号左边为(1－2)7＝－1，等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，所以a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1. 当x＝0时，a0＝1. 所以a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2. (2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，① 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，② ①－②，得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37， 所以a1＋a3＋a5＋a7＝－＝－1 094. (3)由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负数，a0，a2，a4，a6均为正数， 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7. 由(2)可知，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝37＝2 187. 解决二项展开式中各项系数的 和的问题的思维过程与方法 对点练1.已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； 学生用书↓第30页 (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2. 解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1. (2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，① 令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.② 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625. 题型二　与“杨辉三角”有关的问题 例2　杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵(如图所示)，称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用A(m，n)表示三角形数阵中的第m行第n个数，则A(100，3)＝(　　) A．5 050 B．4 851 C．4 950 D．5 000 答案：B 解析：由二项式展开式系数可知，第m行第n个数应为C，所以第100行第3个数为C＝＝4 851，即A(100，3)＝4 851.故选B． 解决“杨辉三角”问题的一般方法 观察－分析；试验－猜想；结论－证明．要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力．观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如图所示： 对点练2.如图所示的图形满足如下条件： ①第n行首尾两数均为n； ②图中的递推关系类似“杨辉三角”． 则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________． 答案：46　 解析：由图可知第10行的第2个数为： (1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46. 第n行的第2个数为： [1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝. 题型三　求二项展开式中系数或二项式系数的最大项 例3　(1)(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为(　　 ) A．第5项 B．第6项或第7项 C．第6项 D．第7项 (2)的展开式中，系数最大的项为(　　 ) A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 [思路点拨] (1)　 学生用书↓第31页 (2) 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C×25＝C×26⇒n＝8.所以(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1 120x4.故选A． (2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝Cx5＝－C中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小．而T5＝Cx6＝Cx2，T7＝Cx4＝Cx－2，且C＝C. 所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D． 1．根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第k＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第k项，第k＋2项)的系数均不大于第k＋1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据k∈N*来确定k的值，即可求出最大项． 对点练3.已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解：(1)令x＝1，可得各项系数和为f(1)＝(1＋3)n＝4n.展开式各项的二项式系数之和为2n. 由已知得4n－2n＝992，即(2n)2－2n－992＝0， 解得2n＝32或2n＝－31(舍去)，所以n＝5. 所以(＋3x2)5的二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，Tk＝C(x)2·(3x2)3＝270x. (2)(＋3x2)5的展开式的通项为Tk＋1＝C3kx， 假设第k＋1项的系数最大， 则有 所以 所以 所以≤k≤，又k∈N*，所以k＝4， 所以T5＝C×34×x＝405x， 所以(＋3x2)5的展开式中系数最大的项为405x. 题型四　二项式定理的应用 例4　(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求C＋C＋…＋C除以9的余数． [思路点拨] (1) (2) 解析：(1)证明：1110－1 ＝(10＋1)10－1 ＝C·1010＋C·109＋…＋C·10＋C－1 ＝C·1010＋C·109＋…＋C·102＋102 ＝100(108＋C·107＋…＋C＋1)． 显然上式括号内的数是正整数，所以1110－1能被100整除． (2)C＋C＋…＋C＝227－C＝89－1＝(9－1)9－1＝C·99－C·98＋…＋C·9－C－1＝9(C·98－C·97＋…＋C)－2＝9(C·98－C·97＋…＋C－1)＋7. 显然上式括号内的数是正整数，故C＋C＋…＋C除以9的余数为7. 1．利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理． 2．求余数时，要注意余数的范围，即余数大于零且小于除数．利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意进行转化． 学生用书↓第32页 对点练4.求证：对一切n∈N＋，都有2≤<3. 证明：由于＝C＋C·＋C·＋C·＋…＋C·＝1＋1＋·＋··＋…＋···…·，所以2≤n<2＋＋＋…＋<2＋＋＋…＋＝2＋＋＋…＋＝3－<3，即2≤<3. 当n＝1时＝2；当n≥2时，2<<3.所以对一切n∈N＋，都有2≤<3. 易错点　注意区分项数与项的次数 已知(2x－1)n的展开式中，奇次方项系数的和比偶次方项系数的和小316，求C＋C＋C＋…＋C的值． [易错分析]　解答本题易出现两种错误：一是混淆奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项；二是不清楚C＋C＋…＋C的准确含义． [误区警示]　在二项展开式中，要正确理解与区分：(一)第n项，第n项的次数，第n项的二项式系数；(二)项数与项的次数(如奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项)． [正解]　设f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，且奇次方项系数和为A，偶次方项系数和为B，则依题意可得，A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，且B－A＝316， 令x＝－1得， f(－1)＝(－3)n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan ＝(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…) ＝B－A＝316＝(－3)16， 所以n＝16. 从而C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝216－1＝215. 所以C＋C＋…＋C＝215－1. 1．已知n的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是(　　) A．－240 B．－240x6 C．240x6 D．240 答案：C 解析：由题可得＋1＝4，解得n＝6，所以T5＝C2(－2x2)4＝240x6.故选C． 2．(多选)下列关于(1－)10的说法，正确的是(　　) A．展开式的各二项式系数之和是1 024 B．展开式各项系数之和是1 024 C．展开式的第5项的二项式系数最大 D．展开式的第3项为45x 答案：AD 解析：对于A，(1－)10的展开式的各二项式系数之和是210＝1 024，故A正确；对于B，令＝1，得(1－)10的展开式的各项系数之和为0，故B错误；对于C，(1－)10的展开式的第6项的二项式系数最大，故C错误；对于D，(1－)10的展开式的第3项为C(－)2＝45x，故D正确．故选AD． 3．(x＋1)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________． 答案：3 解析：(x＋1)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6中，令x＝1，得2＝a0＋a1＋…＋a6；令x＝0，得a0＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3. 4．在n的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为22，则n的值为________，展开式中系数最大的项为________． 答案：6　 96x5 解析：由题意可得C＋C＋C＝1＋n＋＝22且n∈N＋，解得n＝6，所以二项式6＝(1＋4x)6，则(1＋4x)6展开式的通项为Tr＋1＝C(4x)r＝C·4rxr，设展开式的第k＋1项的系数最大，则解得4.6≤k≤5.6，且k∈N＋所以k＝5，所以展开式中系数最大的项为T6＝·C·45x5＝96x5. 学科网（北京）股份有限公司 $